空間向量與立體幾何小題（浙江省2021屆高考模擬試題匯編（二模））（解析）

（浙江省2021屆高考模擬試題匯編（二模））

空間向量與立體幾何小題

一、單選題

1.已知空間中不過同一點(diǎn)的兩條直線加，〃及平面a,貝心用，〃與平面a所成的角相

同”是“租//〃”的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】

根據(jù)線面關(guān)系及其性質(zhì)，直接判斷即可得解.

【詳解】

當(dāng)"?，"與平面a所成的角相同，Nl=/2,

而此時(shí)小〃不共平行，故機(jī)〃〃不成立，

反之m〃”，則m,〃與平面a所成的角相同成立,

故選：B.

2.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

B..

A.V2

72

C.

2

【答案】D

【分析】

判斷出幾何體的結(jié)構(gòu)，從而計(jì)算出幾何體的體積.

【詳解】

由三視圖可知，幾何體是如下圖所示三棱錐,

3.某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體中長度為3cm的棱有（）.

A.0條B.1條C.2條D.3條

【答案】C

【分析】

由三視圖求得直觀圖，在邊長為2的正方體中畫出該圖形，分別求出各邊長，即可得解.

【詳解】

如圖，在邊長為2的正方體中畫出其直觀圖為?:棱錐尸-ABC,

其中P為所在棱中點(diǎn)，

其中CP=4P="丁西F=3,

而3C=2近，BP=5

故選：C.

4.某四棱錐的三視圖（圖中每個(gè)小方格的邊長為1）如圖所示，則該四棱錐的體積為（）

A.4B-I

【答案】C

【分析】

根據(jù)三視圖畫出直觀圖即可求解.

【詳解】

如圖所示:

該四棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面且底面為正方形，其中高為2,底面正方形對角線的長

度為2.直觀圖如圖所示,

I4

PA=2,AC=2,正方形AB8的面積為2,所以該四棱錐的體積V=±x2x2=2.

33

故選：C.

5.我國古代科學(xué)家祖沖之之子祖眼在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了體積計(jì)算的原理:“幕勢既同,

則積不容異"（“哥”是截面積，“勢”是幾何體的高），意思是兩個(gè)同高的幾何體，如在等

高處截面的面積恒相等，則它們的體積相等.已知某不規(guī)則幾何體與如圖所示的三視圖

所表示的幾何體滿足“幕勢既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為（）.

2

正視圖側(cè)視圖

,俯視圖

A.8-兀B.8—2兀C.12-2兀D.12-71

【答案】C

【分析】

根據(jù)三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖可得該幾何體由長為3,寬為2,高為2的長方體兩頭挖去兩

個(gè)半圓柱組成，即可求出體積.

【詳解】

根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖如圖所示，該幾何體由長為3,寬為2,高為2的長

方體兩頭挖去兩個(gè)半圓柱組成.

則可得該幾何體的體積為2x3*2-7x12x2=12—2%,

根據(jù)“基勢既同，則積不容異”規(guī)則可得該不規(guī)則幾何體的體枳為12-2九

故選：C.

6.正三棱錐（底面為正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心的棱錐）的三視圖如圖

所示，則正視圖（等腰三角形）的腰長等于（）

A.2石B.2#C.2幣D.i

【答案】D

【分析】

根據(jù)側(cè)視圖得側(cè)棱長與底面的高，結(jié)合垂直關(guān)系即可求解正視圖的腰長.

【詳解】

將正三棱錐置于-長方體中如圖所示：

則正視圖為AMEF，由側(cè)視圖可得MG=2HAD=3g

由于0為底面中心，所以即=；AD=6,乂MD=MG=2幣

所以正視圖的腰長EM=y/MD-ED?=J28-3=5

故選：D

7.已知點(diǎn)A、3在平面a的兩側(cè)，且點(diǎn)A、3到a的距離分別為3和5,則AB的中點(diǎn)

到a的距離為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】

由線面垂直性質(zhì)得到線線平行，將空間點(diǎn)面距離轉(zhuǎn)化為平面線段長度，再由平面中點(diǎn)坐

標(biāo)公式求解即可.

【詳解】

如圖，設(shè)A8的中點(diǎn)為C,過A、8分別作平面a的垂線，垂足為A'B'.

則A47/88',四點(diǎn)共面.過C作CC_LA'&,垂足為C',則CC7/A4',

又A4'J_a，則CC」a.即C'C即為所求點(diǎn)到平面a的距離.

在平面A4'38'中，A'A=5,BB'=3,C為A8中點(diǎn)，則C'C=一-3+二5=1.

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

立體幾何中點(diǎn)面距離求解的常用方法有：一是“找——證——求''三步法；二是等體積法;

三是法向量法.

8.某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：。1^）是（）

D.14

【答案】C

【分析】

首先還原兒何體，再根據(jù)體積公式計(jì)算結(jié)果.

【詳解】

該幾何體是如圖所示的三棱臺，上底面的面積s=gx2x1=1,下底面的面積

/=1X4X2=4,貝lJ幾何體的體積V=gx(l+4+^/i^)x2=T.

故選：C

9.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()

俯視圖

A2后fz「8白n

A.---BR.20、/3C.---D.----

333

【答案】D

【分析】

由三視圖可得該幾何體是一個(gè)直三棱柱截去一個(gè)三棱錐后所得幾何體，結(jié)合題中數(shù)據(jù),

由體積公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】

由三視圖可得，該幾何體是一個(gè)直三棱柱截去一個(gè)三棱錐D-A4G后所得

幾何體（如圖），

B

則其體積為丫=匕8c…G-b.G=gx2x百x4qx；x2xgx2=#>/5.

故選：D.

10.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：cm'）是（）

【答案】A

【分析】

利用三視圖畫出直觀圖可得幾何體的體積.

【詳解】

由三視圖可知，該幾何體是下面為棱長等于2cM的正方體，

上面是與正方體同底有一側(cè)棱與底面垂直旦高2c機(jī)的四棱錐的組合體,

132

如下圖，所以幾何體的體積為：23+-x2x2x2=—CTO3.

33

故選：A.

11.已知直線/,加和平面a()

A.若〃/m,相ua,則〃/aB.若〃/a,mcza,則〃/機(jī)

C.若/_La,mua,貝!D.若/±a>則〃2_l_a

【答案】C

【分析】

根據(jù)線面關(guān)系的判定定理和性質(zhì)分別判斷即可;

【詳解】

對A,若〃/m，，〃ua,則〃/a或/ua,故A錯(cuò)誤；

對B,若IHa,mua,則〃/機(jī)或/，盟異面，故B錯(cuò)誤；

對C,若/_La,則由線面垂直的性質(zhì)可得，_L能，故C正確;

對D,若/_L〃z,/±a,則，”//a或mua,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

12.如圖，在等腰梯形A8CO中，AB=2AD=2BC=2CD=4.現(xiàn)將△■Q4C沿對角線AC

所在的直線翻折成△“<?,記二面角。AC—B大小為a(O<a<7t),貝！］().

A.存在a,使得。4,平面DBCB.存在a,使得。8c

C.不存在使得平面ZyAC，平面ABCD.存在a,使得平面平面45C

【答案】B

【分析】

利用反證法可判斷A；對B,尋找特殊值a=90。，證明此時(shí)O'ALBC可判斷；對C,舉

反例，當(dāng)*=90。時(shí)，平面O'ACJ■平面ABC;對D,利用反證法可證明.

【詳解】

取A8中點(diǎn)E,連接OE,交AC于F,因?yàn)锳6=2AZ)=23C=28=4,

所以AAERABECAEBC都是等邊三角形，所以ACLEO,/ZMC=NBAC=30,，

ZACB=90.

在翻折過程中，AC1D'F,AC1FE,所以—=

對于A,假設(shè)存在a,使得￡M_L平面。2C,因?yàn)椤?gt;'Cu平面。BC,

所以DALO'C,與和?！?。成60,角矛盾，故A錯(cuò)誤；

對B,當(dāng)a=90時(shí)，平面O'AC_L平面4BC,因?yàn)锽CLAC,所以平面。'AC,

又因?yàn)閆X4u平面O'AC,所以所以存在a,使得D'ALBC,故B正確；

對C,當(dāng)a=90時(shí)，平面OACJ?平面A8C,故C錯(cuò)誤；

對D,假設(shè)存在a,使得平面。平面ABC,過W作于M，

因?yàn)槠矫鎆MSc平面ABC=AB,所以DMJL平面48C,

因?yàn)锳Cu平面ABC,所以AC，。"，

又因?yàn)锳C_LZXF,iyFr>D'M=iy,所以ACJ_平面。必，

又因?yàn)橐纔平面。叱，所以ACJ.F70,

又因?yàn)锳C_LFE,所以BW與尸E重合，

即M與E重合，此時(shí)ZD'EF=90，

與ND'EF為等腰AEE。的一個(gè)底角矛盾，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

D'

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查二面角的概念問題，解題的關(guān)鍵是正確找到二面角。'-AC-8.

13.在三棱錐P-A8C中，4MC=60。，4PAB=NPAC=9,二面角8-m一C的大小

為a,則凡a可能是()

A.。=3()°,a=6()°B.0=45°,?=60°

C.0=45°,a=90°D.6=60°,a=90°

【答案】C

【分析】

作出符合題意的圖形，對于選項(xiàng)A、B：

山。=60。時(shí)，進(jìn)行推理，得到OC=4C,矛盾，故a#60。，A、B錯(cuò)誤：

對于選項(xiàng)C、D：

當(dāng)a=90。時(shí)，BP?BDCa=90?.計(jì)算出N^4B=N^4C=45。，同理可求NPAC=45。.即

可判斷

【詳解】

如圖示：

44C=60。，NPAB=NPAC=e,過。作P。垂直a于。，過。作。8垂直A8于8,

過。作OC垂直AC于C,由圖形的對稱性知：AB=4C,所以“ABC為等邊三角形.

過8作BO垂直AP于。，連結(jié)CD,SJliJCD!PA,則N8DC=a

對于選項(xiàng)A、B：

a=60。時(shí)，△皿)C為等邊三角形，所以BC=BD=C￡>.

由AABC為等邊三角形，得到8C=AB=AC,

所以。C=AC；而CO,辦，所以O(shè)CHAC,矛盾，故a*60°,A、B錯(cuò)誤;

對于選項(xiàng)C、D：

當(dāng)c=90。時(shí)，即？BOCc=90?.不妨設(shè)8c=2,則AB=AC=2.

在J5DC中，BD=CD,NBDC=90。,由勾股定理得：BD=CD=&.

在△48。中，BDLAB,AB=2,BD=6，所以八0二中，"=>4-2=0,所以

NPAB=8=45°,同理可求NA4c=45。.故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：C

14.已知直線/,，〃，平面a,6,則（)

A.若lua,m〃I,貝|J〃z||aB,若/〃則

C.若/〃a,aA.p,則/_L〃D.若mua,lu0,1〃tn,則a〃/

【答案】B

【分析】

對ABCD,在長方體中一一驗(yàn)證：對ACD取返利否定，對B利用面面垂直的判定定理

證明.

【詳解】

在長方體ABCD-EFGH中，如圖示：

對于A：若lua,m〃i,則〃?||a,取平面ABC。為a,即直線48為/,CD為

則〃/，但是"2=。，所以相||?不成立，故A不正確；

對于B：因?yàn)?||a,作平面7,使得/U7,且aDy=m,由線面平行的性質(zhì)可得：l\\m.

因?yàn)?，/7,所以機(jī)_L/?,又加所以故B正確：

對于C：若/〃a,aVp,KiJ/1/?,取平面ABC。為a,平面ADHE為￡,直線EH

為/,此時(shí)滿足“/〃a,a，萬”，但是夕，所以不滿足，故C不正確；

對于D：若〃zua,/<=￡,/〃,“，則a〃夕，取平面48C￡）為a,平面ADHE為夕,直線

BC為I,直線E”為布，此時(shí)滿足“，〃ua,/u/7,/〃加，”但是a、尸相交，不滿足a〃夕.

故D錯(cuò)誤.

故選：B

【點(diǎn)睛】

要判斷一個(gè)命題錯(cuò)誤，舉一個(gè)反例就可以了；要證明一個(gè)結(jié)論正確，需要嚴(yán)格的證明.

15.如圖，PC_L平面斜線P。在平面a內(nèi)的射影CO,A3是平面。內(nèi)過點(diǎn)。的直

線，若/PO4是鈍角，貝!J()

/c^^//

A.ZPOB<ZPOCB.ZPOA<ZAOC

C.ZPOC>ZBOCD.ZPOC>ZPBC

【答案】B

【分析】

過點(diǎn)C在平面ABC內(nèi)作CH_LA3,垂足為點(diǎn)H,連接PH，比較各選項(xiàng)中兩個(gè)角的同

名三角函數(shù)值的大小，由此可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

過點(diǎn)C在平面A8C內(nèi)作SLAB,垂足為點(diǎn)”，連接P”，

?.?PC_L平面ABC,ABu平面ABC,s.PCYAB,同理可知PC_LOC,

-,-CH1AB,尸Cnc〃=C,.?.A8_L平面PC”,

?.?P//u平面PC"，.?.AB，P〃，所以，cosNPO8=器，cosNPOC=合

■.■CH1AB,在RAOCH中,OH<OC,則cosNPOBvcosNPOC,

因?yàn)橛嘞液瘮?shù)，=8SX在（o,萬）上單調(diào)遞減，所以，ZPOB>ZPOC,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

CHOH

易知ZBOC、NPQB均為銳角，>cosZPOB=—,cosZBOC=—

在HAPOC中，OCvOP,所以，cosNBOC>cosNPOB,

因?yàn)橛嘞液瘮?shù)y=cosx在（0,不）上單調(diào)遞減，

所以，ZBOC<2POB,從而可得NPO4<NAOC,B選項(xiàng)正確；

orOH

因?yàn)閏os/.POC=,cosZ.BOC=,

OPOC

由于器與器的大小關(guān)系不確定，無法比較NPOC與4OC的大小關(guān)系,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

pcPC

因?yàn)閠an/P8C=——，tanZPOC=——，

BCOC

由于OC、BC的大小關(guān)系不確定，無法比較ZPBC與NPOC的大小關(guān)系，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查角的大小的比較，解題的關(guān)鍵在于確定各選項(xiàng)中同名三角函數(shù)值

的大小關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性來比較各角的大小.

16.如圖，長方形ABCZ）中，AB=—,4￡）=1,點(diǎn)E在線段A8（端點(diǎn)除外）上，

2

現(xiàn)將AADE沿OE折起為AWDE.設(shè)ZA￡）E=a,二面角H-DE-C的大小為戶，若

JT

a+/3=~,則四棱錐A-BCOE體積的最大值為（）

A.-BCD.與l

4-112

【答案】A

【分析】

將棱錐A-BCDE的底面邊長BE及高用含有?的三角函數(shù)來表示,根據(jù)體積公式寫出

棱錐體積，整理化簡后利用三角函數(shù)求最值.

【詳解】

設(shè)過A與。E垂直的線段長為

則AE=tana,0<tana<,DE-—,〃=sina,

2cosa

則四棱錐A-BCDE的高刀=a?sin夕=sina?sinbsinacosa,

KO^A'-BCDE=§Xj

一tana+xlxsinacosa

：(V15-tana)xsinacosa

=sinacosa-sin2a)

sin2a+cos2a\-----

)12

I^sin2?+lcos2a1

34412

=；sin（2a+*）-\

四棱錐A-BCDE體積的最大值為g.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

求解立體幾何體枳的最值時(shí).，一般需要將體積寫為函數(shù)關(guān)系式或者是三角函數(shù)關(guān)系式,

進(jìn)而利用函數(shù)求最值或三角函數(shù)求最值的方法求解其最值.

17.如圖，矩形ABCO中，已知AB=2,8c=4,E為AD的中點(diǎn).將AABE沿著BE

向上翻折至AA'BE，記銳二面角A，-BE-C的平面角為a,AB與平面8CDE■所成的角

為夕，則下列結(jié)論不可能成立的是（）

A.sina=>/2sinfiB.V2cosa=cos/J

C.a<2/D.a.-p>—

4

【答案】D

【分析】

先取BC中點(diǎn)為尸，判斷四邊形AB巫是正方形，再作A7/_LOFTH,證明a=NA'OF,

0=ZA'BH,分別再直角三角形中計(jì)算sina和sin/，比較即判斷A正確；將選項(xiàng)A的

結(jié)論平方，結(jié)合二倍角公式和余弦函數(shù)的單調(diào)性，即判斷C正確；計(jì)算cosa,cos#即判

斷B可能成立；判斷結(jié)合。＜2/，即得a—判斷D錯(cuò)誤.

44

【詳解】

記8c中點(diǎn)為F,連接EF,連接AF與BE交于點(diǎn)。，依題意知四邊形ABFE是正方形.

A'O±BE,OF_LBE,故銳二面角A'-BE-C的平面角為a=ZA'OF,

BE1平面AOF，過A作尸于”，則BEIA'H，

而BE,OF相交于平面BCDE內(nèi),

故A'4"L平面3CDE,故連接3/，則與平面3cDE所成的角為夕=44'8".

A!Hh

記A'”=〃，因?yàn)镽/"TO”中,sina=

Rt^A!BH111?sin/?=q"=4，所以sina=J^sin/①，選項(xiàng)A成立;

AB2

將①平方得：sin，a=2sii?4，所以1-cos2a=20-cos/),cos2a=2cos2/7-1=cos2/?,

易見a,4都是銳角，則cos^avcosa，.,.cos2/7<cosa,而0<2￡,a<r,

根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，a<2/7,選項(xiàng)C成立；

OHBH

因?yàn)閏osa=7^,cosp--^―,若使夜cosa=cos夕，則需2OH=BH,

即當(dāng)NOB"=F，可以成立，即B可能成立；

6

另外，由a,夕都是銳角，且J^sin￡=sina<l知，sinp<,知/<不.

7T

由選項(xiàng)C知。<24，；.a-/<2尸-尸=尸〈一，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

4

故選：D.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

本題的解題關(guān)鍵在于熟知二面角和線面角的定義，并準(zhǔn)確找出a,1},才能結(jié)合三角函

數(shù)及恒等變換等知識來突破難點(diǎn).

18.如圖，點(diǎn)M、N分別是正四面體A8CD棱AB、CO上的點(diǎn)，設(shè)直線"N與

直線8c所成的角為。，則（）

A.當(dāng)ND=2CN時(shí),。隨著x的增大而增大

B.當(dāng)ND=2CN時(shí),。隨著x的增大而減小

C.當(dāng)CN=2ND時(shí),。隨著x的增大而減小

D.當(dāng)CN=2ND時(shí),。隨著x的增大而增大

【答案】D

【分析】

分N￡）=2CN和aV=2N￡＞兩種情況，分別過N作BC的平行線，可得直線MN與所作

的平行線成的角即為角?？傻么鸢?

【詳解】

當(dāng)％。=2。％時(shí)一，如下圖作N/7/BC交3。于尸點(diǎn)，所以直線MN呵直線8C所成的角即

為直線MN與直線NF所成的角，即NMNF=，,

設(shè)正四面體的棱長為3,則CN=BF=1,FN=2,

可求得MF=Ji-x+l,MN=VX2-3X+7，

5-x1I18-7x

所以在A/WM中，有cos6=1+--(xe[0,3]),

24-3。+72x~-3x+7

18-7x7X2-36X+5

令/(X)=則ra)=

X2-3X+7，-3X+7)2

7r2_qsrIc

3°'刃時(shí),廣(止后e有正有負(fù),函數(shù)有增有減，

所以故A與B錯(cuò)誤;

當(dāng)CN=2ND時(shí),如下圖作NE〃BC交即于瓦點(diǎn)，所以直線MN與直線8C所成的角即

為直線MN與直線NE所成的角，即ZMNE=6.

同樣設(shè)正四面體的棱長為3,則CN=B尸=2,FN=2,

可求得ME=々-2X+4-

AN=BN=不、

―/…，9+7-73

在AABN中,有cosZ.ABN=------廣

2x3xj7而'

3

2

所以MN?=x+7-2xxxV7x'產(chǎn)=。2-3口+7即MV=&—3x+7,

2V7

4-x

所以在AMNE中，有cos6=1+若*23),

24-3x+72

9一5三5X2-18X-8

令/")=則ra)=<0,

x~—3x+7(/-3X+7)2

所以/(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即x增大，/(*)減小，即cos。減小，從而。增大，故D

正確，C錯(cuò)誤.

M

故選：D.

19.如圖，在正方體ABCD-EFG〃中，尸在棱BC上，BP=x,平行于80的直線/在

正方形EFGH內(nèi),點(diǎn)E到直線/的距離記為d,記二面角為A-/-P為。，已知初始狀

態(tài)下x=0,d=0,貝！|()

A.當(dāng)x增大時(shí)，。先增大后減小B.當(dāng)N增大時(shí)，。先減小后增大

C.當(dāng)“增大時(shí)，。先增大后減小D.當(dāng)d增大時(shí)，。先減小后增大

【答案】C

【分析】

由題設(shè)，以戶為原點(diǎn)，戶2,/?&/^為蒼)，*軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出面4WN的法

/1r八r+乎-2."2.

C0SW(/=

向量而與面刖的法向量為3的夾角\7lzr.2對于

-x+舊-2+2

AB,令d=0,則cosO=分析函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)判斷；對

于CD,令x=0時(shí)，化簡整理得到,利用導(dǎo)數(shù)判斷

函數(shù)丫=(/+4)[(4-夜)2+4的單調(diào)性，進(jìn)而判斷余弦函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得解.

【詳解】

由題設(shè)，以尸為原點(diǎn)，EB,FG,FE為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方體的棱長為2,則P(2,x,0),A(2,0,2),

設(shè)直線I與EH,EF交于M,N,則M(0,0,2-0"),N(O,0d,2)

UUU_UUU1LUUULr~UUU_

則AM=(—2,0,—V2d)，AV=(—2,儂,0)，MN=Q,>l2d,yl2d)，PM=(-2,-x,2-yf2d)

設(shè)平面AMN的法向量為"?=(a,b,c),

-2a-42dc=0

th-AM=0令a=d,則2=(",也,-&)

m-AN=0-2a+6db=0

設(shè)平面產(chǎn)MV的法向量為3=(e,fg)，又

n~PM=0.-2e-xf+(2->/2d')g=0令f=l，則N(r+a2,f

n-MN=0'"[^2df+y[2dg=02

利用空間向量夾角公式得8S(〃?，j

<-X+-2>2

^+2

顯然函數(shù)，=在x>0時(shí)為減函數(shù),即cos。減小，則。增大，故AB錯(cuò)誤;

2d+2后

對于CD,當(dāng)x=0時(shí)，貝產(chǎn)s"cos(”)2

F竽［+2

(d-@d+4(d-何/+8i(d-&)+i6

J7+4.d—>/2)+4一可建+4陽可+/+16

Q"2-@+4>0,令y，=0,得公孝

故當(dāng)o<“<立時(shí)，y<o,函數(shù)單減，即cose單減，。增大；當(dāng)〃>也時(shí)，y>o,

22

函數(shù)單增，即COS。單增，。減小；故當(dāng)d增大時(shí)，。先增大后減小

故選：C

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題考查面面角的求法，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即余弦函數(shù)的性質(zhì),

利用空間向量求立體幾何?？疾榈膴A角:

設(shè)直線/,根的方向向量分別為￡出，平面的法向量分別為則

II

a-b

①兩宜線/,，〃所成的角為。(0<"-),COS6=H

2ab

rr

a-u

②直線/與平面所成的角為。

a(0404]),sine=M’

u-v

③二面角的大小為研，乃川

a-/-6044cosO|￥,

二、填空題

20.如圖，在棱長為4的正方體中，M是棱AA上的動(dòng)點(diǎn)，N是枝BC

的中點(diǎn).當(dāng)平面D、MN與底面A5CO所成的銳二面角最小時(shí)，,

【答案】|

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，分別得到平面RMN、平面A8CD的法向量，然后按照公式出算

進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

如圖

設(shè)M(4,0,a)(0Va44),N(2,4,0),Q(0,0,4)

麗=(_2,4,n),麗=(2,4,Y)

設(shè)平面RMN的一個(gè)法向量為5=(x,y,z)

,—[二("a"

n-MN=0J-2x+4y-az=0"4

.元.麻=0=12x+4y-4z=0=]_(a+4)z

'―_8-

令z=8,x=8-2a,y=a+4,則〃=(8—24,4+4,8)

平面4?CD的法向量的一個(gè)法向量為)=(0,0,1)

設(shè)平面D\MN與底面ABCD所成的銳二面角為6

所以cos0=pipi=/,------------=/,=1

|〃||%|J(8-2a)"+(a+4),5〃--24a+144

24122

當(dāng)。=記=(時(shí)，cos。有最大，則夕有最小，所以AM=g

Q

故答案為：—

三、雙空題

21.某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm),則該幾何體的表面積是co?,體

積是cmJ.

側(cè)視圖

俯視圖

【答案】20+4石8

【分析】

畫出原兒何體圖形后將其轉(zhuǎn)化為直三棱柱求解即可.

【詳解】

由三視圖作出原圖形如圖所示，

原幾何體為底面是邊長為2cm、4cm的直角三角形，高為2cm的直三棱柱;

其表面積為S=2x(1*2x4)+4x2+2x2+2x7^TF=20+4&m2；

體積為丫=1]2*4卜2=853.

故答案為：20+4括;8.

4

22.已知圓臺的體積為電互cn?,母線長為3cm,高為20cm,則圓臺的側(cè)面展開

圖(扇環(huán))的圓心角的大小為,它的側(cè)面積為cm2.

2兀

【答案】y9兀

【分析】

設(shè)圓臺的上下底面半徑為r,R(R>「)，利用圓臺的體積公式得到7?2+/+母=7,再根

據(jù)勾股定理得到R-r=l，聯(lián)立可得，=1,R=2,則可得圓臺的側(cè)面積，在側(cè)面展開圖中

可求出圓心角.

【詳解】

設(shè)圓臺的上下底面半徑為r,R(R>r),

則［乃x2&(R?+r2+Rr)=此后，化筒得R2+r2+Rr=l,