河北省2021屆高三鴻浩超級(jí)聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷 含解析

河北省2021屆高三數(shù)學(xué)鴻浩超級(jí)聯(lián)考試卷

一、單選題（共8題；共40分）

1.已知集合M={（%,y）|%-y=0},N={（居y）|y=/},貝ijMnN中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

2.已知MR,捻+*=1，則Q+力=()

A.2B.V3C.V2D.1

3.已知a,p是兩個(gè)不同的平面，m,"是平面a和B之外的兩條不同的直線，且aA.p,n1./3,，則

"m//n"是"m//a"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知雙曲線1（/,>0）的漸近線方程為y=,則E的焦距等于（）

A.V2B.2C.272D.4

5.在菱形ABCD中，AB=1,ZBAD=60°，設(shè)荏=at~BC=b,CD=cfDA=d，則d-b+b-c+a-

d4-a-c=（）

31

A.-1B.—C.—D.0

22

6.5名同學(xué)到甲、乙、丙3個(gè)社區(qū)協(xié)助工作人員調(diào)查新冠疫苗的接種情況，若每個(gè)社區(qū)至少有1名同學(xué)，每

名同學(xué)只能去1個(gè)社區(qū)，且分配到甲、乙兩個(gè)社區(qū)的人數(shù)不同，則不同的分配方法的種數(shù)為（）

A.60B.80C.100D.120

7.如圖的曲線就像橫放的葫蘆的軸截面的邊緣線，我們叫葫蘆曲線（也像湖面上高低起伏的小島在水中的

倒影與自身形成的圖形，也可以形象地稱(chēng)它為倒影曲線），它對(duì)應(yīng)的方程為|y|=（2-i［^］）|sinwx|（0<

X<2TI）其中記［x］為不超過(guò)x的最大整數(shù)），且過(guò)點(diǎn)P（；,2）,若葫蘆曲線上一點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離

為y，則點(diǎn)M到x軸的距離為（）

2B-T《D-T

8.已知函數(shù)/（尤）=^若函數(shù)y=/（八?）-a有且只有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

5JK%），X<U,

是（）

A.（-8,-1）u[2,+叼

B.（-8,0）U[4,+8）

C.（一8,1）u[4,+8）

D.（-8,1）u[2,+8）

二、多選題（共4題；共20分）

9.某網(wǎng)絡(luò)銷(xiāo)售平臺(tái)，實(shí)施對(duì)口扶貧，銷(xiāo)售某縣扶貧農(nóng)產(chǎn)品.根據(jù)2020年全年該縣扶貧農(nóng)產(chǎn)品的銷(xiāo)售額（單位:

萬(wàn)元）和扶貧農(nóng)產(chǎn)品銷(xiāo)售額占總銷(xiāo)售額的百分比，繪制了如圖的雙層餅圖.根據(jù)雙層餅圖（季度和月份后面標(biāo)

注的是銷(xiāo)售額或銷(xiāo)售額占總銷(xiāo)售額的百分比），下列說(shuō)法正確的是（）

12JJ:6%

11月：10%

8月：10%

A.2020年的總銷(xiāo)售額為1000萬(wàn)元

B.2月份的銷(xiāo)售額為8萬(wàn)元

C.4季度銷(xiāo)售額為280萬(wàn)元

D.12個(gè)月的銷(xiāo)售額的中位數(shù)為90萬(wàn)元

10.已知a,b>0,a+b=1,貝U（）

A.2a~b>2B.logi（aZ?）>2C.ab>(2-a)bD.a+b2>-

24

11.數(shù)學(xué)中有各式各樣富含詩(shī)意的曲線，螺旋線就是其中比較特別的一類(lèi).螺旋線這個(gè)名詞來(lái)源于希臘文，

它的原意是"旋卷"或"纏卷”.小明對(duì)螺旋線有著濃厚的興趣，連接嵌套的各個(gè)正方形的頂點(diǎn)就得到了近似于

螺旋線的美麗圖案，其具體作法是：在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，作它的內(nèi)接正方形EFGH,且使得

ZBEF=15°;再作正方形EFGH的內(nèi)接正方形MNPQ,且使得ZFMN=15";類(lèi)似地，依次進(jìn)

行下去，就形成了陰影部分的圖案，如圖所示.設(shè)第0個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為an（其中第1個(gè)正方形ABCD的

邊長(zhǎng)為ai=AB,第2個(gè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為a2=EF第n個(gè)直角三角形（陰影部分）的面積

為Sn（其中第1個(gè)直角三角形AEH的面積為Si,第2個(gè)直角三角形EQM的面積為S2,...）,貝I」（）

A.數(shù)列｛an｝是公比為|的等比數(shù)列

B.S=—

x112

C.數(shù)列｛Sn｝是公比為2的等比數(shù)列

D.數(shù)列｛Sn｝的前n項(xiàng)和7；

222

12.已知橢圓C：W+，=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P是圓O-.x+y=a上且不在x軸

上的一點(diǎn)，且xPg的面積為苧爐.設(shè)C的離心率為e,^F1PF2=6，則（）

A.IPFJI+\PF2\>2aB而?福=abC.ee[^,1）D.tan。=等

三、填空題（共4題；共20分）

13.在平面直角坐標(biāo)系中，角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，若0<a<7T,點(diǎn)

P（l-taM/2ta吟）在角戊的終邊上，則角.（用弧度表示）

14.已知/（x）是定義在（一8,o）u（0,+功）上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/（工）=e*T—1,則曲線y=

/（%）在點(diǎn)（-lj（-l））處的切線方程為.

15.光明中學(xué)為做到學(xué)校疫情防控常態(tài)化，切實(shí)保障學(xué)生的身體健康，組織1000名學(xué)生進(jìn)行了一次“防疫知

識(shí)測(cè)試”（滿分100分）.測(cè)試后，對(duì)學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和分析，結(jié)果如下：學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)樵?80,方

2

差為s=4.82.學(xué)校要對(duì)成績(jī)不低于90分的學(xué)生進(jìn)行表彰.假設(shè)學(xué)生的測(cè)試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布

N（出。2）（其中〃近似為樣本平均數(shù)無(wú)M近似為樣本方差s2,則估計(jì)獲表彰的學(xué)生人數(shù)為

.（四舍五入，保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布NW，。?）,則有-a<Z<M+

o'）=0.6827,PQi—2c<Z</z+2cr）=0.9545,P（g—3<r<Z</z+3a）=0.9973.

16.在三棱柱ABC-A^B^中，底面ABC,底面ABC為正三角形，。是BC的中點(diǎn)，若半徑

為1的球。與三棱柱ABC-的三個(gè)側(cè)面以及上、下底面都相切，則BC=；若直線A.D

與球。的球面交于兩點(diǎn)M,N,則MN=.

四、解答題（共6題；共70分）

17.已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且+a10=13,Sn=66.

(1)求(an］的通項(xiàng)公式；

(2)已知=l,anbn+1-an+1bn=1,設(shè)▲,求數(shù)列｛cn｝的通項(xiàng)公式.

在①%，②/=竽，③d=號(hào)i這3個(gè)條件中，任選一個(gè)解答上述問(wèn)題?

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按照第一個(gè)解答計(jì)分.

18.某市甲、乙兩個(gè)企業(yè)都生產(chǎn)某種產(chǎn)品，貿(mào)易部門(mén)為將該種產(chǎn)品擴(kuò)大市場(chǎng)份額，推向國(guó)內(nèi)外，創(chuàng)造更高的

收益，準(zhǔn)備從甲、乙兩個(gè)企業(yè)中選取優(yōu)質(zhì)的產(chǎn)品，參加2021年的廣交會(huì).現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)企業(yè)中各隨機(jī)抽取

5件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，得到質(zhì)量指數(shù)如下表：

甲9089938791

乙9189908892

規(guī)定：質(zhì)量指數(shù)在90以上(包括90)的視為"優(yōu)質(zhì)品"，質(zhì)量指數(shù)低于90的視為“合格品”以此樣本估計(jì)總體,

頻率作為概率，求解以下問(wèn)題：

(1)若從甲、乙兩個(gè)企業(yè)的優(yōu)質(zhì)品中隨機(jī)取出2件去參加2021年的廣交會(huì)，求取出的2件優(yōu)質(zhì)品恰好都

是甲企業(yè)的優(yōu)質(zhì)品的概率；

(2)從乙企業(yè)的5件產(chǎn)品中隨機(jī)取出1件，若為合格品則另放入1件優(yōu)質(zhì)品，直到取出的是優(yōu)質(zhì)品，求

取得合格品次數(shù)X的分布列和期望；

(3)若兩個(gè)企業(yè)中只能選一個(gè)企業(yè)參加這次廣交會(huì)，如果你是該市貿(mào)易部門(mén)的負(fù)責(zé)人，從產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)

定性方面考慮，你會(huì)選擇哪個(gè)企業(yè)？

19.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且b=2/，2a-c=bcosC.

(1)求8；

(2)如圖，圓。是4人鳥(niǎo)。的外接圓，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)H,過(guò)圓心。作OGJ.04交BC于點(diǎn)

G,且OG=迎.求。”的長(zhǎng).

20.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，△PAD為等腰直角三角形，PA1PD,

E為BC的中點(diǎn)，且PE=百.

p

(1)求證：平面PDE1平面PAD；

(2)求平面PAD與平面PCD所成銳二面角的余弦值.

21.已知拋物線。:必=2px(9>0)的焦點(diǎn)為F,C上一點(diǎn)G到尸的距離為5,到直線x=-1的距離

為5.

(1)求C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)F作與x軸不垂直的直線/與C交于A,B兩點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)A,B分別作直線/的垂線，與x

軸分別交于點(diǎn)P,Q,求四邊形APBQ面積的最小值.

22.已知函數(shù)/(x)=g(lnx)2+哼1(卜eR).

(1)當(dāng)k=0時(shí)，求證：/(x)<1；

(2)當(dāng)k力0時(shí)，討論f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

答案解析部分

一、單選題(共8題；共40分)

1.已知集合M={(x,y)|%-y=0},N={(x,y)|y=%3},則MnN中元素的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【考點(diǎn)】集合的含義，交集及其運(yùn)算

【解析】【解答】因?yàn)榧螹={(%y)|x-y=0},N={(居y)|y=7},

y=x

所以MnN={(x,y)|{3}={(0,0),(l,l),(-l,-l)}，

y-x

所以4nB中元素的個(gè)數(shù)為3,

故答案為：D

【分析】先求出MnN={(0,0),(1,1),(-1,-1)}即可確定個(gè)數(shù)。

2.已知a,b&R,—：H-:=1,則a+b=()

1+11-1

A.2B.V3C.V2D.1

【答案】A

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

【解析】【解答】因?yàn)槿?白=1,

1+11-1

所以0(1)+=1

所以(a+b)-F(b-a)i=2,

所以隹+。=3所以，所以a+b=2.

b-a=0o=l

故答案為：A.

【分析】將原等式化為(a+b)+(b—a)i=2,再由復(fù)數(shù)相等的條件求解。

3.已知是兩個(gè)不同的平面，m,c是平面a和。之外的兩條不同的直線，且al￡,nl0,則

"m//n"是"m//a"的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，平面與平面垂直的判定，平面與平面垂直的性

質(zhì)

【解析】【解答】充分性：因?yàn)閚ip,m//n,所以mJ.。，又因?yàn)閍10,所以m//a或mua,

又因?yàn)閙是平面a和￡之外的直線，所以m//a；

必要性：因?yàn)閍工。，m//a,所以m//p或與￡相交或mu0,又因?yàn)閚上0,所以m與

n平行，相交，異面，所以必要性不成立；

所以〃m//n〃是〃m//a"的充分不必要條件.

故答案為：A.

【分析】由a工仇n工B，rn//n且m在平面a外，能推出m〃a,所以條件充分；

反之，由a_LS，n_LS,m//a,并不能推出m//n,故條件不必要，故選A

4.已知雙曲線E：9—\=l(b>0)的漸近線方程為y=士生,則E的焦距等于()

A.V2B.2C.2V2D.4

【答案】D

【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

【解析】【解答】雙曲線E1(6>0)的漸近線方程為y=+立x,可得：b=l,

W3-^b2=''z—3

所以c=7a2+爐=丁3+1=2，所以焦距為2c=4.

故答案為：D

【分析】由漸近線方程，可以直接求得b,再根據(jù)c=求得C。

5.在菱形4BCD中，AB=1,ZBAD=60°，設(shè)荏=①瓦1=3,方=3,石5=3，則2j.2+心

d4-a-c=()

3I

A.-1B.—C.—D.0

22

【答案】B

【考點(diǎn)】平行向量與共線向量，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

【解析】【解答】如圖，

由于在菱形ABCD中，AB=1,ZBAD=60°，

所以<存，近>=<2族>=60。，<BC,CD>=<b,c>=120°,<AB,DA>=<a,d>=120°

<AB,CD>=<a,c>=1800,且|a|=\b\=|c|=\d\=1;

所以a-b=|a|-|b|cos<a,b>lxlxi=|；b-c=\b\'|c|cos<6,c)=1x1x(—=-；;a-

d.=\a\■|d|cos(a,d)=1x1x(—|)=—|；a-c=|a|-|c|cos{a,c)=1x1x(—1)——1.

所以a-b+6-c+a-d+a-c=|-|-|-l=-|.

故答案為：B.

【分析】先由四邊形是菱形，AB=1,ZBAD=60°，求出各向量的夾角，再根據(jù)向量的數(shù)量積求

結(jié)果。

6.5名同學(xué)到甲、乙、丙3個(gè)社區(qū)協(xié)助工作人員調(diào)查新冠疫苗的接種情況，若每個(gè)社區(qū)至少有1名同學(xué)，每

名同學(xué)只能去1個(gè)社區(qū)，且分配到甲、乙兩個(gè)社區(qū)的人數(shù)不同，則不同的分配方法的種數(shù)為()

A.60B.80C.100D.120

【答案】C

【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式

【解析】【解答】根據(jù)題意，分2種情況討論：

①將5人分為1、1、3的三組，

此時(shí)5人分三組有a=10種分組方法，

分配到甲、乙兩個(gè)社區(qū)的人數(shù)不同，有6掰=4種情況，

則此時(shí)有10x4=40種分配方法；

②將5人分為1、2、2的三組，

此時(shí)5人分三組有空0=15種分組方法，

分配到甲、乙兩個(gè)社區(qū)的人數(shù)不同，有6房=4種情況，

則此時(shí)有15X4=60種分配方法；

則有40+60=100種分配方法,

故答案為：C

【分析】由排列組合公式求解。

7.如圖的曲線就像橫放的葫蘆的軸截面的邊緣線，我們叫葫蘆曲線(也像湖面上高低起伏的小島在水中的

倒影與自身形成的圖形，也可以形象地稱(chēng)它為倒影曲線)，它對(duì)應(yīng)的方程為

|y|=(2-i[^])|sinwx|(0<

X<2TT)其中記[x]為不超過(guò)x的最大整數(shù))，且過(guò)點(diǎn)P?,2),若葫蘆曲線上一點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離

為y，則點(diǎn)M到x軸的距離為()

NB-T

【答案】B

【考點(diǎn)】五點(diǎn)法作函數(shù)y二Asin(u)x+4))的圖象

【解析】【解答】因?yàn)閮H|=(2—月?tīng)?zhēng))33%|(04%?2兀)過(guò)點(diǎn)P(：,2),

代入可得2=(2-i[1])|sin^|=2|sin^|,所以|sin詈|=1,

所以sin?=±l,解得苧="+其keZ),即aj=4k+2(kGZ),

由圖象可知|y|上下對(duì)稱(chēng)，所以T=?X4=TT,

所以k=0,3=2,

所以1訓(xùn)=(2-氐爭(zhēng))32砧04%。2兀),

因?yàn)辄c(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為Y,即％=早，

當(dāng)*若時(shí)，切=(2一/x爭(zhēng))|m2/|=(2-03)岫等l=：x?*.

所以點(diǎn)M到x軸的距離為更

4

故答案為：B

【分析】先將點(diǎn)P坐標(biāo)代入推得|sin詈1=1,利用該條件及|訓(xùn)圖象上下對(duì)稱(chēng)，即可求得T；

8.已知函數(shù)/(尤)=&_[之若函數(shù)丫=/(〃>))一。有且只有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是()

A.u[2,+河

B.(-8,0)U[4,+8)

C.(-8,1)u[4,+8)

D.(-8,1)U[2,+8)

【答案】C

【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象，分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

【解析】【解答】由函數(shù)/(X)={3_2^^<0,

當(dāng)尤<0時(shí)，/(x)=3-/(-%)=3-G尸.

作出/(x)的圖像如圖所示：

令以x)=t,teR,

因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)根，

/(t)=a

所以，當(dāng)122時(shí)，對(duì)應(yīng)的x只有一個(gè)解，此時(shí)/(t)>4,即aN4；

當(dāng)t<-l時(shí)，對(duì)應(yīng)的x只有一個(gè)解，此時(shí)/(t)<1,即a<l；

綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,1)u[4,+8).

故答案為：C

【分析】先作出分段函數(shù)的圖象，當(dāng)我們令/(x)=t,tCR,即可得到f(t)=a有且只有一個(gè)根，然

后對(duì)t分類(lèi)討論，進(jìn)一步求得a的取值范圍。

二、多選題(共4題；共20分)

9.某網(wǎng)絡(luò)銷(xiāo)售平臺(tái)，實(shí)施對(duì)口扶貧，銷(xiāo)售某縣扶貧農(nóng)產(chǎn)品.根據(jù)2020年全年該縣扶貧農(nóng)產(chǎn)品的銷(xiāo)售額(單位:

萬(wàn)元)和扶貧農(nóng)產(chǎn)品銷(xiāo)售額占總銷(xiāo)售額的百分比，繪制了如圖的雙層餅圖.根據(jù)雙層餅圖(季度和月份后面標(biāo)

注的是銷(xiāo)售額或銷(xiāo)售額占總銷(xiāo)售額的百分比)，下列說(shuō)法正確的是()

12月：6%1月：5%

A.2020年的總銷(xiāo)售額為1000萬(wàn)元

B.2月份的銷(xiāo)售額為8萬(wàn)元

C.4季度銷(xiāo)售額為280萬(wàn)元

D.12個(gè)月的銷(xiāo)售額的中位數(shù)為90萬(wàn)元

【答案】A,C

【考點(diǎn)】用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布

【解析】【解答】對(duì)A：根據(jù)雙層餅圖得3季度的銷(xiāo)售額和為300萬(wàn)元，3季度的銷(xiāo)售額占總銷(xiāo)售額的百

分比之和為30%,所以2020年的總銷(xiāo)售額為翳=1000(萬(wàn)元)，A符合題意；

對(duì)B：2月份銷(xiāo)售額為1000X(^X100%-5%—6%)=5()(萬(wàn)元)，B不符合題意；

對(duì)C：4季度銷(xiāo)售額為1000X28^=280(萬(wàn)元)，C符合題意；

對(duì)D：根據(jù)雙層餅圖得12個(gè)月的銷(xiāo)售額從小到大(單位：萬(wàn)元)：50,50,60,60,60,80,90,100,100;110,120,120,

所以12個(gè)月的銷(xiāo)售額的中位數(shù)為：(80+90)=85(萬(wàn)元)，D不符合題意.

故答案為：AC.

【分析】對(duì)于A,根據(jù)第三季度所占總銷(xiāo)售額的比率，可以計(jì)算出總銷(xiāo)售額是1000,所以A正確；

對(duì)于B,先求出二月份占銷(xiāo)售的比例，再求銷(xiāo)售額是50萬(wàn)元，所以B錯(cuò)；

對(duì)于C,根據(jù)四季度所占比例，求得銷(xiāo)售額為280萬(wàn)元，所以C正確；

對(duì)于D,分別計(jì)算出每個(gè)月的銷(xiāo)售額，再把它們按從小到大的順序排列，計(jì)算出中位數(shù)是第六位和第七位

數(shù)的平均值：85萬(wàn)，所以D錯(cuò)。

10.已知a,b>0,a+b=-l,則()

A.2a-b>2B.I°gjab)>2c.aft>(2-a)6D.a+b2>^

【答案】B,D

【考點(diǎn)】基本不等式，基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用

【解析】【解答】對(duì)A：當(dāng)a=b=：時(shí)，=2°=1<2,即2-b<2,A不符合題意；

對(duì)B：因?yàn)閍+b=l,a+b>2癡，所以122而，即0<abW：,由于y=loglx在R上單

42

調(diào)遞減，所以logi(ab)>2,B符合題意；

2

對(duì)C：當(dāng)a=b=：時(shí)，心=(芋，(2-a)b=(2-芋=(|6，又由于y=/在R上單調(diào)遞增，所

以(弟<(|)；即4<(2—a)b,C不符合題意；

對(duì)D：a+(1-a)2=a2—a+l=(a—^)2+|>1,D符合題意.

故答案為：BD.

【分析】對(duì)于A,取特殊值a=b=：，得到2。4=1<2,故A錯(cuò)；

對(duì)于B,由基本不等式得到0<abW：,再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得到B正確；

4

對(duì)于C,取特殊值a=b=：及幕函數(shù)的單調(diào)性，可以推出C錯(cuò)；

對(duì)于D,利用b=l-a,消元得到a+（1-a）2=a2-a+1>:，故D正確。

11.數(shù)學(xué)中有各式各樣富含詩(shī)意的曲線，螺旋線就是其中比較特別的一類(lèi).螺旋線這個(gè)名詞來(lái)源于希臘文，

它的原意是"旋卷"或"纏卷".小明對(duì)螺旋線有著濃厚的興趣，連接嵌套的各個(gè)正方形的頂點(diǎn)就得到了近似于

螺旋線的美麗圖案，其具體作法是：在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，作它的內(nèi)接正方形EFGH，且使得

ZBEF=15°;再作正方形EFGH的內(nèi)接正方形MNPQ,且使得ZFMN=15°;類(lèi)似地，依次進(jìn)

行下去，就形成了陰影部分的圖案，如圖所示.設(shè)第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為an（其中第1個(gè)正方形ABCD的

邊長(zhǎng)為a1=AB,第2個(gè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為a2=EF,...）,第n個(gè)直角三角形（陰影部分）的面積

為Sn（其中第1個(gè)直角三角形AEH的面積為Si,第2個(gè)直角三角形EQM的面積為S2貝晨）

A.數(shù)列｛an｝是公比為|的等比數(shù)列

B.S]=—

112

C.數(shù)列｛Sn｝是公比為J的等比數(shù)列

D.數(shù)列｛Sn｝的前n項(xiàng)和7；

【答案】B,D

【考點(diǎn)】等比數(shù)列，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】如圖：

由圖知an=an+1(sinl5+cosl5)=an+1xV2sin(15+45)=yan+i，

對(duì)于A：an=v?n+i，"—=T-數(shù)列｛an｝是公比為漁的等比數(shù)列，A不正確;

2Cln33

對(duì)于BC:因?yàn)閊=1X（勒T=（勒T,所以Sn=逋三運(yùn)=濾尸一（|）"]"*鈔'

所以數(shù)列｛S"｝是首項(xiàng)為專(zhuān)，公比為|的等比數(shù)列，B符合題意，C不正確；

對(duì)于D：因?yàn)椤?出獸1=：口一（|）2]<：,D符合題意，

3

故答案為：BD.

【分析對(duì)于A,由條件可得即:與….,.%!=乎,公比是由，所以A錯(cuò);

2Un33

對(duì)于B,C,由A知通項(xiàng)公式是斯=（半）n-1,于是B正確，而C不正確；

對(duì)于D,可以由通項(xiàng)公式與=（曰）n-1,進(jìn)一步求得前n項(xiàng)的和Tn.再可以證明結(jié)論正確。

222

12.已知橢圓C:馬+4=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2IP是圓O\x4-y=a上且不在x軸

上的一點(diǎn)，且△P&F2的面積為苧川.設(shè)C的離心率為e,^F1PF2=6，則（）

A.\PFr\+\PF2\>2aB而?麗=abC.e6[^,1）D.tan。=竽

【答案】A,C

【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓與圓錐曲線的綜合

【解析】【解答】如圖，

連接P&,，設(shè)PP2交橢圓于Q，則IQ&I+\QF2\=2a,

|PFi|+\PF2\=〔PF/+\PQ\+]QF2\>|Q6|+\QF2\=2a,故A正確;

設(shè)P^acosa,asina),&(—c,0),F2(G0),

PF1=(—c—acosa,—asina),PF2=(c-acosa,—asina),

PF；?PF；=Q2cos2a—c2+a2sin2a=a2—c2=b2<ab,故8錯(cuò)誤；

設(shè)P(xp,yP),則SAPF1F2=F2I?\yP\=\ac-sina|&ac,

222

又&PFrF2的面積為日爐,yftac,即V3(a—c)<2ac>

：.V3e2+2e-V3>0,又0<e<l,<e<1,故C正確；

2

由PK-PK=\PK\\PK\coS9=b，SAP&FZ=：l麗II耐Isin。=到2，

兩式作商可得：tan8=g，故D錯(cuò)誤.

故答案為：AC

【分析】對(duì)于A,由橢圓的定義有IQ&I+IQF2I=2a,顯然［PF/+IPF2I>2a,即A正確；

對(duì)于B,引進(jìn)參數(shù)a,設(shè)P(acosa,asina),借助向量的數(shù)量積，可以得到B錯(cuò)；

對(duì)于C,由SAPFFZ=?內(nèi)尸21?|洞=|ac?sina|4ac,而4PF1F2的面積為攻/，建立不等式，

z2

即可求得出《e<l，故C正確；

3

對(duì)于D,由麗?耐=|麗j|而|cos"b2及SAP&FZ=不麗'll國(guó)|sinJ=骨2可以得到tan”雪，故

D不正確。

三、填空題(共4題；共20分)

13.在平面直角坐標(biāo)系中，角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，若0<。<兀，點(diǎn)

P(l-tan2a2tan為在角戊的終邊上，則角.(用弧度表示)

【答案】=

O

【考點(diǎn)】任意角三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】【解答】因?yàn)辄c(diǎn)尸(1一tan2?2tan6在角戊的終邊上，

所以由三角函數(shù)的定義知tana=-，治=tan(2x9)=tang=f,

l-tanz—、12z63

又0VaV7T,

所以a=B.

o

故答案為：

7o.

【分析】由tana=Z=更鄧可得到結(jié)果。

X3

14.已知/(x)是定義在(-嗎0)U(0,+8)上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=ex-1-1,則曲線y=

f(x)在點(diǎn)(一1,/(一1))處的切線方程為.

【答案】x-y+1=0

【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義

【解析】【解答】由/(X)是(-8,0)U(0,+8)上的奇函數(shù)，

當(dāng)x<0時(shí)，-X>0,/(x)=-/(-x)=-e-x-1+1,

則f(x)=e-z-1>可得f(-1)=e1-1=1,/(_1)=0,

故f(x)在(-lj(-l))處的切線方程為y-0=(x+1),即x-y+l=0,

故答案為：%-y+l=0.

【分析】由函數(shù)是奇函數(shù)，且x>0時(shí)，/（X）=-1,求出x<0的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求切

點(diǎn)處的斜率，進(jìn)一步求切線的方程。

15.光明中學(xué)為做到學(xué)校疫情防控常態(tài)化，切實(shí)保障學(xué)生的身體健康，組織1000名學(xué)生進(jìn)行了一次“防疫知

識(shí)測(cè)試”（滿分100分）.測(cè)試后，對(duì)學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和分析，結(jié)果如下：學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)閤=80,方

差為s2=4.82.學(xué)校要對(duì)成績(jī)不低于90分的學(xué)生進(jìn)行表彰.假設(shè)學(xué)生的測(cè)試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布

N（〃e2）（其中〃近似為樣本平均數(shù)元/近似為樣本方差S?,則估計(jì)獲表彰的學(xué)生人數(shù)為

.（四舍五入，保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布NW?2）,則有一〃+

a）=0.6827,P（ji-2a<Z<n+2a）=0.9545,P（〃-3。<ZW〃+3。）=0.9973.

【答案】23

【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義

【解析】【解答】因?yàn)閷W(xué)生的平均成績(jī)?yōu)閤=80,方差為s2=4.82,所以X近似服從正態(tài)分布

A/（80,4.82）,

1

-x[1-P(80-2x4.8<X<80+2x4.8)]

1

-x[1-P(70.4<X<89.6)]

-x[1-0,9545]=0.02275

所以成績(jī)不低于90分的學(xué)生有1000x0.02275=22.75?23（人）.

故答案為：23.

【分析】先確定X近似服從正態(tài)分布N（80,4.82）,然后由正態(tài)分布的知識(shí)求結(jié)果。

16.在三棱柱ABC-ABC1中，AAt1底面ABC,底面ABC為正三角形，。是BC的中點(diǎn)，若半徑

為1的球。與三棱柱ABC-的三個(gè)側(cè)面以及上、下底面都相切，則BC=；若直線A.D

與球。的球面交于兩點(diǎn)M,N,則MN=.

【答案】2次；紀(jì)史

13

【考點(diǎn)】球面距離及相關(guān)計(jì)算，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【解析】【解答】由題意可知，作出草圖，如下圖所示：

作三棱柱ABC-A^C1中的中截面，如下圖所示,

O.

則球。的大圓與底面正三角形相內(nèi)切，由于球。的半徑為1,所以該正三角形的邊長(zhǎng)為2X素=28，

6

故BC=2百；

取BG的中點(diǎn)5,連接DD],則AD.DDy與球。相切，如下圖所示：

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4為無(wú)軸，DDr為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系

設(shè)ArD與球。相較于MN兩點(diǎn)，

由（1）可知AD=BDtan^=^BCtan^=3

球。與三棱柱ABC-AxBrCr的三個(gè)側(cè)面以及上、下底面都相切

所以441=2x1=2,所以直線DA1的方程為y=gx,

圓。的方程為Q-1）2+⑶-=1,

所以圓心。到直線MN的距離為4=1曰=普，

所以MN=2VT『=粵.

故答案為：2g;逅.

13

【分析】（1）依題意，三棱柱是正三棱柱，其高等于球的直徑2,底面三角形的內(nèi)切圓半徑即為球的半

徑1,進(jìn)一步利用直角三角形的邊角關(guān)系，即可求得邊長(zhǎng)BC；

（2）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系解題，定義相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出圓的方程及直線MN的方程，利用點(diǎn)到

直線的距離公式及勾股定理進(jìn)一步通過(guò)計(jì)算MN的長(zhǎng)度。

四、解答題（共6題；共70分）

17.已知等差數(shù)列｛為3的前n項(xiàng)和為S",且+a10=13,S11=66.

（1）求｛an｝的通項(xiàng)公式；

（2）己知bj=l,anbn+1-an+1bn=1,設(shè)▲,求數(shù)列｛cn｝的通項(xiàng)公式.

在①％=曰，②％=竽，③4=與1i這3個(gè)條件中，任選一個(gè)解答上述問(wèn)題.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按照第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】（1）設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,

.Ln=1?2%+lid=13—1

由題意可得：｛n的;藝2/工即卜..^11X10將，解得令n一1，

=66$1=Ila14------=66d=1

所以an=Qi+（n-l）d=n,

即｛Q/i｝的通項(xiàng)公式為an=n.

（2）由（1）知，an=n,所以anbn+1-an+1bn=1,

即曲+】一（n+l）bn=l，兩邊同除以n（n+l）得：智一勺=焉行=；一六

所以=63匕2_11如__1_工

32-23nn-1n-1n

累加得：-—-=1--,

n1n

所以bn=2n—1,對(duì)n=l也成立，所以bn=2n—1.

選條件①：cn=事，所以cn=W二=2-3即數(shù)列｛d｝的通項(xiàng)公式為cn=2-i；

選條件②“=空，所以。=口券=2,即數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為5=2；

選條件③/=￥，所以％=三尸=2-：，即數(shù)列｛5｝的通項(xiàng)公式為d=2-：.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

【解析】【分析】（1）將已知條件a3+aio=13,Sii=66.用ai,d表示，列方程組求得ai,d,進(jìn)一步得

到通項(xiàng)公式；

（2）若選條件①，利用己知條件，可得到cn=2-i?

若選條件②5=第，則可得到%=2；

若選條件③0=寫(xiě)，則可得到cn=2-.

18.某市甲、乙兩個(gè)企業(yè)都生產(chǎn)某種產(chǎn)品，貿(mào)易部門(mén)為將該種產(chǎn)品擴(kuò)大市場(chǎng)份額，推向國(guó)內(nèi)外，創(chuàng)造更高的

收益，準(zhǔn)備從甲、乙兩個(gè)企業(yè)中選取優(yōu)質(zhì)的產(chǎn)品，參加2021年的廣交會(huì).現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)企業(yè)中各隨機(jī)抽取

5件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，得到質(zhì)量指數(shù)如下表：

甲9089938791

乙9189908892

規(guī)定：質(zhì)量指數(shù)在90以上（包括90）的視為“優(yōu)質(zhì)品"，質(zhì)量指數(shù)低于90的視為“合格品”以此樣本估計(jì)總體,

頻率作為概率，求解以下問(wèn)題：

（1）若從甲、乙兩個(gè)企業(yè)的優(yōu)質(zhì)品中隨機(jī)取出2件去參加2021年的廣交會(huì)，求取出的2件優(yōu)質(zhì)品恰好都

是甲企業(yè)的優(yōu)質(zhì)品的概率；

（2）從乙企業(yè)的5件產(chǎn)品中隨機(jī)取出1件，若為合格品則另放入1件優(yōu)質(zhì)品，直到取出的是優(yōu)質(zhì)品，求

取得合格品次數(shù)X的分布列和期望；

（3）若兩個(gè)企業(yè)中只能選一個(gè)企業(yè)參加這次廣交會(huì)，如果你是該市貿(mào)易部門(mén)的負(fù)責(zé)人，從產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)

定性方面考慮，你會(huì)選擇哪個(gè)企業(yè)？

【答案】（1）甲企業(yè)優(yōu)質(zhì)品有3件，乙企業(yè)優(yōu)質(zhì)品有3件，

所以取出的2件優(yōu)質(zhì)品都是甲企業(yè)的概率為P=國(guó)="

（2）根據(jù)題意知，隨機(jī)變量X的可能取值為0、1、2,

由已知從乙企業(yè)取出1件優(yōu)質(zhì)品的概率為|,一件合格品的概率為|

所以P(X=0)=|,

248

P(X=1)-X-=—,

5525

P(X=2)=-2x-1=2

25’

所以X的分布列為:

X012

382

p

52525

數(shù)學(xué)期望為E(X)=0x|+lx嘏+2x^=!|；

(3)甲企業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)的平均值為：漏=[x(90+89+93+87+91)=90,

方差為s尹2=|x[(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2+(87-90)2+(91-90)2]=4,

乙企業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)的平均值為：均=：X(91+89+90+88+92)=90,

方差為"2=|x[(91-90)2+(89-90)2+(90-90)2+(88-90)2+(92-90)2]=2,

因?yàn)閮善髽I(yè)的平均值相同，且s*z>s乙2,

所以乙企業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量更穩(wěn)定些，應(yīng)選擇乙企業(yè).

【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式，離散型隨機(jī)變量的期望與方差，分布列對(duì)于刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象的重要性

【解析】【分析】(1)利用古典概率及組合公式，即可求得結(jié)果；

(2)先確定X的取值X=0,1,2,再分別計(jì)算X取各個(gè)值時(shí)的概率，列出分布列，計(jì)算期望；

(3)通過(guò)分別計(jì)算甲乙的平均值和方差，來(lái)判斷。

19.在△ABC中，內(nèi)角A，B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且b=2百，2a-c=bcosC.

(1)求B；

(2)如圖，圓。是AABC的外接圓，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)H,過(guò)圓心。作OG1。力交BC于點(diǎn)

G,且OG=8.求。H的長(zhǎng).

【答案】(1)由余弦定理知，cosC=a2+b2-c2,

2ab

「2a—c=2bcosC,

2a—c=2b-a+b~c，化簡(jiǎn)得。2+。2一爐=。。，

2ab

由余弦定理知，COSB="+'一"=—=-,

2ac2ac2

---Be.(0,7T),|.

（2）設(shè)圓。的半徑為R；

由正弦定理知，2/?=品=第=4,二.R=2,

延長(zhǎng)AH,交圓。于點(diǎn)D，作CE_L40于點(diǎn)E,

則/D=/B=；,

OD=OC=R=2,

△OCD為等邊三角形，

??.CD=2,

CE=V3,DE=OE=1,

NCHE=ZGHO,NCEH=/GOH,CE=OG=^3,

△CEH=△GOH,

??.EH=OH,即點(diǎn)H為OE的中點(diǎn)，

OH=-OE=-.

22

【考點(diǎn)】解三角形，正弦定理，余弦定理

【解析】【分析】（1）由余弦定理通過(guò)等式變換即可直接求出角B；

（2）先由正弦定理，求得三角形的外接圓半徑R,作輔助線，來(lái)求解。

20.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，△PAD為等腰直角三角形，PALPD,

E為BC的中點(diǎn)，且PE=虛.

(1)求證：平面PDE1平面PAD；

(2)求平面PAD與平面PCD所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)證明：取AD中點(diǎn)F,連接PF、EF,如圖,

PFLAD,且PF=\AD=1,

???EF=AB=2,且PE=6，即PE2+PF2=EF2

：.PF1PE,

???四邊形ABCD是正方形，

EFLAD,

???PFCtEF=F,PF、EFu面PEF,

4。1面PEF,

PEu面PEF,

:.AD1PE,

???PFClAC=F,且PF、ADU面PAD,

PE1面PAD,

PEu面PDE,

平面PDE1平面PAD.

(2)平面PADn平面PCD=PDPALPD,CD=2,PC=>JPE2+CE2=2,

PD=V2，

取PD中點(diǎn)則CHCD,CH=*

■：FH=-AP=—,

22

ZFHC即為所求二面角的平面角,

,: