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認(rèn)證類型：個人認(rèn)證

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雙語國際教育版系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具——工程矩陣?yán)碚摗策m用于數(shù)學(xué)專業(yè)和其它理工科研究生〕倪郁東編著合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院目錄第一章線性空間與線性變換1§1.1線性空間1§1.2線性變換及其矩陣3§1.3內(nèi)積空間8§1.4正交變換及其幾何與代數(shù)特征§1.5應(yīng)用于小波變換的框架理論15第二章矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形理論§2.1線性變換的特征值和特征向量29§2.2矩陣的相似對角化32§2.3特征矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形34§2.4矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形34§2.5矩陣的最小多項式第三章矩陣分解29§3.1消去法與矩陣三角分解29§3.2矩陣的分解32§3.3矩陣的滿秩分解34§3.4矩陣的奇異值分解34§3.5矩陣分解的應(yīng)用第四章矩陣范數(shù)理論及其應(yīng)用16§4.1范數(shù)與賦范線性空間§4.2向量范數(shù)及其性質(zhì)17§4.3矩陣的范數(shù)18§4.4范數(shù)的應(yīng)用19第五章矩陣分析及其應(yīng)用20§5.1矩陣序列20§5.2矩陣級數(shù)21§5.3矩陣函數(shù)22§5.4矩陣的微分和積分25§5.5矩陣函數(shù)的一些應(yīng)用26§5.6梯度分析和最優(yōu)化27第六章特征值估計及極性38§6.1特征值的估計38§6.2廣義特征值問題40§6.3對稱矩陣特征值的極性41§6.4廣義特征值分析的應(yīng)用42第七章廣義逆矩陣43§7.1投影矩陣43§7.2廣義逆矩陣46§7.3總體最小二乘方法49第八章中的矩陣運算簡介50§8.1根本矩陣運算50§8.2矩陣分解52§8.3廣義逆矩陣和解線性系統(tǒng)54參考文獻57編著者說明1、體例格式為：知識要點，章節(jié)內(nèi)容，各章習(xí)題。2、章節(jié)內(nèi)容包括：定義，結(jié)論，例題，定理，推論，注記。其中，定理和例題均有證明或解答，而結(jié)論和推論那么不加詳述。前言矩陣的概念和理論已被廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)代科技的各個領(lǐng)域，有力地推動著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的開展。矩陣的思想方法，被廣闊的科技工作者所掌握和應(yīng)用(矩陣切換器，線性控制理論)，尤其是計算機科學(xué)家和控制科學(xué)家愛不釋手的重要工具。矩陣的概念脫胎于行列式的形式，是作為表達線性方程組的簡單記法而產(chǎn)生的，但其開展的歷史卻耐人尋味。為了求解線性方程組，1693年萊布尼茨首次使用行列式概念，1750年克拉姆()法那么創(chuàng)立，1820年高斯()提出消元法〔這是一種根本而又重要的方法，廣泛用于線性方程組的求解，更重要的是由此凝煉出了矩陣初等變換的根本方法〕，但矩陣的概念一直沒有形成。雖然，1801年高斯已把一個線性變換的全部系數(shù)視作一個整體，而愛森斯坦因()在1844年就討論了線性變換及其乘積，并強調(diào)了乘法次序的重要性。直到1851年，西爾維斯特()首先提出使用二維數(shù)表的符號表示線性方程組，才引入了矩陣的概念。將矩陣作為一個獨立的數(shù)學(xué)對象進行的研究，開始于1855年以及其后凱萊()發(fā)表的一系列研究矩陣?yán)碚摰奈恼?。在這些文獻中，他引進了關(guān)于矩陣的一些直至現(xiàn)代仍通用的定義，如矩陣相等、零矩陣、單位矩陣、矩陣的和、一個數(shù)與一個矩陣的數(shù)量積、矩陣的乘積〔并且注意到：矩陣的乘法是可結(jié)合的，但一般不可交換，且矩陣只能用矩陣去右乘〕、矩陣的逆、轉(zhuǎn)置矩陣、對稱矩陣等，并借助于行列式定義了方陣的特征方程和特征根。1858年凱萊發(fā)表了《關(guān)于矩陣?yán)碚摰难芯繄蟾妗?，證明了一個重要結(jié)果：任何方陣都滿足它的特征方程。這個結(jié)果現(xiàn)被稱為凱萊－哈密頓定理。由于正是由于這些奠基性的工作，凱萊被認(rèn)為是矩陣?yán)碚摰膭?chuàng)始人。當(dāng)然，在矩陣?yán)碚撝?，也積淀了其它眾多科學(xué)家的卓越奉獻。埃米特()證明了別的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一些矩陣類的特征根的特殊性質(zhì)，如現(xiàn)在稱為埃米特矩陣的特征根性質(zhì)等。后來，克萊伯施()、布克海姆()等證明了對稱矩陣的特征根性質(zhì)。泰伯()引入矩陣的跡的概念并給出了一些有關(guān)的結(jié)論。在矩陣論的開展史上，弗羅伯紐斯()的奉獻是不可磨滅的。他討論了最小多項式問題，引進了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以符合邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，并討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質(zhì)。1870年，約當(dāng)()研究了矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形的問題，建立了著名的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型理論。1892年，梅茨勒()引進了矩陣的超越函數(shù)概念并將其寫成矩陣的冪級數(shù)的形式。傅立葉、西爾和龐加萊的著作中還討論了無限階矩陣問題，這主要是適用方程開展的需要而開始的。到19世紀(jì)末，矩陣?yán)碚撘讶照橥晟?，但其?yīng)用并不十分廣泛，這主要歸因于大規(guī)模線性方程組求解問題的計算復(fù)雜度太大，難以手工進行下去。進入20世紀(jì)之后，當(dāng)人們漸漸以為有限維度的矩陣?yán)碚摵头椒ㄒ呀?jīng)終結(jié)的時候，計算機技術(shù)出現(xiàn)了，這使得矩陣?yán)碚摣@得新生。矩陣本身所具有的性質(zhì)依賴于元素的性質(zhì)即相互關(guān)系，矩陣由最初作為一種工具經(jīng)過一個多世紀(jì)的開展，現(xiàn)在已成為獨立的一門數(shù)學(xué)分支——矩陣?yán)碚摗６仃嚴(yán)碚撚挚煞譃榫仃嚪匠陶?、矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣的現(xiàn)代理論。矩陣及其理論的應(yīng)用是多方面的，不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，而且在力學(xué)、物理、科技等方面都十分廣泛的應(yīng)用。這些應(yīng)用主要集中于線性問題表示、計算與分析，以及非線性問題的線性分析與處理。矩陣?yán)碚撻_展示意圖1820年高斯(1820年高斯()提出消元法1851年1851年西爾維斯特()創(chuàng)立矩陣的概念18551855-58年凱萊()創(chuàng)立矩陣根本理論1870年約當(dāng)()創(chuàng)立標(biāo)準(zhǔn)形理論1878年1878年弗羅伯紐斯()創(chuàng)立矩陣?yán)碚?892年，梅茨勒(1892年，梅茨勒()創(chuàng)立矩陣函數(shù)理論第一章線性空間與線性變換知識要點：1、線性空間的概念〔數(shù)域、線性運算封閉性、線性運算公理〕，結(jié)構(gòu)〔線性無關(guān)、基、維數(shù)，向量在基下的線性表示和坐標(biāo)〕，過渡矩陣和向量的坐標(biāo)變換〔可按形式矩陣乘法直接表示〕。2、線性空間同構(gòu)的概念〔可自學(xué)〕。3、線性子空間的概念〔定義與充要條件，生成子空間，交空間，和空間，維數(shù)定理，直和與直和分解定理〕。4、線性變換及其矩陣表示〔定義與運算，象空間、核空間和不變子空間，線性變換在基下的表示:變換與矩陣一一對應(yīng)、不同基下矩陣相似，線性變換下向量的坐標(biāo)：變換矩陣左乘向量坐標(biāo)〕。5、歐氏空間與酉空間〔內(nèi)積、范數(shù)與距離，正交基、正交陣與酉陣，正交補與正交分解〕。6、正交變換及其特征〔正交變換及其線性性，正交變換的幾何特征，正交變換的矩陣特征〕。7、應(yīng)用于小波變換的框架理論〔對偶框架，緊框架，基〕。§1.1線性空間一、線性空間的概念定義1：設(shè)非空集合相對于數(shù)域具有封閉的加法和數(shù)乘運算，并且具有與任何元素之和仍為該元素的零元素，同時每個元素均具有與其之和為零元素的負(fù)元素。假設(shè)中運算滿足加法結(jié)合律與交換律、數(shù)乘結(jié)合律與分配律、乘1不變性，那么稱為數(shù)域上的線性空間。注1：數(shù)域是指對加減乘除四那么運算封閉的數(shù)集，如有理數(shù)集、實數(shù)集、復(fù)數(shù)集等。注2：易證零元素和負(fù)元素均是唯一的。例1：數(shù)域上的維〔列〕向量空間。按維向量的線性運算，構(gòu)成數(shù)域上的線性空間。例2：中的子集。按中的線性運算，非空子集是封閉的，從而構(gòu)成數(shù)域上的線性空間。例3：數(shù)域上的階矩陣空間。按階矩陣的線性運算，構(gòu)成數(shù)域上的線性空間。例4：數(shù)域上的多項式空間。按多項式的線性運算，構(gòu)成數(shù)域上的線性空間。例5：區(qū)間上的實值連續(xù)函數(shù)空間。按函數(shù)的線性運算，構(gòu)成數(shù)域上的線性空間。例6：例7：二、線性空間的結(jié)構(gòu)定義2：設(shè)為數(shù)域上的線性空間中的一組向量，假設(shè)有中不全為零的一組數(shù)，使得，那么稱線性相關(guān)，否那么稱為線性無關(guān)。定義3：設(shè)線性空間中有一組向量，滿足：〔1〕線性無關(guān)；〔2〕中任一向量均可由線性表示。那么稱為的一組基，數(shù)稱為的維數(shù)，記為。結(jié)論1：設(shè)為數(shù)域上線性空間的一組基，那么對于任何向量,存在唯一一組數(shù),使得,從而。將記為，稱為在基下的坐標(biāo)。注：線性空間的基可以理解為空間中的一種參照系，能將所有元素線性表示出來。例6：為中的一組基，；為中的一組基，；為中的一組基，；中任意有限個向量均為中線性無關(guān)的向量組，因而不是有限維空間。注：有限維空間的基不是唯一的，但其維數(shù)是唯一確定的。三、過渡矩陣和向量的坐標(biāo)變換定義4：設(shè)和為線性空間中的兩組基，假設(shè)…那么矩陣稱為從到的過渡矩陣。將上述基變換表達式簡記為，稱之為基變換公式。定理1：線性空間基之間的過渡矩陣是可逆的。證明：設(shè)從基到基的過渡矩陣為，那么。對于任何列向量，時，。由此可得，從而過渡矩陣是可逆的。推論：設(shè)為到的過渡矩陣，那么到的過渡矩陣為。證明：設(shè)到的過渡矩陣為，那么由，可得，從而，即。這說明到的過渡矩陣為。定理2：設(shè)向量在基和下的坐標(biāo)分別為和，為到的過渡矩陣，那么或。證明：由及得，，從而或。注：上述公式稱為向量在不同基下的坐標(biāo)變換公式。例9：驗證和均為中的基，并求前一組基到后一組基的過渡矩陣，以及在后一組基下的坐標(biāo)。解：考察，即對任何數(shù)成立，那么由多項式理論可知。因而是線性無關(guān)的，并構(gòu)成的一組基。由及可逆知，也構(gòu)成的一組基，并且到的過渡矩陣為。由可得，在下的坐標(biāo)為。注：也可先求出，再計算出。例10：的兩組基分別為，，試求到的過渡矩陣。解：設(shè)，那么到的過渡矩陣。四、線性子空間的概念定義5：設(shè)是線性空間的非空子集，假設(shè)關(guān)于中的加法和數(shù)乘也構(gòu)成線性空間，那么稱是的一個線性子空間。子空間判別定理：線性空間的非空子集為的子空間的充分必要條件是對中的線性運算封閉。結(jié)論2：設(shè)、為的子空間，那么與的交也是的子空間，稱為交空間。例11：設(shè)，，那么。結(jié)論3：設(shè)、為的子空間，那么與的和也是的子空間，稱為和空間。例12：設(shè)，，，求、及它們的一組基。解：任取，那么，即。解之得，，從而，。由此可得，，為其一組基。任取，那么，因此。由可知，為的一組基。維數(shù)定理：。證明：設(shè)，取的一組基，并將其分別擴展為和的基：，。考察，由可知，右端屬于可由線性表示，即有，整理后得到。由的線性無關(guān)性可得，，從而。再由的線性無關(guān)性可得，，從而向量組線性無關(guān)，并構(gòu)成的一組基。由此可得，，并且。定義6：設(shè)、為的子空間，假設(shè)中每個向量的分解式是唯一的，那么稱為與的直和，記為。直和判別定理：。證明：假設(shè)是直和，假設(shè)存在，那么，并且，由零向量分解式的唯一性可得，，這與假設(shè)矛盾，因此而。假設(shè)，假設(shè)中向量的分解式不唯一，即存在，，使得。由此可得，，從而，即，這與假設(shè)矛盾，因此是直和。注1：為直和的充要條件為某一向量〔包括0〕的分解式唯一?！苍O(shè)分解式是唯一的，那么對于0的分解式，，由此可得，，因此0的分解式唯一〕注2：、的基合并在一起構(gòu)成的充分必要條件是為直和。直和分解定理：設(shè)為的子空間，那么存在的子空間，使得。證明：取的一組基，將其擴展為的一組基。令，那么，因此為和的直和。注1：假設(shè)為的一組基，那么，但遠(yuǎn)充不滿線性空間。注2：直和分解的意義還在于將大規(guī)模的線性運算分解成較小規(guī)模線性運算的線性組合，這將大大加快線性運算的速度，傅立葉〔〕變換的快速計算就是建立在這種思想上的?！?.2線性變換及其矩陣一、線性變換及其運算〔定義與運算、構(gòu)成線性空間〕線性變換是線性運算和運算具有線性性的共性化的概念，其本質(zhì)是像的線性運算與原像的線性運算可以互相轉(zhuǎn)換。如維向量的線性變換、函數(shù)的微分和積分運算均為線性變換。定義1：設(shè)是數(shù)域上線性空間到〔或另一線性空間〕中的映射，假設(shè)對任何，，總成立著，，那么稱是上線性變換。例1：對于結(jié)論1：線性變換的加、減、乘、數(shù)乘和逆運算仍為線性變換，按線性運算構(gòu)成線性空間。注：線性變換的研究與其他許多數(shù)學(xué)對象一樣，常常是從運算性質(zhì)、特殊區(qū)域上的表現(xiàn)、運算表達式等方面著手的。二、象空間、核空間和不變子空間定義2：，。定理1：。證明：取的一組基，并將其擴張為的一組基，那么對于任何，，總有，從而。對于，由可知，，從而可由線性表示，即，再由的線性無關(guān)性可知，，從而線性無關(guān)。由此可知，構(gòu)成的一組基，因此，從而。定義3：假設(shè)，那么稱為的不變子空間。注：不變子空間是線性變換的屬性在定義空間上的反映，不變子空間中線性變換的性質(zhì)獨立于其它范圍中的性質(zhì)，因此尋找適宜的不變子空間是性質(zhì)分析的重要的內(nèi)容。由特征向量生成的子空間就是一個不變子空間，特征向量的方向就是線性變換的信號增益通道。結(jié)論2：，均為的不變子空間。三、線性變換在基下的矩陣表示定義4：設(shè)為線性空間上的線性變換，假設(shè)的一組基在下的像為，那么稱為在下的矩陣表示，并將上述表達式記為。注：不一定可逆，但可逆時也構(gòu)成一組基。結(jié)論3：與同構(gòu)。即中線性變換與中矩陣一一對應(yīng)，并且保持對應(yīng)的線性變換。注：這說明除具體形式和符號不同以外，從線性運算的角度看，兩者沒什么區(qū)別。即同一個本質(zhì)，具有兩個不同的表現(xiàn)形式。定理2：設(shè)和為線性空間中過渡矩陣為的兩組基，線性變換在這兩組基下的表示分別為，那么，即相似。證明：由，，可得，，從而。注：定理的意義還在于，可將矩陣的相似化理解為線性變換在不同基〔或參照系〕下的轉(zhuǎn)換。例2：設(shè)線性空間為由基函數(shù)生成的實數(shù)域上的線性空間，令?！?〕證明：也為的一組基；〔2〕求到的過渡矩陣；〔3〕求微分算子在基下的矩陣。解：，，，。由此可得，?！?〕由可知，可逆。因此，線性無關(guān)，從而構(gòu)成的一組基。〔2〕為到的過渡矩陣。〔3〕，，，。由此可得，微分算子在基下的矩陣為。四、線性變換下向量的坐標(biāo)在線性空間中，由于每個向量均能表示成一組基的線性組合，因此向量在線性變換下的像將由基的像來決定。結(jié)論4：設(shè)為線性空間的一組基，線性變換在基下的矩陣表示為，向量在此基下的坐標(biāo)為，那么的坐標(biāo)為。例3：§1.3內(nèi)積空間一、內(nèi)積空間的根本概念定義1：設(shè)是實數(shù)或復(fù)數(shù)域上的線性空間，假設(shè)對任何向量，都存在上確實定數(shù)，滿足以下條件：〔1〕，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)；〔2〕；〔3〕。那么稱為與的內(nèi)積，為內(nèi)積空間。特別時，稱為歐氏空間；時，稱為酉空間。顯然，內(nèi)積空間中具有兩種相容的根本運算：線性運算和內(nèi)積，其中內(nèi)積運算具有線性性。內(nèi)積運算雖然不是封閉的，但可視為元素的示性運算。例1：常見的內(nèi)積空間。結(jié)論1：對每一個，令，那么為一個實數(shù)，并滿足：①，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，②，③，即構(gòu)成上的一個范數(shù)，稱為內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)，構(gòu)成賦范線性空間。注：假設(shè)定義，那么具有正定性、對稱性并滿足三點不等式，從而構(gòu)成上的一個距離，稱為內(nèi)積誘導(dǎo)的距離，構(gòu)成一個距離空間。不等式：，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)與線性相關(guān)。證明：不妨設(shè)，由可得，，從而，并且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)即與線性相關(guān)。二、正交基1、正交向量組與正交化定義2：設(shè)是內(nèi)積空間，，假設(shè)，那么稱與正交，記為。假設(shè)中非零向量組兩兩正交，那么稱為正交向量組。結(jié)論2：正交向量組必是線性無關(guān)的，線性無關(guān)向量組必可正交化。對于線性無關(guān)向量組，令，，...，，那么是與相互等價的正交向量組。例2：試將內(nèi)積空間中向量正交化。解：設(shè)，，，令，，，那么，，。2、標(biāo)準(zhǔn)正交基定義3：設(shè)為維內(nèi)積空間中兩兩正交的單位向量組，那么稱為的標(biāo)準(zhǔn)正交基。結(jié)論3：任何有限維內(nèi)積空間總有標(biāo)準(zhǔn)正交基，標(biāo)準(zhǔn)正交基下向量的內(nèi)積為對應(yīng)坐標(biāo)在中的內(nèi)積。結(jié)論4：標(biāo)準(zhǔn)正交基之間的過渡矩陣是酉矩陣或正交矩陣，即。推論：酉空間或歐氏空間中標(biāo)準(zhǔn)正交基之間的過渡矩陣為酉矩陣或正交矩陣。注：可通過構(gòu)造酉矩陣或正交矩陣來建立新的標(biāo)準(zhǔn)正交基。結(jié)論5：方陣為酉矩陣〔正交矩陣〕的充分必要條件是其列向量組構(gòu)成〔〕中的標(biāo)準(zhǔn)正交基。三、正交分解定義4：假設(shè)，有，那么稱與正交，記為。假設(shè)，有，那么稱與正交，記為。定理：設(shè)為內(nèi)積空間的子空間，并且，那么是直和。證明：任取，那么，。由可得，，從而，因此，從而是直和。結(jié)論6：為的子空間，稱之為的正交補空間。正交分解定理：對于任何的子空間，總有。例3：在歐氏空間中的內(nèi)積定義為，設(shè)，令，求〔1〕的一個基；〔2〕將擴展為的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。解：(1)由，即，解之得。由此可得，。(2),。四、最小二乘法定義：定理：最小二乘法定理：設(shè)均為維列向量，假設(shè)使得到達最小，那么，其中。證明：由可得，到達最小時，滿足。注：的最小值為時，滿足；的最小值大于時，由可知，對于任何，總是有解的。例4：設(shè)，求的最正確解?！?.4正交變換及其特征一、正交變換的概念定義：設(shè)是內(nèi)積空間到中的映射，假設(shè)對任何，都有，那么稱是上的正交變換。注：正交變換保持內(nèi)積運算不變。性質(zhì)：正交變換必為線性變換；證明：對任何，。由此可得，對任何，。對任何，，由此可得，對任何，，。二、正交變換的特征定理1：線性變換為正交變換的充分必要條件是在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為酉矩陣或正交矩陣。證明：注：標(biāo)準(zhǔn)正交基之間的過渡矩陣為酉矩陣或正交矩陣，因此可利用正交變換來構(gòu)造新的標(biāo)準(zhǔn)正交基。定理2：線性變換為正交變換的充分必要條件是將標(biāo)準(zhǔn)正交基變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正交基。證明：推論：向量在正交變換基下的坐標(biāo)等于在原標(biāo)準(zhǔn)正交基下的坐標(biāo)左乘過渡矩陣〔也即正交變換系數(shù)矩陣〕逆矩陣〔也即轉(zhuǎn)置矩陣〕。注：標(biāo)準(zhǔn)正交基之間的過渡矩陣恰好對應(yīng)著一個正交變換。定理3：線性變換為正交變換的充分必要條件是保持長度不變。證明：注：保持長度不變的線性變換也保持夾角不變。三、正交變換的幾何作用：二維和三維空間中的旋轉(zhuǎn)、反射變換。1、二維空間中的旋轉(zhuǎn)變換對于任何，設(shè)，那么正交變換是中的旋轉(zhuǎn)變換。事實上，假設(shè)設(shè)，那么在下的矩陣為。由此可知，是軸逆時針旋轉(zhuǎn)的正交變換。2、三維空間中的旋轉(zhuǎn)變換對于任何，設(shè)那么正交變換是中的旋轉(zhuǎn)變換。事實上，假設(shè)設(shè)，那么在下的矩陣為。由此可知，是軸旋轉(zhuǎn)、軸旋轉(zhuǎn)、軸旋轉(zhuǎn)的正交變換。3、二維空間中的反射變換對于任何，設(shè)，，那么正交變換是中關(guān)于軸的反射變換，基下的矩陣為。設(shè)，那么正交變換是中關(guān)于坐標(biāo)原點的反射變換，基下的矩陣為。設(shè)，那么正交變換是中關(guān)于對角線的反射變換，基下的矩陣為。4、三維空間中的反射變換對于任何，設(shè)，那么正交變換是中關(guān)于平面的反射變換，基下的矩陣為。注：任何正交變換總可分解為一系列旋轉(zhuǎn)和反射變換的復(fù)合。如，對應(yīng)的正交變換就是對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)和對應(yīng)的反射的復(fù)合。§1.5應(yīng)用于小波變換的框架理論一、框架與對偶框架：二、緊框架：三、基：第二章矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形理論知識要點：1、特征值和特征向量的概念〔特征方程，特征子空間，特征值的幾何重數(shù)與代數(shù)重數(shù)〕2、矩陣的相似對角化〔相似對角化的特征，分解定理，正規(guī)矩陣及其酉相似對角化，陣與正定矩陣〕3、特征矩陣和標(biāo)準(zhǔn)形〔秩，行列式因子，不變因子，標(biāo)準(zhǔn)形〕4、初等因子和標(biāo)準(zhǔn)形〔初等因子，矩陣相似的特征，塊和標(biāo)準(zhǔn)形〕5、定理和矩陣的最小多項式〔矩陣多項式，定理，矩陣的零化多項式與最小多項式〕§2.1線性變換的特征值和特征向量一、特征值和特征向量的根本概念定義1：設(shè)是內(nèi)積空間上的線性變換，假設(shè)存在數(shù)和中非零向量，使得，那么稱為的特征值，稱為屬于的特征向量。注：假設(shè)線性變換由一線性系統(tǒng)來實現(xiàn)，那么特征信號可方向不變地通過該系統(tǒng)，所產(chǎn)生的系統(tǒng)增益為對應(yīng)的特征值。例1：恒等變換的特征值均為，所有非零向量均為其特征向量。中對角陣對應(yīng)的線性變換的特征值為，對應(yīng)的特征向量為齊次線性方程組的所有非零解，。結(jié)論1：假設(shè)在基之下的矩陣為，屬于特征值的特征向在該基下的坐標(biāo)為，那么為矩陣的特征值，為屬于的特征向量〔與基的形式直接相關(guān)〕。結(jié)論2：線性變換的特征值與基的形式無關(guān)，但特征向量與基的形式直接相關(guān)。結(jié)論3：線性變換對應(yīng)矩陣所有特征值之積等于其行列式的值，所有特征值之和等于其對角線元素之和。結(jié)論4：線性變換在不同特征值下的特征向量線性無關(guān)。二、特征子空間定義2：設(shè)為線性變換的特征值，那么集合稱為的特征子空間。注：假設(shè)在的一組基下對應(yīng)的矩陣為，那么同構(gòu)與，從而。定義3：特征子空間的維數(shù)稱為的幾何重數(shù)，特征方程中的重數(shù)稱為的代數(shù)重數(shù)。注：的特征子空間為線性子空間，所有幾何重數(shù)之和不超過，所有代數(shù)重數(shù)之和為。結(jié)論5：特征值的幾何重數(shù)不大于代數(shù)重數(shù)。例2：設(shè)線性變換在基之下的矩陣為，求的特征值和特征向量，以及各特征值的幾何重數(shù)和代數(shù)重數(shù)。解：由特征方程可得，。對于，由，解得方程組的根底解系為。由此可得，在基之下對應(yīng)于的特征向量為，其中為非實數(shù)。因此，的幾何重數(shù)和代數(shù)重數(shù)分別為。對于，由，解得方程組的根底解系為。由此可得，在基之下對應(yīng)于的特征向量為，其中為非實數(shù)。因此，的幾何重數(shù)和代數(shù)重數(shù)分別為?！?.2矩陣的酉相似對角化一、線性變換完全解耦及矩陣相似對角化定義1：設(shè)上的線性變換存在一組特征向量構(gòu)成的一組基，為對應(yīng)的特征向量，那么稱在基下完全解耦，此時。結(jié)論1：線性變換在基下完全解耦的充分必要條件是在基下的表示矩陣為對角陣。定理1：線性變換在基下的表示矩陣與對角陣相似〔即可相似對角化〕的充分必要條件是存在基，使得在其下完全解耦，即在基下的表示矩陣為對角陣。必要性證明：設(shè)在下的矩陣，并且與對角陣相似，那么存在可逆矩陣，使得。令，那么構(gòu)成一組基，并且，即在基下矩陣為對角陣，從而在其下完全解耦。充分性證明：由在基下完全解耦可知，在基下的矩陣為對角陣。因此，對于在基下矩陣，必與對角陣相似。結(jié)論2：階矩陣相似對角陣的充分必要條件是具有個線性無關(guān)的特征向量。推論：假設(shè)矩陣具有個互不相同的特征值，那么相似于對角陣。結(jié)論3：階矩陣相似對角陣的充分必要條件是各特征值的幾何重數(shù)與代數(shù)重數(shù)相等。分解定理：設(shè)為階矩陣的特征值，那么存在酉矩陣，使得，其中為上三角陣，并且對角線元素為。假設(shè)記，那么構(gòu)成的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，并且，稱是局部解偶的。此時，均為不變子空間。二、正規(guī)矩陣的酉相似對角化定義2：設(shè)，，那么稱為正規(guī)矩陣。注：正交矩陣、酉矩陣、對角矩陣、實對稱矩陣均為正規(guī)矩陣。例1：設(shè)為正規(guī)矩陣，那么，。證明：由可得，，從而。比擬對應(yīng)項和可得，，。定義3：對于矩陣，假設(shè)存在酉矩陣，使得，其中，那么稱與酉相似，稱為酉相似變換陣。注：對于復(fù)矩陣的對角化問題，一般相似對角化失去意義，?？疾炱溆舷嗨茖腔?。結(jié)論4：階矩陣酉相似于對角陣的充分必要條件是為正規(guī)矩陣。推論：實對稱矩陣正交相似于對角陣。注：正規(guī)矩陣與其相似的對角陣具有相同的幾何特性。三、陣與正定矩陣定義4：假設(shè)，那么稱為陣；對于，稱為二次型。注：陣為正規(guī)矩陣。定理2：陣的特征值是實數(shù)，不同特征值的特征向量相互正交。證明：設(shè)，那么。由可得，。由可知，，即特征值為實數(shù)。設(shè)，那么。由可得，。再由和可得，，即與正交。結(jié)論5：陣必可酉相似于對角陣。由陣為正規(guī)矩陣可知，陣必可酉相似于對角陣。定理3：假設(shè)為陣，那么存在酉矩陣，使得在正交變換下變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形。證明：對于陣，存在酉矩陣，使得，其中。令，那么其為正交變換，并且，此即為標(biāo)準(zhǔn)形。定義5：假設(shè)對任何，，那么稱陣為正定矩陣。定理4：陣為正定矩陣的充分必要條件是其特征值均為正數(shù)。定理5：陣為正定矩陣的充分必要條件是存在可逆矩陣，使得。定理6：陣為正定矩陣的充分必要條件是各順序主子式均大于0。定理7：設(shè)，那么存在酉矩陣使得，其中，。注：稱為的奇異值分解，稱為的奇異值，為的秩。推論：的奇異值為或的正特征值的算術(shù)根，和的列向量分別為或的單位正交特征向量組?！?.3特征矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形在對矩陣化簡問題的研究中，由于相似對角化對矩陣有較高的要求條件，不能廣泛地解決矩陣的化簡問題。矩陣化簡的一個首要要求，應(yīng)該是化簡后的矩陣仍能保持原有矩陣的根本性質(zhì)，通常至少還要求所作的化簡應(yīng)該是可逆的，而最根本的可逆變換就是初等變換。線性代數(shù)理論中，一個數(shù)值矩陣可通過初等變換將其化為最簡形式，但這種最簡形式只與矩陣的秩有關(guān)，不能全面反映矩陣的性質(zhì)。即對元素為常數(shù)的矩陣進行初等變換，可能會遺失矩陣的一些性質(zhì)。這一結(jié)果啟示我們，可將數(shù)值矩陣函數(shù)化，考察函數(shù)矩陣的化簡，利用可逆的初等變換對函數(shù)矩陣進行化簡，將可能保存原矩陣的根本性質(zhì)。以多項式為元素的矩陣〔即矩陣〕是最根本的函數(shù)矩陣，這類矩陣的概念和性質(zhì)將不同于數(shù)值矩陣，如兩個矩陣相等是指對應(yīng)位置上的多項式恒等，可逆矩陣的充要條件是其行列式為非0常數(shù)。一、矩陣的秩、逆與初等變換定義1：以的多項式為元素構(gòu)成的矩陣稱為矩陣，常表示為。顯然，每個為矩陣均可表示為矩陣系數(shù)的多項式。定義2：矩陣中不恒等于0子式的最高階數(shù)稱為的秩，記為。顯然，特征矩陣的秩為。定義3：對于矩陣，假設(shè)存在另一矩陣，使得，那么稱可逆，為的逆矩陣，并記為。定理1：矩陣可逆的充分必要條件為其行列式為非0常數(shù)。必要性證明：由可知，。因此，多項式、均為常數(shù)，并且，從而的行列式為非0常數(shù)。充分性證明：為非0常數(shù)時，也為矩陣，其中為的伴隨矩陣。由可知，可逆。顯然，特征矩陣是不可逆的，但是滿秩的。定義4：如下變換稱為對矩陣的初等變換：1、互換兩行〔列〕；2、某行〔列〕乘以一個非0常數(shù)〔相當(dāng)于一個可逆矩陣〕；3、將某行〔列〕的多項式倍加到另一行〔列〕上。顯然，初等變換是可逆變換，對應(yīng)的初等矩陣也是可逆的。假設(shè)經(jīng)一系列初等變換化成，那么稱與等價。結(jié)論1：初等變換下矩陣的秩不變。二、特征矩陣的行列式因子定義5：特征矩陣中所有階非零子式的最大首一公因式稱為特征矩陣的階行列式因子，也稱為的階行列式因子。顯然，特征矩陣的行列式因子是唯一的，并且。結(jié)論2：設(shè)，那么。結(jié)論3：特征矩陣的行列式因子在初等變換下保持不變。三、不變因子與標(biāo)準(zhǔn)形定義6：多項式稱為特征矩陣或的不變因子。顯然，初等變換下不變因子保持不變，并且，特別，即不變因子是特征多項式一種分解因子。例1：求的不變因子，其中。由，得。由，得，由此可得，的不變因子為。例2：求的不變因子。先求行列式因子再求不變因子可得，。例3：設(shè)，求其特征矩陣的不變因子。對于的特征矩陣，由行列式因子可求得不變因子，，其中為的特征多項式。結(jié)論4：方陣的特征矩陣等價于對角陣其中為首一多項式，并且，對角陣稱為特征矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。顯然，特征矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的，即為的不變因子。注：對于一般矩陣，標(biāo)準(zhǔn)形為，其中為首一多項式，并且，。推論：特征矩陣等價的充分必要條件是不變因子或行列式因子相同。§2.4矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形一、初等因子的概念定義1：特征矩陣的所有不變因子中一次因子的方冪〔包括各個不變因子中重復(fù)的因子〕，稱為的初等因子。性質(zhì)1：特征矩陣的初等因子由不變因子唯一確定，反之亦然。性質(zhì)2：每個初等因子是且僅是一個不變因子的因子，無初等因子的不變因子均為。例1：設(shè)的全體不變因子為、、、、、、、，試求的初等因子。顯然，其初等因子為、、、、。例2：設(shè)特征矩陣的全體初等因子為、、、、、、，試求的不變因子。不變因子與初等因子的轉(zhuǎn)化表不變因子一次因子由上表可知，的不變因子為，，，。結(jié)論1：對角矩陣中對角線上元素的一次因子的方冪〔包括對角線上元素中重復(fù)的因子〕，為其初等因子。結(jié)論2：分塊對角矩陣上個對角塊的初等因子合在一起即為整個矩陣的初等因子。二、矩陣相似的特征定理1：矩陣相似的充分必要條件是存在矩陣，使得。必要性證明：設(shè)矩陣相似，那么存在可逆矩陣，使得。令，那么對于任何成立著。充分性證明：由可知，，，因此矩陣相似。結(jié)論3：矩陣相似的充分必要條件是它們的特征矩陣等價。結(jié)論4：矩陣相似的充分必要條件是不變因子或初等因子相同。三、塊與標(biāo)準(zhǔn)形1、約當(dāng)塊的初等因子為。注：對角陣的初等因子為，而不是。2、標(biāo)準(zhǔn)形的初等因子為，。結(jié)論5：每個方陣均可相似化為標(biāo)準(zhǔn)形。推論：方陣可相似對角化的充分必要條件是其初等因子均為一次的。3、相似變換矩陣的計算設(shè)為的初等因子，為由對應(yīng)的塊構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)形，為對應(yīng)的相似變換矩陣，那么由，可得。對于，設(shè)，那么有。令，可得，由此可解得對應(yīng)初等因子的向量組。將所有初等因子對應(yīng)的這些向量按列排成矩陣，便可得到相似變換矩陣。注：的選擇可能會影響到的求解；對于特征值相同的不同初等因子，向量的選擇應(yīng)保持與線性無關(guān)。例3：設(shè)，求其標(biāo)準(zhǔn)形及其相似變換矩陣。解：，初等因子為、，。設(shè)，那么。可選中為，并取為。由可知，必須且只須。取、可得，。§2.5定理與矩陣的最小多項式一、矩陣多項式定義1：對于，稱為階矩陣的矩陣多項式，記為。顯然，矩陣多項式仍為階矩陣。性質(zhì)1：相似矩陣的多項式仍然相似，且具有相同的相似變換陣。證明：設(shè)矩陣相似，那么存在可逆矩陣，使得。對于多項式，由，可知，，即與相似。性質(zhì)2：對角陣的多項式仍為對角陣，分塊對角陣的多項式仍為分塊對角陣。證明：設(shè)，那么對于對角陣和分塊對角陣，，。結(jié)論1：對于階矩陣和多項式，必相似于，其中為的各塊。二、定理引理：設(shè)，那么〔稱為冪零矩陣〕。定理1〔定理〕：設(shè)，那么。證明：設(shè)的初等因子為，，那么存在可逆矩陣，使得，其中，。由此可得，。由及可知，，從而。注：由可知，，即的次冪可化為低次冪的矩陣多項式。三、矩陣的零化多項式與最小多項式問題：導(dǎo)致的因素是否是中階數(shù)更低的因子？定義2：對于多項式，假設(shè)，那么稱為矩陣的零化多項式。的次數(shù)最低的首一零化多項式稱為的最小多項式。顯然，的特征多項式為其零化多項式，但不一定是最小多項式。結(jié)論2：多項式為最小多項式的充分必要條件是能整除的任何零化多項式。結(jié)論3：矩陣的最高階不變因子就是其最小多項式，因而最小多項式是初等因子中各最高冪的乘積。推論1：相似矩陣具有相同的最小多項式。推論2：矩陣最小多項式的根為特征多項式的根，反之亦然，但重數(shù)不一定相同。定理2：矩陣可相似對角化的充分必要條件是最小多項式無重根。事實上，初等因子均為一次式是矩陣可相似對角化的充分必要條件，因而由初等因子中各最高冪的乘積組成的最小多項式無重根。有限維線性空間的自同態(tài)就是線性變換，假設(shè)將線性變換在某組基下對應(yīng)的矩陣記為，那么的特征多項式在復(fù)數(shù)域上可以分解為一次因式冪的乘積，即，那么線性空間就可以根據(jù)這個分解式有一個根子空間的直和分解。每一個根子空間特征值只有一個，通過變化可以把它轉(zhuǎn)化成研究冪零線性變換的問題。每一個冪零子空間可以繼續(xù)分解成循環(huán)子空間的直和，于是每一個根子空間也可以對應(yīng)地分解。我們可以證明循環(huán)子空間已經(jīng)是最細(xì)的分解，不可再分了。最后，從每個“最細(xì)的〞子空間里選出一組“適當(dāng)?shù)抹暬€性變換在這組基下對應(yīng)的矩陣就是標(biāo)準(zhǔn)型。第三章矩陣范數(shù)理論及其應(yīng)用知識要點：1、向量范數(shù)及其性質(zhì)〔范數(shù)與賦范空間，維向量的1-范數(shù)、2-范數(shù)、-范數(shù)和范數(shù)，，，，有限維賦范空間的范數(shù)是等價的〕2、矩陣范數(shù)及其相容性〔范數(shù)，，相容性：，〕3、算子范數(shù)〔定義，列范數(shù)，行范數(shù)，譜范數(shù)〕4、矩陣范數(shù)的應(yīng)用〔矩陣序列及冪級數(shù)的收斂性，矩陣條件數(shù)，攝動理論、矩陣的譜半徑〕§3.1向量范數(shù)及其性質(zhì)一、范數(shù)與賦范線性空間定義1：如果對于線性空間的任一向量，對應(yīng)—個實值函數(shù)〔記為〕，并滿足以下三個條件〔稱為范數(shù)公理〕：(1)非負(fù)性：時,＞0；時,=0；(2)齊次性：=,，；(3)三角不等式：≤+，；那么稱為上向量的范數(shù)，稱為賦范線性空間。易證滿足距離公理，稱之為范數(shù)誘導(dǎo)的距離。假設(shè)，那么稱收斂于，記為。例：對于連續(xù)函數(shù)空間中的向量，1-范數(shù)、-范數(shù)和-范數(shù)分別定義為：，，，。性質(zhì)1：賦范線性空間上的實函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，即時，。性質(zhì)2：設(shè)為可逆矩陣，對于維向量，為中的一個范數(shù)，令，那么也為中的范數(shù)。注：內(nèi)積空間可構(gòu)成為賦范線性空間，但賦范線性空間不一定是內(nèi)積空間。二、維向量的-范數(shù)定義2：對于維向量，，稱為的1-范數(shù)，記為，由此誘導(dǎo)出的距離稱為街區(qū)距離。，稱為的2-范數(shù)，記為，由此誘導(dǎo)出的距離稱為歐氏距離。，稱為的-范數(shù)，記為，由此誘導(dǎo)出的距離稱為棋盤距離〔也稱契比雪夫距離〕。，稱為的-范數(shù)，記為。，稱之為加權(quán)范數(shù)或橢圓范數(shù)，其中為可逆矩陣。定理1：對于維向量，。注：幾何意義上，向量的2-范數(shù)、∞-范數(shù)和1-范數(shù)分別是斜邊長度、直角邊長度以及兩直角邊和的長度之和。三、范數(shù)的等價性定義3：對任意，滿足不等式的兩種范數(shù)稱為是等價的。定理2：對于維向量，總成立著，，，。定理3：設(shè)是維賦范線性空間的一組基，那么存在正數(shù)，使得對一切，成立著。證明：時，令，，那么是有界閉集超球面上連續(xù)函數(shù)，從而必能取到最小值和最大值，且顯然。取，即可證得定理的結(jié)論。結(jié)論1：有限維賦范空間的范數(shù)是等價的，即對于維賦范線性空間中的范數(shù)，存在正數(shù)，使得對一切，成立著。推論：范數(shù)等價時，等價于。注：在中，各種-范數(shù)均是等價的，從而對于不同的問題可靈活選用適當(dāng)?shù)姆稊?shù)。結(jié)論2：維賦范線性空間必與維向量空間同構(gòu)并且同胚。設(shè)是維賦范線性空間的一組基，對任何，令，那么為到上的同構(gòu)映射，并且由可知，與均為連續(xù)映射，從而與是同胚的。結(jié)論3：維向量序列收斂于向量的充分必要條件為，即按坐標(biāo)收斂?！?.2矩陣范數(shù)及其相容性一、常見的矩陣范數(shù)定義1：設(shè)，稱為的范數(shù)或-范數(shù)，記為。性質(zhì)1：滿足范數(shù)公理構(gòu)成中范數(shù)，并且。定理〔-范數(shù)的酉不變性〕：設(shè)中范數(shù)，且都是酉矩陣，那么，即給左乘或右乘以酉矩陣后其值不變(在時和都是正交矩陣)。證明：。由及也為酉矩陣可得，。推論：酉(或正交)相似變換下矩陣的-范數(shù)保持不變。定義2：設(shè)，稱為-范數(shù)，為-范數(shù)。性質(zhì)2：滿足范數(shù)公理構(gòu)成中范數(shù)，并且，。二、矩陣范數(shù)的相容性定義3：滿足條件的矩陣范數(shù)稱為具有相容性。注：工程應(yīng)用中的矩陣范數(shù)常要求滿足非負(fù)性、齊次性、三角不等式和相容性，因此下文中矩陣范數(shù)總假定具有相容性。性質(zhì)3：滿足相容性的矩陣范數(shù)必有。性質(zhì)4：假設(shè)可逆，那么。例1：范數(shù)具有相容性。例2：-范數(shù)和-范數(shù)具有相容性，但范數(shù)不具有相容性。三、矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性定義4：假設(shè)，那么稱矩陣范數(shù)與向量范數(shù)具有相容性。注1：時，，即是的連續(xù)函數(shù)或是上線性連續(xù)算子。注2：當(dāng)時，，從而。例3：。注：視矩陣為線性變換時，通常要求線性變換是連續(xù)即有界的，因此自然有了相容性〔包括范數(shù)的相容性〕要求?！?.3矩陣的算子范數(shù)一、算子范數(shù)的概念定義：。注：一般算子范數(shù)的求解步驟：1、；2、，。二、算子范數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：。性質(zhì)2：。性質(zhì)3：〔假設(shè)與具有相容性〕。性質(zhì)4：。三、常見的算子范數(shù)1、列范數(shù)：，。設(shè)，，令，其中，。。令，那么，從而。不妨設(shè)，。取，那么，并且，因而。由此可得，。2、行范數(shù)：，。設(shè)，，令，其中，。。令，那么，從而。不妨設(shè)，。取，那么，并且，因而。由此可得，。3、譜范數(shù)：，。注：，，。例1：設(shè)，。求：〔1〕矩陣的算子范數(shù)和的值；〔2〕在上的最大值。例2：設(shè)為正規(guī)矩陣，那么；可逆時，。證明：為正規(guī)矩陣時，存在酉矩陣，使得，其中。由此可得，，從而，并且當(dāng)可逆時，。注：當(dāng)為酉矩陣時，。一般地，，，其中和分別是的最大和最小奇異值?！?.4矩陣范數(shù)的應(yīng)用一、矩陣的非奇異性條件定理1：設(shè)，且對上的某矩陣算子范數(shù)，有，那么矩陣非奇異，并且，。證明：對于任何，，從而，即，因此為非奇異陣。令，，那么，從而。由此可得。由可得，，從而。注：假設(shè)為奇異陣，那么，從而為的特征值。由此可知，存在，使得，從而，這與矛盾，因而為非奇異陣。定理2：設(shè)非奇異，，且對上的某矩陣算子范數(shù)，有，那么(1)非奇異；(2)記，那么；(3)。證明：由定理1可知，(1)可逆，從而可逆。(2)。(3)由可得，，從而。注：對于具有相容性的一般矩陣范數(shù)，定理1、2的結(jié)論也成立。事實上，由第四章中矩陣冪級數(shù)理論可知，，從而。二、近似逆矩陣的誤差—逆矩陣的攝動線性代數(shù)方程組解的誤差通常來自于常數(shù)項的擾動和系數(shù)矩陣的擾動，其程度取決于條件數(shù)的大小，這里總假定可逆。顯然，。對應(yīng)矩陣的種范數(shù)，相應(yīng)地可以定義種條件數(shù)。注：，其中和分別是的最大和最小奇異值。當(dāng)為正規(guī)矩陣時，存在酉矩陣，使得，其中，從而。由此可得，，。，其中和分別是的特征值模的最大和最小值。當(dāng)為酉矩陣時，?！?〕常數(shù)項的擾動對方程組解的影響設(shè)，那么，，從而。由此可得，?！?〕系數(shù)矩陣的擾動對方程組的影響設(shè)，那么，從而。設(shè)，那么，從而。例1：考察方程組在精確解處對常數(shù)項誤差的敏感程度。解：不難得到，為擾動方程的精確解，與原方程精確解相差很大。進一步，，，，這說明方程組的解對常數(shù)項的擾動很敏感，因而原方程組是病態(tài)的。例2：考察線性方程組對常數(shù)項擾動的敏感性。解：易知，是原方程的精確解，而在擾動之下的攝動方程的精確解是?？梢?，很小擾動引起了很大變化，原因是系數(shù)矩陣的條件數(shù)很大。注：矩陣的條件數(shù)，對應(yīng)矩陣的種范數(shù)，相應(yīng)地可以定義種條件數(shù)。函數(shù)是判斷矩陣病態(tài)與否的一種度量，條件數(shù)越大矩陣越病態(tài)。事實上，條件數(shù)表示了矩陣計算對于誤差的敏感性。對于線性方程組，如果的條件數(shù)大，的微小改變就能引起解較大的改變，數(shù)值穩(wěn)定性差。如果的條件數(shù)小，有微小的改變，的改變也很微小，數(shù)值穩(wěn)定性好。它也可以表示不變，而有微小改變時，的變化情況。一個極端的例子，當(dāng)奇異時，條件數(shù)為無窮，這時即使不改變，也可以改變。奇異的本質(zhì)原因在于矩陣有特征值，在對應(yīng)特征向量的方向上運動不改變的值。如果一個特征值比其它特征值在數(shù)量級上小很多，在對應(yīng)特征向量方向上很大的移動才能產(chǎn)生微小的變化，這就解釋了為什么這個矩陣為什么會有大的條件數(shù)。事實上，正規(guī)陣在二范數(shù)下的條件數(shù)就可以表示成的特征值模的最大值和最小值之比。三、矩陣的譜半徑及其性質(zhì)定義：設(shè)的個特征值為，稱為矩陣的譜半徑。定理3：設(shè)，那么對上任何一種矩陣范數(shù)，都有。證明：依題意只需證明，的任何特征值為均滿足。設(shè)，令，那么，從而的特征值的模均滿足小于。由為的特征值可知，，即對任意成立，從而。注：對于的算子范數(shù)〔或與向量范數(shù)相容的矩陣范數(shù)〕，由可得，，從而。例1：設(shè)，那么。例2：對任意非奇異矩陣，；當(dāng)為陣時，。定理4：設(shè)，對任意的正數(shù)存在的某種矩陣范數(shù)，使得。證明：根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)形理論，對于方陣存在可逆矩陣，使得。記，，那么有，這里是的個特征值，或為或為。令，那么有，其中可逆，且有。容易驗證，是上的矩陣范數(shù)，于是可得。注：該不等式只能保證對給定的矩陣成立，其范數(shù)的構(gòu)造與其本身相關(guān)。注：矩陣的譜半徑不構(gòu)成矩陣的范數(shù)，只是所有范數(shù)的下確界。但與某等價。第四章矩陣分析及其應(yīng)用知識要點：1、矩陣序列〔收斂性，有界性，四那么運算，收斂矩陣〕2、矩陣級數(shù)〔絕對收斂，冪級數(shù)，收斂半徑〕3、矩陣函數(shù)〔定義，利用定理的級數(shù)求和法，利用標(biāo)準(zhǔn)型的相似變換法，利用矩陣譜的待定系數(shù)法〕4、矩陣微積分〔單變量函數(shù)矩陣的微分與積分，矩陣函數(shù)的微分與積分，矩陣指數(shù)函數(shù)〕5、矩陣分析的應(yīng)用〔常系數(shù)線性微分方程組，變系數(shù)線性微分方程組，2元信號檢測，匹配濾波，梯度分析與最優(yōu)化〕§4.1矩陣序列一、矩陣序列收斂的概念定義1：設(shè)有矩陣序列，假設(shè)當(dāng)時，，那么稱矩陣序列收斂于極限，記作。不收斂的矩陣序列稱為發(fā)散的。定理1：的充要條件是，即按元素位置收斂。注：假設(shè)以定理的結(jié)論為矩陣序列收斂的定義，那么有結(jié)論：存在某矩陣范數(shù)，使得時，。推論1：的充要條件是。二、矩陣序列收斂的性質(zhì)性質(zhì)：設(shè)，，那么有1、，；2、；3、〔假設(shè)存在〕。定義2：如果存在常數(shù)，使得對一切都，那么稱矩陣序列有界。定理2：收斂的矩陣序列必有界。定理3：有界矩陣序列必有收斂的子序列。定理4：矩陣序列有界的充分必要條件為存在常數(shù)，使得。三、收斂矩陣定義3：設(shè)為方陣、且當(dāng)時有，那么稱為收斂矩陣。定理5：()的充要條件是的譜半徑，即所有特征值的模小于。證明：由標(biāo)準(zhǔn)型理論可知，對于矩陣，存在可逆矩陣，使得，其中，，。由此可得，，，，。因此，當(dāng)且僅當(dāng)，從而的充要條件是，。推論2：假設(shè)存在一種矩陣范數(shù)，使＜1，那么()。反之亦然。證明：由可得，，從而。反之，由定理可知，。取，那么，從而存在一種矩陣范數(shù)使得，。注：由也可知，。例1：判斷是否為收斂矩陣．解：因為，所以是收斂矩陣。§4.2矩陣級數(shù)一、矩陣級數(shù)的收斂性定義1：矩陣序列形成的無窮和稱為矩陣級數(shù)