遼寧省營(yíng)口地區(qū)2022-2023學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題含答案

遼寧省營(yíng)口地區(qū)2022-2023學(xué)年高

二上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

L答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在

答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后.將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內(nèi)容:人教B版必修第三冊(cè)第8章,選擇性必修第一冊(cè)第1章

至1.1.3占40%,必修第四冊(cè)第9,10,11章占60%。

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.已知z=(4+3i)(2+i),則Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知向量α,b滿足Ial=I,|6|=乃,且α,b的夾角為30°,則|a—2b∣=

A,√3B.7C.√7D.3

3.在《九章算術(shù)》中?將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”，已知某“塹堵”的底面是斜邊

長(zhǎng)為2的等腰直角三角形,高為2,則該“塹堵”的表面積為

A.2√2+2B.2√2+3

C.4√2+4D.4√2+6

4.如圖,在四面體OABC中,CX=α,仍=b,K=c,G為aABC的重心,P為

OG的中點(diǎn),則#=

?.—∣^α—γc

11,1

Bu.^τ^α—gb-—c

633

【高二數(shù)學(xué)第1頁(yè)(共4頁(yè))】?23-19B?

6.如圖.有一古塔,在A點(diǎn)測(cè)得塔底位于北偏東60°方向上的點(diǎn)。處.

塔頂C的仰角為30°,在A的正東方向且距D點(diǎn)60m的B點(diǎn)測(cè)得

塔底位于北偏西45°方向上(A,B,D在同一水平面)，則塔的高度

CD約為(參考數(shù)據(jù):"七2.4)

A.38mB.44m

C.40mD.48m

7.我國(guó)歷史文化悠久,“爰”銅方彝是商代后期的一件文物,其蓋似四阿式屋頂,

蓋為子口，器為母口，器口成長(zhǎng)方形,平沿,器身自口部向下略內(nèi)收,平底、長(zhǎng)

方形足、器內(nèi)底中部及蓋內(nèi)均鑄一“爰”字.通高24Cm,口長(zhǎng)13.5cm,口寬

12cm,底長(zhǎng)12.5Cm,底寬10.5cm.現(xiàn)估算其體積,上部分可以看作四棱錐,

高約8cm,下部分看作臺(tái)體，則其體積約為(參考數(shù)據(jù)：∕13Γ25≈11.5,

√162?12.7）

?.7460.8cmiB.871.3cm3C.1735.3cm3D.2774.9cm3

8.已知角A,B,C是aABC（非直角三角形）的三個(gè)內(nèi)角,京+&+^C=0,且曰?G^=0,BC

=2,則詈里+嗎=

tanCtan13

A.?B.C.?D?

二、選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得()分.

9.已知向量Q=(I,—1,0),b=(—1,0,1),c=(2,—3,1),則

A.?a~b?=6B.(α+2fr)?(fc÷c)=6

C.(α+5fr)±cD.α∕∕(?-c)

10.已知〃是兩條不同的直線,a,S是兩個(gè)不同的平面,則下列說(shuō)法不正確的是

A.若,則m//βB.若77〃°,?！?,則〃〃￡

C.若〃〃a,Q_L￡,則LSD.若/,a〃/?,則LS

IL在4ABC中.內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,∕>,c.若a=2√∑方=H,cosA=q,則

?5

A.ΔABC外接圓的半徑為∣?

B.AABC外接圓的半徑為3

C.c=√6

D.c=2√2

12.已知復(fù)數(shù)次滿足W+2知11=0,復(fù)數(shù)Q滿足|助十2|=√Σ,則ZLQI的值可能為

A.1B.√2C.2D.4√2

三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.

13.-2i+3的共匏復(fù)數(shù)為▲.

1—3SinQCoSa—

14.已知sinQ=3COSa，則

2cos2a+4

【高二數(shù)學(xué)第2頁(yè)(共4頁(yè))】?23—19B?

15.已知點(diǎn)P在aAEC所在平面內(nèi),O為空間中任一點(diǎn),若彷=/示+看迎+了灰,則了=

▲.

16.已知向量池=(5,8),枳=?！?9),(方=(3,—2).寫(xiě)出”的一個(gè)值：▲使得亂

，資,此時(shí)|亂|=▲.(本題第一空3分,第二空2分)

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)

已知A(-1,2,D,B(-1,5,4),C(1,3,4).

(D求反〉；

(2)求衣在冠上投影的數(shù)量.

18.(12分)

在aABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為α",c.已知c=2痣，且當(dāng)吟^^'=

Sin13+sinA

cosA-cosC,

(1)求角C的大??；

(2)若D為AB的中點(diǎn),且CD=√Σ,求AABC的周長(zhǎng).

19.(12分)

如圖，在三棱柱ABC-ABICl中,AAi_L平面ABC',八B=BC=AC,AA∣=2AB,D是BC的

中點(diǎn).

(1)證明:A由〃平面ACD

(2)求直線AC與平面AGD所成角的正弦值.

【高二數(shù)學(xué)第3頁(yè)(共4頁(yè))】?23-19B?

20.（12分）

已知銳角AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為α",c,以a,。,C為邊長(zhǎng)的三個(gè)正方形的面積

依次為Sl5,Ss,且S1÷S2-S3=a6.

⑴求C；

（2）若c=√3,求S&時(shí)的取值范圍.

21.(12分)

在4ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是aAC,且a<b<c,cosB=§,cos(2A+O=一整.

??5

(1)求cos(A+C)；

(2)求sin2A.

22.（12分）

如圖,在直角梯形ABCD中,AB，AD,AD〃BC,AB=AD=/BC=2,沿對(duì)角線BD將

AABD折至AA'BD的位置,記二面角A,-BD-C的平面角為仇

（D當(dāng)6=90°時(shí),求三棱錐A'—BCD的體積；

（2）若E為BC的中點(diǎn)，當(dāng)6=120°時(shí),求二面角Λ,-DE-B的正弦值.

【高二數(shù)學(xué)第4頁(yè)（共4頁(yè)）】?23-19B?

高二考試數(shù)學(xué)試卷參考答案

1.?因?yàn)橹?(4+3i)(2+i)=5+10i,所以N在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.

2.C?a~2b?=J(a-2b),=?/a2-4a?^÷4h2=".

3.DSs=(2√2+2)×2+2×y×√2×√2=4√2+6.

4.C因?yàn)镚為AABC的重心,所以冗=?(屈+充)=y(θE-θX+θt-O^)=~(b+c~2a).

因?yàn)镻為OG的中點(diǎn),所以蘇=?/)+充)=-J?a+4^O+4^c?

Zbob

5.B在ZVkRC中，由A'B"=C，A'2+CB'2—2C'A'-CfB,?cos冷，得4=4+CE?所以C'B'

=2√2,?ΔABC的面積為+X2X4√Σ=4√Σ.

6.D如圖，根據(jù)題意,CD_L平面ABD,NCAD=30°,NBAD=30°,NABD=45°,C

BD=60m.∕?

-≠-?Ann+En/3D_ADmI、r60_AD/:?

在ZVkBDC'因?yàn)镾inNBAD一sin/ABD'所以sin30°=sin45°'>/[D\

所以AD=60√Σm.在RtAACD中，CD=AD?tan3O°=6O√2×^y=20√6≈?=.''?

48m.

3

7.D因?yàn)椋?^?(SL+SF+/Si：?S下歷=?∣√162+131.25+/162X131.25)X16=2342.9cm,Vw=

3

ySA=-∣-×162X8=432Cm,所以V=Vft+Vtt=2774.9cm.

8.C取BC的中點(diǎn)M,連接GM(圖略)，因?yàn)轲W+GS+Gt=O,所以點(diǎn)G是AABC的重心.所以就=十證.

以M為原點(diǎn)，BC為才軸建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)C(-1,0),B(1,0),因?yàn)榍?黃=O,所以可設(shè)

G(cosO,Sin6),則A(3cosO,3sind).因?yàn)閠anB=1?占，tanC=y?嗎,則康+彘=就.因?yàn)?/p>

tanA=tan(n-B-C)=—1^22^^=邛,所以當(dāng)+$=(4+占)?tanA=3X

1-tanntanC4tanCtan13tanCtan133sm0

3sin9_1

-2-

9.BCD因?yàn)椤?(1,-1,0).8=(-1,0,1),所以α-b=(2,-l,-1),所以∣α-"=√22+(-l)2+(-l)2=

歷,故A錯(cuò)誤；

因?yàn)閍+28=(-l,-l,2),b+c=(l,—3,2),所以(a+2b)?(b+c)=6.故B正確;

因?yàn)椤?58=(—4,-1,5),所以(。+5力?c=-4X2+(-DX(-3)+5Xl=0,故C正確；

因?yàn)閎—C=(—3,3,0),a=(l,—1,0),所以b—c=-3a,所以a//(b-c),故D正確.

10.ABC若a,a_L0,則m∕∕β或故A不正確；

若〃〃a，a〃仇則〃〃3或〃Uf,故B不正確；

若〃〃a,a_L3,則n，B相交或〃〃8或〃U⑶故C不正確；

若La,根〃明?！ǔ饎t〃_!_￡,故DiE確.

11.AC因?yàn)镃oSA=4,所以SinA=/l—cos3=零.設(shè)AABC外接圓的半徑為R,則2R=3=3,所

o?sinZi

以aABC外接圓的半徑為得.由=?=W‰=3,得sinB=*.因?yàn)閍>〃,所以cosB=√1-sin2B=^.

ZsinDsinDe3

【高二數(shù)學(xué)?參考答案第1頁(yè)（共5頁(yè)）】?23-19B?

因?yàn)閏osC=-COS(A+8),所以CoSC=零xg-f?xg=g,所以B=C,則c=6=病.

222

12.ABC令Z,=α+Z>i(α.Z>∈R),代入z?+2∣zl|=0,得a~lr+2√a+6+2a6i=0,

卜2_〃+2"T盾=0,解得Q=O,α=0,α=0,

由或或

?2ab=Q,6=0b=2b=~2y

故21=O或Nl=2i或N]=—2i.

設(shè)Z2=?r+yi(?τ,y∈R),則∣?+21=I(Z+2)+yi∣=√z(j'+2)2+y=Λ∕2.

G'÷2)2÷y=2表示以(一2,0)為圓心,√Σ為半徑的圓.

當(dāng)N=O時(shí),㈤一之2|=|之21，可理解為圓(1+2)2+32=2上的點(diǎn)(彳r)與(0,0)之間的距離,此時(shí)|之2|€

[2—∕Σ,2~K∕Σ[;

當(dāng)Zi=2i時(shí)，|為一Z21=IN2—2i∣,可理解為圓Cr+2￥+y=2上的點(diǎn)Cr,y)與(0,2)之間的距離,此時(shí)?zi-z2\

=k2-2i∣∈[√2,3√2];

當(dāng).=—2i時(shí)，|廿一22|=陷+2“，可理解為圓(“+2)2+?2=2上的點(diǎn)(70)與(0,—2)之間的距離，此時(shí)

ff

12j~z21=∣?÷2i∣∈[√2,3√2].

故∣Z]一物I∈[2—√r2,3√^].

13.3+2i互為共輾復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)實(shí)部相等?虛部相反.

14.?因?yàn)镾inα=3cosα,所以tanα=3,

.∣∣l∣1—3Sinacosa_sin,α+COea-3Sinacosa_sir?a十COea-3Sinacosa__Sin'α+cos%-3κinαcosa_

2cos2α+42(2cos2α—1)+44cos2a÷22sin2α+6cos2a

tan。+1-3Iana=9+1—9—1

2tan2α+62X9+6-,

15?因?yàn)镈P=』9+4^仍+?rδf=4√9—設(shè))+?∣√至一戊)+(工+?)&",所以序=《西+

06?Z?OL

告國(guó)+(LV)/因?yàn)镻.A.B,C四點(diǎn)共面,。具有任意性,所以L卷=0,故L卷

16.一2；5g或4；7笈(寫(xiě)出一組答案即可)因?yàn)闊o(wú)5_1_比,所以九5?或=0.

因?yàn)槌?Ze+CB=("/,9)+(3,-2)=(切+3,7),

或=充一屈=(加，9)-(5,8)=(w-5,l),

所以A方?^^5=(,n+3)("i-5)+7=加2—2，“-8=0.所以rn=~2或rn=4.

當(dāng)w=-2B-1,Λt)=(l,7),∣Aδ∣=√50=5√2;

當(dāng)w=4H?,Jβ=(7,7).∣At)∣=√98==7√2.

17.解：(1)因?yàn)锳(—1,2.1),8(-1,5,4),C(1.3,4),

所以址=(0,3,3),或=(2,-2,0)......................................................................................................1分

因?yàn)槔?B^=0×2+(-2)×3+0×3=-6.?AH?=3√2,∣βt'∣=2√2,...............................................3分

所以8S毋兩="=0=/，..........................................

4分

故(屈,黃)=孕..........................................................................

5分

(2)因?yàn)槌?(2,1,3).屈=(0,3,3),

所以充?屈=0+1X3+3X3=12............................................................................................................7分

因?yàn)镮屈∣=3√∑,所以充在油上投影的數(shù)量為2?*=-?=2√Σ................................................

10分

IABI3√2

18.解:⑴因?yàn)槲ⅰ?浮C=SinB+sinA

cosA-cosC

【高二數(shù)學(xué)?參考答案第2頁(yè)(共5頁(yè))】?23-19B?

所以(CoSA+cosC)(cosA—cosC)=SinB(SinB+sinA),...................................................................1分

βFf∣<Zcos2A-cos2C=(l-sin2A)-(1—sin2C)=sin2B+sinAsinB........................................................2分

所以一sin2八+sin?C=sin2B+sinAsinB.

結(jié)合正弦定理可得―/+c2=62+α仇即/+〃一°?=一/,.....................................4分

所以c°sC=?≥i=-/...................................................................................................................5分

因?yàn)镃e(O,κ),所以C=?E........................................................................................................................6分

(2)因?yàn)?+準(zhǔn)=26,所以(球+E)2=4亦，............................................7分

2

所以西2+曰2+2建?Cδ=4曲,所以6+α?+2&Z)COS與=8,

即〃+/一仍=8,...........................................................................................................................................9分

因?yàn)?+〃一∕=-&Z),c=2點(diǎn),所以R,=2............................................................................................10分

因?yàn)棣罿+∕=-M+∕=10,所以(α+Z()Z=I4,所以α+D=/14.

故AABC的周長(zhǎng)為711+2Q....................................................................................................................12分

19.(1)證明：如圖,連接AC交AG于點(diǎn)O,連接OD,則O為Ay的中點(diǎn).C4,

因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，

所以O(shè)D∕∕AlB................................................................................................................4分W''K

因?yàn)锳lBU平面AC,DQDU平面AGD，C儂也汐

所以AlB〃平面AGD...................................................................................................6分DB

⑵解:過(guò)C作CE_LQD于點(diǎn)E,連接AE.

因?yàn)锳ABC是等邊三角形,且D是BC的中點(diǎn),所以ADJ_BC.

因?yàn)锳A_L平面ABC,所以CC_L平面ABC,即CGJ_AD,故ADJ_平面BCC1Bl.

因?yàn)锳DU平面AGD,所以平面AGlxL平面BCGB............................................................................7分

因?yàn)镃EU平面BCC1B∣,平面AClDrl平面BCC∣B,=C1D,

所以CEJ_平面AGD,...................................................................................................................................8分

所以NCAE是AC與平面AClD所成的角.

設(shè)CD=yBC=a,CC1=4α,則GD=Y↑7a.

因?yàn)镃E=Cy?∣fD=^?=4弋a(chǎn)、...................................................................................................10分

z

C∣D√17a17

4/T7α

附”-…_CE_17_2JTY

所以SInNCAL-Aei—富,

故直線AC與平面AGD所成角的正弦值為號(hào)娶...........................................12分

222

20.解：(1)由題意得S1÷S2-S3=a÷6~c=ab,...........................................................................................1分

I1I1I廠_。2+/-(.2_1

則cosC=-痂=T-...........................................................................................................................3分

因?yàn)?<C<}.所以C=字...............................................................4分

(2)因?yàn)镃=網(wǎng),C=^^■.且Aa=—=2,

3si.n“A=s?nBsinC.π

s'nT

所以a=2sinA,0=2sinB,...........................................................................................................................6分

【高二數(shù)學(xué)?參考答案第3頁(yè)（共5頁(yè)）】?23-19B?

所以S,ΛBC'=-ya6sin?=^-ab=?J^sinAsinB=點(diǎn)SinASin(孕一A)=

Δ分

Z?54J8

因?yàn)锳ABC是銳角三角形,

10分

故S的取值范圍是(亨.......................................................12分

21.解：(1)因?yàn)镃oSB=g,A+B+C=π....................................................................................................1分

所以COS(A+C)=COS(K-B)=-COSB=一g....................................................................................2分

(2)因?yàn)锳<B<C,A+B+C=n,

所以O(shè)VA<B<},A+C>},0V2A+CVa........................................................................................3分

因?yàn)閏osB=g,所以SinB=g,

所以Sin(A+O=Sin(LB)=整........................................................4分

?5

因?yàn)镃OS(2A+C)=一號(hào)，所以sin(2A+C)=g,...................................................................................6分

所以cosA=cosC(2A÷C)~(A÷C)J

=cos(2A+C)cos(A+C)÷sin(2A+C)sin(A÷C)...............................................................................8分

=一百義(一停)+gx停=挈.....................................................10分

因?yàn)镃OSA>0,所以SinA=4，..............................................................................................................11分

故sin2A=2sinACOSA=^^...............................................................................................................12分

22.解：(1)當(dāng)，=90°時(shí),平面A'BDJ_平面BCD4'

在直角梯形ABCD中,BD=CD=2√Σ,所以BD2+CD2=BC2,/除、

所以CnBD,................................