多目標(biāo)決策分析

第六章多目標(biāo)決策分析廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院運(yùn)籌管理系第六章多目標(biāo)決策分析在決策分析中，決策問題要到達(dá)的目的稱為決策目標(biāo)，用數(shù)值表示決策方案實(shí)現(xiàn)某個目標(biāo)程度的標(biāo)準(zhǔn)和法那么，稱為決策準(zhǔn)那么。前面討論的問題都只有一個決策目標(biāo)和一個評價準(zhǔn)那么〔如收益最大、效用最大〕，屬單目標(biāo)、單準(zhǔn)那么決策。 單目標(biāo)決策的關(guān)鍵：合理選擇決策準(zhǔn)那么。實(shí)際問題常常有多個決策目標(biāo)，每個目標(biāo)的評價準(zhǔn)那么往往也不是只有一個，而是多個—多目標(biāo)、多準(zhǔn)那么決策問題?！?.1多目標(biāo)決策的目標(biāo)準(zhǔn)那么體系多目標(biāo)決策問題的目標(biāo)往往相互聯(lián)系、相互制約，有的甚至相互矛盾。在多目標(biāo)決策問題中，有的目標(biāo)可以用一個或幾個決策準(zhǔn)那么直接進(jìn)行評價和比較，有的目標(biāo)那么難以進(jìn)行直接評價和比較。 如何解決這一問題？通常將難以進(jìn)行直接評價和比較的目標(biāo)分解為假設(shè)干子目標(biāo)，直至這些子目標(biāo)能用一個或幾個決策準(zhǔn)那么進(jìn)行評價和比較。例：某經(jīng)濟(jì)特區(qū)方案興建一個大型海港 港址的選擇需要綜合考慮經(jīng)濟(jì)、技術(shù)、環(huán)境以及社會四個方面。決策目標(biāo)有四個：經(jīng)濟(jì)、技術(shù)、環(huán)境、社會 這四個目標(biāo)均不能直接用一個或幾個準(zhǔn)那么進(jìn)行評價，要根據(jù)決策主體和實(shí)際情況的要求，逐級分解為假設(shè)干子目標(biāo)。如：經(jīng)濟(jì)目標(biāo)可以分解成直接經(jīng)濟(jì)效益和間接經(jīng)濟(jì)效益兩個一級子目標(biāo)。直接經(jīng)濟(jì)效益又可以繼續(xù)分解為投資額、投資回收期和利稅總額等三個二級子目標(biāo)…海港港址經(jīng)濟(jì)技術(shù)環(huán)境社會直接效益間接效益投資額投資回收期利稅總額海運(yùn)收益國際貿(mào)易收益國內(nèi)貿(mào)易收益航道海灘建筑運(yùn)行城市關(guān)系交通關(guān)系資源環(huán)保政策軍事……

……

……

§6.1多目標(biāo)決策的目標(biāo)準(zhǔn)那么體系目標(biāo)準(zhǔn)那么體系的意義目標(biāo)準(zhǔn)那么體系 指依據(jù)決策主體要求和實(shí)際情況需要，對目標(biāo)經(jīng)過逐層分解形成的多層次結(jié)構(gòu)的子目標(biāo)系統(tǒng)。目標(biāo)準(zhǔn)那么體系的最低一層子目標(biāo)可以用單一準(zhǔn)那么進(jìn)行評價。多目標(biāo)決策問題的關(guān)鍵就是合理地選擇和構(gòu)造目標(biāo)準(zhǔn)那么體系。目標(biāo)準(zhǔn)那么體系的意義構(gòu)造目標(biāo)準(zhǔn)那么體系應(yīng)注意的原那么系統(tǒng)性原那么 各子目標(biāo)要反映所有因素的整體影響，具有層次性和相關(guān)性?？杀刃栽敲?不同系統(tǒng)的橫向比較；同一系統(tǒng)的縱向動態(tài)比較?？刹僮餍栽敲?各子目標(biāo)含義明確，便于數(shù)據(jù)采集和計算。目標(biāo)準(zhǔn)那么體系的結(jié)構(gòu)1、單層次目標(biāo)準(zhǔn)那么體系 各個目標(biāo)都屬于同一層次，每個目標(biāo)無須分解就可以用單準(zhǔn)那么給出定量評價。圖6-2單層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系總目標(biāo)目標(biāo)m目標(biāo)m-1目標(biāo)2目標(biāo)1……目標(biāo)準(zhǔn)那么體系的結(jié)構(gòu)2、序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)那么體系目標(biāo)準(zhǔn)那么體系的各個目標(biāo)，均可以按序列分解為假設(shè)干個低一層次的子目標(biāo)；各子目標(biāo)又可以繼續(xù)分解；這樣一層層按類別有序地進(jìn)行分解，直到最低一層子目標(biāo)可以按某個準(zhǔn)那么給出數(shù)量評價為止。特點(diǎn)：各子目標(biāo)可按序列關(guān)系分屬各類目標(biāo)，不同類別的目標(biāo)準(zhǔn)那么之間不發(fā)生直接聯(lián)系；每個子目標(biāo)均由相鄰上一層的某個目標(biāo)分解而成。目標(biāo)準(zhǔn)那么體系的結(jié)構(gòu)3、非序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)那么體系某一層次的各子目標(biāo)，一般不單是由相鄰上一層次某子目標(biāo)分解而成，各子目標(biāo)也不能按序列關(guān)系分屬各類；相鄰兩層次子目標(biāo)之間，僅按自身的屬性建立聯(lián)系，存在聯(lián)系的子目標(biāo)之間用實(shí)線連結(jié)，無實(shí)線連結(jié)的子目標(biāo)之間，不存在直接聯(lián)系。3、非序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)那么體系G............c1c2cn-1cn…g11g12g1n-1g1n…最高層中間層準(zhǔn)那么層…g21g22g1k-1g1k評價準(zhǔn)那么和效用函數(shù)在多目標(biāo)決策中，制定了目標(biāo)準(zhǔn)那么體系后，不同的目標(biāo)通常用不同的評價準(zhǔn)那么衡量。問題：如何從總體上給出方案對于目標(biāo)準(zhǔn)那么體系中的全部目標(biāo)的滿意度？必須將不同度量單位的準(zhǔn)那么，化為無量綱統(tǒng)一的數(shù)量標(biāo)度，并按特定的法那么和邏輯過程進(jìn)行歸納與綜合，才能建立各可行方案之間具有可比性的數(shù)量關(guān)系。效用函數(shù)正是一種統(tǒng)一的數(shù)量標(biāo)度。評價準(zhǔn)那么和效用函數(shù)多目標(biāo)決策中，任何一個方案的效果均可以由目標(biāo)準(zhǔn)那么體系的全部結(jié)果值所確定?？尚蟹桨冈诿恳粋€目標(biāo)準(zhǔn)那么下，確定—個結(jié)果值，對目標(biāo)準(zhǔn)那么體系，就得到一組結(jié)果值，并經(jīng)過各目標(biāo)準(zhǔn)那么的效用函數(shù)，得出一組效用值。這樣，任何一個可行方案在總體上對決策主體的滿意度，可以通過這些效用值按照某種法那么并合而得，滿意度是綜合評價可行方案的依據(jù)。6.1.4目標(biāo)準(zhǔn)那么體系風(fēng)險因素的處理單目標(biāo)風(fēng)險型決策中，各備選方案看成是在整體上處于同一類狀態(tài)空間的。多目標(biāo)決策中，風(fēng)險因素可能只涉及某些目標(biāo)準(zhǔn)那么，備選方案不宜在整體上視為處于同一類狀態(tài)空間。多目標(biāo)決策的風(fēng)險因素，應(yīng)該在目標(biāo)準(zhǔn)那么體系中對涉及風(fēng)險因素的各子目標(biāo)分別加以處理。將風(fēng)險型多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為確定型多目標(biāo)問題?！?.2目標(biāo)規(guī)劃方法目標(biāo)規(guī)劃模型多目標(biāo)線性規(guī)劃問題問題：能否化為單目標(biāo)線性規(guī)劃問題求解？ 如何處理各目標(biāo)的主次、輕重？§6.2目標(biāo)規(guī)劃方法例6.1某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的單位利潤、所消耗的原材料及設(shè)備工時、材料和設(shè)備工時的限額如下表所示。甲乙限額原材料（公斤）設(shè)備（工時）23322426利潤（元/件）42產(chǎn)品消耗原料例6.1 決策者根據(jù)市場需求等一系列因素，提出以下目標(biāo)〔依重要程度排列〕：首要目標(biāo)是保證乙產(chǎn)品的產(chǎn)量大于甲產(chǎn)品產(chǎn)量；盡可能充分利用工時，但又不希望加班；確保到達(dá)方案利潤30元。 試對廠家生產(chǎn)作出決策分析。設(shè)甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x1、x2件?！?.2目標(biāo)規(guī)劃方法目標(biāo)規(guī)劃是求解多目標(biāo)線性規(guī)劃的方法之一。目標(biāo)規(guī)劃的根本方法對每一個目標(biāo)函數(shù)引進(jìn)一個期望值；引入正、負(fù)偏差變量，表示實(shí)際值與期望值的偏差，并將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為約束條件，與原有約束條件構(gòu)成新的約束條件組；引入目標(biāo)的優(yōu)先等級和權(quán)系數(shù)，構(gòu)造新的單一的目標(biāo)函數(shù)，將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題求解?！?.2目標(biāo)規(guī)劃方法1、目標(biāo)函數(shù)的期望值ek對于多目標(biāo)線性規(guī)劃的每一個目標(biāo)函數(shù)值Zk(k=1,2,…,K)，根據(jù)實(shí)際情況和決策者的希望，確定一個期望值ek。在例6.1中乙產(chǎn)品與甲產(chǎn)品產(chǎn)量之差的目標(biāo)值可定為0；生產(chǎn)工時的目標(biāo)值為26〔工時〕；利潤的目標(biāo)值為30〔元〕?！?.2目標(biāo)規(guī)劃方法2、正負(fù)偏差變量 對每一個目標(biāo)函數(shù)值，分別引入正、負(fù)偏差變量

正負(fù)偏差變量分別表示實(shí)際目標(biāo)值超過和低于期望值的數(shù)值。引入偏差變量之后，目標(biāo)就變成了約束條件，成為約束條件組的一局部?！?.2目標(biāo)規(guī)劃方法在例6.1中，令： d1+,d1-分別表示乙產(chǎn)品與甲產(chǎn)品產(chǎn)量之差超過和達(dá)不到目標(biāo)值的偏差變量； d2+,d2-分別表示生產(chǎn)工時超過和達(dá)不到目標(biāo)值的偏差變量； d3+,d3-分別利潤超過和達(dá)不到目標(biāo)值的偏差變量；那么三個目標(biāo)可化為含有偏差變量的約束條件§6.2目標(biāo)規(guī)劃方法3、優(yōu)先因子〔優(yōu)先等級〕和權(quán)系數(shù) 如何區(qū)別不同目標(biāo)的主次輕重？凡要求第一位到達(dá)的目標(biāo)賦于優(yōu)先因子P1，次位的目標(biāo)賦于優(yōu)先因子P2，…，并規(guī)定Pk＞＞Pk+1〔表示Pk比Pk+1有更大的優(yōu)先權(quán)，Pk+1級目標(biāo)是在保證Pk級目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的根底上才能考慮的〕〔k＝1,2，…，K〕為區(qū)別具有相同優(yōu)先因子的兩個目標(biāo)的差異，可分別賦于它們不同的權(quán)系數(shù)ωj 優(yōu)先等級及權(quán)數(shù)的賦值由決策者確定?！?.2目標(biāo)規(guī)劃方法4、達(dá)成函數(shù)(準(zhǔn)那么函數(shù))—目標(biāo)規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù)準(zhǔn)那么函數(shù)由各目標(biāo)約束的正、負(fù)偏差變量及相應(yīng)的優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)構(gòu)造而成。注：目標(biāo)規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù)是對各目標(biāo)的偏差的綜合〔將多目標(biāo)化為單目標(biāo)〕，在目標(biāo)函數(shù)中不包含原決策變量，且一定是極小型的〔偏差最小〕。4、達(dá)成函數(shù)(準(zhǔn)那么函數(shù))當(dāng)每一目標(biāo)值確定后，決策者的要求是偏差變量盡可能小，因此其目標(biāo)函數(shù)只能是極小形式，具體有以下三種根本形式：要求恰好到達(dá)目標(biāo)值(正、負(fù)偏差都要盡可能小)要求不超過目標(biāo)值(正偏差應(yīng)盡可能小)要求不低于目標(biāo)值(負(fù)偏差應(yīng)盡可能小)§6.2目標(biāo)規(guī)劃方法在例6.1中， 首要目標(biāo)是保證乙產(chǎn)品的產(chǎn)量大于甲產(chǎn)品產(chǎn)量，賦于優(yōu)先因子P1，目標(biāo)為d1-盡可能?。?次級目標(biāo)是生產(chǎn)工時恰好到達(dá)目標(biāo)值，賦于優(yōu)先因子P2，目標(biāo)為d2-和d2＋都要??； 最后的目標(biāo)是利潤不低于30元，賦于優(yōu)先因子P3，目標(biāo)為d3-盡可能?。灰虼?，可構(gòu)造準(zhǔn)那么函數(shù)如下：§6.2目標(biāo)規(guī)劃方法例6.1的目標(biāo)規(guī)劃模型為：§6.2目標(biāo)規(guī)劃方法目標(biāo)規(guī)劃的一般模型§6.2目標(biāo)規(guī)劃方法目標(biāo)規(guī)劃的建模步驟〔1〕假設(shè)決策變量；〔2〕建立約束條件；〔3〕建立各個目標(biāo)函數(shù)；〔4〕確定各目標(biāo)期望值，引入偏差變量，將目標(biāo)函數(shù)化為約束方程；〔5〕確定各目標(biāo)優(yōu)先級別和權(quán)系數(shù)，構(gòu)造準(zhǔn)那么函數(shù)?！?.3化多為少方法對單層次多目標(biāo)決策模型其中f1(x),f2(x),…,fm(x)表示m個目標(biāo)函數(shù)，X表示滿足某些約束條件的n維點(diǎn)集。處理方法：〔1〕化為一個單目標(biāo)問題 〔2〕化為多個單目標(biāo)問題。例6.5某廠在方案期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。產(chǎn)品資源甲乙資源限額原材料A（公斤）原材料B（公斤）設(shè)備C（工時）4594310200240300價格（元/件）400600利潤（元/件）70120污染32例6.5設(shè)產(chǎn)品能全部銷售出去問：方案期應(yīng)如何安排生產(chǎn)，才能使利潤和產(chǎn)值都到達(dá)最大，而造成的污染最?。拷猓涸O(shè)方案期分別生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品x1、x2件，那么問題的數(shù)學(xué)模型為：§6.3化多為少方法主要目標(biāo)法主要目標(biāo)—所有決策目標(biāo)中，重要程度最高和最為關(guān)鍵的目標(biāo)。主要目標(biāo)要求到達(dá)最優(yōu)。其余目標(biāo)作為非主要目標(biāo)，滿足一定條件即可〔滿意〕。設(shè)f1(x)為主要目標(biāo)，那么由：可以得到〔6.3〕的一個有效解。例6.5 決策者確定以利潤最大為主要目標(biāo)并要求：總產(chǎn)值至少應(yīng)到達(dá)20000元，污染量那么應(yīng)控制在90個單位以下。由主要目標(biāo)法可得到單目標(biāo)規(guī)劃問題：§6.3化多為少方法線性加權(quán)和法給目標(biāo)fi(x)賦以權(quán)系數(shù)λi〔i=1,2,…,m〕然后作新的目標(biāo)函數(shù)構(gòu)成單目標(biāo)決策問題：難點(diǎn)：如何使多個目標(biāo)用同一尺度統(tǒng)一起來〔多種方法在下一章中介紹，可以將各目標(biāo)統(tǒng)一作效用值度量〕；如何選擇合理的權(quán)系數(shù)。線性加權(quán)和法1.α—法 以兩個目標(biāo)的多目標(biāo)決策問題為例記：〔即x(1)、x(2)分別為以f1(x)和f2(x)目標(biāo)的單目標(biāo)問題的最優(yōu)解〕線性加權(quán)和法1.α—法 化作單目標(biāo)決策問題要求：c1是任意的非零常數(shù)。即可確定權(quán)系數(shù)。假設(shè)進(jìn)一步要求α1+α2=1，可得：例6.7

設(shè)有多目標(biāo)決策問題其中：試用α—法化為單目標(biāo)決策問題。解：先分別求解得：x(1)=(0,0)T，x(2)=(1,2)T例6.7

x(1)=(0,0)T，x(2)=(1,2)T那么：對目標(biāo)進(jìn)行線性加權(quán)：化為單目標(biāo)問題：線性加權(quán)和法2.λ—法對多目標(biāo)決策問題?。夯癁閱文繕?biāo)決策問題：適用條件：fi*≠0§6.3化多為少方法平方和加權(quán)法要求目標(biāo)fi(x)與規(guī)定值fi*相差盡量小〔i=1,2,…,m〕，可構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)：構(gòu)成單目標(biāo)決策問題：λi—權(quán)系數(shù)，可按要求的相差程度分別給出?！?.3化多為少方法理想點(diǎn)法記：稱為理想點(diǎn)。假設(shè)所有x(i)都相同，記為x(0)，那么x(0)就是所求的多目標(biāo)決策問題的最優(yōu)解；假設(shè)不然，那么考慮求解下面的單目標(biāo)決策問題：例6.7

x(1)=(0,0)T，x(2)=(1,2)T用理想點(diǎn)法化為單目標(biāo)決策問題構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)§6.3化多為少方法步驟法〔STEM法〕是逐步迭代的方法，也稱逐步進(jìn)行法、對話式方法。在求解過程中，每進(jìn)行一步，分析者就把計算結(jié)果告訴決策者，決策者對計算結(jié)果作出評價。假設(shè)認(rèn)為已滿意了，那么迭代停止；否那么分析者再根據(jù)決策者的意見進(jìn)行修改和再計算，如此直到求得決策者認(rèn)為滿意的解為止。步驟法〔STEM法〕設(shè)有多目標(biāo)線性規(guī)劃問題：其中步驟法〔STEM法〕STEM法的求解步驟：分別求解k個單目 標(biāo)線性規(guī)劃問題 得到的最優(yōu)解記為x(i)，其相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值記為fi*〔i=1,2,…,k〕，并x(i)代入其它目標(biāo)函數(shù)：結(jié)果可列表給出〔稱為支付表〕。STEM法支付表x(i)f1f2…fj…fkx(1)z11z21…zj1…zk1…………………x(i)z1iz2i…zji…zki…………………x(k)z1kz2k…zjk…zkk步驟法〔STEM法〕STEM法的求解步驟：求權(quán)系數(shù)：從支 付表中得到 為找出目標(biāo)值的偏差以及消除不同目標(biāo)值的量綱不同的問題，進(jìn)行如下處理：歸一化后得權(quán)系數(shù)：步驟法〔STEM法〕STEM法的求解步驟：求解〔使目標(biāo)與理想值的最大加權(quán)偏差λ最小〕該線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解記為x0。步驟法〔STEM法〕STEM法的求解步驟：將x0

和相應(yīng)的目標(biāo)值交給決策者判斷。 決策者把這些目標(biāo)值與理想值進(jìn)行比較后，假設(shè)認(rèn)為滿意了，那么可停止計算；假設(shè)認(rèn)為相差太遠(yuǎn)，那么考慮適當(dāng)修正。 如：考慮對第r個目標(biāo)讓一點(diǎn)步，降低一點(diǎn)目標(biāo)值△fr。步驟法〔STEM法〕STEM法的求解步驟：求解 求得解后，再與決策者對話，如此重復(fù)，直至決策者認(rèn)為滿意了為止。例6.9 某公司考慮生產(chǎn)甲、乙兩種太陽能電池，生產(chǎn)過程會在空氣中引起放射性污染，因此決策者有兩個目標(biāo)：極大化利潤與極小化總的放射性污染。在一個生產(chǎn)周期內(nèi)，每單位甲產(chǎn)品的收益是1元，每單位乙產(chǎn)品的收益是3元；每單位甲產(chǎn)品的放射性污染是1.5單位，每單位乙產(chǎn)品的放射性污染是1單位，由于機(jī)器能力〔小時〕、裝配能力〔人時〕和可用的原材料〔單位〕的限制，約束條件是〔x1、x2分別為甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量〕：例6.9該問題的目標(biāo)函數(shù)為：例6.9STEM法求解先分別求解得：x(1)=(7.25,12.75)T， x(2)=(0,0)T

f1*=45.5， f2*=0例6.9STEM法支付表f1f2x(1)=(7.25,12.75)T45.5－23.625x(2)=(0,0)T00例6.9STEM法求解求權(quán)系數(shù)：從 支付表中得到歸一化后得權(quán)系數(shù)：例6.9STEM法求解求解最優(yōu)解為x0=(0,9.57)T,f1(x0)=28.71,f2(x0)=-9.57例6.9STEM法求解將x0=(0,9.57)T,f1(x0)=28.71,f2(x0)=-9.57 交給決策者判斷。 決策者將其與理想值〔45.5,0〕進(jìn)行比較后，認(rèn)為f2是滿意的， 但利潤太低。且認(rèn)為 可以接受污染值為10 個單位。修改約束集求解得x1=(0,10)T,f1(x1)=30,f2(x0)=-10決策者認(rèn)為滿意，停止迭代。

§6.4多維效用并合方法6.4.1多維效用并合模型多目標(biāo)決策問題其目標(biāo)屬性的特點(diǎn)：目標(biāo)間的不可公度性 即：對各目標(biāo)的評價沒有統(tǒng)一的量綱，不能用同一標(biāo)準(zhǔn)評價。目標(biāo)間的矛盾性 提高某一目標(biāo)值，可能會損害另一目標(biāo)值。多維效用并合方法是解決目標(biāo)間的不可公度性和矛盾性的一種有效途徑。6.4.1多維效用并合模型 設(shè)多目標(biāo)決策方案有m個可行方案： a1，a2，...，am 有s個評價準(zhǔn)那么，測定和計算s個評價準(zhǔn)那么的效用函數(shù)為： u1，u2，...，us 得到這m個可行方案在s個評價準(zhǔn)那么下的效用值分別是： u1(ai)，u2(ai)，...，us(ai) (i=1，2，...，m)6.4.1多維效用并合模型多維效用并合方法為了從總體上表示可行方案ai的總效用，需要通過某種特定的方法和邏輯程序，將s個分效用合并為總效用，并依據(jù)各可行方案的總效用對其進(jìn)行排序。這一多目標(biāo)決策方法稱為多維效用并合方法。主要用于序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)那么體系Hv1w2w1v2w4w3vlwkwk-1u2u1ulul-1..............................usus-1...圖6.6序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)那么體系6.4.1多維效用并合模型圖6.6中：H表示可行方案的總效用值，即滿意度；v1，v2，...，vl表示第二層子目標(biāo)的效用值；如此類推，w1，w2，...，wk表示倒數(shù)第二層各子目標(biāo)的效用值；u1，u2，...，us表示最低一層各準(zhǔn)那么的效用值。6.4.1多維效用并合模型效用并合過程從下到上，逐層進(jìn)行。最低一層各準(zhǔn)那么的效用，經(jīng)過并合得到：符號“●〞表示按某種規(guī)那么和邏輯程序進(jìn)行的效用并合運(yùn)算。6.4.1多維效用并合模型 多維效用并合的最滿意方案為a*，其滿意度滿足：第三層子目標(biāo)的效用并合得到第二層各目標(biāo)的并合效用值：最后，可得可行方案ai的滿意度為：6.4.2多維效用并合規(guī)那么在多目標(biāo)決策中，根據(jù)決策目標(biāo)的不同屬性，效用并合采取不同方式進(jìn)行。多維效用合并規(guī)那么可由二維效用合并規(guī)那么導(dǎo)出，故先討論二維效用合并規(guī)那么。二維效用函數(shù)與二維效用曲面 設(shè)效用u1，u2分別在區(qū)間［0，1］上取值，二元連續(xù)函數(shù)W=W(u1，u2)稱為二維效用函數(shù)，其定義域是坐標(biāo)平面u1，u2上的一個正方形，稱為二維效用平面，其值域是W軸上的區(qū)間［0，1］，曲面W=W(u1，u2)稱為二維效用曲面。6.4.2多維效用并合規(guī)那么多維效用函數(shù)與多維效用曲面設(shè)效用u1，u2，...，un分別在區(qū)間［0，1］上取值，n元連續(xù)函數(shù)W=W(u1，u2，...，un)稱為n維效用函數(shù)。其定義域是n維效用空間u1，u2，...，un上有2n個頂點(diǎn)的凸多面體。其值域是［0，1］。曲面W=W(u1，u2，...，un)稱為n維效用曲面。6.4.2多維效用并合規(guī)那么1.距離規(guī)那么 稱滿足以下條件的并合規(guī)那么為距離規(guī)那么：當(dāng)二效用同時到達(dá)最大值時，并合效用到達(dá)最大值1，即：W(1，1)=1；當(dāng)二效用同時取最小值時，并合效用取零效用值(最小值)，即：W(0，0)=0；二效用之一到達(dá)最大值，均不能使并合效用到達(dá)最大值，即： 0<W(u1，1)<1，0≤u1<1 0<W(1，u2)<1，0≤u2<11.距離規(guī)那么二維效用平面上其余各點(diǎn)效用值，與該點(diǎn)與并合效用最大值點(diǎn)的距離d成正比例。即：

W=W(u1，u2)的取值與d成正比。有：1.距離規(guī)那么距離規(guī)那么下的二維效用函數(shù)為：公式(6.9)可以推廣到多維情形：如：本錢和效益的效用并合可以按距離規(guī)那么進(jìn)行，并合效用函數(shù)2.代換規(guī)那么 二維效用并合的代換規(guī)那么適合如下情況：二效用對決策主體具有同等重要性，只要其中一個目標(biāo)的效用取得最大值，無論其它效用取何值，即使取得最低水平，并合效用也到達(dá)最高水平，與二效用均到達(dá)最高水平一樣。即： W(1，1)=1，W(0，0)=0 W(u1，1)=1，0≤u1≤1 W(1，u2)=1，0≤u2≤12.代換規(guī)那么代換規(guī)那么下的二維效用函數(shù)為：推廣到多維情形，n維效用并合的代換規(guī)那么公式為：3.加法規(guī)那么 二維效用并合的加法規(guī)那么適用于如下情況：二效用的變化具有相關(guān)性，對并合效用的奉獻(xiàn)沒有本質(zhì)差異，并且可以互相線性地補(bǔ)償，即一目標(biāo)效用的減少可以由另一目標(biāo)效用值的增加得到補(bǔ)償。即： W(1，1)=1，W(0，0)=0假設(shè)： W(1，0)=ρ1，W(0，1)=ρ2那么有： ρ1+ρ2=13.加法規(guī)那么推廣到多維情形，n維效用并合的加法規(guī)那么公式為：加法規(guī)那么下的二維效用函數(shù)為：4.乘法規(guī)那么 乘法規(guī)那么適用于如下情況：二目標(biāo)效用對于并合效用具有同等重要性，相互之間完全不能替代，只要其中任意一個目標(biāo)效用值為0，無論另一個目標(biāo)效用取值多大，并合效用值均為0。即： W(1，1)=1，W(0，0)=0 W(1，0)=W(0，1)=04.乘法規(guī)那么推廣到多維情形，n維效用并合的乘法規(guī)那么公式為：乘法規(guī)那么下的二維效用函數(shù)為：更一般地：4.乘法規(guī)那么更一般地，乘法規(guī)那么下的n維效用函數(shù)為：或表示成對數(shù)形式：5.混合規(guī)那么混合規(guī)那么適用于各目標(biāo)效用之間較為復(fù)雜的關(guān)系，是比代換、加法和乘法三規(guī)那么更為一般的情況。混合規(guī)那么的二維效用并合公式：其中，γ≥－1稱為形式因子。γ的不同取值分別表示代換、加法和乘法三規(guī)那么之一。推廣到多維情形，n維效用并合的混合規(guī)那么公式為：5.混合規(guī)那么當(dāng)γ≠0時，(6.20)可以化為較為標(biāo)準(zhǔn)的形式：當(dāng)γ=-1時，化為代換規(guī)那么形式；當(dāng)γ=0，且c1+c2=1時，化為加法規(guī)那么形式；當(dāng)γ>>0時，近似于乘法規(guī)那么形式：6.4.3多維效用并合方法應(yīng)用實(shí)例 多維效用并合方法是多目標(biāo)決策的一種實(shí)用方法，在經(jīng)濟(jì)管理、工程評價、能源規(guī)劃、人口控制等方面有著廣泛的應(yīng)用。例：“我國總?cè)丝谀繕?biāo)〞實(shí)例 經(jīng)過統(tǒng)計分析測算，我國人口開展周期應(yīng)是人均壽命70年，制定控制人口目標(biāo)，宜以100年為時間范圍。需要確定100年內(nèi)，我國人口控制最合理的總目標(biāo)是多少。例：“我國總?cè)丝谀繕?biāo)〞方案： 對我國總?cè)丝谀繕?biāo)的14個方案進(jìn)行決策分析，即我國總?cè)丝诜謩e控制為2億、3億、4億、5億、6億、7億、8億、9億、10億、11億、12億、13億、14億、15億14個人口方案，分別記為ai(i=1,2,…,14),其滿意度分別為Hi(i=1,2,…,14)。例：“我國總?cè)丝谀繕?biāo)〞各國對比u9我國人口總目標(biāo)HV1V2吃用v1實(shí)力v2用w2吃w1糧食u1魚肉u2空氣u4水u5能源u6土地u3最低總和生育率u8GNPu7目標(biāo)準(zhǔn)那么體系例：“我國總?cè)丝谀繕?biāo)〞效用并合1、u1〔糧食〕、u2〔魚肉〕并合為w1宜用乘法規(guī)那么：w1＝u1·u22、u3〔土地〕、u4〔空氣〕、u5〔水〕并合為w2宜用乘法規(guī)那么w2＝u3·u4·u53、u6〔能源〕、u7〔GNP〕并合為v2宜用乘法規(guī)那么v2＝u7·u84、u8〔βmin〕、u9〔各國比照〕并合為V2宜用乘法規(guī)那么V2＝u8·u9例：“我國總?cè)丝谀繕?biāo)〞效用并合5、w1〔吃〕、w2〔用〕并合為v1宜用加法規(guī)那么：v1＝ρ·w1+(1-ρ)·w26、v1〔吃用〕、v2〔實(shí)力〕并合為V1宜用加法規(guī)那么：V1＝α·v1+(1-α)·v27、V1、V2并合為H宜用乘法規(guī)那么： H＝V1·V2得：§6.5層次分析方法AHP方法是美國運(yùn)籌學(xué)家于20世紀(jì)70年代提出的，AHP決策分析法是AnalyticHierarchyProcess的簡稱。是一種定性與定量相結(jié)合的多目標(biāo)決策分析方法。AHP決策分析法，能有效地分析非序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)那么體系，是解決復(fù)雜的非結(jié)構(gòu)化的經(jīng)濟(jì)決策問題的重要方法，是計量經(jīng)濟(jì)學(xué)的主要方法之一。例6.10科研課題的綜合評價綜合評價科研課題成果奉獻(xiàn)人才培養(yǎng)可行性開展前景實(shí)用價值科技水平優(yōu)勢發(fā)揮難易程度研究周期財政支持經(jīng)濟(jì)效益社會效益AHP方法的根本原理首先要將問題條理化、層次化，構(gòu)造出能夠反映系統(tǒng)本質(zhì)屬性和內(nèi)在聯(lián)系的遞階層次模型。1.遞階層次模型根據(jù)系統(tǒng)分析的結(jié)果，弄清系統(tǒng)與環(huán)境的關(guān)系，系統(tǒng)所包含的因素，因素之間的相互聯(lián)系和隸屬關(guān)系等。將具有共同屬性的元素歸并為一組，作為結(jié)構(gòu)模型的一個層次，同一層次的元素既對下一層次元素起著制約作用，同時又受到上一層次元素的制約。1.遞階層次模型 AHP的層次結(jié)構(gòu)既可以是序列型的，也可以是非序列型的。一般將層次分為三種類型：最高層：只包含一個元素，表示決策分析的總目標(biāo)，也稱為總目標(biāo)層。中間層：包含假設(shè)干層元素，表示實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)所涉及到的各子目標(biāo)，也稱為目標(biāo)層。最低層：表示實(shí)現(xiàn)各決策目標(biāo)的可行方案、措施等，也稱為方案層。1.遞階層次模型H............A1A2An-1An…G11G12G1n-1G1n…最高層中間層最低層…G21G22G1k-1G1k層次結(jié)構(gòu)圖1.遞階層次模型相鄰兩層元素之間的關(guān)系用直線標(biāo)明，稱之為作用線，元素之間不存在關(guān)系就沒有作用線。假設(shè)某元素與相鄰下一層次的所有元素均有關(guān)系，那么稱此元素與下一層次存在完全層次關(guān)系；如果某元素僅與相鄰下一層次的局部元素有關(guān)系，那么稱為不完全層次關(guān)系。實(shí)際中，模型的層次不宜過多，每層元素一般不宜超過9個。目的：防止模型中存在過多元素而使主觀判斷比較有困難。2.層次元素排序的特征向量法構(gòu)建了層次結(jié)構(gòu)模型，決策就轉(zhuǎn)化為待評方案〔最低層〕關(guān)于具有層次結(jié)構(gòu)的目標(biāo)準(zhǔn)那么體系的排序問題。AHP方法采用優(yōu)先權(quán)重作為區(qū)分方案的優(yōu)劣程度的指標(biāo)，優(yōu)先權(quán)重是一種相對度量數(shù)，表示方案相對優(yōu)劣程度，數(shù)值介于0－1之間，數(shù)值越大，方案越優(yōu)，反之越劣。方案層各方案關(guān)于目標(biāo)準(zhǔn)那么體系整體的優(yōu)先權(quán)重，是通過遞階層次從下到上逐層計算的。這一過程稱為遞階層次權(quán)重解析過程。遞階層次權(quán)重解析過程(1)測算每一層次關(guān)于上一層次某元素的優(yōu)先權(quán)重〔相鄰兩層次間的權(quán)重解析〕方法： 構(gòu)造判斷矩陣； 計算判斷矩陣的最大特征值和特征向量； 以特征向量各分量表示該層次元素的優(yōu)先權(quán)重〔？〕，得到層次單排序。(2)進(jìn)行組合加權(quán)，得到該層次元素對于相鄰上一層次整體的組合優(yōu)先權(quán)重—層次總排序(3)最后計算得到方案層各方案關(guān)于目標(biāo)準(zhǔn)那么體系整體的優(yōu)先權(quán)重。物體測重問題 設(shè)有m個物體，其重量分別為W1,W2,…,Wm〔未知〕，為測出各物體的重量，現(xiàn)將每一物體的重量與其它物體的重量作兩兩比較，其重量比值構(gòu)成了一個m階方陣A物體測重問題 記各物體重量組成的向量〔未知〕為 W＝(W1,W2,…,Wm)T有：由線性代數(shù)知：m是A的最大特征值，W是矩陣A屬于特征值m的特征向量。物體測重問題的啟示假設(shè)一組物體無法直接測出其重量，但可以通過兩兩比較判斷，得到每對物體相對重量的判斷值，那么可構(gòu)造判斷矩陣(A),求解判斷矩陣的最大特征值和向量對應(yīng)的特征向量，就可以得到這組物體的相對重量。類似地，對于社會、經(jīng)濟(jì)和管理領(lǐng)域的決策問題，可以通過建立層次結(jié)構(gòu)模型，在相鄰兩層次之間構(gòu)造兩兩元素比較的判斷矩陣，用特征向量法求出層次單排序，最終完成遞階層次解析過程。物體測重問題的啟示從對物體測重問題的分析中可以看出，判斷矩陣A的元素aij＞0

(i,j=1,2,…,m)，且滿足以下條件：

aii=1,i=1,2,…,m

aij=1/aji,i,j=1,2,…,m

aij=aik/ajk

,

i,j,k=1,2,…,m

滿足條件①~③的矩陣A稱為互反的一致性正矩陣。3.互反正矩陣與一致性矩陣定義1：設(shè)有矩陣A＝(aij)m×m〔1〕假設(shè)aij≥0(i,j=1,2,…,m)，那么稱A為非負(fù)矩陣，記作A≥0；〔2〕假設(shè)aij＞0(i,j=1,2,…,m)，那么稱A為正矩陣，記作A＞0。定義2：設(shè)有m維列向量X＝(x1,x2,…,xm)T〔1〕假設(shè)xj≥0(j=1,2,…,m)，那么稱X為非負(fù)向量，記作X≥0；〔2〕假設(shè)xj＞0(j=1,2,…,m)，那么稱X為正向量，記作X＞0。3.互反正矩陣與一致性矩陣定理1：設(shè)有矩陣A＝(aij)m×m＞0，那么：〔1〕A有最大特征值λmax，且λmax是單根，其余特征值的模均小于λmax；〔2〕A的屬于λmax的特征向量X＞0；〔3〕λmax由下面的等式給出：其中：3.互反正矩陣與一致性矩陣定義3：設(shè)有矩陣A＝(aij)m×m＞0，假設(shè)A滿足：〔1〕aii=1,i=1,2,…,m〔2〕aij=1/aji,i,j=1,2,…,m 那么稱A為互反正矩陣。定義4：設(shè)有矩陣A＝(aij)m×m＞0，假設(shè)A滿足： aij=aik/ajk,i,j,k=1,2,…,m 那么稱A為一致性矩陣。一致性矩陣的性質(zhì)一致性正矩陣是互反正矩陣；假設(shè)A是一致性矩陣，那么A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也是一致性矩陣；A的每一行均為任意指定一行的正整數(shù)倍；A的最大特征值λmax＝m，其余特征值為0；假設(shè)A的屬于特征值λmax的特征向量為： X＝(x1,x2,…,xm)T 那么：aij=xi/xj,i,j=1,2,…,m互反正矩陣的性質(zhì) 一致性正矩陣是互反正矩陣，反之，互反正正矩陣不一定是一致性矩陣。定理2：設(shè)A＝(aij)m×m是互反正矩陣，λmax是A的最大特征值，那么λmax≥m。定理3：設(shè)A＝(aij)m×m是互反正矩陣，λ1，λ2，…，λm是A的特征值，那么：定理4：互反正矩陣A是一致性矩陣的充要條件是：

λmax＝m6.5.2判斷矩陣1.判斷矩陣的構(gòu)造設(shè)m個元素(方案或目標(biāo))對某一準(zhǔn)那么存在相對重要性，根據(jù)特定的標(biāo)度法那么，第i個元素(i＝1，2，…，n)與其它元素兩兩比較判斷，其相對重要程度為aij(i,j＝1,2,…,n),這樣構(gòu)造的m階矩陣用以求解各元素關(guān)于某準(zhǔn)那么的優(yōu)先權(quán)重，稱為權(quán)重解析判斷矩陣，簡稱判斷矩陣，記作A=(aij)m×m構(gòu)造判斷矩陣的關(guān)鍵，在于設(shè)計一種特定的比較判斷兩元素相對重要程度的標(biāo)度法那么，使得任意兩元素相對重要程度有一定的數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)。1—9標(biāo)度方法標(biāo)度定義含義1同樣重要兩元素對某屬性，一元素比另一元素同樣重要3稍微重要兩元素對某屬性，一元素比另一元素稍微重要5明顯重要兩元素對某屬性，一元素比另一元素明顯重要7強(qiáng)烈重要兩元素對某屬性，一元素比另一元素強(qiáng)烈重要9極端重要兩元素對某屬性，一元素比另一元素極端重要2、4、6、8相鄰標(biāo)度中值表示相鄰兩標(biāo)度之間折中時的標(biāo)度上列標(biāo)度倒數(shù)反比較元素i對元素j的標(biāo)度為aij，元素j對元素i的標(biāo)度為1/aij2.判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)1—9標(biāo)度方法構(gòu)造的判斷矩陣A一定是互反正矩陣；但A不一定是一致性矩陣，實(shí)際中，很難構(gòu)造出具有完全一致性的矩陣；只有判斷矩陣A具有完全的一致性時，才有唯一非零的最大特征值，其余特征值為0，層次單排序才能歸結(jié)為判斷矩陣A的最大特征值及其特征向量，才能用特征向量的各分量表示優(yōu)先權(quán)重。實(shí)際中，我們希望判斷矩陣具有滿意的一致性，這樣計算出的層次單排序結(jié)果才合理。2.判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)判斷矩陣A是互反正矩陣，故λmax≥m；當(dāng)A是一致性矩陣時：λmax＝m，且其余的特征值為0；A具有滿意的一致性：λmax略大于m，其余的特征值接近于0；設(shè)λ1，λ2，…，λm是A的全部特征值，那么： λ1＋λ2＋…＋λm＝tr(A)=m設(shè)λ1=λmax，那么：2.判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)一般來說，C.I

越大，偏離一致性越大，反之，偏離一致性越小。此外，判斷矩陣的階數(shù)m越大，判斷的主觀因素造成的偏差越大，偏離一致性也就越大。反之，偏離一致性越小。當(dāng)階數(shù)m≤2時，C.I=0，判斷矩陣具有完全的一致性。〔1〕判斷矩陣的一致性指標(biāo)2.判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)〔2〕平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R.I：是足夠多個根據(jù)隨機(jī)發(fā)生的判斷矩陣計算的一致性指標(biāo)的平均值〔表6.15〕?！?〕一致性比率C.R=C.I/R.I用一致性比率C.R檢驗(yàn)判斷矩陣的一致性，當(dāng)C.R越小時，判斷矩陣的一致性越好。一般認(rèn)為，當(dāng)C.R≤0.1時，判斷矩陣符合滿意的一致性標(biāo)準(zhǔn)，層次單排序的結(jié)果是可以接受的，否那么，需要修正判斷矩陣，直到檢驗(yàn)通過。判斷矩陣一致性檢驗(yàn)的步驟〔2〕查表6.15得到平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R.I〔3〕計算一致性比率C.R=C.I/R.I 假設(shè)C.R≤0.1，接受判斷矩陣； 否那么，修改判斷矩陣?！?〕求出判斷矩陣的一致性指標(biāo)C.I3.判斷矩陣的求解構(gòu)造了判斷矩陣，就要求解出判斷矩陣的最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，才能進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。由于判斷矩陣是決策者主觀判斷的定量描述〔不精確〕，因此在求解時可采用簡化計算的方法，求出近似解即可。簡化計算的思路——一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均。3.判斷矩陣的求解1、和法——取列向量的算術(shù)平均將判斷矩陣A的元素按列作歸一化處理，得矩陣Q=(qij)m×m將Q的元素按行相加，得到向量α＝(α1,α2,…,αm)T

〔三〕判斷矩陣的求解1、和法——取列向量的算術(shù)平均對向量α作歸一化處理得特征向量W＝(w1,w2,…,wm)T

求最大特征值

②③即對矩陣Q各行求算術(shù)平均得特征向量W。列向量歸一化行算術(shù)平均精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010一致性檢驗(yàn)：C.I＝0.005，R.I＝0.52，C.R＝0.01＜0.13.判斷矩陣的求解2、根法——取列向量的幾何平均計算判斷矩陣A的每一行元素之積計算Mi的m次方根得到向量α＝(α1,α2,…,αm)T

〔三〕判斷矩陣的求解2、根法——取列向量的幾何平均對向量α作歸一化處理得特征向量W＝(w1,w2,…,wm)T

求最大特征值

每行元素之積歸一化一致性檢驗(yàn)：C.I＝0.0055，R.I＝0.52，C.R＝0.011＜0.1三次方根3.判斷矩陣的求解3、冪法——逐步迭代的方法 經(jīng)過假設(shè)干次迭代計算，按照規(guī)定的精度，求出判斷矩陣A的最大特征值及其對應(yīng)的特征向量。冪法是依據(jù)下面的定理提出的。定理：設(shè)矩陣A＝(aij)m×m>0，那么：其中：W是A的最大特征值對應(yīng)的特征向量，C為常數(shù)，向量e＝(1,1,…,1)T3、冪法——步驟1〕任取初始正向量W(0),k=0，設(shè)置精度2〕計算3〕歸一化5〕計算4〕假設(shè)3.判斷矩陣的求解停止；否那么，k=k+1,轉(zhuǎn)2〕3.判斷矩陣的求解 為了克服隨著判斷矩陣階數(shù)的增加而產(chǎn)生精確求解最大特征值的困難，還可其他近似方法確定方案的權(quán)重。問題：對一致陣A＝(aij)m×m>0,其權(quán)向量為W=(w1,…,wm)T，那么應(yīng)有：aij=wi/wj 實(shí)際中A不一定是一致陣,對于正互反矩陣，在求解權(quán)向量時，應(yīng)選權(quán)向量W使wi/wj與aij相差盡量小〔對所有i，j〕。3.判斷矩陣的求解最小二乘法〔LSM〕：對正互反矩陣，通過以下最優(yōu)化問題導(dǎo)出排序向量的方法稱為最小二乘法。這是一個非線性規(guī)劃問題。3.判斷矩陣的求解對數(shù)最小二乘法〔LLSM〕：對正互反矩陣，通過以下最優(yōu)化問題導(dǎo)出的排序向量的方法稱為對數(shù)最小二乘法。目標(biāo)函數(shù)關(guān)于lnwi是線性的，該方法結(jié)果與根法相同。3.判斷矩陣的求解梯度特征向量法〔GEM〕：設(shè)正互反判斷矩陣為A，其偽〔擬〕互反矩陣為由下面的遞推公式導(dǎo)出排序向量的方法稱為梯度特征向量法。其中：3.判斷矩陣的求解最小偏差法〔LDM〕：對正互反矩陣，由以下最優(yōu)化問題導(dǎo)出的排序向量的方法稱為最小偏差法。F(w)有唯一的極小點(diǎn)w*，且w*是以下方程組的唯一解：3.判斷矩陣的求解目標(biāo)規(guī)劃法(LGP)：目標(biāo)規(guī)劃法是由Brynon

提出的，Brynon考慮了人們認(rèn)識的差異性，通過引進(jìn)正、負(fù)偏差變量，建立判斷矩陣的元素與權(quán)重的關(guān)系：3.判斷矩陣的求解目標(biāo)規(guī)劃法(LGP)

通過求解下面優(yōu)化模型，確定方案的權(quán)重。遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程 討論用AHP方法對一般非序列型目標(biāo)準(zhǔn)那么體系問題進(jìn)行決策。G總目標(biāo)n層子目標(biāo)準(zhǔn)那么層方案層遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程遞階權(quán)重解析：AHP方法的目的，在于求出各方案對總目標(biāo)G的優(yōu)先權(quán)重，求解過程從上到下，在相鄰層次之間逐層進(jìn)行，故稱為遞階權(quán)重解析。注意：不完全層次關(guān)系 如：方案ai與準(zhǔn)那么cj不存在關(guān)系，構(gòu)造方案層對準(zhǔn)那么cj的判斷矩陣時，應(yīng)將方案ai除外，得到m－1階矩陣，解得m－1維特征向量，再將方案ai關(guān)于準(zhǔn)那么cj的權(quán)重0補(bǔ)進(jìn)去，得到m維特征向量。完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián)不完全層次結(jié)構(gòu)第3層對第2層權(quán)向量：w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T貢獻(xiàn)O教學(xué)C1科研C2P2

P1P3P4例:評價教師奉獻(xiàn)的層次結(jié)構(gòu)P1,P2只作教學(xué),P4只作科研,P3兼作教學(xué)、科研。C1,C2支配元素的數(shù)目不等遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程1.遞階權(quán)重解析公式首先，討論相鄰兩層次間的權(quán)重解析。 設(shè)已計算第k-1層子目標(biāo)關(guān)于總目標(biāo)G的組合優(yōu)先權(quán)重向量為： W(k-1)=(w1(k-1),w2(k-1),…,wnk-1(k-1))T 第k層子目標(biāo)的個元素對以第k-1層的第j個元素為準(zhǔn)那么的優(yōu)先權(quán)重向量為： Pj(k)=(p1j(k),p2j(k),…,pnkj(k))T令： P(k)=(p1(k),p2(k),…,pnk-1(k))T P(k)是第k層子目標(biāo)nk個元素關(guān)于第k-1層nk-1個元素的優(yōu)先權(quán)重向量構(gòu)成的nk×nk-1矩陣。遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程1.遞階權(quán)重解析公式首先，討論相鄰兩層次間的權(quán)重解析。 那么第k層子目標(biāo)關(guān)于總目標(biāo)G的組合優(yōu)先權(quán)重向量為： W(k)=(w1(k),w2(k),…,wnk(k))T 其中：遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程1.遞階權(quán)重解析公式其次，用公式將遞階權(quán)重解析過程表示出來，給出方案層關(guān)于總目標(biāo)G的優(yōu)先權(quán)重向量。W

(1)：表示第一層子目標(biāo)關(guān)于總目標(biāo)G的優(yōu)先權(quán)重向量；P(k)=(p1(k)

,p2(k)

,

…,pnk-1(k))T

：表示第k層子目標(biāo) 關(guān)于第k-1層各元素的優(yōu)先權(quán)重向量，k=2,…,n；遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程P(c)=(p1(c),p2(c),…,ps(c))T：表示準(zhǔn)那么層s個準(zhǔn)那么 關(guān)于第n層nn個子目標(biāo)的優(yōu)先權(quán)重向量；P(a)=(p1(a),p2(a),…,ps(a))T：表示方案層m個方 案關(guān)于準(zhǔn)那么層s個準(zhǔn)那么的優(yōu)先權(quán)重向量；最后，計算方案層各方案關(guān)于總目標(biāo)G的優(yōu)

先權(quán)重

。這個優(yōu)先權(quán)重記為： W(a)=(w1(a),w2(a),…,wm(a))T計算公式為：遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程2.AHP方法的根本步驟〔總結(jié)〕建立層次結(jié)構(gòu)模型 將目標(biāo)準(zhǔn)那么體系所包含的因素劃分為不同層次，如目標(biāo)層、準(zhǔn)那么層、方案層等，構(gòu)建遞階層次結(jié)構(gòu)模型。構(gòu)造判斷矩陣 按照層次結(jié)構(gòu)模型，從上到下逐層構(gòu)造判斷矩陣。層次單排序及其一致性檢驗(yàn) 根據(jù)實(shí)際情況，用不同方法求解判斷矩陣最大特征值相對應(yīng)的特征向量，經(jīng)過歸一化處理，即得層次單排序權(quán)重向量。2.AHP方法的根本步驟〔總結(jié)〕層次總排序及其一致性檢驗(yàn)

層次總排序是從上到下逐層進(jìn)行的。在實(shí)際計算中，一般按表格形式計算較為簡便。

層次A層次BA1

A2…Am層次B總排序權(quán)值w1

w2…wmB1b11

b12…b1mB2b21

b22…b2m┇┇┇┇┇┇Bnbn1

bn2…bnm權(quán)重2.AHP方法的根本步驟〔總結(jié)〕4.層次總排序及其一致性檢驗(yàn)

層次總排序檢驗(yàn)的一致性指標(biāo)，平均隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率指標(biāo)分別是：3.AHP方法應(yīng)用實(shí)例例6.14某市中心有一座商場，由于街道狹窄，人員車輛流量過大，經(jīng)常造成交通堵塞。市政府決定解決這個問題．經(jīng)過有關(guān)專家會商研究，制定出三個可行方案：

a1：在商場附近修建一座環(huán)形天橋；

a2：在商場附近修建地下人行通道；

a3：搬遷商場。決策的總目標(biāo)是改善市中心交通環(huán)境。〔三〕AHP方法應(yīng)用實(shí)例 專家組擬定5個子目標(biāo)作為對可行方案的評價準(zhǔn)那么： C1：通車能力； C2：方便群眾； C3：基建費(fèi)用不宜過高； C4：交通平安； C5：市容美觀。 試對該市改善市中心交通環(huán)境問題作出決策分析。例6.14改善交通環(huán)境天橋a1地道a2搬遷a3通車能力C1方便群眾C2基建費(fèi)用C3交通安全C4市容美觀C5圖6.16層次結(jié)構(gòu)模型解：(1)建立層次結(jié)構(gòu)模型；例6.14(2)以總目標(biāo)為準(zhǔn)那么，構(gòu)造判斷矩陣計算判斷矩陣的最大特征值λmax=5.206及對應(yīng)的特征向量w=(0.461,0.195,0.091,0.195,0.059)T,計算C.R＝0.046<0.1,例6.14同理以C1，C2，C3，C4，C5為準(zhǔn)那么構(gòu)造判斷矩陣，并計算其最大特征值及對應(yīng)的特征向量。例5-2〔3〕層次總排序及一致性檢驗(yàn)注意:如果去掉C5與a3的連線，在準(zhǔn)那么C5下的判斷矩陣是2×2階，計算最大特征值對應(yīng)的特征向量是二維的，此時應(yīng)在對應(yīng)的位置添加零，使得其變?yōu)槿S向量。改善交通環(huán)境天橋a1地道a2搬遷a3通車能力C1方便群眾C2基建費(fèi)用C3交通安全C4市容美觀C5§6.6DEA方法 在社會、經(jīng)濟(jì)和管理領(lǐng)域中，常常需要對具有相同類型的部門、企業(yè)或者同一企業(yè)不同時期的相對效率進(jìn)行評價。決策單元—待評價的部門、企業(yè)或時期。評價的依據(jù)—是決策單元的一組投入指標(biāo)數(shù)據(jù)和一組產(chǎn)出指標(biāo)數(shù)據(jù)。投入指標(biāo)—是指決策單元在社會、經(jīng)濟(jì)和管理活動中需要消耗的經(jīng)濟(jì)量。產(chǎn)出指標(biāo)—是指決策單元在某種投入要素組合下，說明經(jīng)濟(jì)活動產(chǎn)生成效的經(jīng)濟(jì)量?！?.6

DEA方法常見的投入指標(biāo)：固定資產(chǎn)原值、流動資金平均余額、自籌技術(shù)開發(fā)資金、職工人數(shù)、占用土地等。 常見的產(chǎn)出指標(biāo)：總產(chǎn)值、銷售收人、利稅總額、產(chǎn)品數(shù)量、勞動生產(chǎn)率、產(chǎn)值利潤率等。問題：如何根據(jù)投入指標(biāo)數(shù)據(jù)和產(chǎn)出指標(biāo)數(shù)據(jù)評價決策單元的相對效率，即評價部門、企業(yè)或時期之間的相對有效性？§6.6

DEA方法常見的投入指標(biāo)：固定資產(chǎn)原值、流動資金平均余額、自籌技術(shù)開發(fā)資金、職工人數(shù)、占用土地等。DEA〔DataEnvelopmentAnalysis〕方法又稱為數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法，是對多指標(biāo)投入和多指標(biāo)產(chǎn)出的相同類型部門，進(jìn)行相對有效性綜合評價的一種新方法，也是研究多投入多產(chǎn)出生產(chǎn)函數(shù)的有力工具。DEA方法就是根據(jù)輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)來評價決策單元的優(yōu)劣，即所謂評價部門〔或單位〕間的相對有效性的方法。§6.6

DEA方法DEA模型1.DEA模型概述DEA方法是美國著名運(yùn)籌學(xué)家查思斯和庫伯教授于1978年首先提出的，適用于多指標(biāo)投入和多指標(biāo)產(chǎn)出決策單元的相對有效性評價，以相對效率概念為根底。在國外，該方法已經(jīng)成功地應(yīng)用于銀行、城市、醫(yī)院、學(xué)校及軍事工程等方面效率評價，在對相互之間存在劇烈競爭的私營企業(yè)和公司的效率評價中，也有巨大的優(yōu)越性?！?.6

DEA方法DEA模型1.DEA模型概述DEA模型特點(diǎn)：以最優(yōu)化為工具，以多指標(biāo)投入和多指標(biāo)產(chǎn)出的權(quán)系數(shù)為決策變量，在最優(yōu)化的意義上進(jìn)行評價，防止了在統(tǒng)計平均意義上確定指標(biāo)權(quán)系數(shù)，具有內(nèi)在的客觀性。不需要確定投入和產(chǎn)出之間關(guān)系的具體形式，具有黑箱類型研究方法的特色。2.C2R模型及其根本性質(zhì) 設(shè)有n個部門或企業(yè)〔決策單元〕，每個決策單元都有m種投入和p種產(chǎn)出。xij：第j個決策單元第i種投入指標(biāo)的投入量，xij>0，是數(shù)據(jù)；yrj：第j個決策單元第r種產(chǎn)出指標(biāo)的產(chǎn)出量，yrj>0，是數(shù)據(jù)；vi：第i種投入指標(biāo)的權(quán)系數(shù)(待定)，vi≥0；ur：第r種產(chǎn)出指標(biāo)的權(quán)系數(shù)(待定)，ur≥0； i=1，2，…，m；j=1，2，…，n r=1，2，…，p2.C2R模型及其根本性質(zhì)投入產(chǎn)出決策單元2.C2R模型及其根本性質(zhì)對每個決策單元，都定義一個效率評價指標(biāo)hj表示第j個決策單元所取得的經(jīng)濟(jì)效率，可以適中選擇權(quán)系數(shù)，使得hj≤1。其中：u=(u1,u2,…,up)T,v=(v1,v2,…,vm)T,

xj=(x1j,x2j,…,xmj)T,yj=(y1j,y2j,…,yrj)T2.C2R模型及其根本性質(zhì)設(shè)第j0個決策單元的投入和產(chǎn)出向量分別為：

xj0=(x1j0,x2j0,…,xmj0)T,yj0=(y1j0,y2j0,…,yrj0)T效率指標(biāo)h0=hj0評價第j0個決策單元有效性〔相對于其它決策單元而言〕的模型為：稱為CCR模型〔C2R〕2.C2R模型及其根本性質(zhì)是一個分式規(guī)劃，令t=1/vTx0，ω=tv,μ=tu，那么可化為一個等價的線性規(guī)劃問題：2.C2R模型及其根本性質(zhì)

線性規(guī)劃(P)的對偶問題為：其中：s-

=(s1-,s2-,…,sm-)T,s+=(s1+,s2+,…,sm+)T,

為松馳變量向量。3.決策單元的DEA有效性定義6.6：假設(shè)線性規(guī)劃(P)的最優(yōu)解ω0,μ0滿足： VP＝(μ0)Ty0＝1那么稱決策單元j0為弱DEA有效。定義6.7：假設(shè)線性規(guī)劃(P)的最優(yōu)解ω0,μ0滿足： VP＝(μ0)Ty0＝1，且ω0＞0，μ0＞0那么稱決策單元j0為DEA有效。決策單元j0為DEA有效的含義：指決策單元j0相對于其它決策單元，其效率評價指標(biāo)取得最優(yōu)值，即在多指標(biāo)投入和多指標(biāo)產(chǎn)出的情況下，取得了最正確經(jīng)濟(jì)效率。C2R模型的根本性質(zhì)定理6.6：假設(shè)線性規(guī)劃(P)及其對偶問題(D)都有可行解，那么(P)和(D)都有最優(yōu)解，且最優(yōu)值 VP＝VD≤1 因此，也可利用對偶規(guī)劃判定決策單元的DEA有效性。定理6.7：關(guān)于對偶規(guī)劃(D)有：(1)假設(shè)(D)的最優(yōu)值VD＝1，那么決策單元j0為弱DEA有效。(2)假設(shè)(D)的最優(yōu)值VD＝1，且每個最優(yōu)解λ0=(λ10,λ20,…,λn0)T,s0+，s0-,θ0都滿足s0+＝s0-=0，那么決策單元j0為DEA有效。C2R模型的根本性質(zhì) 實(shí)際中，評價系統(tǒng)的投入、產(chǎn)出指標(biāo)均有不同的量綱。定理6.8：決策單元的最優(yōu)效率指標(biāo)VP與投入指標(biāo)xij及產(chǎn)出指標(biāo)yrj的量綱選取無關(guān)。 實(shí)際應(yīng)用中，無論利用線性規(guī)劃(P)根據(jù)定義1、2，或利用對偶規(guī)劃(D)根據(jù)定理2判定決策單元是否DEA有效都不是容易的。 為使判定決策單元是否DEA有效更簡便、實(shí)用，查思斯和庫伯引用了非阿基米德無窮小ε，帶有ε的C2R模型能用單純形法求解。帶有ε的C2R模型其中：〔Pε〕的對偶規(guī)劃為決策單元的DEA有效性 利用帶有ε的C2R模型Dε，容易判斷決策單元的DEA有效性。定理6.9：設(shè)ε為非阿基米德無窮小，線性規(guī)劃Dε的最為優(yōu)解λ0,s0+，s0-,θ0，有：(1)假設(shè)θ0＝1，那么決策單元j0為弱DEA有效。(2)假設(shè)θ0＝1，且s0+＝s0-=0，那么決策單元j0為DEA有效。 利用模型Dε一次計算即可判定決策單元是否DEA有效，實(shí)際操作中，只要取ε足夠小就可以了。例6.15 設(shè)有4個決策單元，2個投入指標(biāo)和1個產(chǎn)出指標(biāo)的評價系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如以下圖所示。試寫出評價每個決策單元相對效率的C2R模型并判定其DEA有效性。產(chǎn)出決策單元例6.15解 評價第1個決策單元相 對效率C2R模型的線性 規(guī)劃〔P〕，對偶規(guī)劃 〔D〕分別為解得：故決策單元1為DEA有效。例6.15解 評價第2個決策單元相 對效率C2R模型的線性 規(guī)劃和對偶規(guī)劃分別 為：

解得：故決策單元2為DEA有效。例6.15解 評價第3個決策單元相 對效率C2R模型的線性 規(guī)劃和對偶規(guī)劃分別 為：

解得：故決策單元3不是弱DEA有效。例6.15解 評價第4個決策單元相 對效率C2R模型的線性 規(guī)劃和對偶規(guī)劃分別 為：

解得：故決策單元4不是弱DEA有效。4.DEA有效決策單元的構(gòu)造定義6.8：設(shè)λ0，s0-,s0+,θ0是對偶問題(Dε)的最優(yōu)解。令：

稱為決策單元j0對應(yīng)的(x0,y0)在DEA的相對有效面上的投影。定理6.10：設(shè)為決策單元j0對應(yīng)的(x0,y0)在DEA的相對有效面上的投影。則新決策單元相對于原來的n個決策單元來說，是DEA有效的。

例6.15解決策單元2、4均不是DEA有效的決策單元2對應(yīng)的對偶線性規(guī)劃〔D2〕的解為構(gòu)造新的決策單元：新決策單元相對于原有的4個決策單元是DEA有效的。例6.15解決策單元2、4均不是DEA有效的決策單元4對應(yīng)的對偶線性規(guī)劃〔D4〕的解為構(gòu)造新的決策單元：新決策單元相對于原有的4個決策單元是DEA有效的?！?.6DEA方法

DEA有效性的經(jīng)濟(jì)意義1．生產(chǎn)函數(shù)和生產(chǎn)可能集

生產(chǎn)函數(shù):

y=f(x)表示理想的生產(chǎn)狀態(tài)，即(在單投入和單產(chǎn)出的情況下)投入量x所能獲得的最大產(chǎn)出量y。技術(shù)有效：當(dāng)企業(yè)用現(xiàn)有的投入無法得到更大的產(chǎn)出，或無法以更少的