高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 4.4 解三角形精練-人教版高三數(shù)學(xué)試題

4.4解三角形挖命題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)1.正弦、余弦定理的應(yīng)用1.理解正弦定理與余弦定理的推導(dǎo)過程2.掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題2016天津,3利用余弦定理解三角形★★★2015天津,13利用余弦定理解三角形三角形面積公式2014天津,122014天津文,16正弦定理、余弦定理2.解三角形的綜合應(yīng)用能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實(shí)際問題2018天津,152017天津,15利用正弦定理、余弦定理解三角形三角恒等變換★★★分析解讀1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面幾何圖形中有關(guān)量的問題時,需要綜合應(yīng)用兩個定理及三角形有關(guān)知識.2.正弦定理和余弦定理應(yīng)用比較廣泛,也比較靈活,在高考中常與面積或取值范圍結(jié)合進(jìn)行考查.3.利用數(shù)學(xué)建模思想,結(jié)合三角形的知識,解決實(shí)際生活中的相關(guān)問題.本節(jié)內(nèi)容在高考中常以解答題的形式出現(xiàn),有時也會出現(xiàn)在選擇題和填空題中.破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一正弦、余弦定理的應(yīng)用1.在△ABC中,a=1,∠A=π6,∠B=πA.6+22B.6-答案A2.在△ABC中,∠A=π3,BC=3,AB=6,則∠C=答案π3.在△ABC中,a=2,c=4,且3sinA=2sinB,則cosC=.

答案-1考點(diǎn)二解三角形的綜合應(yīng)用4.在△ABC中,a=1,b=7,且△ABC的面積為32,則c=答案2或235.在△ABC中,a=5,c=7,cosC=15,則b=,△ABC的面積為答案6;666.在△ABC中,a=3,∠C=2π3,△ABC的面積為334,則b=答案1;13煉技法【方法集訓(xùn)】方法1三角形形狀的判斷1.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若c-acosB=(2a-b)cosA,則△ABC的形狀是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案D2.在△ABC中,若tanAtanBA.直角三角形B.等腰或直角三角形C.等腰三角形D.不能確定答案B方法2解三角形的常見題型及求解方法3.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c.若A=π3,a=3,b=1,則c=答案24.(2014課標(biāo)Ⅰ,16,5分)已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則△ABC面積的最大值為.

答案35.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cos2B+cosB=0.(1)求角B的值;(2)若b=7,a+c=5,求△ABC的面積.解析(1)由已知得2cos2B-1+cosB=0,即(2cosB-1)(cosB+1)=0.解得cosB=12因為0<B<π,所以cosB=12.所以B=π(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB.將B=π3,b=7整理得(a+c)2-3ac=7.因為a+c=5,所以ac=6.所以△ABC的面積S=12acsinB=3過專題【五年高考】A組自主命題·天津卷題組考點(diǎn)一正弦、余弦定理的應(yīng)用1.(2016天津,3,5分)在△ABC中,若AB=13,BC=3,∠C=120°,則AC=()A.1B.2C.3D.4答案A2.(2015天津,13,5分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知△ABC的面積為315,b-c=2,cosA=-14,則a的值為答案83.(2014天津,12,5分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知b-c=14a,2sinB=3sinC,則cosA的值為答案-14.(2014天津文,16,13分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a-c=66b,sinB=6(1)求cosA的值;(2)求cos2A解析(1)在△ABC中,由bsinB=csinC,及sinB=6sinC,可得b=所以,cosA=b2+c2-(2)在△ABC中,由cosA=64可得sinA=104于是cos2A=2cos2A-1=-14,sin2A=2sinA·cosA=15所以cos2A-π6=cos2A·cosπ6評析本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦公式、兩角差的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識.考查運(yùn)算求解能力.考點(diǎn)二解三角形的綜合應(yīng)用1.(2018天津,15,13分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知bsinA=acosB-(1)求角B的大小;(2)設(shè)a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析(1)在△ABC中,由正弦定理可得bsinA=asinB,又由bsinA=acosB-π6即sinB=cosB-π6因為B∈(0,π),所以B=π3(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=7.由bsinA=acosB-π6因為a<c,故cosA=27因此sin2A=2sinAcosA=437,cos2A=2cos2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=437×12-2.(2017天津,15,13分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=35(1)求b和sinA的值;(2)求sin2A解析(1)在△ABC中,因為a>b,所以A>B,故由sinB=35,可得cosB=45.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accosB=13,所以b=由正弦定理得sinA=asinBb所以,b的值為13,sinA的值為313(2)由(1)及a<c,得cosA=213所以sin2A=2sinAcosA=1213,cos2A=1-2sin2A=-5故sin2A+π4=sin2Acosπ4方法總結(jié)利用正、余弦定理求邊或角的步驟:(1)根據(jù)已知的邊和角畫出相應(yīng)的圖形,并在圖中標(biāo)出;(2)結(jié)合圖形選擇用正弦定理或余弦定理求解;(3)在運(yùn)算和求解過程中注意三角恒等變換和三角形中常用結(jié)論的運(yùn)用.評析本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,二倍角的正弦、余弦公式,兩角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識.考查運(yùn)算求解能力.B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一正弦、余弦定理的應(yīng)用1.(2018課標(biāo)Ⅱ,6,5分)在△ABC中,cosC2=5A.42B.30C.29D.25答案A2.(2016課標(biāo)Ⅲ,8,5分)在△ABC中,B=π4,BC邊上的高等于1A.31010B.1010C.-答案C3.(2018浙江,13,6分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=7,b=2,A=60°,則sinB=,c=.

答案2174.(2018課標(biāo)Ⅰ,17,12分)在平面四邊形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=22,求BC.解析(1)在△ABD中,由正弦定理知BDsin∠A=故5sin45°=2sin∠由題設(shè)知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=1-225(2)由題設(shè)及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=25在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×22×25所以BC=5.方法總結(jié)正、余弦定理的應(yīng)用原則:(1)正弦定理是一個連比等式,在運(yùn)用此定理時,只要知道其中一對的比值或等量關(guān)系就可以通過該定理解決問題,在解題時要學(xué)會靈活運(yùn)用.(2)運(yùn)用余弦定理時,要注意整體思想的應(yīng)用.(3)在利用正、余弦定理判斷三角形形狀時,等式兩邊一般不要約去公因式,應(yīng)移項提取公因式,避免漏解.(4)在利用正弦定理求三角形解的個數(shù)問題時,可能會出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況,所以解答此類問題時需要進(jìn)行分類討論,避免漏解或增解.考點(diǎn)二解三角形的綜合應(yīng)用1.(2018課標(biāo)Ⅲ,9,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若△ABC的面積為a2A.π2B.π3C.π答案C2.(2017浙江,14,6分)已知△ABC中,AB=AC=4,BC=2.點(diǎn)D為AB延長線上一點(diǎn),BD=2,連接CD,則△BDC的面積是,cos∠BDC=.

答案152;3.(2015湖北,13,5分)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時測得公路北側(cè)一垂直于路面的山CD在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達(dá)B處,測得此山在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=m.

答案10064.(2017課標(biāo)Ⅰ,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知△ABC的面積為a2(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長.解析(1)由題意得S△ABC=12acsinB=a23sinA,即由正弦定理得12sinCsinB=sin故sinBsinC=23(2)由題意及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-12即cos(B+C)=-12.又B、C為三角形內(nèi)角,所以B+C=2π3,故A=由題意得12bcsinA=a由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.故△ABC的周長為3+33.思路分析(1)首先利用三角形的面積公式可得12acsinB=a方法總結(jié)(1)應(yīng)用正弦定理、余弦定理將條件轉(zhuǎn)化為僅有邊或僅有角的形式,以便進(jìn)一步化簡計算,例如:將12csinB=a3sinA變形為1(2)三角形面積公式:S=12absinC=12acsinB=(3)三角形的內(nèi)角和為π.這一性質(zhì)經(jīng)常在化簡中起到消元的作用,例如:在△ABC中,sin(B+C)=sinA.5.(2016課標(biāo)Ⅰ,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;(2)若c=7,△ABC的面積為33解析(1)由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.所以cosC=12,又C為三角形內(nèi)角,所以C=π(2)由已知,得12absinC=3又C=π3由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,從而(a+b)2=25.∴a+b=5.所以△ABC的周長為5+7.6.(2015課標(biāo)Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分∠BAC,△ABD面積是△ADC面積的2倍.(1)求sin∠B(2)若AD=1,DC=22解析(1)S△ABD=12S△ADC=12因為S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sin∠Bsin∠C=AC(2)因為S△ABD∶S△ADC=BD∶DC=2,DC=22,所以BD=2在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.7.(2015陜西,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.向量m=(a,3b)與n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=7,b=2,求△ABC的面積.解析(1)因為m∥n,所以asinB-3bcosA=0,由正弦定理,得sinAsinB-3sinBcosA=0,又sinB≠0,從而tanA=3,由于0<A<π,所以A=π3(2)解法一:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,而a=7,b=2,A=π3得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因為c>0,所以c=3.故△ABC的面積為12bcsinA=3解法二:由正弦定理,得7sinπ3從而sinB=217又由a>b,知A>B,所以cosB=27故sinC=sin(A+B)=sinB=sinBcosπ3+cosBsinπ3=所以△ABC的面積為12absinC=38.(2015湖南,17,12分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=btanA.(1)證明:sinB=cosA;(2)若sinC-sinAcosB=34解析(1)證明:由a=btanA及正弦定理,得sinAcosA=a(2)因為sinC-sinAcosB=sin[180°-(A+B)]-sinAcosB=sin(A+B)-sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB=cosAsinB,所以cosAsinB=34由(1)知sinB=cosA,因此sin2B=34又B為鈍角,所以sinB=32由cosA=sinB=32從而C=180°-(A+B)=30°.綜上所述,A=30°,B=120°,C=30°.評析本題考查了正弦定理,三角恒等變換,考查了運(yùn)算求解能力,熟練、準(zhǔn)確地應(yīng)用公式是求解關(guān)鍵.C組教師專用題組考點(diǎn)一正弦、余弦定理的應(yīng)用1.(2017山東,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若△ABC為銳角三角形,且滿足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A2.(2015廣東,11,5分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=3,sinB=12,C=π6,則b=答案13.(2015安徽,16,12分)在△ABC中,∠A=3π4,AB=6,AC=32解析設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(32)2+62-2×32×6×cos3π4=18+36-(-36)=90,所以a=310又由正弦定理得sinB=bsin∠BACa=3由題意知0<B<π4,所以cosB=1-sin2在△ABD中,由正弦定理得AD=AB·sin=3cosB=考點(diǎn)二解三角形的綜合應(yīng)用1.(2018江蘇,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,且BD=1,則4a+c的最小值為.

答案92.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)證明:A=2B;(2)若△ABC的面積S=a2解析(1)證明:由題意及正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)由S=a24得12absinC=a因為B,C∈(0,π),所以C=π2當(dāng)B+C=π2時,A=π當(dāng)C-B=π2時,A=π綜上,A=π2或π3.(2014湖南,18,12分)如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=7.(1)求cos∠CAD的值;(2)若cos∠BAD=-714,sin∠CBA=21解析(1)在△ADC中,由余弦定理得cos∠CAD=AC2+AD2(2)設(shè)∠BAC=α,則α=∠BAD-∠CAD.因為cos∠CAD=277,cos∠BAD=-所以sin∠CAD=1-cos2∠CADsin∠BAD=1-cos2∠BAD于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BAD·cos∠CAD-cos∠BAD·sin∠CAD=32114×277--7在△ABC中,由正弦定理,得BCsinα=故BC=AC·sinα【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(2018天津南開二模,3)△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,已知b=5,c=2,cosB=23A.2B.3C.2D.3答案D2.(2018天津一中4月月考,4)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b2=a2-2bc,A=2π3A.π6B.π6或3π4C.答案A3.(2018天津南開中學(xué)第四次月考,4)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=π3A.3B.932C.3答案C4.(2018天津河西一模,5)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足2acosA=3A.53B.23C.3答案A5.(2018天津河?xùn)|一模,3)△ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,則△ABC的面積是()A.33B.332答案A6.(2017天津五校聯(lián)考(2),5)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若a2=(b+c)2-4,△ABC的面積為3,則A等于()A.30°B.60°C.150°D.120°答案D7.(2017天津河西二模,5)已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則A=()A.π6B.π4C.π答案C二、填空題(每小題5分,共15分)8.(2018天津和平二模,10)在△ABC中,AB=3,cosA=23,△ABC的面積S=352答案69.(2019屆天津耀華中學(xué)統(tǒng)練(2),12)△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若a2-b2=3bc,sinC=23sinB,則A=.

答案π10.(2019屆天津河西期中,13)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,則sin2AsinC答案1三、解答題(共60分)11.(2019屆天津耀華中學(xué)第一次月考,15)已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,acosC+3asinC-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面積為3,求b,c.解析(1)由acosC+3asinC-b-c=0及正弦定理得sinAcosC+3sinAsinC-sinB-sinC=0.因為B=π-A-C,所以3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0.由于sinC≠0,所以3sinA-cosA-1=0,即sinA-π6又0<A<π,故A=π3(2)△ABC的面積S=12bcsinA=3又a2=b2+c2-2bccosA,故b2+c2=8.解得b=c=2.12.(2019屆天津一中月考,15)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知cosC+(cosA-3sinA)·cosB=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范圍.解析(1)由已知得-cos(A+B)+cosAcosB-3sinAcosB=0,即有sinAsinB-3sinAcosB=0,因為sinA≠0,所以sinB-3cosB=0,又cosB≠0,所以tanB=3,又0<B<π,所以B=π3(2)因為a+c=1,cosB=a2+c2-b22ac=12,所以a2+c因為a+c=1,所以0<a<1,于是有14≤b2<1,即有113.(2019屆天津南開中學(xué)第一次月考,15)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且b-c=1,cosA=13,△ABC的面積為22(1)求a的值;(2)求cos2