工程力學(xué)教案-(詳細(xì)講稿)

理論力學(xué)教案1課題第1講——第一章緒論學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教學(xué)目的要求1、掌握工程力學(xué)的任務(wù)、地位、作用和學(xué)習(xí)方法，可變形固體的根本假設(shè)，工程力學(xué)的研究對(duì)象〔桿件〕，桿件變形的形的形式。2．理解工程力學(xué)的研究對(duì)象〔桿件〕的幾何特征，使學(xué)生對(duì)工程力學(xué)這門課程的任務(wù)、研究對(duì)象有一個(gè)全面的概念。3．了解工程的開展簡史和學(xué)習(xí)本課程的方法。主要內(nèi)容1、簡單介紹四種根本變形重點(diǎn)難點(diǎn)變形固體及其根本假設(shè)教學(xué)方法和手段以講授為主，使用電子教案課后作業(yè)練習(xí)預(yù)習(xí)：第二章本次講稿緒論第一節(jié)工程力學(xué)的研究對(duì)象建筑物中承受荷載而起骨架作用的局部稱為結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)是由假設(shè)干構(gòu)件按一定方式組合而成的。組成結(jié)構(gòu)的各單獨(dú)局部稱為構(gòu)件。例如：支承渡槽槽身的排架是由立柱和橫梁組成的剛架結(jié)構(gòu)，如圖1－1a所示；單層廠房結(jié)構(gòu)由屋頂、樓板和吊車梁、柱等構(gòu)件組成，如圖1－1b所示。結(jié)構(gòu)受荷載作用時(shí)，如不考慮建筑材料的變形，其幾何形狀和位置不會(huì)發(fā)生改變。圖1－1ab結(jié)構(gòu)按其幾何特征分為三種類型：〔1〕桿系結(jié)構(gòu)：由桿件組成的結(jié)構(gòu)。桿件的幾何特征是其長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于橫截面的寬度和高度。〔2〕薄壁結(jié)構(gòu)：由薄板或薄殼組成。薄板或薄殼的幾何特征是其厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于另兩個(gè)方向的尺寸。〔3〕實(shí)體結(jié)構(gòu)：由塊體構(gòu)成。其幾何特征是三個(gè)方向的尺寸根本為同一數(shù)量級(jí)。工程力學(xué)的研究對(duì)象主要是桿系結(jié)構(gòu)。第二節(jié)工程力學(xué)的研究內(nèi)容和任務(wù)工程力學(xué)的任務(wù)是研究結(jié)構(gòu)的幾何組成規(guī)律，以及在荷載的作用下結(jié)構(gòu)和構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問題。研究平面桿系結(jié)構(gòu)的計(jì)算原理和方法，為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)合理的形式，其目的是保證結(jié)構(gòu)按設(shè)計(jì)要求正常工作，并充分發(fā)揮材料的性能，使設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)既平安可靠又經(jīng)濟(jì)合理。進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，要求在受力分析根底上，進(jìn)行結(jié)構(gòu)的幾何組成分析，使各構(gòu)件按一定的規(guī)律組成結(jié)構(gòu)，以確保在荷載的作用下結(jié)構(gòu)幾何形狀不發(fā)生發(fā)變。結(jié)構(gòu)正常工作必須滿足強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性的要求。強(qiáng)度是指抵抗破壞的能力。滿足強(qiáng)度要求就是要求結(jié)構(gòu)的構(gòu)件在正常工作時(shí)不發(fā)生破壞。剛度是指抵抗變形的能力。滿足剛度要求就是要求結(jié)構(gòu)的構(gòu)件在正常工作時(shí)產(chǎn)生的變形不超過允許范圍。穩(wěn)定性是指結(jié)構(gòu)或構(gòu)件保持原有的平衡狀態(tài)的能力。滿足穩(wěn)定性要求就是要求結(jié)構(gòu)的構(gòu)件在正常工作時(shí)不突然改變?cè)衅胶鉅顟B(tài)，以免因變形過大而破壞。按教學(xué)要求，工程力學(xué)主要研究以下幾個(gè)局部的內(nèi)容。〔1〕靜力學(xué)根底。這是工程力學(xué)的重要根底理論。包括物體的受力分析、力系的簡化與平衡等剛體靜力學(xué)根底理論?！?〕桿件的承載能力計(jì)算。這局部是計(jì)算結(jié)構(gòu)承載能力計(jì)算的實(shí)質(zhì)。包括根本變形桿件的內(nèi)力分析和強(qiáng)度、剛度計(jì)算，壓桿穩(wěn)定和組合變形桿件的強(qiáng)度、剛度計(jì)算?！?〕靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算。這局部是靜定結(jié)構(gòu)承載能力計(jì)算和超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算的根底。包括研究結(jié)構(gòu)的組成規(guī)律、靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析和位移計(jì)算等?！?〕超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析。是超靜定結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度問題的根底。包括力法、位移法、力矩分配法和矩陣位移法等求解超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力的根本方法。剛體、變形固體及其根本假設(shè)工程力學(xué)中將物體抽象化為兩種計(jì)算模型：剛體和理想變形固體。剛體是在外力作用下形狀和尺寸都不改變的物體。實(shí)際上，任何物體受力的作用后都發(fā)生一定的變形，但在一些力學(xué)問題中，物體變形這一因素與所研究的問題無關(guān)或?qū)ζ溆绊懮跷?，這時(shí)可將物體視為剛體，從而使研究的問題得到簡化。理想變形固體是對(duì)實(shí)際變形固體的材料理想化，作出以下假設(shè)：〔1〕連續(xù)性假設(shè)。認(rèn)為物體的材料結(jié)構(gòu)是密實(shí)的，物體內(nèi)材料是無空隙的連續(xù)分布?！?〕均勻性假設(shè)。認(rèn)為材料的力學(xué)性質(zhì)是均勻的，從物體上任取或大或小一局部，材料的力學(xué)性質(zhì)均相同。〔3〕向同性假設(shè)。認(rèn)為材料的力學(xué)性質(zhì)是各向同性的，材料沿不同方向具有相同的力學(xué)性質(zhì)，而各方向力學(xué)性質(zhì)不同的材料稱為各向異性材料。本教材中僅研究各向同性材料。按照上述假設(shè)理想化的一般變形固體稱為理想變形固體。剛體和變形固體都是工程力學(xué)中必不可少的理想化的力學(xué)模型。變形固體受荷載作用時(shí)將產(chǎn)生變形。當(dāng)荷載撤去后，可完全消失的變形稱為彈性變形；不能恢復(fù)的變形稱為塑性變形或剩余變形。在多數(shù)工程問題中，要求構(gòu)件只發(fā)生彈性變形。工程中，大多數(shù)構(gòu)件在荷載的作用下產(chǎn)生的變形量假設(shè)與其原始尺寸相比很微小，稱為小變形。小變形構(gòu)件的計(jì)算，可采取變形前的原始尺寸并可略去某些高階無窮小量，可大大簡化計(jì)算。綜上所述，工程力學(xué)把所研究的結(jié)構(gòu)和構(gòu)件看作是連續(xù)、均勻、各向同性的理想變形固體，在彈性范圍內(nèi)和小變形情況下研究其承載能力。第四節(jié)荷載的分類結(jié)構(gòu)工作時(shí)所承受的主動(dòng)外力稱為荷載。荷載可分為不同的類型。〔1〕按作用性質(zhì)可分為靜荷載和動(dòng)荷載。由零逐漸緩慢增加加到結(jié)構(gòu)上的荷載稱為靜荷載，靜荷載作用下不產(chǎn)生明顯的加速度。大小方向隨時(shí)間而改變的荷載稱為動(dòng)荷載。地震力、沖擊力、慣性力等都為動(dòng)荷載?！?〕按作用時(shí)間的長短可分為恒荷載和活荷載。永久作用在結(jié)構(gòu)上大小、方向不變的荷載稱為恒荷載。結(jié)構(gòu)、固定設(shè)備的自重等都為恒荷載。暫時(shí)作用在結(jié)構(gòu)上的荷載稱為活荷載。風(fēng)、雪荷載等都是活荷載。(3)按作用范圍可分為集中荷載和分布荷載。假設(shè)荷載的作用范圍與結(jié)構(gòu)的尺寸相比很小時(shí)，可認(rèn)為荷載集中作用于一點(diǎn)，稱為集中荷載。分布作用在體積、面積和線段上的荷載稱為分布荷載。結(jié)構(gòu)的自重、風(fēng)、雪等荷載都是分布荷載。當(dāng)以剛體為研究對(duì)象時(shí)，作用在結(jié)構(gòu)上的分布荷載可用其合力〔集中荷載〕代替；但以變形體為研究對(duì)象時(shí)，作用在結(jié)構(gòu)上的分布荷載不能用其合力代替。`理論力學(xué)教案2課題第2講——第二章剛體靜力學(xué)根底學(xué)時(shí)4學(xué)時(shí)＋2學(xué)時(shí)習(xí)題課教學(xué)目的要求掌握力學(xué)的根本概念和公理。熟悉各種常見約束的性質(zhì)，熟練地畫出受力圖。主要內(nèi)容靜力學(xué)根本概念。靜力學(xué)根本公理。約束與約束反力。物體的受力分析與受力圖。重點(diǎn)難點(diǎn)平衡、剛體和力的概念和靜力學(xué)的根本公理。掌握物體的受力分析的方法正確地選取別離體，并畫出受力圖是求解靜力學(xué)的關(guān)鍵，教學(xué)方法和手段以講授為主，使用電子教案課后作業(yè)練習(xí)問題：P12：1，2，3，4，5，6習(xí)題：P12：1，2，3預(yù)習(xí)：第三章本次講稿剛體靜力學(xué)根底第一節(jié)靜力學(xué)根本概念靜力學(xué)是研究物體的平衡問題的科學(xué)。主要討論作用在物體上的力系的簡化和平衡兩大問題。所謂平衡，在工程上是指物體相對(duì)于地球保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，它是物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的一種特殊形式。剛體的概念工程實(shí)際中的許多物體，在力的作用下，它們的變形一般很微小，對(duì)平衡問題影響也很小，為了簡化分析，我們把物體視為剛體。所謂剛體，是指在任何外力的作用下，物體的大小和形狀始終保持不變的物體。靜力學(xué)的研究對(duì)象僅限于剛體，所以又稱之為剛體靜力學(xué)。二、力的概念力的概念是人們?cè)陂L期的生產(chǎn)勞動(dòng)和生活實(shí)踐中逐步形成的，通過歸納、概括和科學(xué)的抽象而建立的。力是物體之間相互的機(jī)械作用，這種作用使物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變，或使物體產(chǎn)生變形。力使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變的效應(yīng)稱為外效應(yīng)，而使物體發(fā)生變形的效應(yīng)稱為內(nèi)效應(yīng)。剛體只考慮外效應(yīng)；變形固體還要研究內(nèi)效應(yīng)。經(jīng)驗(yàn)說明力對(duì)物體作用的效應(yīng)完全決定于以下力的三要素：〔1〕力的大小是物體相互作用的強(qiáng)弱程度。在國際單位制中，力的單位用牛頓〔N〕或千牛頓〔kN〕，1kN=103N?！?〕力的方向包含力的方位和指向兩方面的涵義。如重力的方向是“豎直向下〞?！柏Q直〞是力作用線的方位，“向下〞是力的指向。〔3〕力的作用位置是指物體上承受力的部位。一般來說是一塊面積或體積，稱為分布力；而有些分布力分布的面積很小，可以近似看作一個(gè)點(diǎn)時(shí)，這樣的力稱為集中力。如果改變了力的三要素中的任一要素，也就改變了力對(duì)物體的作用效應(yīng)。既然力是有大小和方向的量，所以力是矢量?？梢杂靡粠Ъ^的線段來表示，如圖2-1所示，線段AB長度按一定的比例尺表示力F的大小，線段的方位和箭頭的指向表示力的方向。線段的起點(diǎn)A或終點(diǎn)B表示力的作用點(diǎn)。線段AB的延長線〔圖中虛線〕表示力的作用線。圖2－1本教材中，用黑體字母表示矢量，用對(duì)應(yīng)字母表示矢量的大小。一般來說，作用在剛體上的力不止一個(gè)，我們把作用于物體上的一群力稱為力系。如果作用于物體上的某一力系可以用另一力系來代替，而不改變?cè)械臓顟B(tài)，這兩個(gè)力系互稱等效力系。如果一個(gè)力與一個(gè)力系等效，那么稱此力為該力系的合力，這個(gè)過程稱力的合成；而力系中的各個(gè)力稱此合力的分力，將合力代換成分力的過程為力的分解。在研究力學(xué)問題時(shí)，為方便地顯示各種力系對(duì)物體作用的總體效應(yīng)，用一個(gè)簡單的等效力系〔或一個(gè)力〕代替一個(gè)復(fù)雜力系的過程稱為力系的簡化。力系的簡化是剛體靜學(xué)的根本問題之一。第二節(jié)靜力學(xué)公理所謂公理就是無需證明就為大家在長期生活和生產(chǎn)實(shí)踐中所公認(rèn)的真理。靜力學(xué)公理是靜力學(xué)全部理論的根底。公理一二力平衡公理作用于同一剛體上的兩個(gè)力成平衡的必要與充分條件是：力的大小相等，方向相反，作用在同一直線上?？梢员硎緸椋篎=-F/或F+F/=0此公理給出了作用于剛體上的最簡力系平衡時(shí)所必須滿足的條件，是推證其它力系平衡條件的根底。在兩個(gè)力作用下處于平衡的物體稱為二力體，假設(shè)物體是構(gòu)件或桿件，也稱二力構(gòu)件或二力桿件簡稱二力桿。公理二加減平衡力系公理在作用于剛體的任意力系中，加上或減去平衡力系，并不改變?cè)ο祵?duì)剛體作用效應(yīng)。推論一力的可傳性原理作用于剛體上的力可以沿其作用線移至剛體內(nèi)任意一點(diǎn)，而不改變?cè)摿?duì)剛體的效應(yīng)。圖2－2證明：設(shè)力F作用于剛體上的點(diǎn)A，如圖2-2所示。在力F作用線上任選一點(diǎn)B，在點(diǎn)B上加一對(duì)平衡力F1和F2，使F1=－F2=F那么F1、F2、F構(gòu)成的力系與F等效。將平衡力系F、F2減去，那么F1與F等效。此時(shí)，相當(dāng)于力F已由點(diǎn)A沿作用線移到了點(diǎn)B。由此可知，作用于剛體上的力是滑移矢量，因此作用于剛體上力的三要素為大小、方向和作用線。公理三力的平行四邊形法那么作用于物體上同一點(diǎn)的兩個(gè)力可以合成為作用于該點(diǎn)的一個(gè)合力，它的大小和方向由以這兩個(gè)力的矢量為鄰邊所構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線來表示。如圖2－3a所示，以FR表示力F1和力F2的合力，那么可以表示為：FR=F1+F2。即作用于物體上同一點(diǎn)兩個(gè)力的合力等于這兩個(gè)力的矢量合。圖2－3在求共點(diǎn)兩個(gè)力的合力時(shí)，我們常采用力的三角形法那么：〔如圖2－3b〕所示。從剛體外任選一點(diǎn)a作矢量ab代表力F1，然后從b的終點(diǎn)作bc代表力F2，最后連起點(diǎn)a與終點(diǎn)c得到矢量ac,那么ac就代表合力矢FR。分力矢與合力矢所構(gòu)成的三角形abc稱為力的三角形。這種合成方法稱為力三角形法那么。推論二三力平衡匯交定理剛體受同一平面內(nèi)互不平行的三個(gè)力作用而平衡時(shí)，那么此三力的作用線必匯交于一點(diǎn)。圖2－4證明:設(shè)在剛體上三點(diǎn)A、B、C分別作用有力F1、F2、F3，其互不平行，且為平衡力系，如圖2-4所示，根據(jù)力的可傳性，將力F1和F2移至匯交點(diǎn)O，根據(jù)力的可傳性公理，得合力FR1，那么力F3與FR1平衡，由公理一知，F(xiàn)3與FR1必共線，所以力F1的作用線必過點(diǎn)O。公理四作用與反作用公理兩個(gè)物體間相互作用力，總是同時(shí)存在，它們的大小相等，指向相反，并沿同一直線分別作用在這兩個(gè)物體上。物體間的作用力與反作用力總是同時(shí)出現(xiàn)，同時(shí)消失?？梢?，自然界中的力總是成對(duì)地存在，而且同時(shí)分別作用在相互作用的兩個(gè)物體上。這個(gè)公理概括了任何兩物體間的相互作用的關(guān)系，不管對(duì)剛體或變形體，不管物體是靜止的還是運(yùn)動(dòng)的都適用。應(yīng)該注意，作用力與反作用力雖然等值、反向、共線，但它們不能平衡，因?yàn)槎叻謩e作用在兩個(gè)物體上，不可與二力平衡公理混淆起來。公理五剛化原理變形體在力系作用下平衡時(shí)，假設(shè)將此變形體視為剛體〔剛化〕，那么其平衡狀態(tài)不變。此原理建立了剛體平衡條件與談形體平衡條件之間的關(guān)系，即關(guān)于剛體的平衡條件，對(duì)于變形體的平衡來說，也必須滿足。但是，滿足了剛體的平衡條件，變形體不一定平衡。例如一段軟繩，在兩個(gè)大小相等，方向相反的拉力作用下處于平衡，假設(shè)將軟繩變成剛桿，平衡保持不變。把過來，一段剛桿在兩個(gè)大小相等、方向相反的壓力作用下處于平衡，而繩索在此壓力下那么不能平衡。可見，剛體的平衡條件對(duì)于變形體的平衡來說只是必要條件而不是充分條件。第三節(jié)約束與約束反力工程上所遇到的物體通常分兩種：可以在空間作任意運(yùn)動(dòng)的物體稱為自由體，如飛機(jī)、火箭等；受到其它物體的限制，沿著某些方向不能運(yùn)動(dòng)的物體稱為非自由體。如懸掛的重物，因?yàn)槭艿嚼K索的限制，使其在某些方向不能運(yùn)動(dòng)而成為非自由體，這種阻礙物體運(yùn)動(dòng)的限制稱為約束。約束通常是通過物體間的直接接觸形成的。既然約束阻礙物體沿某些方向運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)物體沿著約束所阻礙的運(yùn)動(dòng)方向運(yùn)動(dòng)或有運(yùn)動(dòng)趨勢時(shí)，約束對(duì)其必然有力的作用，以限制其運(yùn)動(dòng)，這種力稱為約束反力。簡稱反力。約束反力的方向總是與約束所能阻礙的物體的運(yùn)動(dòng)或運(yùn)動(dòng)趨勢的方向相反，它的作用點(diǎn)就在約束與被約束的物體的接觸點(diǎn)，大小可以通過計(jì)算求得。工程上通常把能使物體主動(dòng)產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)或運(yùn)動(dòng)趨勢的力稱為主動(dòng)力。如重力、風(fēng)力、水壓力等。通常主動(dòng)力是的，約束反力是未知的，它不僅與主動(dòng)力的情況有關(guān)，同時(shí)也與約束類型有關(guān)。下面介紹工程實(shí)際中常見的幾種約束類型及其約束反力的特性。柔性約束圖2－5圖2－6繩索、鏈條、皮帶等屬于柔索約束。理想化條件：柔索絕對(duì)柔軟、無重量、無粗細(xì)、不可伸長或縮短。由于柔索只能承受拉力，所以柔索的約束反力作用于接觸點(diǎn)，方向沿柔索的中心線而背離物體，為拉力。如圖2－5和圖2－6所示。二、光滑接觸面約束圖2－7圖2－8當(dāng)物體接觸面上的摩擦力可以忽略時(shí)，即可看作光滑接觸面，這時(shí)兩個(gè)物體可以脫離開，也可以沿光滑面相對(duì)滑動(dòng)，但沿接觸面法線且指向接觸面的位移受到限制。所以光滑接觸面約束反力作用于接觸點(diǎn)，沿接觸面的公法線且指向物體，為壓力。如圖2－7和圖2－8所示。三、光滑鉸鏈約束圖2－9工程上常用銷釘來聯(lián)接構(gòu)件或零件，這類約束只限制相對(duì)移動(dòng)不限制轉(zhuǎn)動(dòng)，且忽略銷釘與構(gòu)件間的磨擦。假設(shè)兩個(gè)構(gòu)件用銷釘連接起來，這種約束稱為鉸鏈約束，簡稱鉸連接或中間鉸，圖2－9a所示。圖2－9b為計(jì)算簡圖。鉸鏈約束只能限制物體在垂直于銷釘軸線的平面內(nèi)相對(duì)移動(dòng)，但不能限制物體繞銷釘軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖2－9c所示，鉸鏈約束的約束反力作用在銷釘與物體的接觸點(diǎn)D，沿接觸面的公法線方向，使被約束物體受壓力。但由于銷釘與銷釘孔壁接觸點(diǎn)與被約束物體所受的主動(dòng)力有關(guān)，一般不能預(yù)先確定，所以約束反力Fc的方向也不能確定。因此，其約束反力作用在垂直于銷釘軸線平面內(nèi)，通過銷釘中心，方向不定。為計(jì)算方便，鉸鏈約束的約束反力常用過鉸鏈中心兩個(gè)大小未知的正交分力Xc，Yc來表示如圖2－9四、固定鉸支座：圖2－10將結(jié)構(gòu)物或構(gòu)件用銷釘與地面或機(jī)座連接就構(gòu)成了固定鉸支座，如圖2－10a所示。固定鉸支座的約束與鉸鏈約束完全相同。簡化記號(hào)和約束反力如圖2－10b和圖2－10五、輥軸支座圖2－11在固定鉸支座和支承面間裝有輥軸，就構(gòu)成了輥軸支座，又稱活動(dòng)鉸支座，如圖2－11a所示。這種約束只能限制物體沿支承面法線方向運(yùn)動(dòng)，而不能限制物體沿支承面移動(dòng)和相對(duì)于銷釘軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。所以其約束反力垂直于支承面，過銷釘中心指向可假設(shè)。如圖2－11b和圖2－11六、鏈桿約束圖2－12兩端以鉸鏈與其它物體連接中間不受力且不計(jì)自重的剛性直桿稱鏈桿，如圖2－12a所示。這種約束反力只能限制物體沿鏈桿軸線方向運(yùn)動(dòng)，因此鏈桿的約束反力沿著鏈桿,兩端中心連線方向，指向或?yàn)槔驗(yàn)閴毫ΑＨ鐖D2－12b和圖2－12七、固定端約束圖2－13將構(gòu)件的一端插入一固定物體〔如墻〕中，就構(gòu)成了固定端約束。在連接處具有較大的剛性，被約束的物體在該處被完全固定，即不允許相對(duì)移動(dòng)也不可轉(zhuǎn)動(dòng)。固定端的約束反力，一般用兩個(gè)正交分力和一個(gè)約束反力偶來代替，如圖2－13所示。第四節(jié)物體的受力分析與受力圖靜力學(xué)問題大多是受一定約束的非自由剛體的平衡問題，解決此類問題的關(guān)鍵是找出主動(dòng)力與約束反力之間的關(guān)系。因此，必須對(duì)物體的受力情況作全面的分析，即物體的受力分析，它是力學(xué)計(jì)算的前提和關(guān)鍵。物體的受力分析包含兩個(gè)步驟：一是把該物體從與它相聯(lián)系的周圍物體中別離出來，解除全部約束，單獨(dú)畫出該物體的圖形，稱為取別離體。二是在別離體上畫出全部主動(dòng)力和約束反力，這稱為畫受力圖。下面舉例說明物體受力分析的方法。例2－1起吊架由桿件AB和CD組成，起吊重物的重量為Q。不計(jì)桿件自重，作桿件AB的受力圖。圖2－14解：取桿件AB為別離體，畫出其別離體圖。桿件AB上沒有荷載，只有約束反力。A端為固定鉸支座。約束反力用兩個(gè)垂直分力XA和YA表示，二者的指向是假定的。D點(diǎn)用鉸鏈與CD連接，因?yàn)镃D為二力桿，所以鉸D反力的作用線沿C、D兩點(diǎn)連線，以FD表示。圖中FD的指向也是假定的。B點(diǎn)與繩索連接，繩索作用給B點(diǎn)的約束反力FT沿繩索、背離桿件AB。圖2－14b為桿件AB的受力圖。應(yīng)該注意，〔圖b〕中的力FT不是起吊重物的重力FG。力FT是繩索對(duì)桿件AB的作用力；力FG是地球?qū)χ匚锏淖饔昧?。這兩個(gè)力的施力物體和受力物體是完全不同的。在繩索和重物的受〔圖c〕上，作用有力FT的反作用力FTˊ和重力FG。由二力平衡條件，力FTˊ與力FG是反向、等值的；由作用反作用定律，力FT與FTˊ是反向、等值的。所以力FT與力FG大小相等，方向相同。例2－2水平梁ＡＢ用斜桿ＣＤ支撐，A、C、D三處均為光滑鉸鏈連接，如圖2－15所示。梁上放置一重為FG1的電動(dòng)機(jī)。梁重為FG2，不計(jì)桿CD自重，試分別畫出桿CD和梁AB的受力圖。圖2－15解：〔1〕取CD為研究對(duì)象。由于斜桿CD自重不計(jì)，只在桿的兩端分別受有鉸鏈的約束反力FC和FD的作用，由些判斷CD桿為二力桿。根據(jù)公理一，F(xiàn)C和FD兩力大小相等、沿鉸鏈中心連線CD方向且指向相反。斜桿CD的受力圖如圖2－15b所示?！?〕取梁AB〔包括電動(dòng)機(jī)〕為研究對(duì)象。它受FG1、FG2兩個(gè)主動(dòng)力的作用；梁在鉸鏈D處受二力桿CD給它的約束反力FDˊ的作用，根據(jù)公理四，F(xiàn)Dˊ＝－FD；梁在A處受固定鉸支座的約束反力，由于方向未知，可用兩個(gè)大小未知的正交分力XA和YA表示。梁AB的受力圖如圖2－15c例2－3簡支梁兩端分別為固定鉸支座和可動(dòng)鉸支座，在C處作用一集中荷載FP〔圖2－16a〕，梁重不計(jì)，試畫梁AB圖2－16解：取梁AB為研究對(duì)象。作用于梁上的力有集中荷載FP，可動(dòng)鉸支座B的反力FB，鉛垂向上，固定鉸支座A的反力用過點(diǎn)A的兩個(gè)正交分力XA的YA表示。受力圖如圖2－16b所示。由于些梁受三個(gè)力作用而平衡，故可由推論二確定FA的方向。用點(diǎn)D表示力FP和FB的作用線交點(diǎn)。FA的作用線必過交點(diǎn)D，如圖2－16c例2－4三鉸拱橋由左右兩拱鉸接而成，如圖2－17a所示。設(shè)各拱自重不計(jì)，在拱AC上作用荷載F。試分別畫出拱AC和CB圖2－17解：〔1〕取拱CB為研究對(duì)象。由于拱自重不計(jì)，且只在B、C處受到鉸約束，因此CB為二力構(gòu)件。在鉸鏈中心B、C分別受到FB和FC的作用，且FB＝－FC。拱CB的受力圖如圖2－17b所示?！?〕取拱AC連同銷釘C為研究對(duì)象。由于自重不計(jì)，主動(dòng)力只有荷載F；點(diǎn)C受拱CB施加的約束力FCˊ，且FCˊ＝－FC；點(diǎn)A處的約束反力可分解為XA和YA。拱AC的受力圖如圖2－17c又拱AC在F、FCˊ和FA三力作用下平衡，根據(jù)三力平衡匯交定理，可確定出鉸鏈A處約束反力FA的方向。點(diǎn)D為力F與FCˊ的交點(diǎn)，當(dāng)拱AC平衡時(shí)，F(xiàn)A的作用線必通過點(diǎn)D，如圖2－17d所示，F(xiàn)A的指向，可先作假設(shè)，以后由平衡條件確定。例2－5圖2－18a所示系統(tǒng)中，物體F重FG，其它和構(gòu)件不計(jì)自重。作〔1〕整體；〔2〕AB桿；〔3〕BE桿；〔4〕桿CD、輪C、繩及重物F圖2－18解：整體受力圖如圖2－18a所示。固定支座A自有兩個(gè)垂直反力和一個(gè)約束反力偶。鉸C、D、E和G桿件AB的受力圖如圖2－18b所示。對(duì)桿件AB來說，鉸B、D的反力是外力，應(yīng)畫出。桿件BE的受力圖如圖2－18c所示。BE上B點(diǎn)的反力XBˊ和YBˊ是AB上XB和YB桿件CD、輪C、繩和重物F所組成的系統(tǒng)的受力圖如下圖。其上的約束反力分別是圖2－18b和圖2－18c上相應(yīng)力的反作用力，它們的指向分別與相應(yīng)力的指向相反。如XEˊ是圖2－18c上XE的反作用力，力XEˊ的指向應(yīng)與力XE的指向相反，不能再隨意假定。鉸在畫受力圖時(shí)應(yīng)注意如下幾個(gè)問題：〔1〕明確研究對(duì)象并取出脫離體?！?〕要先畫出全部的主動(dòng)力。〔3〕明確約束反力的個(gè)數(shù)。但凡研究對(duì)象與周圍物體相接觸的地方，都一定有約束反力，不可隨意增加或減少。〔4〕要根據(jù)約束的類型畫約束反力。即按約束的性質(zhì)確定約束反力的作用位置和方向，不能主觀臆斷。〔5〕二力桿要優(yōu)先分析?！?〕對(duì)物體系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)注意同一力，在不同受力圖上的畫法要完全一致；在分析兩個(gè)相互作用的力時(shí)，應(yīng)遵循作用和反作用關(guān)系，作用力方向一經(jīng)確定，那么反作用力必與之相反，不可再假設(shè)指向?！?〕內(nèi)力不必畫出。思考題2－1說明以下式子的意義和區(qū)別?！?〕F1＝F2和F1＝F2；〔2〕FR＝F1＋F2和FR＝F1＋F22－2力的可傳性原理的適用條件是什么？如圖2－19所示，能否根據(jù)力的可傳性原理，將作用于桿AC上的力F沿其作用線移至桿BC上而成力Fˊ？圖2－19圖2－202－3作用于剛體上大小相等、方向相同的兩個(gè)力對(duì)剛體的作用是否等效？2－4物體受匯交于一點(diǎn)的三個(gè)力作用而處于平衡，此三力是否一定共面？為什么？2－5圖2－20中力F作用在銷釘C上，試問銷釘C對(duì)AC的力與銷釘C對(duì)BC的力是否等值、反向、共線？為什么？2－6圖2－21中各物體受力圖是否正確？假設(shè)有錯(cuò)誤試改正。理論力學(xué)教案3課題第3講——第三章平面匯交力系課時(shí)4學(xué)時(shí)教學(xué)目的要求掌握平面匯交力系的合成與平衡。掌握平面匯交力系合成的幾何法和解析法。3、理解力在直角坐標(biāo)系的投影，能熟練計(jì)算力在直角坐標(biāo)軸上的投影。主要內(nèi)容平面匯交力系的合成與平衡的幾何法。平面匯交力系合成與平衡的解析法重點(diǎn)難點(diǎn)平面匯交力系合成與平衡的解析法教學(xué)方法和手段以講授為主，使用電子教案課后作業(yè)練習(xí)問題：P21：1，2，3，4，5習(xí)題：P22：1，2，3，4，5，6，8預(yù)習(xí)：第四章\本次講稿第三章平面匯交力系根據(jù)力系中各力作用線的位置，力系可分為平面力系和空間力系。各力的作用線都在同一平面內(nèi)的力系稱為平面力系。在平面力系中又可以分為平面匯交力系、平面平行力系、平面力偶系和平面一般力系。在平面力系中，各力作用線匯交于一點(diǎn)的力系稱平面匯交力系。本章討論平面匯交力系的合成與平衡問題?！?-1平面匯交力系合成與平衡的幾何法一、平面匯交力系合成的幾何法設(shè)在某剛體上作用有由力F1、F2、F3、F4組成的平面匯交力系，各力的作用線交于點(diǎn)A，如圖3－1a所示。由力的可傳性，將力的作用線移至匯交點(diǎn)A;然后由力的合成三角形法那么將各力依次合成，即從任意點(diǎn)a作矢量ab代表力矢F1，在其末端b作矢量bc代表力矢F2，那么虛線ac表示力矢F1和F2的合力矢FR1；再從點(diǎn)C作矢量cd代表力矢F3，那么ad表示FR和F3的合力FR2；最后從點(diǎn)d作de代表力矢F4，那么ae代表力矢FR2與F4的合力矢，亦即力F1、F2、F3、F4的合力矢FR，其大小和方向如圖3－1b，其作用線通過匯交點(diǎn)A。圖3－1作圖3－1b時(shí)，虛線ac和ad不必畫出，只需把各力矢首尾相連，得折線abcd，那么第一個(gè)力矢F1的起點(diǎn)a向最后一個(gè)力矢F4的終點(diǎn)e作ae，即得合力矢FR。各分力矢與合力矢構(gòu)成的多邊形稱為力的多邊形，表示合力矢的邊ae稱為力的多邊形的逆封邊。這種求合力的方法稱為力的多邊形法那么。假設(shè)改變各力矢的作圖順序，所得的力的多邊形的形狀那么不同，但是這并不影響最后所得的逆封邊的大小和方向。但應(yīng)注意，各分力矢必須首尾相連，而環(huán)繞力多邊形周邊的同一方向，而合力矢那么把向封閉力多邊形。上述方法可以推廣到由n個(gè)力F1、F2、…、Fn組成的平面匯交力系：平面匯交力系合成的結(jié)果是一個(gè)合力，合力的作用線過力系的匯交點(diǎn)，合力等于原力系中所有各力的矢量和?？捎檬噶渴奖硎緸镕R=F1+F2+…+Fn=ΣF(3-1)例3－1同一平面的三根鋼索邊連結(jié)在一固定環(huán)上，如圖3－2所示，三鋼索的拉力分別為：F1＝500N，F(xiàn)2＝1000N，F(xiàn)3＝2000N。試用幾何作圖法求三根鋼索在環(huán)上作用的合力。圖3－2解先定力的比例尺如圖。作力多邊形先將各分力乘以比例尺得到各力的長度，然后作出力多邊形圖〔3－2b〕，量得代表合力矢的長度為，那么FR的實(shí)際值為FR＝2700NFR的方向可由力的多邊形圖直接量出，F(xiàn)R與F1的夾角為71o31＇。二、平面匯交力系平衡的幾何條件圖3－3在圖3－3a中，平面匯交力系合成為一合力，即與原力系等效。假設(shè)在該力系中再加一個(gè)與等值、反向、共線的力，根據(jù)二力平衡公理知物體處于平衡狀態(tài)，即為平衡力系。對(duì)該力系作力的多邊形時(shí)，得出一個(gè)閉合的力的多邊形，即最后一個(gè)力矢的末端與第一個(gè)力矢的始端相重合，亦即該力系的合力為零。因此，平面匯交力系的平衡的必要與充分的幾何條件是：力的多邊形自行封閉，或各力矢的矢量和等于零。用矢量表示為FR=ΣF=0〔3－2〕例3－2圖3－4a所求一支架，A、B為鉸鏈支座，C為圓柱鉸鏈。斜撐桿BC與水平桿AC的夾角為30o。在支架的C處用繩子吊著重G＝20kN的重物。不計(jì)桿件的自重，試求各桿所受的力圖3－4解桿AC和BC均為二力桿，其受力如圖3－4b所示。取銷釘C為研究對(duì)象，作用在它上面的力有：繩子的拉力FT(FT=G)，AC桿和BC桿對(duì)銷釘C的作用力FCA和FCB。這三個(gè)力為一平面匯交力系〔銷釘C的受力圖如圖3－4c根據(jù)平面匯交力系平衡的幾何條件，F(xiàn)T、FCA和FCB應(yīng)組成閉合的力三角形。選取比例尺如圖，先畫力FT＝ab，過a、b兩點(diǎn)分別作直線平行于FCA和FCB得交點(diǎn)c，于是得力三角形abc，順著abc的方向標(biāo)出箭頭，使其首尾相連，那么矢量ca和bc就分別表示力FCA和FCB的大小和方向。用同樣的比例尺量得FCA＝34.6kNFCB＝40kN§3-2平面匯交力系合成與平衡的解析法求解平面匯交力系問題的幾何法，具有直觀簡捷的優(yōu)點(diǎn)，但是作圖時(shí)的誤差難以防止。因此，工程中多用解析法來求解力系的合成和平衡問題。解析法是以力在坐標(biāo)軸上的投影為根底的。在坐標(biāo)軸上的投影如圖3－5所示，設(shè)力F作用于剛體上的A點(diǎn)，在力作用的平面內(nèi)建立坐標(biāo)系oxy，由力F的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別向x軸作垂線，得垂足a1和b1，那么線段a1b1冠以相應(yīng)的正負(fù)號(hào)稱為力F在x軸上的投影，用X表示。即X=±a1b1；同理，力F在y軸上的投影用Y表示，即Y=±a2b2。力在坐標(biāo)軸上的投影是代數(shù)量，正負(fù)號(hào)規(guī)定：力的投影由始到末端與坐標(biāo)軸正向一致其投影取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。投影與力的大小及方向有關(guān)，即〔3－3〕式中α、β分別為F與X、Y軸正向所夾的銳角。圖3－5反之，假設(shè)力F在坐標(biāo)軸上的投影X、Y，那么該力的大小及方向余弦為〔3－4〕應(yīng)當(dāng)注意，力的投影和力的分量是兩個(gè)不同的概念。投影是代數(shù)量，而分力是矢量；投影無所謂作用點(diǎn)，而分力作用點(diǎn)必須作用在原力的作用點(diǎn)上。另外僅在直角坐標(biāo)系中在坐標(biāo)上的投影的絕對(duì)值和力沿該軸的分量的大小相等。二、合力投影定理設(shè)一平面匯交力系由F1、F2、F3和F4作用于剛體上，其力的多邊形abcde如圖3－6所示，封閉邊ae表示該力系的合力矢FR，在力的多邊形所在平面內(nèi)取一坐標(biāo)系oxy，將所有的力矢都投影到x軸和y軸上。得X=a1e1,X1=a1b1,X2=b1c1，X3=c1d1,X4=d1e由圖3－6可知a1e1=a1b1+b1c1+c1d1+d1e即X=X1+X2+X3+X4同理Y=Y1+Y2+Y3+Y4將上述關(guān)系式推廣到任意平面匯交力系的情形，得〔3－5〕圖3－6即合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和，這就是合力投影定理。三、平面匯交力系合成的解析法用解析法求平面匯交力系的合成時(shí)，首先在其所在的平面內(nèi)選定坐標(biāo)系oxy。求出力系中各力在x軸和y軸上的投影，由合力投影定理得〔3－6〕其中α是合力FR分別與X、Y軸正向所夾的銳角。例3－3如圖3－7所求，固定圓環(huán)作用有四根繩索，其拉力分別為F1＝0.2kN，F(xiàn)2＝0.3kN,F3=0.5kN,F4=0.4kN,它們與軸的夾角分別為α1＝30o，α2＝45o，α3＝0，α4＝60o。試求它們的合力大小和方向。圖3－7解建立如圖3－7所示直角坐標(biāo)系。根據(jù)合力投影定理，有X=ΣX＝X1+X2+X3+X4＝F1cosα1＋F2cosα2＋F3cosα3＋F4cosα4=1.085kNY=ΣY＝Y(jié)1+Y2+Y3+Y4＝F1sinα1＋F2sinα2＋F3sinα3－F4sinα4=－0.234kN由ΣX、ΣY的代數(shù)值可知，X沿X軸的正向，Y沿Y軸的負(fù)向。由式〔3－6〕得合力的大小方向?yàn)榻獾忙粒?2o12＇四、平面匯交力系平衡的解析條件我們已經(jīng)知道平面匯交力系平衡的必要與充分條件上其合力等于零，即FR＝0。由式〔3－6〕可知，要使FR＝0，須有ΣX=0；ΣY=0〔3－8〕上式說明，平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：力系中各力在力系所在平面內(nèi)兩個(gè)相交軸上投影的代數(shù)和同時(shí)為零。式〔3－8〕稱為平面匯交力系的平衡方程。式〔2－8〕是由兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程組成的，故用平面匯交力系的平衡方程只能求解兩個(gè)未知量。例3－4重量為G和重物，放置在傾角為α的光滑斜面上〔如圖3－8〕，試求保持重物成平衡時(shí)需沿斜面方向所加的力F和重物對(duì)斜面的壓力FN。圖3－8解以重物為研究對(duì)象。重物受到重力G、拉力F和斜面對(duì)重物的作用力FN，其受力圖如圖3－8b所示。取坐標(biāo)系oxy，列平衡方程ΣX=0Gsinα－F=0(1)ΣY=0－Gcosα+FN=0(2)解得F＝GsinαFN＝Gcosα那么重物對(duì)斜面的壓力FN＇＝Gcosα，指向和相反。例3－5重G＝20kN的物體被絞車勻速吊起，絞車的繩子繞過光滑的定滑輪A〔圖3－9a〕，滑輪由不計(jì)重量的桿AB、AC支撐，A、B、C三點(diǎn)均為光滑鉸鏈。試求AB、AC所受的力。圖3－9解桿AB和AC都是二力桿，其受力如圖3－9b所示。假設(shè)兩桿都受拉。取滑輪連同銷釘A為研究對(duì)象。重物G通過繩索直接加在滑輪的一邊。在其勻速上升時(shí)，拉力FT1＝G，而繩索又在滑輪的另一邊施加同樣大小的拉力，即FT1＝FT2。受力圖如圖3－9c所示，取坐標(biāo)系A(chǔ)xy。列平衡方程由ΣX=0解得FAC＝－63.2kN由ΣY=0解得FAB＝41.6kN力FAC是負(fù)值，表示該力的假設(shè)方向與實(shí)際方向相反，因此桿AC是受壓桿。例3－6連桿機(jī)構(gòu)由三個(gè)無重桿鉸接組成〔如圖3－10a〕，在鉸B處施加一的豎向力FB，要使機(jī)構(gòu)處于平衡狀態(tài)，試問在鉸C處施加的力FC應(yīng)取何值？圖3－10解這是一個(gè)物體系統(tǒng)的平衡問題。從整個(gè)機(jī)構(gòu)來看，它受四個(gè)力FB、FC、FA、FD不是平面匯交力系〔圖a〕，所以不能取整體作為研究對(duì)象求解。要求解的未知力F作用于鉸C上，鉸C受平面匯交力系的作用，所以應(yīng)該通過研究鉸C的平衡來求解。鉸C除受未知力FC外，還受到二力桿BC和DC的約束反力FAB和FBC和作用〔圖c〕。這三個(gè)力都是未知的，只要能求出FAB和FBC之中的任意一個(gè)，就能根據(jù)鉸C的平衡求出力FC。鉸B除受力FB的作用外，還受到二力桿AB和BC桿的約束反力FBA和FBC的作用。通過研究鉸B的平衡可以求了BC桿的約束反力FBC。綜合以上分析結(jié)果，得到此題的解題思路：先以鉸B為脫離體求BC桿的反力FBC；再以鉸C為脫離體，求未知力FC。(1)取鉸B為脫離體，其受力圖如圖〔b〕所示。因?yàn)橹恍枨蠓戳BC，所以選取x軸與不需求出的力FBA垂直。由平衡方程ΣX=0FBcos45o+FBCcos45o=0解得FBC=－FB〔2〕取C為脫離體，其受力圖如圖〔c〕所示。圖上力FCB的大小是的，即FCB＝FBC＝－FB。為求力FC的大小，選取x軸與反力FCD垂直，由平衡方程ΣX=0－FCB－FBCcos45o=0解得通過以上分析和求解過程可以看出，在求解平衡問題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)剡x取脫離體，恰當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)軸，以最簡捷、合理的途徑完成求解工作。盡量防止求解聯(lián)立方程，以提高計(jì)算的工作效率。這些都是求解平衡問題所必須注意的。思考題3－1如圖3－11所示的平面匯交力系的各力多邊形中，各代表什么意義？圖3－113－2如圖3－12所示，力F大小和其與x軸正向的夾角θ，試問能否求出此力在x軸上的投影？能否求出此力沿x軸方向的分力？圖3－123－3同一個(gè)力在兩個(gè)互相平行的軸上的投影有何關(guān)系？如果兩個(gè)力在同一軸上的投影相等，問這兩個(gè)力的大小是否一定相等？3－4平面匯交力系在任意兩根軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，那么力系必平衡，對(duì)嗎？為什么？3－5假設(shè)選擇同一平面內(nèi)的三個(gè)軸x、y和z，其中x軸垂直于y軸，而z軸是任意的〔圖3－13〕，假設(shè)作用在物體上的平面匯交力系滿足以下方程式：ΣX=0ΣY=0能否說明該力系一定滿足以下方程式：ΣZ=0試說明理由。圖3-13理論力學(xué)教案4課題第4講——第四章力矩與力偶學(xué)時(shí)6教學(xué)目的要求熟悉力和力偶的根本概念及其性質(zhì)，能熟練的計(jì)算平面問題中力對(duì)點(diǎn)之矩。掌握合力距定理。掌握平面力偶系的合成和平衡條件。主要內(nèi)容1、力對(duì)點(diǎn)之距。2、力偶。3、平面力偶系的合成和平衡條件。4、力的平移定理。重點(diǎn)難點(diǎn)1、合力矩定理。2、平面力偶系的合成和平衡條件。教學(xué)方法和手段以講授為主，使用電子教案課后作業(yè)練習(xí)問題：P31：1，2，3，4，5，6習(xí)題：P54：1，2，4，6，7預(yù)習(xí)：第五章本次講稿第四章力矩與力偶本章研究力矩、力偶和平面力偶系的理論。這都是有關(guān)力的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的根本知識(shí)，在理論研究和工程實(shí)際應(yīng)用中都有重要的意義。第一節(jié)力對(duì)點(diǎn)之矩力矩的概念力不僅可以改變物體的移動(dòng)狀態(tài)，而且還能改變物體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。力使物體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的力學(xué)效應(yīng)，稱為力對(duì)該點(diǎn)之矩。以扳手旋轉(zhuǎn)螺母為例，如圖4－1所示，設(shè)螺母能繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)。由經(jīng)驗(yàn)可知，螺母能否旋動(dòng)，不僅取決于作用在扳手上的力F的大小，而且還與點(diǎn)O到F的作用線的垂直距離d有關(guān)。因此，用F與d的乘積不作為力F使螺母繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的量度。其中距離d稱為F對(duì)O點(diǎn)的力臂，點(diǎn)O稱為矩心。由于轉(zhuǎn)動(dòng)有逆時(shí)針和順時(shí)針兩個(gè)轉(zhuǎn)向，那么力F對(duì)O點(diǎn)之矩定義為：力的大小F與力臂d的乘積冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào)，以符號(hào)mo(F)表示，記為mo(F)＝±Fh〔4－1〕通常規(guī)定：力使物體繞矩心逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩為正，反之為負(fù)。圖4－1由圖4－1可見，力F對(duì)O點(diǎn)之矩的大小，也可以用三角形OAB的面積的兩倍表示，即mo(F)＝±2ΔABC〔4－2〕在國際單位制中，力矩的單位是牛頓?米〔N??m〕或千牛頓?米〔kN?m〕。由上述分析可得力矩的性質(zhì)：〔1〕力對(duì)點(diǎn)之矩，不僅取決于力的大小，還與矩心的位置有關(guān)。力矩隨矩心的位置變化而變化。〔2〕力對(duì)任一點(diǎn)之矩，不因該力的作用點(diǎn)沿其作用線移動(dòng)而改變，再次說明力是滑移矢量?！?〕力的大小等于零或其作用線通過矩心時(shí)，力矩等于零。二、合力矩定理定理：平面匯交力系的合力對(duì)其平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于所有各分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。圖4－2證明：設(shè)剛體上的A點(diǎn)作用著一平面匯交力系。力系的合力。在力系所在平面內(nèi)任選一點(diǎn)O，過O作oy軸，且垂直于OA。如圖4－2所示。那么圖中Ob1、Ob2、…、Obn分別等于力F1、F2、…、Fn和FR在Oy軸上的投影Y1、Y2、…、Yn和YR。現(xiàn)分別計(jì)算F1、F2、…、Fn和FR各分力對(duì)點(diǎn)O的力矩。由圖4－2可以看出〔1〕根據(jù)合力投影定理YR＝Y(jié)1＋Y2＋…＋Yn兩端乘以O(shè)A得YROA＝Y(jié)1OA＋Y2OA＋…＋YnOA將式〔1〕代入得mo(FR)＝mo(F1)＋mo(F2)＋…＋mo(Fn)即mo(FR)＝Σmo(F)〔4－3〕上式稱為合力矩定理。合力矩定理建立了合力對(duì)點(diǎn)之矩與分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的關(guān)系。這個(gè)定理也適用于有合力的其它力系。例4－1試計(jì)算圖4－3中力對(duì)A點(diǎn)之矩。圖4－3解此題有兩種解法。由力矩的定義計(jì)算力F對(duì)A點(diǎn)之矩。先求力臂d。由圖中幾何關(guān)系有：d=ADsinα=(AB-DB)sinα=(AB-BCctg)sinα=(a-bctgα)sinα=asinα-bcosα所以mA(F)=F?d=F(asinα-bcosα)根據(jù)合力矩定理計(jì)算力F對(duì)A點(diǎn)之矩。將力F在C點(diǎn)分解為兩個(gè)正交的分力和，由合力矩定理可得mA(F)=mA(Fx)+mA(Fy)=－Fx?b+Fy?a=－F(bcosα＋asinα)=F(asinα-bcosα)本例兩種解法的計(jì)算結(jié)果是相同的，當(dāng)力臂不易確定時(shí)，用后一種方法較為簡便。第二節(jié)力偶一、力偶力偶矩在日常生活和工程實(shí)際中經(jīng)常見到物體受動(dòng)兩個(gè)大小相等、方向相反，但不在同一直線上的兩個(gè)平行力作用的情況。例如，司機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)駕駛汽車時(shí)兩手作用在方向盤上的力〔圖4－4a〕；工人用絲錐攻螺紋時(shí)兩手加在扳手上的力〔圖4－4b〕；以及用兩個(gè)手指擰動(dòng)水龍頭〔圖4－4c〕所加的力等等。在力學(xué)中把這樣一對(duì)等值、反向而不共線的平行力稱為力偶，用符號(hào)(F,F′)表示。兩個(gè)力作用線之間的垂直距離稱為力偶臂，兩個(gè)力作用線所決定的平面稱為力偶的作用面。圖4－4實(shí)驗(yàn)說明，力偶對(duì)物體只能產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，且當(dāng)力愈大或力偶臂愈大時(shí)，力偶使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)就愈顯著。因此，力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取決于：力偶中力的大小、力偶的轉(zhuǎn)向以及力偶臂的大小。在平面問題中，將力偶中的一個(gè)力的大小和力偶臂的乘積冠以正負(fù)號(hào)，(作為力偶對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的量度，稱為力偶矩，用m或m(F,F′)表示，如圖4－5所示，即m(F)＝F?d=±2ΔABC(4-4)圖4－5通常規(guī)定：力偶使物體逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力偶矩為正，反之為負(fù)。在國際單位制中，力矩的單位是牛頓?米〔N??m〕或千牛頓?米〔kN?m〕。二、力偶的性質(zhì)力和力偶是靜力學(xué)中兩個(gè)根本要素。力偶與力具有不同的性質(zhì)：〔1〕力偶不能簡化為一個(gè)力，即力偶不能用一個(gè)力等效替代。因此力偶不能與一個(gè)力平衡，力偶只能與力偶平衡。設(shè)剛體上的A和B分別作用著大小不等，指向相反的平行力F1和F2，假設(shè)F1＞F2。由同向平行力合成的內(nèi)分反比關(guān)系，來求反向平行力的合力。圖4－6b所示，將力F1分解成兩個(gè)同向平行力，使其中一個(gè)分力F2′作用于點(diǎn)B，且F2′＝－F2，設(shè)另一個(gè)分力為FR，其作用線與AB的延長線交于C點(diǎn)?，F(xiàn)將平衡力F2和F2′減去，力FR就與原來兩反向平行力F1和F2等效。即力FR為F1和F2的合力?！矆D4－6b〕圖4－6因?yàn)镕2＝F2′＋FR＝F2＋FR所以FR＝F1－F2由內(nèi)分反比關(guān)系知假設(shè)F1＝F2，那么力F1和F2組成力偶，此時(shí)，F(xiàn)R＝0，于是CA＝∞CA＝∞，說明合力的作用點(diǎn)C不存在，所以力偶不能合成為一合力。即力偶不能用一個(gè)力代替，也不能與一個(gè)力平衡，力偶只能用力偶來平衡。(2)力偶對(duì)其作在平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩恒等于力偶矩，與矩心位置無關(guān)。圖4－7如圖4－7所示，力偶(F,F′)的力偶矩m(F)＝F?d在其作用面內(nèi)任取一點(diǎn)O為矩心，因?yàn)榱κ刮矬w轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)用力對(duì)點(diǎn)之矩量度，因此力偶的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)可用力偶中的兩個(gè)力對(duì)其作用面內(nèi)任何一點(diǎn)的矩的代數(shù)和來量度。設(shè)O到力F′的垂直距離為x，那么力偶(F,F′)對(duì)于點(diǎn)O的矩為mo(F,F′)=mo(F)+mo(F′)=F〔x+d〕-F′x=F?d=m所得結(jié)果說明，不管點(diǎn)O選在何處，其結(jié)果都不會(huì)變，即力偶對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩總等于力偶矩。所以力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)總?cè)Q于偶矩〔包括大小和轉(zhuǎn)向〕，而與矩心位置無關(guān)。由上述分析得到如下結(jié)論：在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，只要兩力偶的力偶的代數(shù)值相等，那么這兩個(gè)力偶相等。這就是平面力偶的等效條件。根據(jù)力偶的等效性，可得出下面兩個(gè)推論：推論1力偶可在其作用面內(nèi)任意移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，而不會(huì)改變它對(duì)物體的效應(yīng)。推論2只要保持力偶矩不變，可同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長度，而不會(huì)改變它對(duì)物體的作用效應(yīng)。由力偶的等效性可知，力偶對(duì)物體的作用，完全取決于力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向。因此，力偶可以用一帶箭頭的弧線來表示如圖所求，其中箭頭表示力偶的轉(zhuǎn)向，m表示力偶矩的大小。圖4－8平面力偶系的合成與平衡一、平面力偶系的合成作用在物體同一平面內(nèi)的各力偶組成平面力偶系。設(shè)在剛體的同一平面內(nèi)作用三個(gè)力偶(F1,F1′)(F2,F2′)和(F3,F3′)，如圖4－9所示。各力偶矩分別為：m1＝F1?d1，m2＝F2?d2，m3＝－F3?d3，圖4－9在力偶作用面內(nèi)任取一線段AB＝d，按力偶等效條件，將這三個(gè)力偶都等效地改為以為d力偶臂的力偶(P1,P1′)(P2,P2′)和(P3,P3′)。如圖4－9所示。由等效條件可知P1?d=F1?d1，P2?d＝F2?d2，－P3?d＝－F3?d3那么等效變換后的三個(gè)力偶的力的大小可求出。然后移轉(zhuǎn)各力偶，使它們的力偶臂都與AB重合，那么原平面力偶系變換為作用于點(diǎn)A、B的兩個(gè)共線力系〔圖4－9b〕。將這兩個(gè)共線力系分別合成，得FR＝P1＋P2－p3FR′＝P1′＋P2′－P3′可見，力FR與FR′等值、反向作用線平行但不共線，構(gòu)成一新的力偶〔FR，F(xiàn)R′〕，如圖4－9c所示。為偶〔FR，F(xiàn)R′〕稱為原來的三個(gè)力偶的合力偶。用M表示此合力偶矩，那么M＝FRd＝〔P1＋P2－P3〕d=P1?d+P2?d－P3?d=F1?d1+F2?d2－F3?d3所以M＝m1＋m2＋m3假設(shè)作用在同一平面內(nèi)有個(gè)力偶，那么上式可以推廣為M＝m1＋m2＋…＋mn＝Σm由此可得到如下結(jié)論：平面力偶系可以合成為一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代數(shù)和。二、平面力偶系的平衡條件平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，假設(shè)合力偶矩等于零，那么原力系必定平衡；反之假設(shè)原力偶系平衡，那么合力偶矩必等于零。由此可得到平面力偶系平衡的必要與充分條件：平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代數(shù)和等于零。即Σm＝0〔4－6〕平面力偶系有一個(gè)平衡方程，可以求解一個(gè)未知量。例4－2如圖4－10所示，電動(dòng)機(jī)軸通過聯(lián)軸器與工作軸相連，聯(lián)軸器上4個(gè)螺栓A、B、C、D的孔心均勻地分布在同一圓周上，此圓的直徑d＝150mm，電動(dòng)機(jī)軸傳給聯(lián)軸器的力偶矩m＝2.5kN?m，試求每個(gè)螺栓所受的力為多少？圖4－10解取聯(lián)軸器為研究對(duì)象，作用于聯(lián)軸器上的力有電動(dòng)機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶，每個(gè)螺栓的反力，受力圖如下圖。設(shè)4個(gè)螺栓的受力均勻，即F1＝F2＝F3＝F4＝F，那么組成兩個(gè)力偶并與電動(dòng)機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶平衡。由Σm＝0，m－F×AC－F×d＝0解得例4－3水平桿重量不計(jì)，受固定鉸支座A及CD的約束，如圖4－11所示，在桿端B受一力偶作用，力偶矩m＝100N?m，求A、C處的約束反力。圖4－11解取AB桿為研究對(duì)象。作用于AB桿的是一個(gè)主動(dòng)力偶，A、C兩點(diǎn)的約束反力也必然組成一個(gè)力偶才能與主動(dòng)力偶平衡。由于CD桿是二力桿，F(xiàn)C必沿C、D兩點(diǎn)的連線，而FA應(yīng)與FC平行，且有FA＝FC〔圖4－11B〕由平面力偶系平衡條件可得Σm＝0，F(xiàn)A×h－m＝0其中h＝Acsin30=1×0.5=0.5m那么第四節(jié)力的平移定理由力的可傳性可知，力可以沿其作用線滑移到剛體上任意一點(diǎn)，而不改變力對(duì)剛體的作用效應(yīng)。但當(dāng)力平行于原來的作用線移動(dòng)到剛體上任意一點(diǎn)時(shí)，力對(duì)剛體的作用效應(yīng)便會(huì)改變，為了進(jìn)行力系的簡化，將力等效地平行移動(dòng)，給出如下定理：力的平移定理：作用于剛體上的力可以平行移動(dòng)到剛體上的任意一指定點(diǎn)，但必須同時(shí)在該力與指定點(diǎn)所決定的平面內(nèi)附加一力偶，其力偶矩等于原力對(duì)指定點(diǎn)之矩。證明：設(shè)力F作用于剛體上A點(diǎn)，如圖4－12所示。為將力F等效地平行移動(dòng)到剛體上任意一點(diǎn),根據(jù)加減平衡力系公理，在B點(diǎn)加上兩個(gè)等值、反向的力F′和F"，并使F′＝F"＝F，如圖(4－12b)所示。顯然，力F、F′和F"組成的力系與原力F等效。由于在力系F、F′和F"中，力F與力F"等值、反向且作用線平行，它們組成力偶〔F、F"〕。于是作用在B點(diǎn)的力F′和力偶〔F、F"〕與原力F等效。亦即把作用于A點(diǎn)的力F平行移動(dòng)到任意一點(diǎn)B，但同時(shí)附加了一個(gè)力偶，如圖(4－12c)所示。由圖可見，附加力偶的力偶矩為m＝F?d＝mB〔F〕圖4－12力的平移定理說明，可以將一個(gè)力分解為一個(gè)力和一個(gè)力偶；反過來，也可以將同一平面內(nèi)一一個(gè)力和一個(gè)力偶合成為一個(gè)力。應(yīng)該注意，力的平移定理只適用于剛體，而不適用于變形體，并且只能在同一剛體上平行移動(dòng)。思考題4－1將圖4－13所示A點(diǎn)的力F沿作用線移至B點(diǎn)，是否改變?cè)摿?duì)O點(diǎn)之矩？圖4－13圖4－144－2一矩形鋼板放在水平地面上，其邊長a＝3m，b＝2m〔如圖4－14所示〕。按圖示方向加力，轉(zhuǎn)動(dòng)鋼板需要P＝P′＝250N。試問如何加力才能使轉(zhuǎn)動(dòng)鋼板所用的力最小，并求這個(gè)最小力的大小。4－3一力偶(F1,F1′)作用在Oxy平面內(nèi)，另一力偶(F2,F2′)作用在Oyz平面內(nèi)，力偶矩之絕對(duì)值相等〔圖4－15〕，試問兩力偶是否等效？為什么？圖4－154－4圖3－16中四個(gè)力作用在某物體同一平面上A、B、C、D四點(diǎn)上〔ABCD為一矩形〕，假設(shè)四個(gè)力的力矢恰好首尾相接，這時(shí)物體平衡嗎？為什么？圖4－164－5水渠的閘門有三種設(shè)計(jì)方案，如圖4－17所示。試問哪種方案開關(guān)閘門時(shí)最省力。圖4－174－6力偶不能與一力平衡，那么如何解釋圖4－18所示的平衡現(xiàn)象？圖4－18圖2－21理論力學(xué)教案5課題第5講——第五章平面任意力系學(xué)時(shí)12學(xué)時(shí)＋6學(xué)時(shí)習(xí)題課教學(xué)目的要求掌握平面任意力系的簡化方法和簡化結(jié)果，能計(jì)算平面力系的主失和主矩。能熟練應(yīng)用平面任意力系的平衡方程，求解單個(gè)物體的平衡問題。了解靜定和靜不定問題的概念以及物體系統(tǒng)的平衡問題。理解滑動(dòng)摩擦的概念和摩擦力的特征。掌握摩擦角和自鎖概念。能求解當(dāng)考慮滑動(dòng)摩擦?xí)r單個(gè)物體和簡單物體系統(tǒng)的平衡問題。.主要內(nèi)容平面任意力系的簡化簡化結(jié)果分析及合力距定理。平面任意力系的平衡。靜定和靜不定問題的概念以及物體系統(tǒng)的平衡。考慮摩擦?xí)r物體系統(tǒng)的平衡。重點(diǎn)難點(diǎn)力系簡化以及力系簡化結(jié)果對(duì)于平面情況要詳細(xì)討論。平面力系平衡方程的各種形式要給以必要的說明。物體系統(tǒng)的平衡。教學(xué)方法和手段以講授為主，使用電子教案課后作業(yè)練習(xí)問題：P47：1，2，3，4，5，6，7習(xí)題：P54：1，4，5，6，7，8，12，13，14預(yù)習(xí)：第六章本次講稿平面任意力系各力作用線在同一平面內(nèi)且任意分布的力系稱為平面任意力系。在工程實(shí)際中經(jīng)常遇到平面任意力系的問題。例如圖5－1所示的簡支梁受到外荷載及支座反力的作用，這個(gè)力系是平面任意力系。有些結(jié)構(gòu)所受的力系本不是平面任意力系，但可以簡化為平面任意力系來處理。如圖5－2所示的屋架，可以忽略它與其它屋架之間的聯(lián)系，單獨(dú)別離出來，視為平面結(jié)構(gòu)來考慮。屋架上的荷載及支座反力作用在屋架自身平面內(nèi)，組成一平面任意力系。對(duì)于水壩〔圖5－3〕這樣縱向尺寸較大的結(jié)構(gòu)，在分析時(shí)常截取單位長度〔如1〕的壩段來考慮，將壩段所受的力簡化為作用于中央平面內(nèi)的平面任意力系。事實(shí)上工程中的多數(shù)問題都簡化為平面任意力系問題來解決。所以，本章的內(nèi)容在工程實(shí)踐中有著重要的意義。圖5－1圖5－2圖5－3第一節(jié)平面任意力系向作用面內(nèi)任意一點(diǎn)簡化設(shè)剛體受到平面任意力系F1、F2、…、Fn的作用，如圖5－4a。在力系所在的平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，稱O點(diǎn)為簡化中心。應(yīng)用力的平移定理，將力系中的和力依次分別平移至O點(diǎn)，得到匯交于O點(diǎn)的平面匯交力系F1′、F2′、…、Fn′，此外還應(yīng)附加相應(yīng)的力偶，構(gòu)成附加力偶系mO1、mO2、…、mOn〔圖5－4b〕。圖5－4平面匯交力系中各力的大小和方向分別與原力系中對(duì)應(yīng)的各力相同，即F1′＝F1，F(xiàn)2′＝F2，…，F(xiàn)n′＝Fn所得平面匯交力系可以合成為一個(gè)力RO，也作用于點(diǎn)O，其力矢R′等于各力矢F1′、F2′、…、Fn′的矢量和，即RO＝F1′+F2′+…+Fn′＝F1+F2+…+Fn＝ΣF＝R′〔5－1〕R′稱為該力系的主矢，它等于原力系各力的矢量和，與簡化中心的位置無關(guān)。主矢R′的大小與方向可用解析法求得。按圖5－4b所選定的坐標(biāo)系Oxy,有Rx=X1+X2+…Xn＝ΣXRy=Y1+Y2+…Yn＝ΣY主矢R′的大小及方向分別由下式確定：(5－2)其中α為主矢R′與x軸正向間所夾的銳角。各附加力偶的力偶矩分別等于原力系中各力對(duì)簡化中心O之矩，即mO1＝mo(F1)，mO2＝mo(F2)，…，mOn＝mo(Fn)所得附加力偶系可以合成為同一平面內(nèi)的力偶，其力偶矩可用符號(hào)MO表示，它等于各附加力偶矩mO1、mO2、…、mOn的代數(shù)和，即MO＝mO1+mO2+…+mOn＝mo(F1)+mo(F2)+…mo(Fn)＝ΣmO〔F〕(5－3)原力系中各力對(duì)簡化中心之矩的代數(shù)和稱為原力系對(duì)簡化中心的主矩。由式〔5－3〕可見在選取不同的簡化中心時(shí)，每個(gè)附加力偶的力偶臂一般都要發(fā)生變化，所以主矩一般都與簡化中心的位置有關(guān)。由上述分析我們得到如下結(jié)論：平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化，可得一力和一個(gè)力偶〔圖5－4c〕。這個(gè)力的作用線過簡化中心，其力矢等于原力系的主矢；這個(gè)力偶的矩等于原力系對(duì)簡化中心的主矩。簡化結(jié)果分析及合力矩定理平面任意力系向O點(diǎn)簡化，一般得一個(gè)力和一個(gè)力偶?？赡艹霈F(xiàn)的情況有四種：R′≠0，MO＝0，原力系簡化為一個(gè)力，力的作用線過簡化中心，此合力的矢量為原力系的主矢即RO＝R′＝ΣF。R′＝0，MO≠0，原力系簡化為一力偶。此時(shí)該力偶就是原力系的合力偶，其力偶矩等于原力系的主矩。此時(shí)原力系的主矩與簡化中心的位置無關(guān)。R′＝0，MO＝0，原力系平衡，下節(jié)將詳細(xì)討論。，R′≠0，MO≠0，這種情況下，由力的平移定理的逆過程，可將力R′和力偶矩為MO的力偶進(jìn)一步合成為一合力R，如圖5－5所示。將力偶矩為MO的力偶用兩個(gè)力R與R"表示，并使R′＝R＝R"，R"作用在點(diǎn)O，R作用在點(diǎn)O′，如圖5－5b所示。R′與R"組成一對(duì)平衡力，將其去掉后得到作用于O′點(diǎn)的力R，與原力系等效。因此這個(gè)力R就是原力系的合力。顯然R′＝R，而合力作用線到簡化中心的距離為圖5－5當(dāng)MO＞0時(shí)，順著RO的方向看〔圖5－5〕，合力R在RO的右邊；當(dāng)MO＜0時(shí)，合力R在RO的左邊。由上分析，我們可以導(dǎo)出合力矩定理。由圖4－5c可見，合力對(duì)點(diǎn)之矩為mO(R)＝R?d=MO而MO＝ΣmO〔F〕那么mO(R)＝ΣmO〔F〕〔5－4〕因?yàn)镺點(diǎn)是任選的，上式有普遍意義。于是：得到合力矩定理：平面任意力系的合力對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于力系中各力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。例5－1重力壩斷面如圖5-6a所示,壩上游有泥沙淤積，水深H＝46m，泥沙厚度h＝6m，水的容重γ＝98kN/m3，泥沙的容重γ′＝8kN/m3，1m長壩段所受重力W1＝4500kN，W2＝14000kN。受力圖如圖5－6b所示。試將此壩段所受的力向點(diǎn)O簡化，并求簡化的最后結(jié)果。圖5－6解水中任一點(diǎn)的相對(duì)壓強(qiáng)與距水面的距離成正比，即在坐標(biāo)為y處的水壓強(qiáng)為p＝γ(H－y)(0≤y≤H)。同理,泥沙壓強(qiáng)為p′＝γ′(h－y)(0≤y≤h)。所以上游壩面所受的分布荷載如圖5－6b所示。為了方便計(jì)算，先將分布力合成為合力。將水壓力與泥沙壓力分開計(jì)算。水壓力如圖中大三角形所示，其合力為P1,那么P1過三角形形心，即與壩底相距。泥沙壓力如圖中的小三角形所示，其合力設(shè)為P2，那么P2與壩底相距現(xiàn)將P1、P2、W1、W2四個(gè)力向O點(diǎn)簡化。先求主矢。Rx′＝ΣX＝P1+P2=10510kNRy′＝ΣY＝－W1－W2＝－18500kN再求對(duì)O的主矩最后求合力R＝R′，其作用線線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)x為平面任意力系的平衡當(dāng)平面任意力系的主矢和主矩都等于零時(shí)，作用在簡化中心的匯交力系是平衡力系，附加的力偶系也是平衡力系，所以該平面任意力系一定是平衡力系。于是得到平面任意力系的充分與必要條件是：力系的主矢和主矩同時(shí)為零。即R′＝0，MO＝0〔5－5〕用解析式表示可得〔5－6〕上式為平面任意力系的平衡方程。平面任意力系平衡的充分與必要條件可解析地表達(dá)為：力系中各力在其作用面內(nèi)兩相交軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，同時(shí)力系中各力對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之的代數(shù)和也等于零。平面任意力系的平衡方程除了由簡化結(jié)果直接得出的根本形式〔5－6〕外，還有二矩式和三矩式。二矩式平衡方程形式：〔5－7〕其中矩心A、B兩點(diǎn)的連線不能與x軸垂直。因?yàn)楫?dāng)滿足時(shí)，力系不可能簡化為一個(gè)力偶，或者是通過A點(diǎn)的一合力，或者平衡。如果力系同時(shí)又滿足條件，那么這個(gè)力系或者有一通過A、B兩點(diǎn)連線的合力，或者平衡。如果力系又滿足條件，其中x軸假設(shè)與A、B連線垂直，力系仍有可能有通過這兩個(gè)矩心的合力，而不一定平衡；假設(shè)x軸不與A、B連線垂直，這就排除了力系有合力的可能性。由此斷定，當(dāng)式〔5－7〕的三個(gè)方程同時(shí)滿足，并附加條件矩心A、B兩點(diǎn)的連線不能與x軸垂直時(shí)，力系一定是平衡力系。三矩式平衡方程形式：〔5－8〕其中A、B、C三點(diǎn)不能共線。對(duì)于三矩式附加上條件后，式〔5－8〕是平面任意力系平衡的必要與充分條件。讀者可參照對(duì)式〔5－7〕的解釋自行證明。平面任意力系有三種不同形式的平衡方程組，每種形式都只含有三個(gè)獨(dú)立的方程式，都只能求解三個(gè)未知量。應(yīng)用時(shí)可根據(jù)問題的具體情況，選擇適當(dāng)形式的平衡方程。平面平行力系是平面任意力系的一種特殊情況。當(dāng)力系中各力的作用線在同一平面內(nèi)且相互平行，這樣的力系稱為平面平行力系。其平衡方程可由平面任意力系的平衡方程導(dǎo)出。如圖5－7所示，在平面平行力系的作用面內(nèi)取直角坐標(biāo)系Oxy，令y軸與該力系各力的作用線平行，那么不管力系平衡與否，各力在x軸上的投影恒為零，不再具有判斷平衡與否和功能。于是平面任意力系的后兩個(gè)方程為平面平行力系的平衡方程。由〔5－6〕式得(5－9)由〔5－7〕式得〔5－10〕其中兩個(gè)矩心A、B的連線不能與各力作用線平行。平面平行力系有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可以求解兩個(gè)未知量。圖5－7例5－2圖5－8a所示為一懸臂式起重機(jī)，A、B、C都是鉸鏈連接。梁AB自重FG＝1kN，作用在梁的中點(diǎn)，提升重量FP＝8kN，桿BC自重不計(jì)，求支座A的反力和桿BC所受的力。圖5－8解〔1〕取梁AB為研究對(duì)象，受力圖如圖5－8b所示。A處為固定鉸支座，其反力用兩分力表示，桿BC為二力桿，它的約束反力沿BC軸線，并假設(shè)為拉力。取投影軸和矩心。為使每個(gè)方程中未知量盡可能少，以A點(diǎn)為矩,選取直角坐標(biāo)系A(chǔ)xy。列平衡方程并求解。梁AB所受各力構(gòu)成平面任意力系，用三矩式求解：由ΣmA＝0－FG×2－FP×3＋FTsin30o×4=0得由ΣmB＝0－FAy×4+FG×2+FP×1=0得由ΣmC＝0FAx×4×tg30o－FG×2－FP×3=0得校核ΣFx=FAx－FT×cos30o＝11.26－13×0.866＝0ΣFy=FAy－FG－FP＋FT×sin30o＝2.5－1－8－13×0.5可見計(jì)算無誤。例5－3一端固定的懸臂梁如圖5－9a所示。梁上作用均布荷載，荷載集度為q，在梁的自由端還受一集中力P和一力偶矩為m的力偶的作用。試求固定端A處的約束反力。圖5－9解取梁AB為研究對(duì)象。受力圖及坐標(biāo)系的選取如圖5－9b所示。列平衡方程由ΣX＝0，XA＝0ΣY＝0，YA－ql－P＝0解得YA＝ql＋P由Σm＝0，mA－ql2／2－Pl－m＝0解得mA＝ql2／2+Pl+m例5－4塔式起得機(jī)如圖5－10所示。機(jī)身重G＝220kN，作用線過塔架的中心。最大起吊重量P＝50kN，起重懸臂長12m，軌道A、B的間距為4m，平衡錘重Q至機(jī)身中心線的距離為6m。試求：〔1〕確保起重機(jī)不至翻倒的平衡錘重Q的大??；〔2〕當(dāng)Q＝30kN，而起重機(jī)滿載時(shí)，軌道對(duì)A、B的約束反力。圖5-10解取起重機(jī)整體為研究對(duì)象。其正常工作時(shí)受力如下圖。求確保起重機(jī)不至翻倒的平衡錘重Q的大小。起重機(jī)滿載時(shí)有順時(shí)針轉(zhuǎn)向翻倒的可能，要保證機(jī)身滿載時(shí)而不翻倒，那么必須滿足：NA≥0ΣmB＝0，Q〔6+2〕+2G―4NA―P解得Q≥(5P－G)／4＝7.5kN起重機(jī)空載時(shí)有逆時(shí)針轉(zhuǎn)向翻倒的可能，要保證機(jī)身空載時(shí)平衡而不翻倒，那么必須滿足以下條件NB≥0ΣmA＝0，Q〔6－2〕+4NB―2G解得Q≤G／2＝110kN因此平衡錘重Q的大小應(yīng)滿足7.5kN≤Q≤110kN當(dāng)Q＝30kN，求滿載時(shí)的約束反力NA、NB的大小。ΣmB＝0，Q〔6+2〕+2G―4NA―P解得NA＝(4Q+G―5P)/2＝45kN由ΣY＝0，NA＋NB－Q－G－P＝0解得NB＝Q＋G＋P－NA＝255kN第四節(jié)靜定和超靜定問題及物體系統(tǒng)的平衡從前面的討論已經(jīng)知道，對(duì)每一種力系來說，獨(dú)立平衡方程的數(shù)目是一定的，能求解的未知數(shù)的數(shù)目也是一定的。對(duì)于一個(gè)平衡物體，假設(shè)獨(dú)立平衡方程數(shù)目與未知數(shù)的數(shù)目恰好相等，那么全部未知數(shù)可由平衡方程求出，這樣的問題稱為靜定問題。我們前面所討論的都屬于這類問題。但工程上有時(shí)為了增加結(jié)構(gòu)的剛度或鞏固性，常設(shè)置多余的約束，而使未知數(shù)的數(shù)目多于獨(dú)立方程的數(shù)目，未知數(shù)不能由平衡方程全部求出，這樣的問題稱為靜不定問題或超靜定問題。圖5－11是超靜定平面問題的例子。圖a是平面平行力系，平衡方程是2個(gè)，而未知力是3個(gè)，屬于超靜定問題；圖b是平面任意力系，平衡方程是3個(gè)，而未知力有4個(gè)，因而也是超靜定問題。對(duì)于超靜定問題的求解，要考慮物體受力后的變形，列出補(bǔ)充方程，這些內(nèi)容將在后續(xù)課程中討論。圖5－11工程中的結(jié)構(gòu)，一般是由幾個(gè)構(gòu)件通過一定的約束聯(lián)系在一起的，稱為物體系統(tǒng)。如圖5－12所示的三角拱。作用于物體系統(tǒng)上的力，可分為內(nèi)力和外力兩大類。系統(tǒng)外的物體作用于該物體系統(tǒng)的力，稱為外力；系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間的相互作用力，稱為內(nèi)力。對(duì)于整個(gè)物體系統(tǒng)來說，內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，兩兩平衡，故無需考慮，如圖5－12b的鉸C處。而當(dāng)取系統(tǒng)內(nèi)某一局部為研究對(duì)象時(shí)，作用于系統(tǒng)上的內(nèi)力變成了作用在該局部上的外力，必須在受力圖中畫出，如圖5－12c中鉸C處的FCx和FCy。圖5-12〔abc〕物體系統(tǒng)平衡是靜定問題時(shí)才能應(yīng)用平衡方程求解。一般假設(shè)系統(tǒng)由n個(gè)物體組成，每個(gè)平面力系作用的物體，最多列出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，而整個(gè)系統(tǒng)共有不超過3n個(gè)獨(dú)立的平衡方程。假設(shè)系統(tǒng)中的未知力的數(shù)目等于或小于能列出的獨(dú)立的平衡方程的數(shù)目時(shí)，該系統(tǒng)就是靜定的；否那么就是超靜定的問題。例5－5圖5－13所示的人字形折梯放在光滑地面上。重P＝800N的人站在梯子AC邊的中點(diǎn)H，C是鉸鏈，AC＝BC＝2m；AD＝EB＝0.5m，梯子的自重不計(jì)。求地面A、B兩處的約束反力和繩DE的拉力。圖5-13解先取梯子整體為研究對(duì)象。受力圖及坐標(biāo)系如圖5－13b所示。由ΣmA＝0,NB(AC+BC)cos75o－P?ACcos75o／2＝0解得NB＝200N由ΣY＝0，NA+NB－P＝0解得NA＝600N為求繩子的拉力，取其所作用的桿BC為研究對(duì)象。受力圖如圖5－13c所示。由ΣmC＝0,NB?BC?cos75o－T?EC?sin75o＝0解得T=71.5N例5－6組合梁由AB梁和BC梁用中間鉸B連接而成，支承與荷載情況如圖如圖5－14a所示。P＝20kN，q＝5kN/m，α＝45o；求支座A、C的約束反力及鉸B處的壓力。圖5－14解先取BC梁為研究對(duì)象。受力圖及坐標(biāo)如圖5－14b所示。由ΣmC＝0,1?P－2YB＝0解得YB＝0.5P＝0.5×20＝10kN由ΣY＝0,YB－P+NCcosα＝0解得NC＝14.14kN由ΣX＝0,XB－NCsinα＝0解得XB＝10kN再取AB梁為研究對(duì)象，受力圖及坐標(biāo)如圖5－14c所示。由ΣX＝0,XA－XB′＝0解得XA＝XB′＝10kN由ΣY＝0,YA－Q－YB′＝0解得YA＝Q＋YB′＝2q+YB＝20kN由ΣmA＝0,mA－1?Q－2YB′＝0解得mA＝30kN?m例5－7圖5－15為一個(gè)鋼筋混凝土三鉸剛架的計(jì)算簡圖，在剛架上受到沿水平方向均勻分布的線荷載q＝8kN/m，剛架高h(yuǎn)＝8m，跨度l＝12m。試求支座A、B及鉸C的約束反力。圖5－15解先取剛架整體為研究對(duì)象。受力圖如圖5－15b所示。由ΣmC＝0,ql2/2－YAl＝0解得YA＝ql/2＝48由ΣX＝0，YA－ql＋YB＝0解得YB＝Y(jié)A＝48由ΣX＝0，XA－XB＝0解得XA＝XB〔1〕再取左半剛架為研究對(duì)象。受力圖如圖5－15c所示。由ΣmC＝0,ql2/8＋XAh－YAl／2＝0解得XA＝18kN由〔1〕式得XA＝XB＝18kN由ΣX＝0,XA－XC＝0解得XC＝XA＝18kN由ΣX＝0，YA－ql／2＋YC＝0解得YC＝0考慮摩擦?xí)r物體的平衡前面討論物體平衡問題時(shí)，物體間的接觸面都假設(shè)是絕對(duì)光滑的。事實(shí)上這種情況是不存在的，兩物體之間一般都要有摩擦存在。只是有些問題中，摩擦不是主要因素，可以忽略不計(jì)。但在另外一些問題中，如重力壩與擋土墻的滑動(dòng)稱定問題中，帶輪與摩擦輪的轉(zhuǎn)動(dòng)等等，摩擦是是重要的甚至是決定性的因素，必須加以考慮。按照接觸物體之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式，摩擦可分為滑動(dòng)摩擦和滾動(dòng)摩擦。本節(jié)只討論滑動(dòng)摩擦，當(dāng)物體之間僅出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)趨勢而尚未發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)的摩擦稱為靜滑動(dòng)摩擦，簡稱靜摩擦；對(duì)已發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的物體間的摩擦稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦，簡稱動(dòng)摩擦?；瑒?dòng)摩擦與滑動(dòng)摩擦定律當(dāng)兩物體接觸面間有相對(duì)滑動(dòng)或有相對(duì)滑動(dòng)趨勢時(shí)，沿接觸點(diǎn)的公切面彼此作用著阻礙相對(duì)滑動(dòng)的力，稱為滑動(dòng)摩擦力，簡稱摩擦力。用F表示。圖5－16如圖5－16所示一重為G的物體放在粗糙水平面上，受水平力P的作用，當(dāng)拉力P由零逐漸增大，只要不超過某一定值，物體仍處于平衡狀態(tài)。這說明在接觸面處除了有法向約束反力N外，必定還有一個(gè)阻礙重物沿水平方向滑動(dòng)的摩擦力F，這時(shí)的摩擦力稱為靜摩擦力。靜摩擦力可由平衡方程確定。ΣX＝0,P－F＝0。解得F＝P。可見，靜摩擦力F隨主動(dòng)力P的變化而變化。但是靜摩擦力F并不是隨主動(dòng)力的增大而無限制地增大，當(dāng)水平力到達(dá)一定限度時(shí)，如果再繼續(xù)增大，物體的平衡狀態(tài)將被破壞而產(chǎn)生滑動(dòng)。我們將物體即將滑動(dòng)而未滑動(dòng)的平衡狀態(tài)稱為臨界平衡狀態(tài)。在臨界平衡狀態(tài)下，