MS05三角函數(shù)綜合應用

學習數(shù)學，領悟數(shù)學，秒殺數(shù)學。三角函數(shù)綜合應用秒殺秘籍：三角函數(shù)與二次函數(shù)對勾函數(shù)利用換元法，將三角函數(shù)換元，然后代入二次函數(shù)進行分析計算，常見的換元有，或者，或者二次函數(shù)類型：軸定區(qū)間定，軸動區(qū)間定，軸定區(qū)間動。例1：函數(shù)y=2sin2x+2cosx﹣3的最大值是（）A．﹣1 B． C．﹣ D．﹣5解：解：y=2sin2x+2cosx﹣3=﹣2cos2x+2cosx﹣1=﹣2（cosx﹣）2﹣≤﹣．∴函數(shù)y=2sin2x+2cosx﹣3的最大值是﹣．故選：C．例2：若關于x的方程sin2x+asinx+4=0在區(qū)間[0，π]有兩個不相等的實根，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．a(chǎn)＜﹣4或a＞4 B．﹣5≤a≤﹣4 C．a(chǎn)＜﹣5 D．a(chǎn)≤﹣4解：∵x∈[0，π]，故sinx∈[0，1]，設t=sinx，則t∈[0，1]，則方程sin2x+asinx+4=0等價為t2+at+4=0．當時，無解，當時，即，根據(jù)對勾函數(shù)性質(zhì)可得，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，即，由于有兩個不同的解，故時只有一解，故。例3：已知，求函數(shù)的最大值和最小值（提示：需要用到公式：）。解：，令，故，，即，故函數(shù)的最大值為最小值為。例4：已知，若記其最大值為，求的解析式解：，令，，當時，即，；當時，即時，；當時，即，；綜上，例5：函數(shù)y=sin2x+2cosx在區(qū)間[﹣，a]上的值域為[﹣，2]，則a的范圍是（）A．[﹣，] B．（﹣，] C．[0，] D．（0，]解：y=sin2x+2cosx=﹣cos2x+2cosx+1=﹣（cosx﹣1）2+2，∵此函數(shù)在區(qū)間[，a]上的值域為[﹣，2]，并且cosx能夠取得最大值1時，函數(shù)值為2，∴a≥0，又x=時，函數(shù)值為，x=時，函數(shù)值為，∴a≤，所以a的取值范圍是[0，]；故選：C．1.函數(shù)y=sin2x﹣sinx+3的最大值是（）A．2 B．3 C．4 D．52.已知函數(shù)y=sin2x﹣3sinx+1（），則函數(shù)的值域為（）A．[﹣1，1] B． C． D．[﹣1，5]3.函數(shù)y=（sinx﹣a）2+1，當sinx=a時有最小值，當sinx=1時有最大值，則a的取值范圍是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，1] C．（﹣∞，0] D．[0，1]4.函數(shù)y=cos2x+sinx的最大值是5.函數(shù)y=3﹣sinx﹣2cos2x的值域為6.函數(shù)f（x）=﹣cos2x+cosx+1，x∈[0，]的值域為．7.函數(shù)f（x）在R上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，且當θ∈（0，）時，f（2cos2θ+2msinθ﹣1）+f（﹣2m﹣2）＞0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是．8.關于x的方程cos2x+sinx﹣a=0有實數(shù)解，則實數(shù)a的最小值是9.已知關于x方程cos2x﹣sinx+a=0，若0＜x≤程有解，則a取值范圍是10.已知sinx+siny=，則+siny﹣cos2x的取值范圍是．11.已知函數(shù)f（x）是定義在（﹣∞，1]上的減函數(shù)，且對一切x∈R，不等式f（k﹣sinx）≥f（k2﹣sin2x）恒成立，則k的值為．12.若函數(shù)y=sin2x+m?cosx+m﹣在閉區(qū)間[0，]上的最大值是1，則滿足條件的m值為（）A．或 B．或C．或或 D．13若x是三角形的最小內(nèi)角，則函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcosx的值域是（）A．[﹣1，+∞） B．[﹣1，] C．（0，] D．（1，+]14.若a為常數(shù)，且a＞1，0≤x≤2π，則函數(shù)f（x）=﹣sin2x+2asinx的最大值為（）A．2a+1 B．2a﹣1 C．﹣2a﹣1 D．a(chǎn)215.設y=cos2x﹣msinx+n的最大值為0，最小值為﹣4，求m，n的值．秒殺秘籍：三角函數(shù)與分式函數(shù)同名函數(shù)利用分離常數(shù)法，形如非同名函數(shù)利用數(shù)形結(jié)合的方法，形如利用單位圓與直線相交相切來解決最值問題。例6：求值域。解：，故，則值域為。例7：求函數(shù)的最大值和最小值。解：法一：如圖所示，表示過點的直線與單位圓有交點時，直線的斜率，令直線方程為，原點到直線的的距離為，故函數(shù)的最大值為，最小值為0。法二：利用輔助角公式：計算，，解得：16.的值域是（）A． B．[﹣1，1] C．[﹣2，2] D．17.函數(shù)y=的值域是．18.對于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A．有最大值而無最小值 B．有最小值而無最大值C．都有 D．既無最大也無最小19.函數(shù)的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．不存在20.設a、b是非負實數(shù)，且a2+b2=4，則（）A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值21.已知函數(shù)f（x）=（|t|＞1）的最大值和最小值分別是M，m，則M?m為（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣222.函數(shù)f（x）=在區(qū)間[0，]上的最大值與最小值分別是（）A．1，0 B．，0 C．0，﹣1 D．1，秒殺秘籍：三角函數(shù)與線性函數(shù)交點問題作出三角函數(shù)和線性函數(shù)的圖形，利用數(shù)形結(jié)合來判斷交點。例8：設f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且x＞0時，f（x）=（）x，則函數(shù)F（x）=f（x）﹣sinx在[﹣π，π]上的零點個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5解：由于f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且x＞0時，．則當x＜0時，﹣x＞0，f（﹣x）==2x=﹣f（x），∴f（x）=則函數(shù)F（x）=f（x）﹣sinx在[﹣π，π]上的零點個數(shù)，就是函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象在[﹣π，π]上的交點個數(shù)，如圖所示：結(jié)合圖象可得，函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象在[﹣π，π]上的交點個數(shù)為5，故選D．例9：函數(shù)f（x）=sinx在區(qū)間（0，10π）上可找到n個不同數(shù)x1，x2，…，xn，使得==…=，則n的最大值等于（）A．8 B．9 C．10 D．11解：設==…==k，則條件等價為f（x）=kx，的根的個數(shù)，作出函數(shù)f（x）和y=kx的圖象，由圖象可知y=kx與函數(shù)f（x）最多有10個交點，即n的最大值為10，故選：C．23.已知函數(shù)f（x）=2x+1，g（x）=2sinx，則y=f（x）與y=g（x）圖象在區(qū)間[﹣1，1]內(nèi)交點的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．324.若sinθ=1﹣log2x，則x的取值范圍是（）A．[1，4] B．[，1] C．[2，4] D．[，4]25.已知f（x）=sinωx（ω＞0）的最小正周期為4π，則f（1），，的大小關系為（）A．f（1）＞＞ B．＞f（1）＞ C．＞＞f（1） D．＞＞f（1）26.方程cosx=lg|x|有個根27.函數(shù)y=sinx與y=x的交點個數(shù)為．28.函數(shù)f（x）=cosx﹣|lgx|零點的個數(shù)為．29.函數(shù)f（x）=ax，x∈[0，π]，且f（x）≤1+sinx，則a的取值范圍是．30.函數(shù)f（x）=2sinx與g（x）=圖象所有交點的橫坐標之和為（）A．12 B．14 C．16 D．18歡迎關注老唐說題的微信公眾號，更多資料下載請加入QQ群758352643，數(shù)學建模，針對熱點考題，會推出視頻講解！原創(chuàng)不易！多多包涵！1.D2.A3.A4.5.[，4]6.[﹣1，]7.8.﹣19.（﹣1，1]10.[，]11.﹣112.D13.D14.B15.解：令sinx=t，t∈[﹣1，1]，y=cos2x﹣msinx+n=1﹣sin2x﹣msinx+n，y=﹣（sinx+）2++n+1=﹣（t+）2++n+1∴y=﹣（t+）2++n+1，對稱軸為t=﹣，當﹣≤﹣1即m≥2時，[﹣1，1]是函數(shù)y的遞減區(qū)間，ymax=y|t=﹣1=m+n=0，ymin=y|t=1=﹣m+n=﹣4，解得：m=2，n=﹣2；當﹣≥1即m≤﹣2時，[﹣1，1]是函數(shù)y的遞增區(qū)間，ymax=y|t=1=﹣m+n=0，ymin=y|t=﹣1=m+n=﹣4，解得：m=﹣2，n=﹣2；當﹣1＜﹣＜1即﹣2＜m＜2時，ymax=y|t=﹣=+n+1=0，再當﹣≥0即m≤0時，ymin=y|t=﹣1=m+n=﹣4，得m=﹣2，