人教版九年級上22.1.1《二次函數》名師教案人教版九年級上冊數學

/22.1.1二次函數〔劉佳〕一、教學目標〔一〕學習目標1．能結合具體情境體會二次函數的意義,理解二次函數的概念,掌握二次函數的表達形式.2．會寫出實際問題的二次函數關系式,并確定它自變量的取值范圍.〔二〕學習重點理解二次函數的概念,掌握二次函數的表達形式.〔三〕學習難點1．能通過生活中的實際問題情境,構建二次函數關系．2．重視二次函數y＝ax2＋bx＋c中a≠0這一隱含條件．二、教學設計〔一〕課前設計1．預習任務我們把形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0)的函數叫做x的二次函數,其中ax2為二次項,a為二次項系數；bx為一次項,b為一次項系數；c為常數項.2．預習自測〔1〕以下函數中是二次函數的有〔〕〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕A．1個B．2個C．3個D．4個【知識點】二次函數的概念【解題過程】〔1〕是二次函數；〔2〕不是整式,故不是二次函數；〔3〕展開后易知是二次函數；〔4〕化簡后二次項消掉了,不是二次函數【思路點撥】牢記二次函數的概念,以及隱含條件是解題的關鍵【答案】B〔2〕在圓的面積計算公式S=πR2中,S與R之間的關系是()A.S是R的正比例函數 B.S是R的一次函數C.S是R的二次函數 D.以上答案都不對【知識點】二次函數的概念【解題過程】由二次函數概念易知【思路點撥】牢記二次函數的概念,以及隱含條件是解題的關鍵【答案】C〔3〕某物體運動的路程s(米)與時間t(秒)的關系式為s=4t2+3t,那么當t=5時,該物體所經過的路程為()A.115米 B.75米 C.55米 D.35米【知識點】二次函數表達式【解題過程】將t=5代入易求出S=115.【思路點撥】代數式求值【答案】A〔4〕某商場對原價為800元的某商品進行兩次降價,假設設平均每次降價的百分比為,降價后的價格為元,那么與之間的函數關系為()A.B.C.D.【知識點】二次函數表達式【解題過程】由題意平均每次降價百分比為,那么【思路點撥】此題屬增長率類應用問題【答案】D〔二〕課堂設計1．知識回憶〔1〕一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常數,a≠0)〔2〕正比例函數的一般形式是：y=kx(k≠0,k為常數)〔3〕一次函數的一般形式是：y=kx+b(k≠0,k、b為常數)2．問題探究探究一二次函數的概念及其解析式★●活動①通過實例,引入概念師問：請用適當的函數解析式表示以下問題情景中的兩個變量y與x之間的關系：〔1〕面積y(cm2)與圓的半徑x(cm)；〔2〕菱形的兩條對角線長的和為26cm,其中一條對角線長為xcm,菱形面積為ycm2；〔3〕王先生存入銀行2萬元,先存一個一年定期,一年后銀行將本息自動轉存為又一個一年定期,設一年定期的年存款利率為x,兩年后王先生共得本息和y元.學生搶答：〔1〕；〔2〕；〔3〕師問：上述三個問題中的函數解析式具有哪些共同的特征?歸納：1.二次函數的概念：把形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0)的函數叫做x的二次函數,其中：ax2為二次項,a為二次項系數；bx為一次項,b為一次項系數；c為常數項.2.二次函數的解析式：二次函數的一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0).特殊式：(1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0,)；(2)y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0)；(3)y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0).【設計意圖】鼓勵學生在實際問題中發(fā)現(xiàn)數學,并利用已經學過的知識自主類比歸納、發(fā)現(xiàn)數學概念,體會從特殊到一般以及分類的思想方法.●活動②例題講解,應用概念例1：以下函數中,哪些是二次函數？y=2x-1；(2)；(3)y=4x2-3x+1；(4)+4；(5)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數)；(6)y=6x2-3x(1+2x)-5；(7)y=-3x2-x.【知識點】二次函數的概念【解題過程】解:〔1〕是一次函數；〔2〕是二次函數；(3)是二次函數；(4)右邊不是整式,不是二次函數；(5)缺條件a≠0,不是二次函數；(6)整理后為y=-3x-5,不是二次函數；(7)是二次函數.【思路點撥】解答這類問題的一般方法是:先把各關系式整理,然后再根據二次函數的定義進行判斷.判斷時要注意:(1)化簡后二次項系數不等于0；〔2〕所表示的函數的關系式為整式.【答案】〔2〕、〔3〕、〔7〕練習：以下函數中是二次函數的有〔〕〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕A．1個B．2個C．3個D．4個【知識點】二次函數的概念【答案】B【解題過程】〔1〕是；〔2〕右邊含分式,不是；〔3〕展開后為,是；〔4〕整理得y=2x-5,不是,應選B【思路點撥】〔1〕要看化簡后的結果〔2〕二次函數必須為整式【設計意圖】概念是數學的根底,必須牢記,通過對二次函數的判斷,讓學生準確熟練掌握二次函數的根本概念以及表達式,同時學會注意數學概念需要滿足的條件,為后續(xù)準確列出二次函數表達式以及研究二次函數的性質打好根底.例2：m取何值時,函數是二次函數？【知識點】二次函數的表達式【解題過程】解:∵函數是二次函數,∴m2-m=2,解得m1=2,m2=-1.但當m=-1時,m2-1=0；而m=2時,m2-1≠0.綜上所述,m=2.【思路點撥】解答這類問題,主要是根據二次函數的定義,二次函數的解析式中,自變量的最高次數是2,同時二次項系數不能為零列方程(方程組或不等式)求解.【答案】m=2練習：是二次函數,那么a=_______.【知識點】二次函數的表達式【思路點撥】由題意得a2-2a-1=2,解得a1=3,a2=-1;且a-3≠0,即a≠3.綜上所述,a=-1.【答案】a=-1【設計意圖】在概念的學習中,要讓學生重視二次函數y＝ax2＋bx＋c中a≠0這一隱含條件．探究二利用二次函數的表達式表示實際問題★▲●活動①通過實例,探究歸納例1某果園有100棵橙子樹,每一棵樹平均結600個橙子.現(xiàn)準備多種一些橙子樹以提高產量〔果園最多能種150棵橙子樹〕,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據經驗估計,每多種一棵樹,平均每棵樹就會少結5個橙子.(1)假設果園增種x棵橙子樹,那么果園共有橙子樹______________棵,這時平均每棵樹結橙子_______________個.(2)假設果園橙子的總產量為y個,請你寫出y與x之間的關系式,并注明x的取值范圍.【知識點】用二次函數表示實際問題并求自變量取值范圍．【解題過程】解：〔1〕100+x；600-5x；〔2〕〔0<x≤50〕【思路點撥】認真審題,會用含未知量的式子表示其它的未知量.自變量的取值范圍要符合題意.【答案】〔1〕100+x；600-5x；〔2〕〔0<x≤50〕想一想：確定實際問題中二次函數表達式的一般步驟是什么?歸納：確定實際問題中二次函數表達式的一般步驟是：審清題意,找出實際問題中的量〔常量〕和未知量〔變量〕,并分析它們之間的關系,將文字或圖形語言轉化為數學符號語言.建立二次函數表達式,注意要將表達式化簡為y=ax2+bx+c(a≠0)的形式.注意自變量x的取值范圍,在一般情況下,二次函數的自變量可以取任意實數,但在實際問題中,自變量的取值范圍要使實際問題有意義.練習：某種品牌的服裝進價為每件150元,當售價為每件210元時,每天可賣出20件,現(xiàn)需降價處理,且經市場調查發(fā)現(xiàn):每件服裝每降價2元,每天可多賣出1件.在確保盈利的前提下,假設設每件服裝降價x元,每天售出服裝的利潤為y元,那么y與x的函數關系式為()A.y=+10x+1200(0<x<60)B.y=-10x+1200(0<x<60)C.y=+10x+1250(0<x<60)D.y=+10x+1250(x≤60)【知識點】用二次函數表示實際問題并求自變量取值范圍．【解題過程】解：由題意有:(0<x<60),應選A.【思路點撥】解答這類問題,根據問題的實際,先把其中包含的數量表示出來,再結合題目所給的根本數量關系(如:路程=速度×時間、總價=單價×數量、面積公式、體積公式等),把相等關系表示出來,最后整理即可.【答案】A【設計意圖】構造二次函數來表示實際問題,讓學生體會到二次函數與生活緊密相連,數學來源于生活又能應用于生活,同時注意用二次函數模型解決實際問題時,自變量的取值范圍要符合實際.●活動②變式練習,學會應用例2如下圖,一個窗戶的上面是半圓,下面是矩形,矩形的一邊長1.2m．(1)窗戶透光的面積S〔〕關于上面半圓半徑r〔m〕的函數關系式；⑵求當上面半圓直徑為1m時,窗戶的面積.〔〕【知識點】用二次函數表示實際問題,并代入求值．【解題過程】解：⑴⑵當r=1時,【思路點撥】由窗戶透光的面積等于半圓面積+矩形面積求【答案】,3.9練習：某村方案建造如下圖的矩形蔬菜溫室,要求長與寬的比為2∶1,沿前側內墻保存3m寬的空地,其他三側內墻各保存1m寬的通道,請寫出蔬菜種植面積與矩形溫室的寬之間的函數關系式.【知識點】用二次函數表示實際問題【解題過程】解:設蔬菜種植區(qū)域的面積為ym2,矩形溫室的寬為xm,那么矩形溫室的長為2xm.根據題意得y=(2x-4)(x-2),即y=2x2-8x+8.【思路點撥】解答這類問題,根據問題先把因變量用含自變量的數量關系表示出來,再整理即可.【答案】y=2x2-8x+8【設計意圖】滲透函數思想,建立函數模型.讓學生感受到當遇到實際問題時,可以設未知數構造二次函數來解決問題.3.課堂總結【知識梳理】〔1〕二次函數的概念：把形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0)的函數叫做x的二次函數.〔2〕確定實際問題中二次函數表達式的一般步驟是：①審清題意,分析量和未知量之間的關系,將文字或圖形語言轉化為數學符號語言；②結合題中的根本數量關系,建立二次函數表達式；③寫出自變量x的取值范圍.【重難點突破】〔1〕學習二次函數的定義,注意：①等號左邊是變量y,右邊是關于自變量x的整式；②a,b,c為常數,且a≠0；③等式的右邊自變量的最高次數為2,可以沒有一次項和常數項,但不能沒有二次項；④x的取值范圍是任意實數.〔2〕判斷一個函數是否為二次函數,即要看這個函數的關系式化簡后是否同時滿足二次函數定義中的三個條件：①所表示的函數的關系式為整式；②函數的關系式有唯一自變量；③關系式自變量的最高次數為2且二次項系數不等于0.〔3〕當二次項系數是待定字母時,求出字母的值必須滿足二次項系數不為0這一條件．〔三〕課后作業(yè)根底型自主突破1.以下函數中,是二次函數的有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【知識點】二次函數的概念【解題過程】①符合二次函數定義,是；②不是整式,故不是；③展開以后是二次函數；④展開以后是二次函數.【思路點撥】牢記二次函數的概念,以及隱含條件是解題的關鍵【答案】C2.假設是關于x的二次函數,那么()A.m=-1或m=3 B.m≠-1且m≠0C.m=-1 D.m=3【知識點】二次函數的概念【解題過程】①由得m=-1或m=3；②又由得m≠-1且m≠0,故m=3【思路點撥】由二次函數的概念,根據自變量的最高次數為2,二次項的系數不能為0,列式求解.【答案】D3.中,,直角邊長的和為20,設AC=x,那么〔〕A.y=-x2+10x B.y=-x2+20x C.y=x2+20x D.y=x2+20x【知識點】二次函數的表達式【解題過程】【思路點撥】根據三角形面積公式列出函數式【答案】A4.二次函數y=x2+3x-9的函數值是19,那么對應的x的值是〔〕A.-7 B.4 C.4或-7 D.-4或7【知識點】二次函數的表達式,函數值的概念【解題過程】由題意有,解得【思路點撥】由函數值的概念,利用一元二次方程求解【答案】C5.二次函數,當x＝-2時,y＝-15,那么這個二次函數解析式為．【知識點】二次函數的表達式【解題過程】將x＝-2,y＝-15代入得【思路點撥】代數式求值【答案】6.如圖,用長36米的竹籬笆圍成一個一邊靠墻〔墻長15米〕的矩形養(yǎng)雞場ABCD,設AB邊長為x米,那么養(yǎng)雞場的面積y〔m2〕與x〔m〕的函數關系式為______________________〔寫出自變量x的取值范圍〕.【知識點】二次函數的表達式【解題過程】【思路點撥】根據矩形面積公式列出二次函數關系式,并注意隱含條件是解題的關鍵【答案】能力型師生共研7.判斷以下函數是否為二次函數.如果是,寫出其中、、的值.【知識點】二次函數的概念【解題過程】答：①是,a=-3,b=0,c=1；②是,a=1,b=-5,c=0；③不是,因為不是整式；④不是,因為化簡后沒有二次項；⑤不是,因為不是整式；⑥不是,因為二次項系數可能為0.【思路點撥】牢記二次函數的概念,以及隱含條件是解題的關鍵【答案】①②是,③④⑤⑥不是8.函數〔m是常數〕.①m為何值時,它是二次函數？②m為何值時,它是一次函數？【知識點】二次函數、一次函數的概念【解題過程】①由得又,所以；②情況一：,即；情況況二：,解得【思路點撥】牢記二次函數、一次函數的概念,以及隱含條件是解題的關鍵【答案】①m=5；②m=-2或探究型多維突破9.某商場銷售一批名牌運動服,平均每天可售出18件,每件贏利30元．為了盡快減少庫存,商場決定采取降價措施．經調查發(fā)現(xiàn),如果每件運動服每降價2元,那么商場每天可多售出4件．設每件運動服降價x元,那么降價后每件運動服贏利________元,商場平均每天可售出運動服________件；如果設商場每天贏利y元,那么y與x的函數關系是________,y是x的________次函數．【知識點】二次函數的應用【解題過程】降價后每件運動服贏利元,每天售出件,故,是二次函數【思路點撥】根據總利潤=每件利潤×件數列出函數式.【答案】,,,二10.如圖,在△ABC中,∠B=90°,AC=cm,BC=2AB,動點P從點A開始沿邊AB向B以2cm/s的速度移動(不與點B重合),動點Q從點B開始沿邊BC向C以4cm/s的速度移動(不與點C重合).如果P、Q分別從A、B同時出發(fā),設運動的時間為xs,四邊形APQC的面積為ycm2.(1)求y與x之間的函數關系式；(2)求自變量x的取值范圍；(3)四邊形APQC的面積能否等于172cm2.假設能,求出運動的時間；假設不能,說明理由.【知識點】二次函數的綜合應用【解題過程】〔1〕在△ABC中,∠B=90°,AC=,BC=2AB,∴AB=12,BC=24.由運動可知,AP=2x,BQ=4x,那么y=BC·AB-BQ·BP=×24×12-·4x·(12-2x),即y=4x2-24x+144.(2)∵0＜AP＜AB,0＜BQ＜BC,∴0<x<6.(3)解：當y=172時,4x2-24x+144=172.解得x1=7,x2=-1.又∵0<x<6,∴四邊形APQC的面積不能等于172cm2.【思路點撥】根據實際問題分析題意、找出數量關系是列出二次函數的關鍵；此外,應該注意自變量的取值范圍一定要使問題有意義.【答案】(1)y=4x2-24x+144.(2)0<x<6(3)不能自助餐1.以下函數表達式中,一定為二次函數的是〔〕A.y＝3x－1B.y＝ax2+bx+cC.s＝2t2－2t+1D.y＝x2+【知識點】二次函數的概念【解題過程】1、整式；2、二次；3、二次項系數不為0,故用排除法選C【思路點撥】牢記二次函數的概念,以及隱含條件是解題的關鍵【答案】C2.函數y＝(m2+m)x2+mx+4為二次函數,那么m的取值范圍是〔〕A.m≠0B.m≠－1C.m≠0,且m≠－1D.m＝－1【知識點】二次函數的概念【解題過程】由題得m≠0,且m≠－1【思路點撥】由二次函數的概念,二次系數不能為0,建立不等式求解【答案】C3.某初級中學有m個班舉行籃球比賽,每班派一個隊參賽,采用單循環(huán)賽〔即每兩個球隊間都要進行一場比賽〕,那么比賽的場次數s與m之間的關系式是_____________.【知識點】二次函數的表達式【解題過程】【思路點撥】由比賽的場次數=參賽隊數×〔參賽隊數-1〕÷2列式【答案】4.如圖,在四邊形ABCD中,AB//CD,∠ADC=90°,AB=12,AD=8,CD=6,點E、G分別在線段AD、DC上,BF=AE=DG=x,那么四邊形的面積之間的函數關系式為,自變量的