高二數(shù)學(xué)寒假講義練習(xí)（人教B用 選擇性必修一）第01講 空間向量與立體幾何(教師卷)

第01講空間向量與立體幾何【易錯點(diǎn)總結(jié)】1.空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量相等向量大小相等、方向相同的向量相反向量大小相等、方向相反的向量共線向量(或平行向量)如果兩個非零向量的方向相同或者相反，則稱這兩個向量平行(或共線)共面向量空間中的多個向量，如果表示它們的有向線段通過平移后，都能在同一平面內(nèi)，則稱這些向量共面2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：如果a≠0且b∥a，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，則向量a，b，c共面的充要條件是，存在唯一的實(shí)數(shù)對(x，y)，使c＝xa＋yb.由共面向量定理可得判斷空間中四點(diǎn)是否共面的方法：如果A，B，C三點(diǎn)不共線，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件是，存在唯一的實(shí)數(shù)對(x，y)，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).(3)空間向量基本定理：如果空間中的三個向量a，b，c不共面，那么對空間中的任意一個向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}稱為空間向量的一組基底.3.空間向量的數(shù)量積(1)兩向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.(2)兩向量的數(shù)量積：非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.4.空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；(2)交換律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·bx1x2＋y1y2＋z1z2共線b＝λa(a≠0，λ∈R)x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)x1x2＋y1y2＋z1z2＝0模|a|eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,1))夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)＋zeq\o\al(2,2)))6.直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：如果l是空間中的一條直線，v是空間中的一個非零向量，且表示v的有向線段所在的直線與l平行或重合，則稱v為直線l的一個方向向量.(2)平面的法向量：如果α是空間中的一個平面，n是空間的一個非零向量，且表示n的有向線段所在的直線與平面α垂直，則稱n為平面α的一個法向量，此時也稱n與平面α垂直，記作n⊥α.7.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為v1，v2l1∥l2v1∥v2?v1＝λv2l1⊥l2v1⊥v2?v1·v2＝0直線l的方向向量為v，平面α的法向量為nl∥αv⊥n?v·n＝0l⊥αv∥n?n＝λv平面α，β的法向量分別為n1，n2α∥βn1∥n2?n1＝λn2α⊥βn1⊥n2?n1·n2＝01.在平面中A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn).2.在空間中P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間任意一點(diǎn).【重難點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：空間向量及其運(yùn)算1．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）．A．4 B． C．2 D．【答案】A【詳解】解：因?yàn)?，，且，所以，解?故選：A2．如圖，在四面體中，是的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：，，．故選：B．3．已知向量，，且與互相平行，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，則，解得，故選：D4．如圖，在空間四邊形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)镋、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，所以，.故選：C5．已知矩形ABCD，AB＝1，BC，沿對角線AC將△ABC折起，若平面ABC與平面ACD所成角的余弦值為，則B與D之間距離為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】過B和D分別作BE⊥AC，DF⊥AC，∵AB＝1，BC，∴AC＝2，∵，∴BE＝DF，則AE＝CF，即EF＝2﹣1＝1，∵平面ABC與平面ACD所成角的余弦值為，∴，∵，∴，則||，即B與D之間距離為，故選：C．考點(diǎn)二：空間向量在立體幾何中的應(yīng)用6．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且是的方向向量，則點(diǎn)到的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題設(shè)，則，所以，而，故到l的距離為.故選：C7．若直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則直線與平面的位置關(guān)系是（

）A．垂直 B．平行C．相交但不垂直 D．平行或線在面內(nèi)【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以與共線，直線與平面垂直.故選：A.8．正四棱錐中，O為頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且，則直線BC與平面PAC的夾角是(

)A．60° B．45° C．30° D．75°【答案】C【詳解】如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)S為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a，則，則，，,設(shè)平面PAC的一個法向量為，則即，令，則，所以，∴，設(shè)直線BC與平面PAC的夾角為，∴直線BC與平面PAC的夾角的正弦值為，∴直線BC與平面PAC的夾角為故選：C9．正方體中，二面角的平面角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】連接，取中點(diǎn)O連接.由，則且,則，故即為二面角的平面角.不妨設(shè)正方體的邊長為1，則在中，在中，則.又，故可得：.故選：D.10．如圖，圓臺的軸截面ABCD為等腰梯形，，E為弧AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為母線BC的中點(diǎn)，則異面直線AC和EF所成角的正切值為（

）A． B． C． D．2【答案】C【詳解】設(shè)圓臺的上底面圓心為，下底面圓心為，則，連接，因?yàn)槭腔B的中點(diǎn)，所以，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)異面直線AC和EF所成角為，所以，可得.故選：C.【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解析：故選:.2．若向量，，則（

）A． B．4 C．5 D．【答案】D【詳解】解析：由題意，得，.故選：D.3．已知空間向量，，且與垂直，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由已知可得，解得.故選：A.4．已知，，且，則的值是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【詳解】解：因?yàn)椋?，且，所以，解得；故選：B5．如圖，空間四邊形中，，，，且，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意知，故選：C.6．向量，，若，則（

）A． B．，C．， D．，【答案】C【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且，則設(shè)，即，則有，則，，解得，，故選：C7．已知正四面體ABCD，M為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，則直線BN與直線DM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)該正面體的棱長為，因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，所以，因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，所以有，，根據(jù)異面直線所成角的定義可知直線BN與直線DM所成角的余弦值為，故選：B8．正四棱錐中，O為頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且，則直線BC與平面PAC的夾角是(

)A．60° B．45° C．30° D．75°【答案】C【詳解】如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)S為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a，則，則，，,設(shè)平面PAC的一個法向量為，則即，令，則，所以，∴，設(shè)直線BC與平面PAC的夾角為，∴直線BC與平面PAC的夾角的正弦值為，∴直線BC與平面PAC的夾角為故選：C二、多選題9．已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量為【答案】ABD【詳解】因?yàn)樗?，所以，A正確；因?yàn)椋?，所以B正確；，因?yàn)椋耘c不平行，故C錯誤；在上的投影，與同向的單位向量為，所以在上的投影向量為，D正確.故選：ABD10．如圖，在棱長為1的正方體中（

）A．與的夾角為 B．二面角的平面角的正切值為C．與平面所成角的正切值 D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】BCD【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，∴，，即，與的夾角為，故A錯誤；設(shè)平面的法向量為，，所以，令，則，平面的法向量可取，二面角的平面角為，則，所以，故B正確；因?yàn)椋O(shè)與平面所成角為，則，故C正確；因?yàn)椋O(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題11．如圖，空間四邊形中，，，，且，，則____________．【答案】【詳解】如圖，因?yàn)?，，所以，，又因?yàn)?，，，所?故答案為：.12．在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，向量分別為異面直線方向向量，則異面直線所成角的余弦值為___________.【答案】【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍為，所以異面直線所成角的余弦值為.故答案為：四、解答題13．已知空間三點(diǎn)，，．設(shè)，．(1)求，；(2)求與的夾角；(3)若向量與互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】(1)，(2)(3)【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，所?所以；因?yàn)?，，所以，所以；?）解：由（1）可知，又，所以，即與的夾角為.（3）解：由（1）可知，，又向量與互相垂直，所以，所以，即，解得.14．如圖在邊長是2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)．（1）求異面直線EF與所成角的大小．（2）證明：平面．【答案】（1）；（2）證明見解析．【詳解】據(jù)題意，建立如圖坐標(biāo)系．于是：，，，，，∴，，，．（1），∴∴異面直線EF和所成的角為．（2）∴，即，∴即．又∵，平面且∴平面．15．如圖，在四棱錐中，底面四邊形為直角梯形，，，，，，.(1)求證：平面平面；(2)求平面和平面的夾角大小.【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）如圖，過作于.由題意可知，在直角梯形中，，，，所以，.又，，所以，所以.因?yàn)椋?，面，所以?因?yàn)槊?，所以面面；?）由（1）可知，，，兩兩垂直，故可以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.易知，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則令，則，，即，設(shè)平面的法向量為，則令，則，，即，所以，即平面和平面的夾角為.【能力提升】一、單選題1．已知，則的最小值（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題可知，，故，即的最小值.故選：B.2．在正四面體中，F(xiàn)是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意，結(jié)合圖形可得，．故選：A.3．空間四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線，若為該平面外一點(diǎn)且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：因?yàn)榭臻g，，，四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線，則可設(shè)，又點(diǎn)在平面外，則，即，則，又，所以，解得，，故選：C．4．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．6【答案】C【詳解】由題意，，，的方向向量，，則點(diǎn)到直線的距離為.故選：C.5．已知空間向量，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意，空間向量，，，可得，則.故選：A.二、填空題6．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為______．【答案】【詳解】如圖所示，設(shè)分別為和的中點(diǎn)，可得，，且，所以異面直線與所成角即為直線與所成的角，作的中點(diǎn)為，則為直角三角形，因?yàn)椋谥?，由余弦定理可得，所以，所以，在中，，在中，可得，又因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是，所以與所成的角的余弦值為.故答案為：.7．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，書中將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如下圖，四面體P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且，則二面角A-PC-B的余弦值為__________．【答案】##【詳解】依據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：，，，，所以，，，.設(shè)平面APC的法向量為，∴不妨設(shè)，則，設(shè)平面PBC的法向量為，∴不妨設(shè)，則，，設(shè)為，則.故答案為：三、解答題8．四邊形ABCD是平行四邊形，，四邊形ABEF是梯形，，且，，，平面平面．(1)求證：；(2)求直線EC與平面EFD所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)（1）證明：因?yàn)?，，，由余弦定理?/p>