高一數(shù)學(xué)寒假講義（新人教A專用）【預(yù)習(xí)】第08講 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（學(xué)生卷）

第08講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、掌握平面向量基本定理．2、學(xué)會用平面向量的坐標(biāo)表示，體會其幾何意義．【考點目錄】考點一：平面向量基本定理考點二：利用平面向量基本定理證明三點共線問題考點三：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算考點四：平面向量平行的坐標(biāo)表示考點五：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及運(yùn)算考點六：平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】知識點一：平面向量基本定理1、平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這個平面內(nèi)任一向量，有且只有一對實數(shù)，使，稱為的線性組合．①其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；②平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的和，并且這種分解是唯一的．這說明如果且，那么．③當(dāng)基底是兩個互相垂直的單位向量時，就建立了平面直角坐標(biāo)系，因此平面向量基本定理實際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)．知識點詮釋：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐標(biāo)的基礎(chǔ)，它保證了向量與坐標(biāo)是一一對應(yīng)的，在應(yīng)用時，構(gòu)成兩個基底的向量是不共線向量．2、如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面內(nèi)任意一個向量可以寫成任意兩個不共線的向量的線性組合．（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直線形圖形，都可以表示成某些向量的線性組合，這樣在解答幾何問題時，就可以先把已知和結(jié)論表示為向量的形式，然后通過向量的運(yùn)算，達(dá)到解題的目的．（2）在解具體問題時，要適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量能夠用基底來表示．選擇了不共線的兩個向量、，平面上的任何一個向量都可以用、唯一表示為=+，這樣幾何問題就轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為只含有、的代數(shù)運(yùn)算．知識點二：平面向量的坐標(biāo)表示1、正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．知識點詮釋：如果基底的兩個基向量e1、e2互相垂直，則稱這個基底為正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事實上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．2、平面向量的坐標(biāo)表示如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底，對于平面上的一個向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)，使得=．這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由唯一確定，我們把有序數(shù)對叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作=，x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)．把=叫做向量的坐標(biāo)表示．給出了平面向量的直角坐標(biāo)表示，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一有序數(shù)對唯一表示，從而建立了向量與實數(shù)的聯(lián)系，為向量運(yùn)算數(shù)量化、代數(shù)化奠定了基礎(chǔ)，溝通了數(shù)與形的聯(lián)系．知識點詮釋：（1）由向量的坐標(biāo)定義知，兩向量相等的充要條件是它們的坐標(biāo)相等，即且，其中．（2）要把點的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)區(qū)別開來．相等的向量的坐標(biāo)是相同的，但始點、終點的坐標(biāo)可以不同．比如，若，，則；若，，則，，顯然A、B、C、D四點坐標(biāo)各不相同．（3）在直角坐標(biāo)系中有雙重意義，它既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量．知識點三：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、平面向量坐標(biāo)的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算坐標(biāo)語言加法與減法記，，實數(shù)與向量的乘積記，則=（，）2、如何進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算時，應(yīng)先將平面向量用坐標(biāo)的形式表示出來，再根據(jù)向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計算．在求一個向量時，可以首先求出這個向量的起點坐標(biāo)和終點坐標(biāo)，再運(yùn)用終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)．求一個點的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點相對于坐標(biāo)原點的位置向量的坐標(biāo)．但同時注意以下幾個問題：（1）點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)是有區(qū)別的，平面向量的坐標(biāo)與該向量的起點、終點坐標(biāo)有關(guān)，只有起點在原點時，平面向量的坐標(biāo)與終點的坐標(biāo)才相等．（2）進(jìn)行平面向量坐標(biāo)運(yùn)算時，先要分清向量坐標(biāo)與向量起點、終點的關(guān)系．（3）要注意用坐標(biāo)求向量的模與用兩點間距離公式求有向線段的長度是一樣的．（4）要清楚向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的起點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)．知識點四：平面向量平行（共線）的坐標(biāo)表示1、平面向量平行（共線）的坐標(biāo)表示設(shè)非零向量，則∥，即，或．知識點詮釋：若，則∥不能表示成因為分母有可能為0．2、三點共線的判斷方法判斷三點是否共線，先求每兩點對應(yīng)的向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定，即已知，，若則A，B，C三點共線．知識點五：向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示1、已知兩個非零向量，，2、設(shè)，則或3、如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為、，那么（平面內(nèi)兩點間的距離公式）．知識點六：向量在幾何中的應(yīng)用（1）證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行（共線）的充要條件（2）證明垂直問題，常用垂直的充要條件（3）求夾角問題，利用（4）求線段的長度，可以利用或【考點剖析】考點一：平面向量基本定理例1．如圖，在△OAB中，，AD與BC交于點M，設(shè)在線段AC上取一點E，在線段BD上取一點F，使EF過M點，設(shè)＝p，＝q，求證：＋＝1.例2．如圖，在平行四邊形OADB中，設(shè)向量，，點M、N是對角線AB上的兩點，且，試用、表示與．例3．如圖，在中，且，，交于點．(1)若，求的值；(2)若，，，求．考點二：利用平面向量基本定理證明三點共線問題例4．在平行四邊形中，，，分別為邊，，的中點，，，三點共線.若，則實數(shù)的值為______.例5．已知兩個非零向量與不共線，如果，，求證：A，B，D三點共線．考點三：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例6．已知四邊形ABCD的三個頂點為A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，則頂點D的坐標(biāo)為（）A． B．C．(3，2) D．(1，3)例7．設(shè)P是線段P1P2上的一點，點P1，P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)．（1）當(dāng)P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標(biāo)．考點四：平面向量平行的坐標(biāo)表示例8．平面內(nèi)給定三個向量(1)若求實數(shù)k；(2)設(shè)滿足且求.例9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，（1）求點的坐標(biāo)；（2）求證：四邊形為等腰梯形．考點五：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及運(yùn)算例10．已知，，求：（1）；（2）；（3）．例11．已知，，，．（1）求證：；（2）求在上的投影向量．例12．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點，用向量的方法證明：．考點六：平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用例13．平面內(nèi)有向量，，，點M為直線OP上的一個動點。（1）求當(dāng)取最小值時，求的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點M滿足（1）的條件和結(jié)論時，求cos∠AMB的值。例14．已知是邊長為2的正方形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是（）A． B． C． D．例15．如圖，點C是半徑為6的扇形圓弧AB上的一點，18，若xy，則3x+2y的最大值為____________.【真題演練】1．（2023·全國·高考真題（文））已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023·全國·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．63．（2023·山東·高考真題）已知點，，點在函數(shù)圖象的對稱軸上，若，則點的坐標(biāo)是（

）A．或 B．或C．或 D．或4．（2007·山東·高考真題（理））設(shè)向量，若表示向量的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量為（

）A． B． C． D．5．（2007·福建·高考真題（理））已知，點C在內(nèi)，且.設(shè)，則等于（

）A． B．3 C． D．6．（2023·全國·高考真題（文））已知向量．若，則______________．7．（2023·全國·高考真題（理））已知向量，若，則__________．8．（江蘇·高考真題）如圖，在中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點.若，則的值是_____.9．（2007·江西·高考真題（文））已知向量，則的最大值為___________.10．（2023·北京·高考真題）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則________；________.【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023·江蘇·濱?？h五汛中學(xué)高一階段練習(xí)）已知向量，，若，則的值是（

）A．2 B． C．4 D．2．（2023·全國·高一課時練習(xí)）若向量與是平面上的兩個不平行向量，下列向量不能作為一組基的是（

）A．與 B．與C．與 D．與3．（2023·上海市浦東中學(xué)高一期末）在中，已知為上的一點，且滿足，則（

）A． B． C． D．4．（2023·陜西師大附中高一期中）已知O是平面上的一個定點，A?B?C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心5．（2023·陜西·蒲城縣蒲城中學(xué)高一期末）已知向量，.若不超過5，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2023·遼寧·東北育才學(xué)校高一階段練習(xí)）如圖，中，，，，，，則（

）A． B． C． D．7．（2023·江蘇·濱海縣五汛中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，，則（

）A． B．C． D．8．（2023·黑龍江·杜爾伯特蒙古族自治縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）向量，且向量與向量方向相同，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2023·江蘇·濱海縣五汛中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)向量，平面內(nèi)任一向量都可唯一表示為（），則實數(shù)的可能取值是（

）A．2 B．3 C．1 D．010．（2023·黑龍江·哈爾濱市第一二二中學(xué)校高一階段練習(xí)）已知，則下列敘述正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．的最小值為5 D．若向量與向量的夾角為鈍角，則11．（2023·河南·商水縣實驗高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知向量=（2，1），，則（

）A．若，則 B．向量在向量上的投影向量為C．與的夾角余弦值為 D．12．（2023·黑龍江·大慶實驗中學(xué)高一期末）如圖，在等腰直角中，斜邊，且，點P是線段AD上任一點，則的可能取值是（

）A．-1 B．0 C．4 D．5三、填空題13．（2023·黑龍江·哈九中高一期中）已知向量，，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為___________．14．（2023·上海市曹楊中學(xué)高一期末）已知為坐標(biāo)原點，且，若三點共線，則實數(shù)_____．15．（2023·上海市大同中學(xué)高一期末）是邊長為4的正三角形，以為圓心，2為半徑作圓，點為圓上一動點，則的取值范圍是______．16．（2023·安徽省岳西縣湯池中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，是邊長為4的正方形，若，且F為的中點，則______．四、解答題17．（2023·山東東營·高一期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，BD，AC相交于點O，M為BO中點.設(shè)向量，(1)用，表示(2)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使得點C的坐標(biāo)為，求點M的坐標(biāo).18．（2023·全國·高一課時練習(xí)）如圖所示，是△ABC的一條中線，點滿足，過點的直線分別與射線，射線交于，兩點.(1)若，求的值；(2)設(shè)，，，，求的值；19．（2023·吉林·白城市通榆縣毓才高級中學(xué)有限責(zé)任公司高一階段練習(xí)）已知平面向量，，.(1)若，求；(2)若與的夾角為銳角，求x的取值范圍.20．（2023·上海市第三女子中學(xué)高一期末）（1）已知點，點是