天津市塘沽一中2023-2024學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末綜合測試試題含解析

天津市塘沽一中2023-2024學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末綜合測試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．角是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角2．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為A. B.C. D.3．如圖，在中，已知為上一點(diǎn)，且滿足，則實(shí)數(shù)值為A. B.C. D.4．若函數(shù)在定義域上的值域?yàn)?，則（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知，，且滿足，則的最小值為（）A.2 B.3C. D.7．函數(shù)y＝ax+1﹣1（a＞0，a≠1）恒過的定點(diǎn)是（）A.（1，﹣1） B.（0，0）C.（0，﹣1） D.（﹣1，0）8．不等式的解集為（）A. B.C. D.9．函數(shù)的最小正周期是（）A.π B.2πC.3π D.4π10．設(shè)集合U={1,2,3,4},M={1,2,3},N={2,3,4},則?A.{1，2}C.{2，4}11．已知實(shí)數(shù)a、b，滿足，，則關(guān)于a、b下列判斷正確的是（）A.a＜b＜2 B.b＜a＜2C.2＜a＜b D.2＜b＜a12．下列四個(gè)函數(shù)中,在其定義域上既是奇函數(shù)又是單調(diào)遞增函數(shù)的是A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．如圖，矩形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在函數(shù)，，的圖像上，且矩形的邊分別平行于兩坐標(biāo)軸.若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______.14．已知是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為___________.15．在中，，，則面積的最大值為___________.16．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為________三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知函數(shù).（1）判斷的奇偶性，并證明；（2）判斷的單調(diào)性，并用定義加以證明；（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+1+a在區(qū)間[1，2]上有最小值﹣1（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若關(guān)于x的方程f（log2x）+1﹣2klog2x＝0在[2，4]上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）若對(duì)任意的x1，x2∈（1，2]，任意的p∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤m2﹣2mp﹣2成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．（附：函數(shù)g（t）＝t在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增．）19．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)有.（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明.20．已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并進(jìn)行證明；（2）若實(shí)數(shù)滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在的單調(diào)性并證明；（3）解關(guān)于的x不等式：22．在等腰梯形中，已知，，，，動(dòng)點(diǎn)和分別在線段和上（含端點(diǎn)），且，且（、為常數(shù)），設(shè)，.（Ⅰ）試用、表示和；（Ⅱ）若，求的最小值.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、B【解析】找到與終邊相等的角，進(jìn)而判斷出是第幾象限角.【詳解】因?yàn)?，所以角和角是終邊相同的角，因?yàn)榻鞘堑诙笙藿?，所以角是第二象限?故選：B.2、C【解析】，所以，所以，所以是一條對(duì)稱軸故選C3、B【解析】所以，所以。故選B。4、A【解析】的對(duì)稱軸為，且，然后可得答案.【詳解】因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，且所以若函數(shù)在定義域上的值域?yàn)椋瑒t故選：A5、D【解析】將零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，通過對(duì)參數(shù)討論作圖可解.【詳解】在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間上有且只有一個(gè)解，即在區(qū)間上有且只有一個(gè)解令，，當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增且，，由圖1知，此時(shí)函數(shù)與在上只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?，所以要使函?shù)與在上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，由圖2知，即，解得或（舍去）.綜上，的取值范圍為.故選：D6、C【解析】由題意得，根據(jù)基本不等式“1”的代換，計(jì)算即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)取等號(hào)所以的最小值為.故選：C7、D【解析】由，可得當(dāng)時(shí)，可求得函數(shù)y＝ax+1﹣1（a＞0，a≠1）所過定點(diǎn).【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)有，，即當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，恒有函數(shù)值.所以函數(shù)y＝ax+1﹣1（a＞0，a≠1）恒過的定點(diǎn).故選：D【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)，函數(shù)圖像過定點(diǎn)，還可以由圖像間的平移關(guān)系得到答案，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】化簡不等式并求解即可．【詳解】將不等式變形為，解此不等式得或.因此，不等式解集為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式解法，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解析】化簡得出，即可求出最小正周期.【詳解】，最小正周期.故選：A.10、D【解析】∵M(jìn)∩N={2,3},∴11、D【解析】先根據(jù)判斷a接近2，進(jìn)一步對(duì)a進(jìn)行放縮，，進(jìn)而通過對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和基本不等式可以判斷a>2；根據(jù)b的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)，進(jìn)而得到a,b的大小關(guān)系，最后再判斷b和2的大小關(guān)系，最終得到答案.【詳解】.構(gòu)造函數(shù)：，易知函數(shù)是R上的減函數(shù)，且，由，可知：，又，∴，則a>b.又∵，∴a>b>2故選：D.【點(diǎn)睛】對(duì)數(shù)函數(shù)式比較大小通常借助中間量，除了0和1之外，其它的中間量需要根據(jù)題目進(jìn)行分析，中間會(huì)用到指對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和放縮法；另外，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小是比較常用的一種方法，需要我們對(duì)式子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行仔細(xì)分析，平常注意歸納總結(jié).12、C【解析】易知為非奇非偶函數(shù)，故排除選項(xiàng)A，因?yàn)椋?，故排除選項(xiàng)B、D，而在定義域上既是奇函數(shù)又是單調(diào)遞增函數(shù).故選C.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】先利用已知求出的值，再求點(diǎn)D的坐標(biāo).【詳解】由圖像可知，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，所以，即.因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖像上，所以，.因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖像上，所以.又因?yàn)?，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)、對(duì)數(shù)和冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.14、【解析】根據(jù)偶函數(shù)定義求解【詳解】由題意恒成立，即，恒成立，所以故答案為：15、【解析】利用誘導(dǎo)公式，兩角和與差余弦公式、同角間的三角函數(shù)關(guān)系得，得均為銳角，設(shè)邊上的高為，由表示出，利用基本不等式求得的最大值，即可得三角形面積最大值【詳解】中，，所以，整理得，即，所以均為銳角，作于，如圖，記，則，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立．所以，的最大值為故答案為：16、.【解析】結(jié)合定義域由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可解得結(jié)果.【詳解】由得定義域?yàn)?，令，則在單調(diào)遞減，又在單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）奇函數(shù)，證明見解析（2）單調(diào)遞增函數(shù)，證明見解析（3）【解析】（1）根據(jù)奇偶性的定義證明可得答案；（2）根據(jù)單調(diào)性定義，通過取值作差判斷符號(hào)即可證明；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得，解不等式即可【小問1詳解】證明：，，所以為奇函數(shù).【小問2詳解】函數(shù)在上為增函數(shù).證明：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，任取，且，則，∵，∴，∴，∴，即，∴∴函數(shù)在上為增函數(shù).【小問3詳解】因?yàn)椋裕桑?）知函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，∴的取值范圍是.18、（1）﹣1；（2）0≤t；（3）m≤﹣3或m≥3【解析】（1）由二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求解.（2）采用換元把方程化為t2﹣（2+2k）t+1＝0在[1，2]上有解，然后再分離參數(shù)法，化為t與2+2k在[1，2]上有交點(diǎn)即可求解.（3）求出|f（x1）﹣f（x2）|max＜1，把問題轉(zhuǎn)化為1≤m2﹣2mp﹣2恒成立，研究關(guān)于的函數(shù)h（p）＝﹣2mp+m2﹣3，使其最小值大于零即可.【詳解】（1）函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+1+a對(duì)稱軸為x＝1，所以區(qū)間[1，2]上f（x）min＝f（1）＝a，由根據(jù)題意函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+1+a在區(qū)間[1，2]上有最小值﹣1所以a＝﹣1（2）由（1）知f（x）＝x2﹣2x，若關(guān)于x的方程f（log2x）+1﹣2k?log2x＝0在[2，4]上有解，令t＝log2x，t∈[1，2]則f（t）+1﹣2kt＝0，即t2﹣（2+2k）t+1＝0在[1，2]上有解，t2+2k在[1，2]上有解，令函數(shù)g（t）＝t，在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增所以g（1）≤2+2k≤g（2），即2≤2+2t，解得0≤t（3）若對(duì)任意的x1，x2∈（1，2]，|f（x1）﹣f（x2）|max＜1，若對(duì)任意的x1，x2∈（1，2]，任意的p∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤m2﹣2mp﹣2成立，則1≤m2﹣2mp﹣2，即m2﹣2mp﹣3≥0，令h（p）＝﹣2mp+m2﹣3，所以h（﹣1）＝2m+m2﹣3≥0，且h（1）＝﹣2m+m2﹣3≥0，解得m≤﹣3或m≥3【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、函數(shù)與方程以及不等式恒成立問題，綜合性比較強(qiáng)，需有較強(qiáng)的邏輯推理能力，屬于難題.19、（1）；（2）見解析.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，則，可得，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，即可證得函數(shù)的單調(diào)性，得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，則，可得，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，所以函數(shù)的解析式為.（2）函數(shù)在單調(diào)遞增函數(shù).證明：設(shè)，則因?yàn)椋运?，即故在為單調(diào)遞增函數(shù)【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)的解析式，以及函數(shù)的單調(diào)性的判定與證明，其中解答中熟記函數(shù)的單調(diào)性的定義，以及熟練應(yīng)用的函數(shù)的奇偶性是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）為奇函數(shù)，證明見解析（2）【解析】（1）由奇偶性定義直接判斷即可；（2）化簡函數(shù)得到，由此可知在上單調(diào)遞增；利用奇偶性可化簡所求不等式為，利用單調(diào)性解不等式即可.【小問1詳解】為奇函數(shù)，證明如下：定義域，，為定義在上的奇函數(shù).【小問2詳解】，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；由（1）知：，，，，即，，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.21、（1）；（2）在上單調(diào)遞增，證明見解析；（3）.【解析】（1）由奇函數(shù)的定義有，可求得的值，又由，可得的值，從而即可得函數(shù)的解析式；（2）任取，，且，由函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；（3）由（2）知在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以在上也單調(diào)遞增，又，從而利用單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，定義域?yàn)?，所以，即，所以，又，所以，所以；【小?詳解】解：在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，，且，則，又，，且，所以，，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增；【小問3詳解】解：由（2）知在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以在上也單調(diào)遞增，令，解得或因?yàn)?，且，所以，所以，解得，又，所以原不等式的解集?22、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，證明出，從而得出，然后利用向量