五章節(jié)四章節(jié)時(shí)

第五章三角函數(shù)第四課時(shí)兩角和與差、二倍角的三角函數(shù)公式考綱要求1.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式．2.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式．3.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.知識(shí)梳理一、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝________(簡(jiǎn)記為：S(α±β))cos(α±β)＝________(簡(jiǎn)記為：C(α±β))tan(α±β)＝________(簡(jiǎn)記為：T(α±β))二、二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝________(簡(jiǎn)記為：S2α)cos2α＝________＝________＝________(簡(jiǎn)記為：C2α)tan2α＝________(簡(jiǎn)記為：T2α)三、二倍角余弦公式的變式四、輔助角公式asin

x＋bcos

x＝sin(其中

角所在的象限由a,b的符號(hào)確定，

角的值由tan

＝確定)．答案：基礎(chǔ)自測(cè)1．(2010年廣州一模)已知sinα＝，則cos2α的值為(

)2．(2010年全國(guó)卷Ⅱ)已知sinα＝，則cos(π－2α)＝(

)C3．(2010年全國(guó)卷Ⅰ)已知α為第二象限的角，sinα＝，則tan2α＝______________.4．(2011年珠海斗門區(qū)檢測(cè))cos43°cos77°＋sin43°cos167°的值為________．2．解析：答案：B3．解析：因?yàn)棣翞榈诙笙薜慕牵襰inα＝，所以cos

α＝－，tanα＝＝－，所tan2α＝＝－.答案：4．－已知sinα＝，α∈，(1)求sin，cos

，tan的值；(2)求sin2α，cos2α，tan2α的值．思路分析：由題設(shè)，需先求出cos

α的值，再運(yùn)用和、差角、二倍角公式．解析：變式探究1．(2010年梅州中學(xué)月考)sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于(

)2．(2010年桂林模擬)下列各式中，值為的是(

)A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°－1D．sin215°＋cos215°1．解析：sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin215°＋cos215°＝1.答案：D2．解析：cos215°－sin215°＝cos30°＝.答案：B已知0<β<<α<π，且cos

＝－，Sin＝，求cos(α＋β)的值．思路分析：(1)和、差、倍角公式及平方關(guān)系的正用、逆用．

(2)角的變換．解析：點(diǎn)評(píng)：在解答有條件限制的求值問題時(shí)，要善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系，一般方法是配角與拆角，如2α＝＋，2β＝－，2α＋β＝2－β，2α－β＝2＋β，α＝－β，α＝＋β，β＝－α，β＝－＋α等．變角主要是將所求角轉(zhuǎn)化為同角、特殊角、已知角或它們的和、差、兩倍、一半等；注意角的范圍對(duì)函數(shù)值的影響．變式探究3．(2010年?？谀M)若cos

＝，cos(α＋β)＝－，<α＋β<2π，<α－β<π，則sin2β＝________.4．(2010年銀川模擬)已知α為第二象限的角，sinα＝，β為第一象限的角，cos

β＝.則tan(2α－β)的值________．5．(2010年廣州二模)已知sinα＝，α∈，tanβ＝.(1)求tanα的值；(2)求tan(α＋2β)的值．3．解析：答案：04．解析：α為第二象限的角，β為第一象限的角，所以答案：5．解析：計(jì)算：tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°.思路分析：注意將公式變形來用．如將公式變形為tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanα·tan

β)來用．解析：tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)＋tan20°tan40°＝.點(diǎn)評(píng)：不僅對(duì)公式的正用、逆用要熟悉，而且對(duì)公式的變形應(yīng)用也要熟悉．6．(2010年廣大附中月考)已知α，β∈(0，π)，tan(α－β)＝，tanβ＝－，則2α－β的值是________．7．(1＋tan25°)(1＋tan20°)的值是(

)A．－2B．2C．1D．－1解析：(1＋tan25°)(1＋tan20°)＝1＋tan25°＋tan20°＋tan25°tan20°＝1＋tan(25°＋20°)(1－tan25°tan20°)＋tan25°tan20°＝1＋1－tan25°tan20°＋tan25°tan20°＝2.答案：B變式探究

(2010年三明模擬)已知函數(shù)f(x)＝cos2x＋sinxcos

x(x∈R)．(1)求f的值；(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．思路分析：本題主要考查三角函數(shù)的倍角公式、和角公式，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查理解能力和運(yùn)算能力．解析：點(diǎn)評(píng)：在(1)的解法中，運(yùn)用了二倍角的正、余弦公式，還引入了輔助角，技巧性較強(qiáng)．值得強(qiáng)調(diào)的是：輔助角公式asin

α＋bcos

α＝在歷年高考中使用頻率是相當(dāng)高的，幾乎年年使用到、考查到，應(yīng)特別加以關(guān)注．變式探究8．(2010年杭州檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝sinx＋sin，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最大值和最小值及相應(yīng)的x的集合；(3)若f(α)＝，求sin的值．解析：1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式的關(guān)系2．兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角的三角函數(shù)是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，同時(shí)也是三角部分中后繼學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是多數(shù)考生得分的主要得分點(diǎn)之一．在復(fù)習(xí)兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)不僅對(duì)公式的正用、逆用要熟悉，而且對(duì)公式的變形應(yīng)用也要熟悉；(2)善于拆角、配角，如α＝－β，2α＝＋，2α＋β＝＋α等；(3)注意倍角的相對(duì)性；(4)要時(shí)時(shí)注意角的范圍；(5)熟悉常用的方法與技巧，如切化弦，異名化同名，異角化同角等．3．三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)．即首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心；第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇保坏谌^察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)．基本的技巧有：(1)巧變角(已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換．如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，(2)三角函數(shù)名互化(切弦互化)．(3)公式變形使用(如將

變形為tanα±tanβ＝

來使用)．(4)三角函數(shù)次數(shù)的降升4．輔助角公式：asin

x＋bcos

x＝sin(其中

角所在的象限由a，b的符號(hào)確定，角的值由tan

＝確定)在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作用．1．(2010年福建卷)計(jì)算sin43°cos13°－cos43°sin13°的值等于(

)解析：原式＝sin(43°－13°)＝sin30°＝，故選A.答案：A解析：∵α為第三象限的角，∴2kπ＋π＜α＜2kπ＋(k∈Z)，∴4kπ＋2π＜2