向量組的線性相關(guān)性

第四章

向量組的線性相關(guān)性§1向量組及其線性組合§2向量組的線性相關(guān)性§3向量組的秩§4線性方程組的解的結(jié)構(gòu)§5向量空間第四章向量組的線性相關(guān)主要內(nèi)容1.理解n維向量的概念；2.理解向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義，并了解有關(guān)的結(jié)論；3.理解向量組的最大無關(guān)與向量組的秩的概念及求解方法；4.知道n維向量空間及其子空間、基、維數(shù)、坐標(biāo)等概念。教學(xué)目的與要求教學(xué)重點：向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)概念及其線性相關(guān)性的判別，向量組的秩的求法。教學(xué)難點：向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)概念及其線性相關(guān)性的判別，向量組的秩的求法。教學(xué)重點、難點課外思考題P106習(xí)題四4(1),6,11(2),13,19,22,27,30,34§1向量組及其線性組合定義1

n個有次序的數(shù)a1,a2,…,an所組成的數(shù)組稱為n維向量，這n個數(shù)稱為該向量的n個分量，第i個數(shù)ai稱為第i個分量。分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量。分量全為實數(shù)的向量稱為實向量，一、n維向量的概念1.n維向量的概念例如n維實向量n維復(fù)向量第1個分量第n個分量第2個分量2.n維向量的表示方法

n維向量寫成一行，稱為行向量，也就是行矩陣，通常用等表示，如：

n維向量寫成一列，稱為列向量，也就是列矩陣，通常用等表示，如：注意1.行向量和列向量總被看作是兩個不同的向量；2.行向量和列向量都按照矩陣的運算法則進(jìn)行運算；3.當(dāng)沒有明確說明是行向量還是列向量時，都當(dāng)作列向量。向量解析幾何線性代數(shù)既有大小又有方向的量有次序的實數(shù)組成的數(shù)組幾何形象：可隨意平行移動的有向線段代數(shù)形象：向量的坐標(biāo)表示式坐標(biāo)系3.向量空間空間解析幾何線性代數(shù)點空間：點的集合向量空間：向量的集合坐標(biāo)系代數(shù)形象：向量空間中的平面幾何形象：空間直線、曲線、空間平面或曲面一一對應(yīng)叫做n維向量空間。n>3時，n維向量沒有直觀的幾何形象。叫做n維向量空間Rn中的n-1維超平面。

確定飛機的狀態(tài)，需要以下6個參數(shù)：飛機重心在空間的位置參數(shù)P(x,y,z)機身的水平轉(zhuǎn)角機身的仰角機翼的轉(zhuǎn)角所以，確定飛機的狀態(tài)，需用6維向量

n維向量的實際意義2.向量的表示方法：行向量與列向量。3.向量空間：解析幾何與線性代數(shù)中向量的聯(lián)系與區(qū)別、向量空間的概念。4.向量在生產(chǎn)實踐與科學(xué)研究中的廣泛應(yīng)用。4.小結(jié)1.n維向量的概念，實向量、復(fù)向量。

若干個同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的集合叫做向量組。例如矩陣A=(aij)m×n有n個m維列向量二、向量、向量組與矩陣向量組a1,a2,…,an稱為矩陣A的列向量組。向量組,,…，稱為矩陣A的行向量組。類似地，矩陣A=(aij)m×n又有m個n維行向量

反之，由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個矩陣。m個n維列向量所組成的向量a1,a2,…,am構(gòu)成一個m×n矩陣。m個n維列向量所組成的向量構(gòu)成一個m×n矩陣。線性方程組的向量表示注意：方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對應(yīng)。定義1給定向量組A：a1,a2,…,amk1,k2,…,km稱為這個線性組合的系數(shù)。稱為向量組的一個線性組合，對于任何一組實數(shù)k1,k2,…,km，向量則向量b是向量組A的線性組合，這時稱向量b能由向量組A線性表示。即線性方程組x1a1+x2a2+…+xmam=b有解。給定向量組A：a1,a2,…,am和向量b，若存在一組數(shù)使定理1向量b能由向量組A線性表示的充分必要條件是矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩等于矩陣B=(a1,a2,…,am,b)的秩。定義2設(shè)有兩個向量組若B組中的每個向量都能由向量組A線性表示，則稱向量組B能由向量組A線性表示。若向量組A與向量組B能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價。及若方程組A與方程組B能相互線性表示，就稱為這兩個方程組等價，等價的方程組一定同解。定理2向量組B:b1,b2,…,bj能由向量組A:a1,a2,…,am線性表示的充分必要條件是矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩等于矩陣(A,B)=a1,a2,…,am,b1,b2,…,bj)的秩，即R(A)=R(A,B)。推論向量組A:a1,a2,…,am與向量組B:b1,b2,…,bj等價的充分必要條件是

R(A)=R(B)=R(A,B)其中A和B是向量組A與B所構(gòu)成的矩陣。例1設(shè)證明向量b能由向量組a1,a2,a3線性表示，并求出表示式。解：設(shè)A=(a1,a2,a3)與B=(A,b)。由定理1知，要證R(A)=R(B).將矩陣B化成行最簡形矩陣：r2-r1r3-2r1r4-2r1r3+r2R4-r2則R(A)=R(B)。因此，向量b能由向量組a1,a2,a3線性表示。由行最簡形可得方程(a1,a2,a3)x=b的通解從而得表示式其中c可任意取值。定理3設(shè)向量組B:b1,b2,…,bl能由向量組A:a1,a2,…,am線性表示，則R(b1,b2,…,bl)≤R(a1,a2,…,am)。上述各定理之間的對應(yīng)，其基礎(chǔ)是向量組與矩陣的對應(yīng)，從而有下述對應(yīng)：向量組B:b1,b2,…,bl能由向量組A:a1,a2,…,am線性表示有矩陣K，使B=AK方程AX=B有解§2向量組的線性相關(guān)性回顧：向量組的線性組合定義：給定向量組A：a1,a2,…,am

，對于任何一組實數(shù)k1,k2,…,km，表達(dá)式k1a1+k2a2+…+kmam稱為向量組A的一個線性組合。其中k1,k2,…,km

稱為這個線性組合的系數(shù)。定義：給定向量組A：a1,a2,…,am

和向量b，如果存在一組實數(shù)l1,l2,…,lm，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam則稱向量b能由向量組A的線性表示。引言問題1：給定向量組A，零向量是否可以由向量組A線性表示？問題2：如果零向量可以由向量組A線性表示，線性組合的系數(shù)是否不全為零？向量b能由向量組A線性表示線性方程組Ax=b

有解P.83定理1的結(jié)論：問題1：給定向量組A，零向量是否可以由向量組A線性表示？問題1’：齊次線性方程組Ax=0是否存在解？回答：齊次線性方程組Ax=0一定存在解．事實上，可令k1=k2=…=km=0，則k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）問題2：若零向量可以由向量組A線性表示，線性組合的系數(shù)是否不全為零？問題2’：齊次線性方程組Ax=0是否存在非零解？回答：齊次線性方程組不一定有非零解，從而線性組合的系數(shù)不一定全等于零。例：設(shè)若則k1=k2=k3=0。定義3給定向量組A:a1,a2,…,am，如果存在不全為零的數(shù)k1,k2,…,km使則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)。一、線性相關(guān)性的概念向量組A:a1,a2,…,am線性相關(guān)m元齊次線性方程組Ax=0有非零解R(A)<m備注：給定向量組A，不是線性相關(guān)，就是線性無關(guān)，兩者必居其一。向量組A:a1,a2,…,am

線性相關(guān)，通常是指m≥2的情形。若向量組只包含一個向量：當(dāng)a

是零向量時，線性相關(guān)；當(dāng)a不是零向量時，線性無關(guān)。向量組A:a1,a2,…,am

(m≥2)線性相關(guān)，也就是向量組A中，至少有一個向量能由其余m-1個向量線性表示。 特別地，a1,a2線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)a1,a2的分量對應(yīng)成比例，其幾何意義是兩向量共線。a1,a2,a3線性相關(guān)的幾何意義是三個向量共面。1.向量組線性相關(guān)性的判定二、線性相關(guān)性的判定向量組A中至少有一個向量能由其余m－1個向量線性表示。矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的個數(shù)m。m元齊次線性方程組Ax=0有非零解。k1a1+k2a2+…+kmam

=0(零向量)。存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km，使得向量組A:a1,a2,…,am線性相關(guān)定理42.向量組線性無關(guān)性的判定向量組A中任何一個向量都不能由其余m－1個向量線性表示。矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的個數(shù)m。m元齊次線性方程組Ax=0只有零解。k1=k2=…=km=0。如果k1a1+k2a2+…+kmam=0(零向量)，則必有向量組A:a1,a2,…,am

線性無關(guān)定理4解：例1

n維向量組即R(E)等于向量組中向量個數(shù)，故由定理2知此向量組是線性無關(guān)的。稱為n維單位坐標(biāo)向量組，討論其線性相關(guān)性。n維單位坐標(biāo)向量組構(gòu)成的矩陣由|E|=1≠0，知R(E)=n。是n階單位矩陣。解：例2已知分析試討論向量組a1,a2,a3及a1,a2的線性相關(guān)。對矩陣(a1,a2,a3)施行初等行變換變成行梯形矩陣，可同時看出矩陣(a1,a2,a3)及(a1,a2)的秩，利用定理2即可得出結(jié)論?？梢娤蛄拷Ma1,a2,a3線性相關(guān)；向量組a1,a2線性無關(guān)。例3已知向量組a1,a2,a3線性無關(guān)，且試證明向量組b1,b2,b3線性無關(guān)。解題思路：轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的問題；轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問題．證明：因a1,a2,a3線性無關(guān)，故有亦即即設(shè)有x1,x2,x3使例3已知向量組a1,a2,a3線性無關(guān)，且試證明向量組b1,b2,b3線性無關(guān)。方程組方程組只有零解x1=x2=x3=0，所以向量組b1,b2,b3線性無關(guān)。的系數(shù)行列式設(shè)Bx=0，記作B=AK。已知解法1：轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的問題。例3已知向量組a1,a2,a3線性無關(guān)，且試證明向量組b1,b2,b3線性無關(guān)。因為向量組a1,a2,a3線性無關(guān)，又|K|=2≠0，從而向量組b1,b2,b3線性無關(guān)。則(AK)x=A(Kx)=0。所以Kx=0。那么Kx=0只有零解

x=0，記作B=AK。已知解法2：轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的的問題。例3已知向量組a1,a2,a3線性無關(guān)，且試證明向量組b1,b2,b3線性無關(guān)。又因為向量組a1,a2,a3線性無關(guān)，因為|K|=2≠0，從而R(B)=3，向量組b1,b2,b3線性無關(guān)。R(A)=3所以K可逆，R(A)=R(B)定理3(1)若向量組A:a1,a2,…,am線性相關(guān)，則(2)設(shè)向量組B:a1,a2,…,am,am+1也線性相關(guān)。若向量組B線性無關(guān)，則向量組A也線性無關(guān)。反言之，即aj添上一個分量后得向量bj。若向量組A:a1,a2,…,am線性無關(guān)，則向量組B:b1,b2,…,bm也線性無關(guān)。反言之，若向量組B線性相關(guān)，則向量組A也線性相關(guān)。(3)m個n維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)n小于向量個數(shù)m時一定線性相關(guān)。(4)設(shè)若向量組A:a1,a2,…,am線性無關(guān)，而向量組B:a1,a2,…,am,b線性相關(guān)，則向量b必能由向量組A線性表示，且表示式是唯一的。思考題試證明：(1)一個向量a線性相關(guān)的充要條件是a=0；(2)一個向量a線性無關(guān)的充要條件是a≠0；(3)兩個向量a,b線性相關(guān)的充要條件是a=kb或者b=ka，兩式不一定同時成立。證明：(1)、(2)略。(3)充分性必要性思考題解答∵a,b線性相關(guān)，∴存在不全為零的x,y，使得ax+by=0。不妨設(shè)x≠0，則令即可。不妨設(shè)a=kb，則有1·a+(-k)b=0，由定義知a,b線性相關(guān)。矩陣線性方程組有限向量組系數(shù)矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對應(yīng)Ax=b有解當(dāng)且僅當(dāng)向量b可由矩陣A的列向量組線性表示課本P.88定理4：向量組A:a1,a2,…,am

線性相關(guān)的充要條件是矩陣A=(a1,a2,…,am)

的秩小于向量的個數(shù)m；向量組A:a1,a2,…,am線性無關(guān)的充要條件是矩陣A=(a1,a2,…,am)

的秩等于向量的個數(shù)m。

n元線性方程組

Ax=b其中A是n×m矩陣矩陣(A,b)向量組A:a1,a2,…,an及向量b是否存在解？R(A)=R(A,b)成立？向量b能否由向量組A線性表示？無解R(A)<R(A,b)

NO有解R(A)=R(A,b)

YESx的分量是線性組合的系數(shù)唯一解R(A)=R(A,b)

=未知數(shù)個數(shù)表達(dá)式唯一無窮解R(A)=R(A,b)<未知數(shù)個數(shù)表達(dá)式不唯一知識結(jié)構(gòu)圖n維向量向量組向量組與矩陣的對應(yīng)向量組的線性組合向量組的線性表示向量組的等價判定定理及必要條件判定定理§3向量組的秩回顧：矩陣的秩定義：在m×n矩陣A中，任取k行k列(k≤m,k≤n)，位于這些行列交叉處的k2個元素，不改變它們在A中所處的位置次序而得的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式。規(guī)定：零矩陣的秩等于零。定義：設(shè)矩陣A中有一個非零的r階子式D，且所有r+1階子式(若存在的話)全等于零，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作R(A)。結(jié)論：矩陣的秩=矩陣中最高階非零子式的階數(shù)=矩陣對應(yīng)的行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)定義1設(shè)有向量組A，若在A中選出r個向量a1,a2,…,ar，滿足：一、最大線性無關(guān)向量組(1)向量組A0:a1,a2,…,ar線性無關(guān)；(2)向量組A中任意r+1個向量(若A中有r+1個向量的話)都線性相關(guān)，那么稱向量組A0是向量組A的一個最大線性無關(guān)向量組(簡稱最大無關(guān)組)；注意：只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組，規(guī)定它的秩為零。最大無關(guān)組所含向量個數(shù)r稱為向量組的秩。定理1矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩。二、矩陣與向量組秩的關(guān)系類似可證A的行向量組的秩也等于R(A)。所以列向量組的秩等于r。因此Dr所在的r列是A的列向量的一個最大無關(guān)組，又由A中所有r+1階子式均為零，知A中任意r+1個列向量都線性相關(guān)。根據(jù)定理2由Dr≠0知所在的r列線性無關(guān)；證明：設(shè)A=(a1,a2,…,am)，R(A)=r。并設(shè)r階子式Dr≠0。一般地，矩陣的秩等于它的列向量組的秩。 矩陣的秩等于它的行向量組的秩。（P.90定理6）今后，向量組a1,a2,…,am的秩也記作R(a1,a2,…,am)

．若Dr是矩陣A的一個最高階非零子式，則Dr所在的r列是A的列向量組的一個最大無關(guān)組，Dr所在的r行是A的行向量組的一個最大無關(guān)組。向量組的最大無關(guān)組一般是不唯一的。例1已知事實上，a1,a3和a2,a3也是最大無關(guān)組。從而a1,a2是向量組a1,a2,a3的一個最大無關(guān)組。同時，R(a1,a2,a3)=2，可見R(a1,a2)=2，解：試討論向量組a1,a2,a3及向量組a1,a2的線性相關(guān)性。故向量組a1,a2線性無關(guān)，故向量組a1,a2,a3線性相關(guān)，最大無關(guān)組的等價定義結(jié)論：向量組A和它自己的最大無關(guān)組A0是等價的。定義：設(shè)有向量組A，若在A中能選出r個向量a1,a2,…,ar，滿足①向量組A0:a1,a2,…,ar

線性無關(guān)；②向量組A中任意r+1個向量(若A中有r+1個向量的話)都線性相關(guān)；③向量組A中任意一個向量都能由向量組A0線性表示；那么稱向量組A0是向量組A的一個最大無關(guān)組。矩陣線性方程組有限向量組無限向量組系數(shù)矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對應(yīng)矩陣的秩等于列(行)向量組的秩Ax=b有解當(dāng)且僅當(dāng)向量b能否由向量組A線性表示向量組與自己的最大無關(guān)組等價例2全體n維向量構(gòu)成的向量組記作Rn，求Rn的一個最大無關(guān)組及Rn的秩。解：因為n維單位坐標(biāo)向量構(gòu)成的向量組是線性無關(guān)的。又根據(jù)定理3的結(jié)論(3)知Rn中的任意n+1個向量都線性相關(guān)，因此向量組E是Rn的一個最大無關(guān)組，且Rn的秩等于n。求矩陣A的列向量組的一個最大無關(guān)組，并把不屬最大無關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示。例3設(shè)矩陣解：用初等行變換把矩陣A化成行階梯形矩陣。行階梯形矩陣有3個非零行，故R(A)=3。故列向量組的最大無關(guān)組含3個向量，而三個非零行的非零首元在1,2,4列，故a1,a2,a4為列向量組的一個最大無關(guān)組。這是因為知R(a1,a2,a4)=3，故a1,a2,a4線性無關(guān)。思考：如何把a3,a5表示成a1,a2,a4的線性組合？向量b能由向量組A線性表示線性方程組Ax=b

有解

令A(yù)0=(a1,a2,a4)求解A0x=a3

A0x=a5思路2：利用矩陣A的行最簡形矩陣。思路1：利用P83

定理1的結(jié)論為把a3,a5表示成a1,a2,a4的線性組合，把矩陣A再變成行最簡形矩陣于是Ax=0與Bx=0，即即矩陣A的列向量組與矩陣B的列向量組有相同的線性關(guān)系。同解。x1b1+x2b2+x3b3+x4b4+x5b5=0x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5=0與可以看出：a5=4a1+3a2

?3a4a3=?a1

?a2

所以b5=4b1+3b2

?3b4例4

設(shè)齊次線性方程組試求全體解向量構(gòu)成的向量組S的秩。的通解是定理2設(shè)向量組B能由向量組A線性表示，則向量組B的秩不大于向量組A的秩。三、向量組秩的重要結(jié)論推論1等價的向量組的秩相等。推論2設(shè)Cm×n=Am×sBs×n，則R(C)≤R(A)，R(C)≤R(B)推論3設(shè)向量組B是向量組A的部分組，若向量組B線性無關(guān)，且向量組A能由向量組B線性表示，則向量組B是向量組A的一個最大無關(guān)組。例5設(shè)向量組B能由向量組A線性表示，且它們的秩相等，證明向量組A與向量組B等價。證明：向量組(a1,a2)與(b1,b2)等價。例6已知先求X。類似于線性方程組求的方法，對增廣矩陣(a1,a2,b1,b2)施行初等行變換變?yōu)樾凶詈喰尉仃?。證明：要證存在2階方陣X,Y，使即得因|X|=1≠0，知X可逆。取Y=X-1，即為所求。因此向量組a1,a2與b1,b2等價。1.最大線性無關(guān)向量組的概念：

最大性、線性無關(guān)性。2.矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系：

矩陣的秩＝矩陣列向量組的秩＝矩陣行向量組的秩3.關(guān)于向量組秩的一些結(jié)論：

一個定理、三個推論．4.求向量組的秩以及最大無關(guān)組的方法：

將向量組中的向量作為列向量構(gòu)成一個矩陣，然后進(jìn)行初等行變換。四、小結(jié)§4線性方程組的解的結(jié)構(gòu)回顧：線性方程組的解的判定1.包含n個未知數(shù)的齊次線性方程組Ax=0

有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A)<n。2.包含n個未知數(shù)的非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A)=R(A,b)，并且當(dāng)R(A)=R(A,b)=n時，方程組有唯一解；當(dāng)R(A)=R(A,b)<n時，方程組有無限多個解。引言問題：什么是線性方程組的解的結(jié)構(gòu)？答：所謂線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，就是當(dāng)線性方程組有無限多個解時，解與解之間的相互關(guān)系。備注：當(dāng)方程組存在唯一解時，無須討論解的結(jié)構(gòu)。下面的討論都是假設(shè)線性方程組有解。1.解向量的定義定義：設(shè)有齊次線性方程組Ax=0，如果稱為方程組的解向量。為該方程組的解，則一、齊次線性方程組解的性質(zhì)1.解向量的概念設(shè)有齊次線性方程組(1)一、齊次線性方程組解的性質(zhì)則上述方程組(1)可寫成向量方程若記稱為方程組(1)的解向量，也就是向量方程Ax=0的解。為方程Ax=0的解，則若2.齊次線性方程組的解的性質(zhì)性質(zhì)1若也是Ax=0的解。為Ax=0的解，則性質(zhì)2若為Ax=0的解，k為實數(shù)，則也是Ax=0的解。結(jié)論：若

是齊次線性方程組Ax=0的解，則x=k1x1+k2x2+…+ktxt也是Ax=0的解。齊次線性方程組的解集的最大無關(guān)組稱為該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系（不唯一）。把Ax=0的全體解組成的集合記作S，若求得S的一個最大無關(guān)組S0：

，那么Ax=0的通解可表示為x=k1x1+k2x2+…+ktxt

。能否通過有限個解向量的線性組合把Ax=0的解全部表示出來？已知齊次方程組Ax=0的幾個解向量，可以通過這些解向量的線性組合給出更多的解。結(jié)論：若

是齊次線性方程組Ax=0的解，則x=k1x1+k2x2+…+ktxt也是Ax=0的解。1.基礎(chǔ)解系的概念定義：齊次線性方程組Ax=0的一組解向量二、基礎(chǔ)解系及其求法②方程組中任一個解都可由

線性表示。①線性無關(guān)；如果滿足則稱這組解是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。如果

為齊次線性方程組Ax=0的一組基礎(chǔ)解系，那么Ax=0的通解可表示為其中k1,k2,…,kt是任意常數(shù)。2.線性方程組基礎(chǔ)解系的求法設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為A，并不妨設(shè)A的前r個列向量線性無關(guān)。于是A可化為現(xiàn)對xr+1,…,xn取下列n-r組數(shù)：分別代入依次得從而求得原方程組的n-r個解：由于n-r個n-r維向量線性無關(guān)，下面證明

是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系。(1)證明

線性無關(guān)所以n-r個n維向量

亦線性無關(guān)。設(shè)x=(k1,k2,…,kr,kr+1,…,kn)為上述方程組的一個解。(2)證明任一解都可由

線性表示。再作

的線性組合，由于

是Ax=0的解，下面來證明故η也是Ax=0的解。由于ξ與η都是方程Ax=0的解，而Ax=0又等價于方程組所以ξ與η都是此方程組的解。由所以

是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系。故

即例1求齊次線性方程組即方法1：先求出通解，再從通解求得基礎(chǔ)解系。的基礎(chǔ)解系和通解。令x3=c1,x4=c2,得通解表達(dá)式基礎(chǔ)解系為方法2：先求出基礎(chǔ)解系，再寫出通解。即令合起來便得到基礎(chǔ)解系,得還能找出其它基礎(chǔ)解系嗎？通解為(c1,c2為實數(shù))問題：是否可以把x1選作自由變量？答：可以，因為是否把系數(shù)矩陣化為行最簡形矩陣，其實并不影響方程組的求解。當(dāng)兩個矩陣等價時，以這兩個矩陣為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組同解。令x1=c1,x2=c2,得通解表達(dá)式即從而可得另一個基礎(chǔ)解系：例2解線性方程組解對系數(shù)矩陣施行初等行變換即方程組有無窮多解，其基礎(chǔ)解系中有三個線性無關(guān)的解向量。令代入所以原方程組的一個基礎(chǔ)解系為故原方程組的通解為依次得其中k1,k2,k3為任意常數(shù)。定理：設(shè)m×n矩陣的秩R(A)=r，則n元齊次線性方程組Ax=0的解集S的秩RS=n?r

。例：設(shè)Am×nBn×l=O(零矩陣)，證明R(A)+R(B)≤n。例：證明R(ATA)=R(A)。例：設(shè)n元齊次線性方程組Ax=0與Bx=0同解，證明R(A)=R(B)。1.非齊次線性方程組的解的性質(zhì)性質(zhì)3：若

是非齊次線性方程組Ax=b的解，則

是對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0(導(dǎo)出組)的解。證明：性質(zhì)4：若

是非齊次線性方程組Ax=b的解，證明：是導(dǎo)出組Ax=0的解，則

也是Ax=b的解。三.非齊次線性方程組的解的性質(zhì)根據(jù)性質(zhì)3和性質(zhì)4可知若x=η*是Ax=b的解，x=ξ是Ax=0的解，那么

x=ξ+η*也是Ax=b的解。于是Ax=b的通解為

設(shè)Ax=0的通解為2.非齊次線性方程組的通解3.與方程組Ax=b有解等價的命題線性方程組Ax=b有解向量b能由向量組a1,a2,…,an線性表示；向量組a1,a2,…,an與向量組a1,a2,…,an,b等價；矩陣A=(a1,a2,…,an)與矩陣B=(a1,a2,…,an,b)的秩相等。4.線性方程組的解法(1)應(yīng)用克萊姆法則(2)利用初等變換

特點：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，計算量大，容易出錯，但有重要的理論價值，可用來證明很多命題。

特點：適用于方程組有唯一解、無解以及有無窮多解的各種情形，全部運算在一個矩陣中進(jìn)行，計算簡單，易于編程實現(xiàn)，是有效的計算方法。例3求解方程組解：對增廣矩陣B施行初等行變換：可見R(A)=R(B)=2，故方程組有解，并有即得方程組的一個解取x2=x4=0，則在對應(yīng)的齊次線性方程組中，取則及及即得對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系則及及于是所求通解為解例4求下述方程組的解由R(A)=R(B)，知方程組有解。所以方程組有無窮多解。且原方程組等價于方程組又R(A)=2，n-r=3，求基礎(chǔ)解系令依次得代入故得基礎(chǔ)解系求特解所以方程組的通解為令x3=x4=x5=0，得其中k1,k2,k3為任意常數(shù)。另一種解法則原方程組等價于方程組所以方程組的通解為其中k1,k2,k3為任意常數(shù)。1.齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法四、小結(jié)(1)對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等變換，將其化為最簡形由于令(2)得出R(A)=r，同時也可知方程組的一個基礎(chǔ)解系含有n-r個線性無關(guān)的解向量。故得為齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系。2.線性方程組解的情況(此時基礎(chǔ)解系中含有n-R(A)個解向量)Ax=0有解Ax=b有唯一解Ax=b有無窮多解Ax=b無解設(shè)A是m×3矩陣，且R(A)=1。如果非齊次線性方程Ax=b的三個解向量滿足思考題求Ax=b的通解。思考題解答解：∵A是m×3矩陣，且R(A)=1?！郃x=0的基礎(chǔ)解系中含有3-1=2個線性無關(guān)的解向量。令則其中k1,k2為任意實數(shù)。故Ax=b的通解為為Ax=0的基礎(chǔ)解系中的解向量?！?向量空間封閉的概念定義：所謂封閉，是指集合中任意兩個元素作某一運算得到的結(jié)果仍屬于該集合。例：試討論下列數(shù)集對四則運算是否封閉？整數(shù)集Z有理數(shù)集

Q實數(shù)集R一、向量空間的概念定義：設(shè)V

是n維向量的集合，如果①集合V非空；②集合V

對于向量的加法和乘數(shù)兩種運算封閉，具體地說，就是：若a∈V，b∈V，則a+b∈V

．（對加法封閉）若a∈V，l∈R，則la∈V

．（對乘數(shù)封閉）那么就稱集合V為向量空間。例1判別下列集合是否為向量空間.解：V2不是向量空間。則因為若試判斷集合是否為向量空間。這個向量空間稱為由向量a,b所生成的向量空間。例2設(shè)a,b為兩個已知的n維向量，集合解：V是一個向量空間。因為若則有一般地，把集合稱為由向量組a1,a2,…,am所生成的向量空間。二、子空間定義：若向量空間V的非空子集合V1對于V中所定義的加法及乘數(shù)兩種運算是封閉的，則稱V1是V的子空間。例：

n

維向量的全體Rn集合V1={(0,x2,…,xn)T

|x2,…,xn∈R}集合V2={(1,x2,…,xn)T

|x2,…,xn∈R

}解：V1

是Rn

的子空間，V2不是Rn

的子空間。三、向量空間的基和維數(shù)定義：設(shè)有向量空間V，若在V中能選出r個向量a1,a2,…,ar，滿足①a1,a2,…,ar線性無關(guān)；②V中任意一個向量都能由a1,a2,…,ar

線性表示；那么稱向量組a1,a2,…,ar

是向量空間V的一個基。r

稱為向量空間V的維數(shù)，并稱V為r維向量空間。

向量空間向量空間的基向量空間的維數(shù)向量組向量組的最大無關(guān)組向量組的秩(1)只含有零向量的向量空間稱為0維向量空間，因此它沒有基。說明(3)若向量組a1,a2,…,ar是向量空間V的一個基，則V可表示為(2)若把向量空間V看作向量組，那么V的基就是向量組的最大無關(guān)組，V的維數(shù)就是向量組的秩。1.n維向量的全體Rn。解：En的列向量組是Rn的一個基，故Rn的維數(shù)等于n。2.集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R}解：En的后n-1個列向量是V1的一個基，故V1的維數(shù)等于n-1。結(jié)論：若V1是V的子空間，則V1的維數(shù)不超過V的維數(shù)．3.n元齊次線性方程組的解集S1={x|Ax=0}解：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是S1的一個基，故S1的維數(shù)等于n-R(A)。由a1,a