數(shù)理統(tǒng)計(jì)參考答案

./習(xí)題一1設(shè)總體的樣本容量,寫出在下列4種情況下樣本的聯(lián)合概率分布.1；2；3；4.解設(shè)總體的樣本為,1對(duì)總體,其中：2對(duì)總體其中：3對(duì)總體4對(duì)總體2為了研究玻璃產(chǎn)品在集裝箱托運(yùn)過程中的損壞情況,現(xiàn)隨機(jī)抽取20個(gè)集裝箱檢查其產(chǎn)品損壞的件數(shù),記錄結(jié)果為：1,1,1,1,2,0,0,1,3,1,0,0,2,4,0,3,1,4,0,2,寫出樣本頻率分布、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)并畫出圖形.解設(shè)代表各箱檢查中抽到的產(chǎn)品損壞件數(shù),由題意可統(tǒng)計(jì)出如下的樣本頻率分布表1.1：表1.1頻率分布表i01234個(gè)數(shù)673220.30.350.150.10.1經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的定義式為：,據(jù)此得出樣本分布函數(shù)：圖1.1經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)3某地區(qū)測(cè)量了95位男性成年人身高,得數(shù)據(jù)<單位：cm>如下：組下限165167169171173175177組上限167169171173175177179人數(shù)310212322115試畫出身高直方圖,它是否近似服從某個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形.解圖1.2數(shù)據(jù)直方圖它近似服從均值為172,方差為5.64的正態(tài)分布,即.4設(shè)總體X的方差為4,均值為,現(xiàn)抽取容量為100的樣本,試確定常數(shù)k,使得滿足.解因k較大,由中心極限定理,：所以：查表得：,.5從總體中抽取容量為36的樣本,求樣本均值落在50.8到53.8之間的概率.解6從總體中分別抽取容量為10與15的兩個(gè)獨(dú)立的樣本,求它們的均值之差的絕對(duì)值大于0.3的概率.解設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的樣本分別為：與,其對(duì)應(yīng)的樣本均值為：和.由題意知：和相互獨(dú)立,且：,7設(shè)是總體的樣本,試確定C,使得.解因,則,且各樣本相互獨(dú)立,則有：所以：查卡方分位數(shù)表：c/4=18.31,則c=73.24.8設(shè)總體X具有連續(xù)的分布函數(shù),是來自總體X的樣本,且,定義隨機(jī)變量：試確定統(tǒng)計(jì)量的分布.解由已知條件得：,其中.因?yàn)榛ハ嗒?dú)立,所以也互相獨(dú)立,再根據(jù)二項(xiàng)分布的可加性,有,.9設(shè)是來自總體X的樣本,試求.假設(shè)總體的分布為：12>3>4>解1>2>3>4>10設(shè)為總體的樣本,求與.解又因?yàn)?所以：11設(shè)來自正態(tài)總體,定義：,計(jì)算.解由題意知,令：,則12設(shè)是總體的樣本,為樣本均值,試問樣本容量應(yīng)分別取多大,才能使以下各式成立：1；2；3.解1>,所以：2>令：所以：計(jì)算可得：3>查表可得：,而取整數(shù),.13設(shè)和是兩個(gè)樣本,且有關(guān)系式：〔均為常數(shù),,試求兩樣本均值和之間的關(guān)系,兩樣本方差和之間的關(guān)系.解因：所以：即：14設(shè)是總體的樣本.1>試確定常數(shù),使得,并求出；2>試確定常數(shù),使得,并求出和.解1因：,標(biāo)準(zhǔn)化得：,且兩式相互獨(dú)立故：可得：,,.2因：,,所以：,可得：.15設(shè)分別是分布和分布的分位數(shù),求證.證明設(shè),則：所以：故：.16設(shè)是來自總體的一個(gè)樣本,求常數(shù),使：.解易知,則；同理,則又因：,所以與相互獨(dú)立.所以：計(jì)算得：c=0.976.17設(shè)為總體的容量的樣本,為樣本的樣本均值和樣本方差,求證：1；2；3.解1因：,所以：,又：且：與相互獨(dú)立所以：~2由1可得：3因：,所以：18設(shè)為總體的樣本,為樣本均值,求,使得.解所以：查表可得：,即.19設(shè)為總體的樣本,試求：1的密度函數(shù)；2的密度函數(shù)；解因：,所以的密度函數(shù)為：,由定理：20設(shè)為總體的樣本,試求：1；2解21設(shè)為總體的一個(gè)樣本,試確定下列統(tǒng)計(jì)量的分布：1；2；3解1因?yàn)椋核裕?且與相互獨(dú)立,由抽樣定理可得：2因?yàn)椋?且與相互獨(dú)立,所以：3因?yàn)椋?所以：,且與相互獨(dú)立,由卡方分布可加性得：.22設(shè)總體服從正態(tài)分布,樣本來自總體,是樣本方差,問樣本容量取多大能滿足？解由抽樣分布定理：,,查表可得：,.23從兩個(gè)正態(tài)總體中分別抽取容量為20和15的兩獨(dú)立的樣本,設(shè)總體方差相等,分別為兩樣本方差,求.解設(shè)分別為兩樣本的容量,為總體方差,由題意,又因分別為兩獨(dú)立的樣本方差：所以：.24設(shè)總體,抽取容量為20的樣本,求概率1；2.解1因,且各樣本間相互獨(dú)立,所以：故：2因：,所以：25設(shè)總體,從中抽取一容量為25的樣本,試在下列兩種情況下的值：1已知；2未知,但已知樣本標(biāo)準(zhǔn)差.解1226設(shè)為總體的樣本,為樣本均值和樣本方差,當(dāng)時(shí),求：123確定C,使.解12其中,則3其中,,則所以：,計(jì)算得：.27設(shè)總體的均值與方差存在,若為它的一個(gè)樣本,是樣本均值,試證明對(duì),相關(guān)系數(shù).證明所以：.28.設(shè)總體,從該總體中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,是它的樣本均值,求統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望.解因,為該總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,令,則有可得：習(xí)題二1設(shè)總體的分布密度為：為其樣本,求參數(shù)的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量.現(xiàn)測(cè)得樣本觀測(cè)值為：0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7,求參數(shù)的估計(jì)值.解計(jì)算其最大似然估計(jì)：其矩估計(jì)為：所以：,.2設(shè)總體X服從區(qū)間[0,]上的均勻分布,即,為其樣本,1>求參數(shù)的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量；2>現(xiàn)測(cè)得一組樣本觀測(cè)值：1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,試分別用矩法和極大似然法求總體均值、總體方差的估計(jì)值.解1矩估計(jì)量：最大似然估計(jì)量：無(wú)解.此時(shí),依定義可得：2矩法：極大似然估計(jì)：.3設(shè)是來自總體X的樣本,試分別求總體未知參數(shù)的矩估計(jì)量與極大似然估計(jì)量.已知總體X的分布密度為：1未知2未知3未知4>未知5,其中參數(shù)未知6,其中參數(shù)未知7未知解1矩法估計(jì)：最大似然估計(jì)：.2>矩估計(jì)：最大似然估計(jì)：.3矩估計(jì)：聯(lián)立方程：最大似然估計(jì)：,,無(wú)解,當(dāng)時(shí),使得似然函數(shù)最大,依照定義,,同理可得.4>矩估計(jì)：,不存在最大似然估計(jì)：,無(wú)解；依照定義,.5>矩估計(jì)：即最大似然估計(jì)：,無(wú)解依定義有：.6>矩估計(jì)：解方程組可得：最大似然估計(jì)：無(wú)解,依定義得,解得.7>矩估計(jì)：最大似然估計(jì)：.8>矩估計(jì)：最大似然估計(jì)：.4.設(shè)總體的概率分布或密度函數(shù)為,其中參數(shù)已知,記,樣本來自于總體X,則求參數(shù)的最大似然估計(jì)量.解記則；.5設(shè)元件無(wú)故障工作時(shí)間X具有指數(shù)分布,取1000個(gè)元件工作時(shí)間的記錄數(shù)據(jù),經(jīng)分組后得到它的頻數(shù)分布為：組中值5152535455565頻數(shù)365245150100704525如果各組中數(shù)據(jù)都取為組中值,試用最大似然法求參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)..解最大似然估計(jì)：.6已知某種燈泡壽命服從正態(tài)分布,在某星期所生產(chǎn)的該種燈泡中隨機(jī)抽取10只,測(cè)得其壽命<單位：小時(shí)>為：1067,919,1196,785,1126,936,918,1156,920,948設(shè)總體參數(shù)都未知,試用極大似然法估計(jì)這個(gè)星期中生產(chǎn)的燈泡能使用1300小時(shí)以上的概率.解設(shè)燈泡的壽命為,,極大似然估計(jì)為：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)得到：.經(jīng)計(jì)算得,這個(gè)星期生產(chǎn)的燈泡能使用1300小時(shí)的概率為0.0075.7.為檢驗(yàn)?zāi)撤N自來水消毒設(shè)備的效果,現(xiàn)從消毒后的水中隨機(jī)抽取50升,化驗(yàn)每升水中大腸桿菌的個(gè)數(shù)<假定一升水中大腸桿菌個(gè)數(shù)服從Poisson分布>,其化驗(yàn)結(jié)果如下：大腸桿菌數(shù)/升0123456升數(shù)1720102100試問平均每升水中大腸桿菌個(gè)數(shù)為多少時(shí),才能使上述情況的概率為最大？解設(shè)為每升水中大腸桿菌個(gè)數(shù),,,由3題〔2問知,的最大似然估計(jì)為,所以所以平均每升氺中大腸桿菌個(gè)數(shù)為1時(shí),出現(xiàn)上述情況的概率最大.8設(shè)總體,試?yán)萌萘繛閚的樣本,分別就以下兩種情況,求出使的點(diǎn)A的最大似然估計(jì)量.1若時(shí)；2若均未知時(shí).解1,的最大似然估計(jì)量為,所以.2的最大似然估計(jì)量為,最大似然估計(jì)為,由極大似然估計(jì)的不變性,直接推出.9設(shè)總體X具有以下概率分布：x01/31/4011/31/40201/41/431/61/41/241/601/4求參數(shù)的極大似然估計(jì)量.若給定樣本觀測(cè)值：1,0,4,3,1,4,3,1,求最大似然估計(jì)值.解分別計(jì)算,時(shí)樣本觀測(cè)值出現(xiàn)的概率：由最大似然估計(jì)可得：.10設(shè)總體X具有以下概率分布：,求參數(shù)的最大似然估計(jì)量.解最大似然估計(jì)應(yīng)該滿足：結(jié)果取決于樣本觀測(cè)值.11設(shè)是總體X的樣本,設(shè)有下述三個(gè)統(tǒng)計(jì)量：指出中哪幾個(gè)是總體均值a=EX的無(wú)偏估計(jì)量,并指出哪一個(gè)方差最小？解,所以無(wú)偏,方差最小.12設(shè)總體,為其樣本,1求常數(shù),使為的無(wú)偏估計(jì)量；2求常數(shù),使為的無(wú)偏估計(jì)量.解1令得.2令.13設(shè)是來自總體X的樣本,并且EX=,DX=,是樣本均值和樣本方差,試確定常數(shù),使是的無(wú)偏估計(jì)量.解所以.14設(shè)有二元總體,為其樣本,證明：是協(xié)方差的無(wú)偏估計(jì)量.證明由于所以：,證畢.15設(shè)總體,樣本為,是樣本方差,定義,,試比較估計(jì)量,,哪一個(gè)是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量？哪一個(gè)對(duì)的均方誤差最??？解1所以是的無(wú)偏估計(jì)2所以,可以看出最小.16設(shè)總體,為樣本,試證：與都是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量,問哪一個(gè)較有效？解所以比較有效.17設(shè),是的兩個(gè)獨(dú)立的無(wú)偏估計(jì)量,并且的方差是的方差的兩倍.試確定常數(shù)c1,c2,使得為的線性最小方差無(wú)偏估計(jì)量.解：設(shè)當(dāng),上式達(dá)到最小,此時(shí).18.設(shè)樣本來自于總體X,且<泊松分布>,求,并求C-R不等式下界,證明估計(jì)量是參數(shù)的有效估計(jì)量.解所以其C-R方差下界為所以是參數(shù)有效估計(jì)量.19設(shè)總體X具有如下密度函數(shù),是來自于總體X的樣本,對(duì)可估計(jì)函數(shù),求的有效估計(jì)量,并確定R-C下界.解因?yàn)樗迫缓瘮?shù)所以取統(tǒng)計(jì)量得=,所以是無(wú)偏估計(jì)量令由定理2.3.2知T是有效估計(jì)量,由所以C-R方差下界為.20設(shè)總體X服從幾何分布：,對(duì)可估計(jì)函數(shù),則1求的有效估計(jì)量；2求；3驗(yàn)證的相合性.解1因?yàn)樗迫缓瘮?shù)所以取統(tǒng)計(jì)量.又因?yàn)樗允堑臒o(wú)偏估計(jì)量,取,由定理2.3.2得到,是有效估計(jì)量2所以是相合估計(jì)量.21設(shè)總體X具有如下密度函數(shù),是來自于總體X的樣本,是否存在可估計(jì)函數(shù)以及與之對(duì)應(yīng)的有效估計(jì)量？如果存在和,請(qǐng)具體找出,若不存在,請(qǐng)說明為什么.解因?yàn)樗迫缓瘮?shù)所以令所以是的無(wú)偏估計(jì)量,取,由定理2.3.2得到,是有效估計(jì)量所以：是有效估計(jì)量.22設(shè)是來自于總體X的樣本,總體X的概率分布為：求參數(shù)的極大似然估計(jì)量；試問極大似然估計(jì)是否是有效估計(jì)量？如果是,請(qǐng)求它的方差和信息量；試問是否是相合估計(jì)量？解1得到最大似然估計(jì)量2所以所以是無(wú)偏估計(jì)量,,由定理2.3.2得到是有效估計(jì)量信息量3所以,T也是相合估計(jì)量.23設(shè)樣本來自總體,并且的區(qū)間估計(jì)為,問以多大的概率推斷參數(shù)取值于此區(qū)間.解設(shè)以概率推斷參數(shù)取值于,在已知方差為1條件下,推斷參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間為所以,,得到即以概率推斷參數(shù)取值于.24從一批螺釘中隨機(jī)地取16枚,測(cè)得其長(zhǎng)度<單位：cm>為：2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11設(shè)釘長(zhǎng)分布為正態(tài),在如下兩種情況下,試求總體均值的90%置信區(qū)間,1若已知=0.01cm；2若未知；解因?yàn)橛?jì)算所以置信區(qū)間為計(jì)算所以置信區(qū)間為.25測(cè)量鋁的密度16次,測(cè)得試求鋁的比重的0.95的置信區(qū)間<假設(shè)鋁的比重服從正態(tài)分布>.解這是正態(tài)分布下,方差未知,對(duì)于均值的區(qū)間估計(jì)：因?yàn)橛?jì)算所以置信區(qū)間為.26在方差已知的正態(tài)總體下,問抽取容量n為多大的樣本,才能使總體均值的置信度為的置信區(qū)間長(zhǎng)度不大于l？解均值的置信度為的置信區(qū)間為要使即.27從正態(tài)總體中抽取容量為n的樣本,如果要求其樣本均值位于區(qū)間<1.4,5.4>內(nèi)的概率不小于0.95,問樣本容量n至少應(yīng)取多大？解,所以.28假設(shè)0.5,1.25,0.8,2.0是總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本值.已知.求參數(shù)a的置信度為0.95的置信區(qū)間；求EX的置信度為0.95的置信區(qū)間.解1服從正態(tài)分布,按照正態(tài)分布均值的區(qū)間估計(jì),其置信區(qū)間為,由題意,從總體X中抽取的四個(gè)樣本為：其中,,代入公式,得到置信區(qū)間為2,由1知道的置信區(qū)間為,所以置信區(qū)間為.29隨機(jī)地從A批導(dǎo)線中抽取4根,并從B批導(dǎo)線中抽取5根,測(cè)得其電阻<>為：A批導(dǎo)線：0.143,0.142,0.143,0.137B批導(dǎo)線：0.140,0.142,0.136,0.138,0.140設(shè)測(cè)試數(shù)據(jù)分別服從和,并且它們相互獨(dú)立,又均未知,求參數(shù)的置信度為95%的置信區(qū)間.解由題意,這是兩正太總體,在方差未知且相等條件下,對(duì)總體均值差的估計(jì)：置信區(qū)間為計(jì)算得所以.30有兩位化驗(yàn)員A、B,他們獨(dú)立地對(duì)某種聚合物的含氯量用相同方法各作了10次測(cè)定,其測(cè)定值的方差依次為0.5419和0.6065,設(shè)與分別為A、B所測(cè)量數(shù)據(jù)的總體的方差<正態(tài)總體>,求方差比/的置信度為95%的置信區(qū)間.解由題意,這是兩正太總體方差比的區(qū)間估計(jì)：置信區(qū)間為計(jì)算得所以置信為.31隨機(jī)地取某種炮彈9發(fā)做試驗(yàn),測(cè)得炮口速度的樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=11<m/s>,設(shè)炮口速度服從正態(tài)分布,求這種炮彈的炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為95%的置信區(qū)間.解由題意標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為0.95的置信區(qū)間為計(jì)算得所以置信區(qū)間為.32在一批貨物的容量為100的樣本中,經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)16個(gè)次品,試求這批貨物次品率的置信度為95%的置信區(qū)間解設(shè)表示來自總體的樣本,樣本為次品時(shí),樣本為正品時(shí),表示次品率,則,的置信區(qū)間為計(jì)算得：所以置信區(qū)間為.33設(shè)總體,參數(shù),是來自于總體X的樣本,并且,求參數(shù)的貝葉斯估計(jì)量.解設(shè),先驗(yàn)分布密度,當(dāng)時(shí),樣本的概率密度分布為關(guān)于參數(shù)的后驗(yàn)分布為的后驗(yàn)分部為,所以關(guān)于的Bayes估計(jì)量.34設(shè)總體,參數(shù)具有指數(shù)分布,即,并且損失函數(shù)為平方差函數(shù)形式,求參數(shù)的貝葉斯估計(jì)量.解設(shè),先驗(yàn)分布密度當(dāng)時(shí),樣本的概率密度分布為關(guān)于參數(shù)的后驗(yàn)分布為的后驗(yàn)分部為,關(guān)于的Bayes估計(jì)量.35設(shè)總體X服從幾何分布：,并且參數(shù),其中為已知參數(shù).在平方差損失下,求參數(shù)的貝葉斯估計(jì)量T.解設(shè),先驗(yàn)分布密度當(dāng)時(shí),樣本的概率密度分布為：關(guān)于參數(shù)的后驗(yàn)分部為的后驗(yàn)分部為關(guān)于的Bayes估計(jì)量.36設(shè)為總體的樣本,求參數(shù)p是有效估計(jì)量T1與相應(yīng)的信息量；如果,在平方差損失下,求參數(shù)p的貝葉斯估計(jì)量T2.試比較兩個(gè)估計(jì)量T1和T2.解1因?yàn)樗迫缓瘮?shù)為：所以又因?yàn)樗匀?有定理2.3.2得是的有效估計(jì)量2設(shè)先驗(yàn)分布密度當(dāng)時(shí),樣本的概率密度分布為關(guān)于參數(shù)的后驗(yàn)分部為的后驗(yàn)分部為,關(guān)于的Bayes估計(jì)量〔3比較估計(jì)量,有：所以,優(yōu)于.習(xí)題三1正常情況下,某煉鐵爐的鐵水含碳量.現(xiàn)在測(cè)試了5爐鐵水,其含碳量分別為4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果方差沒有改變,問總體的均值有無(wú)顯著變化？如果總體均值沒有改變,問總體方差是否有顯著變化〔？解由題意知,,設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè)拒絕域?yàn)?臨界值,由于,所以拒絕,總體的均值有顯著性變化.設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè)由于,所以當(dāng)時(shí)拒絕域?yàn)橛捎?所以拒絕,總體的方差有顯著性變化.2一種電子元件,要求其壽命不得低于1000h.現(xiàn)抽測(cè)25件,得其均值為=950h.已知該種元件壽命,問這批元件是否合格〔？解由題意知,設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè)拒絕域?yàn)榕R界值為由于,所以拒絕,元件不合格.3某食品廠用自動(dòng)裝罐機(jī)裝罐頭食品,每罐標(biāo)準(zhǔn)重量為500g,現(xiàn)從某天生產(chǎn)的罐頭中隨機(jī)抽測(cè)9罐,其重量分別為510,505,498,503,492,502,497,506,495〔g,假定罐頭重量服從正態(tài)分布.問<1>機(jī)器工作是否正?！?？2能否認(rèn)為這批罐頭重量的方差為5.52〔？解〔1設(shè)X表示罐頭的重量<單位：g>.由題意知,已知設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè),拒絕域當(dāng)時(shí),臨界值,由于,所以接受,機(jī)器工作正常.〔2設(shè)X表示罐頭的重量<單位：g>.由題意知,已知設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè)拒絕域?yàn)楫?dāng)=0.05時(shí),可得由于,所以接受,可以認(rèn)為方差為.4某部門對(duì)當(dāng)前市場(chǎng)的雞蛋價(jià)格情況進(jìn)行調(diào)查,抽查某市20個(gè)集市上雞蛋的平均售價(jià)為3.399〔元/500克,標(biāo)準(zhǔn)差為0.269〔元/500克.已知往年的平均售價(jià)一直穩(wěn)定在3.25〔元/500克左右,問該市當(dāng)前的雞蛋售價(jià)是否明顯高于往年？〔解設(shè)X表示市場(chǎng)雞蛋的價(jià)格〔單位：元/克,由題意知設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè),拒絕域?yàn)楫?dāng)=0.05時(shí),由于所以拒絕,當(dāng)前的雞蛋售價(jià)明顯高于往年.5已知某廠生產(chǎn)的維尼綸纖度,某日抽測(cè)8根纖維,其纖度分別為1.32,1.41,1.55,1.36,1.40,1.50,1.44,1.39,問這天生產(chǎn)的維尼綸纖度的方差是否明顯變大了〔？解由題意知,設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè)拒絕域?yàn)?當(dāng)時(shí),由于,所以拒絕,認(rèn)為強(qiáng)度的方差明顯變大.6某種電子元件,要求平均壽命不得低于2000,標(biāo)準(zhǔn)差不得超過130.現(xiàn)從一批該種元件中抽取25只,測(cè)得壽命均值,標(biāo)準(zhǔn)差.設(shè)元件壽命服從正態(tài)分布,試在顯著水平=0.05下,確定這批元件是否合格.解設(shè)X表示電子元件的平均壽命〔單位：,由題意知設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè)拒絕域?yàn)楫?dāng)時(shí),由于,所以接受,即這批電子元件的壽命是合格的.7設(shè)為來自總體的樣本,已知對(duì)統(tǒng)計(jì)假的拒絕域?yàn)?1當(dāng)時(shí),求犯兩類錯(cuò)的概率與；2證明：當(dāng)→時(shí),→0,→0.解〔1由題意知犯第一類錯(cuò)誤的概率為犯第二類錯(cuò)誤的概率為〔2若成立,則當(dāng),,所以同理8設(shè)需要對(duì)某一正態(tài)總體的均值進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)H0：=15,H1：<15取檢驗(yàn)水平α=0.05,試寫出檢驗(yàn)H0的統(tǒng)計(jì)量和拒絕域.若要求當(dāng)H1中的=13時(shí)犯第二類錯(cuò)誤的概率不超過=0.05,估計(jì)所需的樣本容量n.解由題意知,已知,設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè)則拒絕域?yàn)?其中臨界值犯第二類錯(cuò)誤的概率即,化簡(jiǎn)得.9設(shè)為來自總體～的樣本,為已知,對(duì)假設(shè)：其中,試證明：解〔1,由題意知犯第一,二類錯(cuò)誤分別為,則有〔2由題意知,犯第一,二類錯(cuò)誤分別為,則有10設(shè)為總體樣本,對(duì)假設(shè)：的拒絕域?yàn)?求犯第Ⅰ類錯(cuò)誤的概率和犯第Ⅱ類錯(cuò)的概率.解由題意知,統(tǒng)計(jì)假設(shè)為.拒絕域?yàn)閯t犯第一,二類錯(cuò)誤的概率分別是11設(shè)總體是密度函數(shù)是統(tǒng)計(jì)假設(shè).現(xiàn)從總體中抽取樣本,拒絕域,求：兩類錯(cuò)誤的概率解由題意知當(dāng)此時(shí)當(dāng)此時(shí)12設(shè)總體,根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理,對(duì)統(tǒng)計(jì)假設(shè)：；,試分析其拒絕域.解由題意知,當(dāng)成立時(shí)所以拒絕域?yàn)楫?dāng)成立時(shí)所以拒絕域?yàn)?3設(shè)總體根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理,對(duì)統(tǒng)計(jì)假設(shè)：〔1；〔2試分析其拒絕域.解由題意知〔1假設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為其中已知當(dāng)成立時(shí),拒絕域形式為由,可得所以,由此可得拒絕域形式為〔2假設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為其中未知當(dāng)成立時(shí),選擇拒絕域?yàn)?由得所以,由此可得拒絕域形式為14從甲、乙兩煤礦各取若干樣品,得其含灰率〔%為,甲:24.3,20.8,23.7,21.3,17.4,乙:18.2,16.9,20.2,16.7.假定含灰率均服從正態(tài)分布且,問甲、乙兩煤礦的含灰率有無(wú)顯著差異〔？解由題意知設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為其中當(dāng)時(shí)臨界值拒絕域?yàn)槎?5設(shè)甲、乙兩種零件彼此可以代替,但乙零件比甲零件制造簡(jiǎn)單,造價(jià)也低.經(jīng)過試驗(yàn)獲得它們的抗拉強(qiáng)度分別為〔單位：kg/cm：甲：88,87,92,90,91乙：89,89,90,84,88假定兩種零件的抗拉強(qiáng)度都服從正態(tài)分布,且=.問甲種零件的抗拉強(qiáng)度是否比乙種的高〔？解由題意知設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為,其中當(dāng)時(shí)臨界值拒絕域?yàn)槎?所以接受,認(rèn)為甲的抗拉強(qiáng)度比乙的要高.16甲、乙兩車床生產(chǎn)同一種零件.現(xiàn)從這兩車床產(chǎn)生的產(chǎn)品中分別抽取8個(gè)和9個(gè),測(cè)得其外徑〔單位：mm為：甲：15.0,14.5,15.2,15.5,14.8,15.1,15.2,14.8乙：15.2,15.0,14.8,15.2,15.0,15.0,14.8,15.1,14.8假定其外徑都服從正態(tài)分布,問乙車床的加工精度是否比甲車床的高〔？解由題意知設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為,其中當(dāng)時(shí),臨界值拒絕域?yàn)?而,接受,認(rèn)為乙的精度高.17要比較甲、乙兩種輪胎的耐磨性,現(xiàn)從甲、乙兩種輪胎中各取8個(gè),各取一個(gè)組成一對(duì),再隨機(jī)選取8架飛機(jī),將8對(duì)輪胎磨損量〔單位：mg數(shù)據(jù)列表如下：〔甲49005220550060206340766086504870〔乙49304900514057006110688079305010試問這兩種輪胎的耐磨性有無(wú)顯著差異？<>.假定甲、乙兩種輪胎的磨損量分別滿足且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立.解由題意知設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為,其中當(dāng)時(shí),令拒絕域?yàn)?臨界值而,所以接受,認(rèn)為兩種輪胎耐磨性無(wú)顯著差異.18設(shè)總體,由兩總體分別抽取樣本：4.4,4.0,2.0,4.8：6.0,1.0,3.2,0.41能否認(rèn)為<>?2能否認(rèn)為<>？解<1>由題意知設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為,其中令,則有,當(dāng)時(shí),,拒絕域?yàn)?而,所以<2>由題意知設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為,其中其中,拒絕域?yàn)榕R界值而19從過去幾年收集的大量記錄發(fā)現(xiàn),某種癌癥用外科方法治療只有2%的治愈率.一個(gè)主張化學(xué)療法的醫(yī)生認(rèn)為他的非外科方法比外科方法更有效.為了用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)證實(shí)他的看法,他用他的方法治療200個(gè)癌癥病人,其中有6個(gè)治好了.這個(gè)醫(yī)生斷言這種樣本中的3%治愈率足夠證實(shí)他的看法.〔1試用假設(shè)檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)這個(gè)醫(yī)生的看法；〔2如果該醫(yī)生實(shí)際得到了4.5%治愈率,問檢驗(yàn)將證實(shí)化學(xué)療法比外科方法更有效的概率是多少？解<1>記每個(gè)病人的治愈情況為,則有設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為,其中拒絕域?yàn)?臨界值而<2>不犯第二類錯(cuò)誤的概率由,可得由中心極限定理得20在某公路上,50min之間,觀察每15s內(nèi)通過的汽車數(shù),得下表通過的汽車數(shù)量01234≥5次數(shù)f9268281110問能否認(rèn)為通過的汽車輛數(shù)服從泊松分布〔？解設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為記則有檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值為21對(duì)某廠生產(chǎn)的汽缸螺栓口徑進(jìn)行100次抽樣檢驗(yàn),測(cè)得100數(shù)據(jù)分組列表如下：組限10.93～10.9510.95～10.9710.97～10.9910.99～11.01頻數(shù)582034組限11.01～11.0311.03～11.0511.05～11.0711.07～11.09頻數(shù)17664試對(duì)螺栓的口徑的分布做假設(shè)檢驗(yàn)〔.解設(shè)表示螺栓的口徑,,分布函數(shù)為,統(tǒng)計(jì)假設(shè)為,其中在成立的情況下,計(jì)算得由得所以檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值為由此應(yīng)該22檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí),每次抽取10個(gè)產(chǎn)品檢驗(yàn),共抽取100次,得下表：次品數(shù)012345678910頻數(shù)35401851100000問次品數(shù)是否服從二項(xiàng)分布〔？解設(shè)表示抽取的次品數(shù),,分布函數(shù)為,統(tǒng)計(jì)假設(shè)為,其中在成立的情況下,計(jì)算得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值為因此23請(qǐng)71人比較A、B兩種型號(hào)電視機(jī)的畫面好壞,認(rèn)為A好的有23人,認(rèn)為B好的有45人,拿不定主意的有3人,是否可以認(rèn)為B的畫面比A的好〔？解設(shè)表示A種型號(hào)電視機(jī)的畫面要好些,表示B中型號(hào)電視機(jī)畫面要好些分布函數(shù)分別為,,統(tǒng)計(jì)假設(shè)為由題意知檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量而,所以24為比較兩車間〔生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的產(chǎn)品某項(xiàng)指標(biāo)的波動(dòng)情況,各依次抽取12個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行測(cè)量,得下表甲1.131.261.161.410.861.391.211.221.200.621.181.34乙1.211.310.991.591.411.481.311.121.601.381.601.84問這兩車間所生產(chǎn)的產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)分布是否相同〔？解設(shè)分別表示甲乙兩車間所生產(chǎn)產(chǎn)品的指標(biāo)分布,分布函數(shù)分別,統(tǒng)計(jì)假設(shè)為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為秩和,易知的樣本值為且拒絕域?yàn)槎?所以25觀察兩班組的勞動(dòng)生產(chǎn)率<件/h>,得下表：第1班組283339404142454647第2班組344041424344464849問兩班組的勞動(dòng)生產(chǎn)率是否相同〔=0.05？解設(shè)分別表示兩個(gè)組的勞動(dòng)生產(chǎn)率,分布函數(shù)分別為,統(tǒng)計(jì)假設(shè)為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為秩和,易知的樣本值為拒絕域形式為而,因此,所以26觀觀察得兩樣本值如下：Ⅰ2.363.147.523.482.765.436.547.41Ⅱ4.384.256.543.287.216.54問這兩樣本是否來自同一總體〔=0.05？解設(shè)分別表示Ⅰ,Ⅱ兩個(gè)樣本,分布函數(shù)分別是,統(tǒng)計(jì)假設(shè)為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為秩和,易知的樣本值為拒絕域形式為而,因此,所以27某種動(dòng)物配偶的后代按體格的屬性分為三類,各類的數(shù)目是：10,53,46,按照某種遺傳模型其比率之比應(yīng)為：,問數(shù)據(jù)與模型是否相符〔？解設(shè)體格的屬性為樣本,由題意知其密度函數(shù)為,其中統(tǒng)計(jì)假設(shè)為似然函數(shù)為解得最大似然統(tǒng)計(jì)量為則拒絕域?yàn)槎?8在某地區(qū)的人口調(diào)查中發(fā)現(xiàn)：15729245個(gè)男人中有3497個(gè)是聾啞人.16799031個(gè)女人中有3072個(gè)是聾啞人.試檢驗(yàn)"聾啞人與性別無(wú)關(guān)"的假設(shè)〔.解設(shè)表示男人中聾啞人的個(gè)數(shù),表示女人中聾啞人的個(gè)數(shù),其分布函數(shù)分別表示為,.統(tǒng)計(jì)假設(shè)為拒絕域?yàn)槎?9下表為某藥治療感冒效果的聯(lián)列表：年齡療效兒童成年老年一般583832128較差284445117顯著2318145510910091300試問該藥療效是否與年齡有關(guān)〔=0.05？解設(shè)表示該藥的療效與年齡有關(guān),表示該藥的療效與年齡無(wú)關(guān),其分布函數(shù)分別表示為.統(tǒng)計(jì)假設(shè)為拒絕域?yàn)槎?0某電子儀器廠與協(xié)作的電容器廠商定,當(dāng)電容器廠提供的產(chǎn)品批的不合格率不超過3%時(shí)以高于95%的概率接受,當(dāng)不合格率超過12%時(shí),將以低于10%的概率接受.試為驗(yàn)收者制訂驗(yàn)收抽樣方案.解由題意知,代入式子選用式子計(jì)算求得,于是抽查方案是：抽查66件產(chǎn)品,如果抽得的不合格產(chǎn)品,則接受這批產(chǎn)品,否則拒絕這批產(chǎn)品.31假設(shè)一批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)〔已知,要求質(zhì)量指標(biāo)值越小越好.試給出檢驗(yàn)抽樣方案〔的計(jì)算公式.若未知,又如何確定檢驗(yàn)抽樣方案〔？若質(zhì)量高時(shí)指質(zhì)量指標(biāo)在一個(gè)區(qū)間時(shí),又如何確定檢驗(yàn)抽樣方案〔?解<1>解方程組得<2>若未知,用估計(jì),從而得出公式習(xí)題四1下表數(shù)據(jù)是退火溫度<>對(duì)黃銅延性效應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果,是以延伸率計(jì)算的,且設(shè)為正態(tài)變量,求對(duì)的樣本線性回歸方程.<>300400500600700800<%>405055606770解利用回歸系數(shù)的最小二估計(jì)：其中代入樣本數(shù)據(jù)得到：樣本線性回歸方程為：2證明線性回歸函數(shù)中<1>回歸系數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間為；<2>回歸系數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間為.證<1>由于,所以,所以易知,其中所以的置信水平為的置信區(qū)間為<2>由～,得,,與相互獨(dú)立,所以：根據(jù)得到的置信度為的置信區(qū)間.3某河流溶解氧濃度〔以百萬(wàn)分之一計(jì)隨著水向下游流動(dòng)時(shí)間加長(zhǎng)而下降.現(xiàn)測(cè)得8組數(shù)據(jù)如下表所示.求溶解氧濃度對(duì)流動(dòng)時(shí)間的樣本線性回歸方程,并以=0.05對(duì)回歸顯著性作檢驗(yàn).流動(dòng)時(shí)間t〔天0.51.01.61.82.63.23.84.7溶解氧濃度〔百萬(wàn)分之一0.280.290.290.180.170.180.100.12解利用其中代入樣本數(shù)據(jù)得到：所以,樣本線性回歸方程為：拒絕域形式為：,所以回歸模型不顯著.4假設(shè)是一可控制變量,是一隨機(jī)變量,服從正態(tài)分布.現(xiàn)在不同的值下分別對(duì)進(jìn)行觀測(cè),得如下數(shù)據(jù)0.250.370.440.550.600.620.680.700.732.572.312.121.921.751.711.601.511.500.750.820.840.870.880.900.951.001.411.331.311.251.201.191.151.00<1>假設(shè)與有線性相關(guān)關(guān)系,求對(duì)樣本回歸直線方程,并求的無(wú)偏估計(jì)；<2>求回歸系數(shù)的置信度為95%的置信區(qū)間；<3>檢驗(yàn)和之間的線性關(guān)系是否顯著〔；<4>求置信度為95%的預(yù)測(cè)區(qū)間；<5>為了把的觀測(cè)值限制在,需把x的值限制在什么范圍？〔解<1>利用其中計(jì)算得所以,樣本線性回歸方程為：,<2>根據(jù)第二題,的置信區(qū)間為,代入值計(jì)算得到：,的置信區(qū)間為,代入數(shù)值計(jì)算得到：.<3>根據(jù)檢驗(yàn)法,其拒絕域形式為而顯然,所以和之間具有顯著的線性關(guān)系.<4>,則有<5>根據(jù)<4>的結(jié)論,令解得5證明對(duì)一元線性回歸系數(shù),相互獨(dú)立的充分必要條件是.證若要,那么.反之顯然也成立,命題的證.6設(shè)組觀測(cè)值之間有關(guān)系式：～〔其中,且相互獨(dú)立.<1>求系數(shù)的最小二乘估計(jì)量；<2>證明,其中<3>求的分布.解<1>最小化殘差平方和：<2>易知其中,將其代入上式可得所以,<3>,同理,易得7某礦脈中13個(gè)相鄰樣本點(diǎn)處某種金屬的含量與樣本點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的距離有如下觀測(cè)值23457810106.42108.20109.58109.50110.00109.93110.49111415161819110.59110.60110.90110.76111.00111.20分別按<1>；<2>；<3>.建立對(duì)的回歸方程,并用相關(guān)系數(shù)指出其中哪一種相關(guān)最大.解<1>令,根據(jù)最小二乘法得到,正規(guī)方程：,最后得到所以：樣本線性回歸方程為：,<2>令,得到所以：樣本線性回歸方程為：,<3>令,得到所以：樣本線性回歸方程為：,綜上,,所以第三種模型所表示的的相關(guān)性最大.8設(shè)線性模型其中～〔且相互獨(dú)立,試求、的LS估計(jì).解令則線性模型可轉(zhuǎn)化為根據(jù),令可得即9養(yǎng)豬場(chǎng)為估算豬的毛重,隨機(jī)抽測(cè)了14頭豬的身長(zhǎng)<cm>,肚圍<cm>與體重<kg>,得數(shù)據(jù)如下表所示,試求一個(gè)型的經(jīng)驗(yàn)公式.身長(zhǎng)<cm>41455152596269727880909298103肚圍<cm>4958627162747174798485949195體重<kg>2839414443505157636670768084解由多元線性模型得：代入數(shù)值得到：同樣得到：10某種商品的需求量,消費(fèi)者的平均收入和商品價(jià)格的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示.試求對(duì)、的線性回歸方程.10006001200500300400130011001300300576687543910075807050659010011060解建立回歸模型根據(jù),可求得的LS估計(jì)為代入,得則回歸方程為：11設(shè)組觀測(cè)值之間有如下關(guān)系：～,且相互獨(dú)立.<1>求系數(shù)的最小二乘估計(jì)量；<2>設(shè),,證明：解<1><2>12已有觀測(cè)數(shù)據(jù)如下012345674.64.26.58.79.07.35.53.2<1>求形如的回歸方程；<2>對(duì)上述回歸方程的顯著性作檢驗(yàn)；<3>求當(dāng)=5.5時(shí)的估計(jì)值.解<1>令,求得回歸方程為：<2>拒絕域形式為：,所以回歸方程具有顯著性<3>將代入回歸方程,得到13設(shè)和變量有形為,的回歸方程模型,試用最小二乘法求出的估計(jì).解令殘差平方和為令,得到.習(xí)題五某鋼廠檢查一月上旬內(nèi)的五天中生產(chǎn)的鋼錠重量,結(jié)果如下：〔單位：kg日期重量12491055005800574057105440568052405600540054105430540056405700566057005610570056105400試檢驗(yàn)不同日期生產(chǎn)的鋼錠的平均重量有無(wú)顯著差異？〔=0.05解根據(jù)問題,因素表示日期,試驗(yàn)指標(biāo)為鋼錠重量,水平為5.假設(shè)樣本觀測(cè)值來源于正態(tài)總體.檢驗(yàn)的問題：不全相等.計(jì)算結(jié)果：表5.1單因素方差分析表方差來源自由度平方和均方F值P值因素A誤差41522768021617556920144123.94960.02199*注釋:當(dāng)=0.001表示非常顯著,標(biāo)記為‘***’,類似地,=0.01,0.05,分別標(biāo)記為‘**’,‘*’.查表,因?yàn)?或=0.02199<0.05,所以拒絕,認(rèn)為不同日期生產(chǎn)的鋼錠的平均重量有顯著差異.2考察四種不同催化劑對(duì)某一化工產(chǎn)品的得率的影響,在四種不同催化劑下分別做試驗(yàn)獲得如下數(shù)據(jù)：催化劑得率12340.880.850.790.860.850.830.870.920.850.830.900.840.780.810.810.860.900.87試檢驗(yàn)在四種不同催化劑下平均得率有無(wú)顯著差異？〔=0.05解根據(jù)問題,設(shè)因素表示催化劑,試驗(yàn)指標(biāo)為化工產(chǎn)品的得率,水平為4.假設(shè)樣本觀測(cè)值來源于正態(tài)總體.其中樣本容量不等,分別取值為6,5,3,4.檢驗(yàn)的問題：不全相等.計(jì)算結(jié)果：表5.2單因素方差分析表方差來源自由度平方和均方F值P值因素A誤差3140.00834670.01605330.00278220.00114672.42640.1089查表,因?yàn)?或=0.1089>0.05,所以接受,認(rèn)為在四種不同催化劑下平均得率無(wú)顯著差異.3試驗(yàn)?zāi)撤N鋼的沖擊值〔kg×m/cm2,影響該指標(biāo)的因素有兩個(gè),一是含銅量A,另一個(gè)是溫度B,不同狀態(tài)下的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)如下：試驗(yàn)溫度含銅量20℃0℃-20℃-40℃0.2%0.4%0.8%10.67.04.24.211.611.06.86.314.513.311.58.7試檢驗(yàn)含銅量和試驗(yàn)溫度是否會(huì)對(duì)鋼的沖擊值產(chǎn)生顯著差異？〔=0.05解根據(jù)問題,這是一個(gè)雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)的問題,不考慮交互作用.設(shè)因素分別表示為含銅量和溫度,試驗(yàn)指標(biāo)為鋼的沖擊力,水平為12.假設(shè)樣本觀測(cè)值來源于正態(tài)總體.記為對(duì)應(yīng)于的主效應(yīng)；記為對(duì)應(yīng)于的主效應(yīng)；檢驗(yàn)的問題：〔1全部等于零,不全等于零；〔2全部等于零,不全等于零；計(jì)算結(jié)果：表5.3雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)的方差分析表方差來源自由度平方和均方F值P值因素A260.781730.390834.58960.0005***因素B誤差總和361164.31585.2717130.369221.43860.878624.40060.0009***查表,,顯然計(jì)算值分別大于查表值,或=0.0005,0.0009均顯著小于0.05,所以拒絕,認(rèn)為含銅量和試驗(yàn)溫度都會(huì)對(duì)鋼的沖擊值產(chǎn)生顯著影響作用.4下面記錄了三位操作工分別在四臺(tái)不同的機(jī)器上操作三天的日產(chǎn)量：日產(chǎn)量操作工機(jī)器B1B2B3M115,15,1719,19,1616,18,21M217,17,1715,15,1519,22,22M315,17,1618,17,1618,18,18M418,20,2215,16,1717,17,17設(shè)每個(gè)工人在每臺(tái)機(jī)器上的日產(chǎn)量都服從正態(tài)分布且方差相同.試檢驗(yàn)：〔=0.05操作工之間的差異是否顯著？機(jī)器之間的差異是否顯著？它們的交互作用是否顯著？解根據(jù)問題,這是一個(gè)雙因素等重復(fù)<3次>試驗(yàn)的問題,要考慮交互作用.設(shè)因素分別表示為機(jī)器和操作,試驗(yàn)指標(biāo)為日產(chǎn)量,水平為12.假設(shè)樣本觀測(cè)值來源于正態(tài)總體,.記為對(duì)應(yīng)于的主效應(yīng)；記為對(duì)應(yīng)于的主效應(yīng)；記為對(duì)應(yīng)于交互作用的主效應(yīng)；檢驗(yàn)的問題：〔1全部等于零,不全等于零；〔2全部等于零,不全等于零；〔3全部等于零,不全等于零；計(jì)算結(jié)果：表5.4雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)的方差分析表方差來源自由度平方和均方F值P值因素A因素B相互效應(yīng)A×B誤差總和32624352.75027.16773.541.333144.750.91713.58312.2501.7220.53237.88717.11290.66450.00233**0.00192**查表,,,計(jì)算值,或,而均顯著小于0.05,所以拒絕,接受,認(rèn)為操作工之間的差異顯著,機(jī)器之間的差異不顯著,它們之間的交互作用顯著.5某軸承廠為了提高軸承圈退火的質(zhì)量,制定因素水平分級(jí)如下表所示因素上升溫度℃保溫時(shí)間<h>出爐溫度℃水平18006400水平28208500試問應(yīng)選用哪張正交表來安排試驗(yàn),并寫出第三號(hào)試驗(yàn)條件；又如果試驗(yàn)結(jié)果為試驗(yàn)號(hào)1234硬度合格率％100458570試填好正交試驗(yàn)結(jié)果分析表并對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行直觀分析和方差分析.解根據(jù)題意,這是一個(gè)3因素2水平的試驗(yàn)問題.試驗(yàn)指標(biāo)為硬度的合格率.應(yīng)選擇正交表來安排試驗(yàn),隨機(jī)生成正交試驗(yàn)表如下：表5.5試驗(yàn)案表方表頭設(shè)計(jì)ABC空列硬度合格率〔%列號(hào)123411212100221214531122854221170由此可見第三號(hào)試驗(yàn)條件為：上升溫度800℃、保溫時(shí)間6h、出爐溫度500℃.直觀分析需要計(jì)算K值,計(jì)算結(jié)果如下：表5.6計(jì)算表表頭設(shè)計(jì)ABC空列硬度合格率〔%列號(hào)123411212100221214531122854221170185130170115K=300P=22500Q=24150=32501151701301852372522900229002372512254004001225直觀分析由計(jì)算的K值知,因素A、B、C的極差分別為70,40,40,因此主次關(guān)系為,B,C相當(dāng).由于試驗(yàn)指標(biāo)為硬度的合格率,應(yīng)該是越大越好,所以各確定因素的水平分別是,即最佳的水平組合是,即最佳搭配為：上升溫度800℃、保溫時(shí)間8h、出爐溫度400℃.采用方差分析法,計(jì)算得下表：表5.7方差分析表方差來源平方和自由度均方差F值A(chǔ)1225112251B40014000.33C40014000.33誤差122511225總和32504如果顯著性檢驗(yàn)水平取,則查表得,顯然計(jì)算的F值均小于查表值,所以認(rèn)為三個(gè)因素對(duì)結(jié)果影響都顯著.6某良種繁殖場(chǎng)為了提高水稻產(chǎn)量,制定試驗(yàn)的因素位級(jí)表如下：因素品種密度〔顆/100m2施肥量〔kg/100m2位級(jí)1位級(jí)2位級(jí)3窄葉青8號(hào)南二矮5號(hào)珍珠矮11號(hào)4.503.753.000.750.3751.125問應(yīng)選用哪張正交表安排試驗(yàn),并寫出第8號(hào)試驗(yàn)的條件；如果9組試驗(yàn)結(jié)果為〔單位：kg/100m2：62.925,57.075,51.6,55.05,58.05,56.55,63.225,50.7,54.45,試對(duì)該正交試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行直觀分析和方差分析.解該問題屬于3因素3水平的試驗(yàn)問題,試驗(yàn)指標(biāo)為水稻產(chǎn)量.根據(jù)題意應(yīng)選擇正交表來安排試驗(yàn),隨機(jī)生成正交表如下：表5.8試驗(yàn)安排表表頭設(shè)計(jì)ABC實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)量〔kg/m2%列號(hào)123111162.925212257.075313351.6421255.05522358.05623156.55731363.225832150.7933254.45由表可知,第8號(hào)試驗(yàn)的條件：品種〔A3珍珠矮11號(hào),插值密度〔B23.75棵/100m2,施肥量〔C10.75kg/100m2純氨；直觀分析需要計(jì)算K值,計(jì)算結(jié)果如下：表5.9計(jì)算表表頭設(shè)計(jì)ABC實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)量〔kg/m2%列號(hào)123111162.925212257.075313351.6421255.05522358.05623156.55731363.225832150.7933254.4557.2565556.12K=174.32560.455.2854.256.7255.5257.62同上題進(jìn)行直觀分析,得出K值的大小關(guān)系為：由直觀分析看出：本例較好的水平搭配是：采用方差分析法,計(jì)算得下表：表5.10方差分析表方差來源平方和自由度均方差F值A(chǔ)1.75920.8790.0223B65.861232.9310.8361C6.66023.3300.0845誤差78.776239.38839.388,所以認(rèn)為三個(gè)因素對(duì)結(jié)果影響都不顯著.7在阿魏酸的合成工藝考察中,為了提高產(chǎn)量,選取了原料配比A,吡啶量B和反應(yīng)時(shí)間C三個(gè)因素,它們各取了7個(gè)水平如下：原料配比A：1.0,1.4,1.8,2.2,2.6,3.0,3.4吡啶量B：10,13,16,19,22,25,28反應(yīng)時(shí)間C：0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0,3.5試選用合適的均勻設(shè)計(jì)表安排試驗(yàn),并寫出第7號(hào)試驗(yàn)的條件；如果7組試驗(yàn)的結(jié)果〔收率為：0.33,0.336,0.294,0.476,0.209,0.451,0.482,試對(duì)該均勻試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行直觀分析并通過回歸分析發(fā)現(xiàn)可能更好的工藝條件.解根據(jù)題意選擇均勻設(shè)計(jì)表來安排試驗(yàn),有3個(gè)因素,根據(jù)使用表,實(shí)驗(yàn)安排如：表5.11試驗(yàn)安排表ABC收率列號(hào)12311230.3322460.33633620.29444150.47655310.20966540.45177770.482所以第7號(hào)實(shí)驗(yàn)的條件為：原配料比3.4,吡啶量28ml,反應(yīng)時(shí)間3.5h.通過直觀分析,最好的實(shí)驗(yàn)條件是：原配料比3.4,吡啶量28ml,反應(yīng)時(shí)間3.5h.通過回歸分析,最合適的實(shí)驗(yàn)條件是：原配料比2.6,吡啶量16ml,反應(yīng)時(shí)間0.5h.習(xí)題六1從某中學(xué)高二女生中隨機(jī)選取8名,測(cè)得其升高、體重如下：12345678身高〔cm160159160157169162165154體重〔kg4946534149504843在絕對(duì)距離下,試用最短距離法和離差平方和法對(duì)其進(jìn)行聚類分析.解由R軟件,用最短距離〔左和差離平方和法〔右對(duì)題目進(jìn)行聚類分析如下圖6.1,表6.1和表6.2：最短距離法離差平方和法圖6.1聚類樹形圖表6.1聚類附表<最短距離法>步驟聚類合并系數(shù)首次出現(xiàn)的階段類別下一步組1組2組1組21165.00000221210.00010434813.00000741713.00020551313.00040661517.00050771429.000630表6.2聚類附表<離差平方和法>步驟聚類合并系數(shù)首次出現(xiàn)的階段類別下一步組1組2組1組21162.5000042489.00000735717.50000641326.33310551244.750406615106.833537714257.3756202已知五個(gè)變量的距離矩陣為試用最短距離法和最長(zhǎng)距離法對(duì)這些變量進(jìn)行聚類,并畫出聚類圖和二分樹.解針對(duì)距離矩陣1,采用兩種方法計(jì)算如下.①最短距離法的聚類步驟如下：a將,,聚類圖和樹狀圖如圖6.2：圖6.2聚類圖〔左與樹狀圖〔右②最長(zhǎng)距離法與最短距離法類似,步驟如下：a,聚類圖和樹狀圖如圖6.3：圖6.3聚類圖〔左與樹狀圖〔右〔2針對(duì)距離矩陣2①最短距離法的聚類步驟如下a聚類圖和樹狀圖如圖6.4：圖6.4聚類圖〔左與樹狀圖〔右②由于本題數(shù)據(jù)的特殊性,最長(zhǎng)距離法與最短距離法結(jié)果相同〔略.<3>最短距離法的聚類步驟如下>,聚類圖和樹狀圖如圖6.5：圖6.5聚類圖〔左與樹狀圖〔右由于本題數(shù)據(jù)的特殊性,最長(zhǎng)距離法與最短距離法結(jié)果相同<略>.3在一項(xiàng)關(guān)于作物對(duì)土壤營(yíng)養(yǎng)的反應(yīng)的研究中,要測(cè)定土壤的總磷量和總氮量〔占干物質(zhì)重的百分比,今對(duì)10份土樣測(cè)得數(shù)據(jù)如下：土樣變量12345678910總磷量〔％總氮量〔％0.120.150.360.170.140.060.100.110.110.120.631.192.301.290.730.520.330.610.470.66在絕對(duì)距離下,試用重心法對(duì)其進(jìn)行聚類分析.解由R軟件得到重心法聚類分析的結(jié)果如圖6.6與表6.3：圖6.6聚類樹形圖表6.3聚類過程記錄表步驟聚類合并系數(shù)首次出現(xiàn)的階段類別下一步組1組2組1組2118.0010022110.002104369.005006415.010207524.010008667.027307716.048468812.4597599132.57280041975年Dagnelie收集了11年的氣象數(shù)據(jù)資料如下表變量年序x1x2x3x4123456789101187.919.61.0166189.915.290.1968153.019.756.61353132.117.091.0129388.818.393.71153220.917.8106.91286117.717.865.51104109.018.341.81574156.117.857.41222181.516.8140.6902181.417.074.31150其中：x1—前一年11月12日的降水量；x2—7月均溫；x3—7月降雨量；x4—月日輻射,試對(duì)這四個(gè)氣象因子進(jìn)行主成分分析.解由R軟件分析得到如下表6.4,6.5：表6.4各主成分的重要性:主成分1主成分2主成分3主成分4標(biāo)準(zhǔn)差1.61033490.98908480.534077410.37854199方差貢獻(xiàn)率0.64829470.24457220.071309670.03582351累積貢獻(xiàn)率0.64