概率論第1章-課件

概率論ProbabilityTheory2024/1/241總評成績的評定總評成績是下面兩部分成績的加權平均:

(一)平時成績占

30﹪

由作業(yè)、考勤、上課表現(xiàn)等確定；

(二)期末考試占70﹪

2第一章隨機事件及其概率§1.1隨機事件2024/1/243§1.1.1隨機現(xiàn)象與隨機試驗確定性現(xiàn)象在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象（事前可預言的現(xiàn)象），例如，在標準大氣壓下，將水加熱至100℃必然沸騰；同性電荷必然排斥等等。

在自然界和實際生活中，我們通常會遇到兩類不同的現(xiàn)象，一類是確定性現(xiàn)象，另一類是非確定性現(xiàn)象。一隨機現(xiàn)象特征：條件完全決定結果。非確定性現(xiàn)象：模糊現(xiàn)象隨機現(xiàn)象１.模糊現(xiàn)象

由事物本身含義不確定導致結果不確定的現(xiàn)象，例如：“健康的人”，“稠密的深林”，“高大的山脈”等等。4２．隨機現(xiàn)象

事前不可預言的現(xiàn)象，即在相同條件下重復進行試驗，每次結果未必相同，或知道事物過去的狀況，但未來的發(fā)展卻不能完全肯定。例如，擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面向上，也可能出現(xiàn)反面向上；?。担傲７N子做發(fā)芽試驗，觀察發(fā)芽的種子粒數(shù)，結果可能是０粒，１粒，．．．，５０粒種子發(fā)芽等等。

特征：條件不能完全決定結果。

確定性現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象的共同特點是事物本身的含義確定。隨機現(xiàn)象與模糊現(xiàn)象的共同特點是不確定性，隨機現(xiàn)象的不確定性是指試驗的結果不確定，而模糊現(xiàn)象的不確定性有兩層含義，一是指事物本身的定義不確定，二是結果不確定。5

模糊數(shù)學將數(shù)學的應用范圍從清晰確定擴大到模糊現(xiàn)象的領域，而概率論與統(tǒng)計學則將數(shù)學的應用從必然現(xiàn)象擴大到隨機現(xiàn)象的領域。

對于隨機現(xiàn)象，人們經(jīng)過長期實踐并深入研究之后，發(fā)現(xiàn)這類現(xiàn)象在大量重復試驗或觀察下，它的結果會呈現(xiàn)某種規(guī)律性，這種規(guī)律性我們稱之為統(tǒng)計規(guī)律性。

概率論就是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學學科；數(shù)理統(tǒng)計是以概率論為基礎，研究如何通過觀察和試驗認識自然規(guī)律和社會規(guī)律的一門方法論學科。6概率論的起源

概率論起源于15世紀中葉，肇事于所謂的“賭金分配問題”。賭金分配問題：在一場賭博中,某一方先勝6局便算贏家,那么,當甲方勝了4局,乙方勝了3局的情況下,因出現(xiàn)意外,賭局被中斷,無法繼續(xù),此時,賭金應該如何分配?當時，有一答案是：應當按照4:3的比例把賭金分給雙方。意大利科學家帕西奧尼給出的7

當時，許多人都認為帕西奧尼的分法不是那么公平合理。因為,已勝了4局的一方只要再勝2局就可以拿走全部的賭金，而另一方則需要勝3局，并且至少有2局必須連勝，這樣要困難得多。但是，人們又找不到更好的解決方法。在這以后100多年中，先后有多位數(shù)學家研究過這個問題，但均未得到過正確的答案。8大家有疑問的，可以詢問和交流可以互相討論下，但要小聲點9

直到1654年，一位經(jīng)驗豐富的法國賭徒默勒以自己的親身經(jīng)歷向帕斯卡請教“賭金分配問題“，求助其對這種現(xiàn)象作出解釋，引起了這位法國天才數(shù)學家的興趣，帕斯卡接受了這些問題，但他沒有立即去解決它，而是把它交給另一位法國數(shù)學家費爾馬。之后，他們頻頻通信，互相交流，圍繞著賭博中的數(shù)學問題開始了深入細致的研究。這些問題后來被來到巴黎的荷蘭科學家惠更斯獲悉，回荷蘭后，他也開始就這方面展開研究。10

帕斯卡和費爾馬一邊親自做賭博實驗，一邊仔細分析計算賭博中出現(xiàn)的各種問題，最后分別獨立的解決了“分賭注問題”，并將此題的解法向更一般的情況推廣，從而建立了概率論的一個基本概念——數(shù)學期望，這是描述隨機變量取值的平均水平的一個量。而惠更斯經(jīng)過多年的潛心研究，也解決了擲骰子中的一些數(shù)學問題。1657年，他將自己的研究成果寫成了專著《論擲骰子游戲中的計算》。這本書迄今為止被認為是概率論中最早的論著。因此可以說早期概率論的真正創(chuàng)立者是帕斯卡、費爾馬和惠更斯。這一時期被稱為組合概率時期，主要是計算各種古典概率。11費爾馬的解法

費爾馬注意到，如果繼續(xù)賭下去，最多只要再賭4輪便可決出勝負，如果用“甲”表示甲方勝，用“乙”表示乙方勝，那么最后4輪的結果，不外乎以下16種排列。甲甲甲甲

甲甲乙乙

甲乙乙乙甲甲甲乙

甲乙甲乙

乙甲乙乙甲甲乙甲

甲乙乙甲

乙乙甲乙甲乙甲甲

乙乙甲甲

乙乙乙甲乙甲甲甲

乙甲乙甲

乙乙乙乙乙甲甲乙12

在這16種排列中，當甲出現(xiàn)2次或2次以上時，甲方獲勝，這種情況共有11種；當乙出現(xiàn)3次或3次以上時，乙方勝出，這種情況共有5種。因此，賭金應當按11:5比例分配。13帕斯卡的解法

帕斯卡解決這個問題則利用了他的“算術三角形”，歐洲人常稱之為“帕斯卡三角形”。事實上，早在北宋時期中國數(shù)學家賈憲就在《黃帝九章算法細草》中討論過，后經(jīng)南宋數(shù)學家楊輝加以完善，并載入其著作《詳解九章算法》一書中。這就是我們常說的楊輝三角形。11

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1………14帕斯卡利用這個三角形獲得了從n件物品中任取r件的組合數(shù)，由上圖可知，三角形第五行上的數(shù)恰好是，其中是甲出現(xiàn)4次的組合數(shù)，是甲出現(xiàn)3次的組合數(shù)等等。因此賭金應按照的比例分配，這與費馬得到的結果是完全一致的。15

在他們之后，對概率論這一學科做出貢獻的是瑞士數(shù)學家族——伯努利家族的幾位成員。關于概率論的后續(xù)發(fā)展，可參見課本后面的附錄1。16二、隨機試驗

對隨機現(xiàn)象，在相同條件下可重復進行的觀察或試驗稱為隨機試驗，簡稱試驗，一般用E表示。

可以是各類科學試驗，也可以是對某些事物的某些特征的觀察。17一些隨機試驗的例子

例1.1拋擲一枚硬幣，觀察正面H，反面T出現(xiàn)的情況。例1.2在分別寫有數(shù)字1，2，…，10的10張卡片中任意抽取一張卡片，觀察其數(shù)字。

例1.3投擲兩枚骰子，觀察朝上一面的點數(shù)。例1.4從一批燈泡中，任抽取一只，觀察其使用壽命。18隨機試驗的三個特點在相同條件下可重復進行；試驗前由試驗條件能預知試驗的所有可能結果，且所有可能結果不止一個；每次試驗前不能預知會出現(xiàn)哪一個結果。

有時，我們也稱滿足以上三個特點的試驗為隨機試驗。注：上面的結果指的是基本結果。19§1.1.2

樣本空間隨機事件

隨機試驗E的所有可能的結果組成的集合稱為E的樣本空間，記為Ω。Ω的每個元素，即Ω的每一個可能的結果，稱為E的一個樣本點或基本事件。樣本點指的是基本結果一、樣本空間20上面提到的各試驗的樣本空間為Ω1={H,T}Ω2={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}Ω3={(1,1),(1,2),…,(1,6),(2,1),(2,2),…,

(2,6),(3,1),(3,2),…,(3,6),(4,1),(4,2),

…,(4,6),(5,1),(5,2),…,(5,6),(6,1),(6,2),

…,(6,6)}Ω4={t:t≥0}21二、隨機事件

從本質上講，隨機事件就是關于隨機試驗結果的命題；從集合的角度來講，隨機事件是樣本空間的子集，是由一部分樣本點構成的集合，隨機事件簡稱事件，常用英文字母A，B，C，…，表示。一個事件發(fā)生當且僅當屬于它的某一個樣本點出現(xiàn)。不必是基本結果

例如，在例1.2中“出現(xiàn)的數(shù)字是3”，“出現(xiàn)的數(shù)字是偶數(shù)”都是隨機事件。記為“B”,則B={2,4,6,8,10}

在一次具體的試驗中，我們說B發(fā)生了當且僅當B中的樣本點2，4，6，8，10中某一個出現(xiàn)。22隨機事件的分類隨機事件基本事件復雜事件特殊事件試驗最直接的可能結果

由若干個基本事件(至少2個)共同在一起才能表達的結果必然事件不可能事件每次試驗必然發(fā)生的結果，記為Ω每次試驗必不發(fā)生的結果，記為由滿足某種條件的樣本點構成的集合23

顯然，樣本空間是以基本事件為元素的集合，復雜事件是樣本空間的至少包含兩個元素的真子集，基本事件就是一個單點集，必然事件就是樣本空間，不可能事件是樣本空間的空子集。從集合的角度看24§1.1.3事件的關系及運算

設A，B，…，是隨機試驗E的事件，Ω是E的樣本空間。1.事件的包含關系

若事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生，則稱事件A包含于事件B或事件B包含事件A，記作。

例如，在例1.2中，若令

A={抽到能被4整除的號碼}，

B={抽到偶數(shù)號碼}，事實上，A={4，8}，B={2，4，6，8，10}。25事件的相等

若，則稱事件A與事件B相等，記作A=B。ΩBA262.事件的和（并）

我們稱“事件A與事件B至少一個發(fā)生”的事件為事件A與事件B的和事件，記作A+B（或A∪B）。

例1.5連續(xù)射擊兩次，觀察各次中靶情況。設事件A={第一次命中}，B={第二次命中}，則和事件A+B={至少命中一次}。ΩBA27

兩個事件和的概念可以推廣到任意有限多個事件，甚至無窮可列個事件上。283.事件的積

我們稱“事件A和事件B同時發(fā)生”的事件為事件A和事件B的積事件，記作AB或A∩B。如例1.5中，事件AB={兩次都命中}。ΩABAB29推廣n個事件的積事件可列個事件的積事件304.事件的差

我們稱“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”的事件為事件A與事件B的差事件，記作A-B。

如在例1.5中，事件A-B={第一次命中而第二次未命中}。ΩABΩAB315.事件的互斥性（互不相容性）

若每次試驗中，事件A與事件B不能同時發(fā)生，即A∩B=。則稱事件A與事件B互斥或互不相容。

在例1.2中，若令A={抽到的號碼能被3整除}，B={抽到的號碼能被5整除}，則A與B互斥。326.事件的對立

若事件A與事件B互斥，且在每次試驗中事件A與事件B必有一個發(fā)生，即

則稱事件A稱為事件B的對立事件，記為。

實例拋擲一枚硬幣，“出現(xiàn)花面”與“出現(xiàn)字面”是兩個對立的事件。33互斥事件與對立事件的區(qū)別ΩΩABABA、B對立A、B互斥互斥對

立348.互斥事件完備群

設為試驗E的一組事件，如果它們之中任意兩個之間互斥，且每次試驗中必有其中一個發(fā)生，則稱這組事件形成互斥事件完備群。即

由定義可看出，互斥事件完備群構成樣本空間的一個分割。特別地，隨機事件的任一事件A與其對立事件構成一個最簡單的互斥事件完備群。35§1.1.4事件的運算律注這些運算律都可以推廣到有限個事件的情況，對偶律還可以推廣到無窮可列多個事件的情況。36

例1.6設A,B,C表示三個隨機事件,試將下列事件用A,B,C表示出來。A出現(xiàn),B,C不出現(xiàn);A,B出現(xiàn),C不出現(xiàn);三個事件都出現(xiàn);三個事件至少有一個出現(xiàn);三個事件都不出現(xiàn);不多于一個事件出現(xiàn);不多于兩個事件出現(xiàn);三個事件至少有兩個出現(xiàn);A,B至少有一個出現(xiàn),C不出現(xiàn);A，B，C中恰好有兩個出現(xiàn)。37解38概率論研究的一個基本任務就是給隨機事件發(fā)生的可能性大小一個合理而科學的測度?！?.2事件發(fā)生的概率這也就意味著我們需要找到一個定義在一個由隨機試驗的所有隨機事件構成的集合上的集函數(shù)使得它能科學合理的反映集合當中每個元素發(fā)生的可能性大小。39§1.2.1古典概型中的概率定義

我們稱具有下列兩個特點的隨機試驗為古典概型：（1）試驗只有有限個可能的的基本結果;（2）每次試驗中，每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同。古典概型中的概率定義，只適用于古典概型。40

例1.7將一枚硬幣拋擲3次。（1）設事件A1為恰有一次出現(xiàn)正面，求P(A1)。（2）設事件A2為至少有一次出現(xiàn)正面，求P(A2)。解：

該實驗的樣本空間Ω={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT}。（1）因為A1={HTT，THT，TTH}，故P(A1)=3/8。41例1.8

設一批產品有a件次品，b件合格品，隨機從中抽取n件產品，求抽到的n件產品中正好有k件是次品的概率?？紤]如下兩種情況:（1）有放回抽?。?）不放回抽取記A={抽到的n件產品正好有k件次品}42樣本空間中的樣本點總數(shù)為確定哪k次取得次品，看有多少種可能在確定好哪k次后，考慮這k個次品共有多少中取法在確定好哪k次后，考慮剩下n-k個合格品共有多少中取法（1）有放回抽取概率論中稱為是二項分布的概率公式43（2）無放回抽取概率論中稱為超幾何分布的概率公式恰好取出k個次品的基本事件數(shù)44例1.9

30只元件中有27只一等品，3只二等品。隨機將30只元件平均分裝入三盒，求：（1）每盒有一只二等品的概率；（2）有一盒有3只二等品的概率。解：（1）把3只二等品平均分到三個盒子有：1233x2x1種分法。余下的27只應該平均分到3個盒子中；有：種分法。45第2個問題，首先從3個盒子中任選一個出來放3只二等品，這個盒子的另7只從余下的27個一等品中選；4647§1.2.2幾何概型中的概率定義

若隨機試驗E的樣本空間Ω是某一有界可度量的區(qū)域（可以是一維，二維，…，n維空間的），此區(qū)域中每個點都是E的一個樣本點，其樣本點具有所謂的“均勻性質”，即樣本點落入Ω中任意一子區(qū)域A的概率與A的測度（長度，面積，體積等）成正比，而與A的形狀和位置無關，我們稱這種隨機試驗為幾何概率模型。定義設E為幾何概型,A為其任意一個事件，它的樣本空間的測度為μ(Ω)，μ(A)為事件A的測度，則事件A的概率為48例1.10隨機在單位圓內擲一點M，求M點到原點距離小于1/4的概率。11/4解：49

例1.11某貨運碼頭僅能容一船卸貨，而甲、乙兩船在碼頭卸貨時間分別為1小時和2小時，設甲、乙兩船在24小時內隨時可能到達，求它們中任何一船都不需要等待碼頭空出的概率。解：5024２１Y=x+1Y=x-25152零概率事件不一定不發(fā)生

例如在[0,1]區(qū)間上任意取一個隨機數(shù),則這個隨機數(shù)恰好等于0.5的概率是多少?010.5P=點(0.5)的長度/[0,1]區(qū)間的長度=053§1.2.3概率的統(tǒng)計定義

大量實踐表明：事件發(fā)生頻率有波動性，但隨著試驗次數(shù)增加，事件發(fā)生頻率會呈現(xiàn)某種穩(wěn)定性，即頻率會穩(wěn)定在某個值附近擺動，且n越大擺動幅度越小。

設A是隨機試驗E的一個隨機事件，若在n次重復試驗中，事件A發(fā)生了k次，則稱比值k/n為事件A在n次試驗中發(fā)生的頻率，記為fn(A)。

在歷史上，為了驗證這一點，許多學者對拋硬幣進行了觀察，一些記錄如下表所示:54正面出現(xiàn)的頻率拋擲次數(shù)的增加1/255容易驗證，頻率具有下列性質：56概率的統(tǒng)計定義

設在相同條件下重復進行的n次試驗,事件A出現(xiàn)了k次。若隨著試驗次數(shù)n的增大，事件A發(fā)生的頻率fｎ（Ａ）穩(wěn)定地在某一常數(shù)P附近擺動,

且n越大,擺動幅度越小,則稱P為事件A在一次試驗中發(fā)生的概率,記作P（A）。2.以上概率的統(tǒng)計定義對試驗沒有特殊限制，適用于所有隨機試驗，在理論和實踐上都有一定的意義。優(yōu)點是易于理解，在試驗次數(shù)足夠大時能給出概率的近似值，也提供了一種檢驗理論正確與否的準則；不足是粗糙、模糊和不便使用。注57

設E是隨機試驗，?是它的樣本空間。對于每一個事件A賦予一個實數(shù)P（A）,稱為事件A

的概率，如果集合函數(shù)P（·）滿足以下三條：§1.2.4概率的公理化定義非負性規(guī)范性可列可加性1933年，（前）蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥落夫提出的58§1.3概率的性質性質1證明：因，由可列可叫性，所以，性質2設是兩兩互斥的事件，則有概率的有限可加性這里的概率是公理化定義中的概率59證明：且則由可列可加性，有60性質3設A，B是隨機試驗E的兩個事件，且證明：61性質4

證明：性質562證明：由圖可得又由性質3得因此得63

加法公式可以推廣到有限個事件的情況，下面給出三個事件的情況64例1.12A，B為兩事件，已知解：AABB6566§1.4條件概率與事件的獨立性67§1.4.1條件概率定義：設A，B是兩個事件，且P(B)＞0，則稱為已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率。68例1.13在有兩個小孩的家庭中,考慮其性別，已知其中一個是女孩,問另一個也是女孩的概率是多少?(假定生男生女是等可能的)解法一:考慮樣本空間:{男，女），（女，女）,(女，男)}記A={另一個也是女孩}則P(A)=1/3.解法二:考慮樣本空間:{男，男}，{男，女），（女，女），（女，男）}69

記B={兩個孩子中至少有一個是女孩}，C={兩個都是女孩}。

則已知一個是女孩的條件下，另一個也是女孩的概率等價于已知B發(fā)生的條件下，C發(fā)生的概率。記為P(C|B)解法二70例1.14袋中有7個白球和3個黑球，從中無放回地隨機摸3個球，已知其中之一是黑球，試求其余兩球都是白球的概率。解：設A={取出的3個球中至少有一個是黑球}，B={一黑二白}。故所求事件的概率為P(B∣A)。方法1.利用條件概率定義計算。此時樣本空間的樣本點總數(shù)為,事件A包含的樣本點數(shù)。事件AB包含的樣本點數(shù)。71方法2.考慮已知A發(fā)生的條件下的樣本空間，則易知,條件概率具有概率的一切性質:72例1.15某種動物由出生算起活20歲以上的概率0.8,活到25歲以上的概率為0.4,如果現(xiàn)在有一個20歲的這種動物,問它能活到25歲以上的概率是多少?

解：設A表示“一動物能活20歲以上”，B表示“一動物能活25歲以上”,則有735.乘法公式74抓鬮是否與次序有關?例1.16五個鬮,其中兩個鬮內寫著“有”字，三個鬮內不寫字，五人依次抓取,問每個人抓到“有”字鬮的概率是否相同?則有75依此類推故抓鬮與次序無關。76§1.4.2事件的獨立性

先看一個例子一個盒子中有６只黑球、４只白球，從中有放回地摸球。求（1）第一次摸到黑球的條件下，第二次摸到黑球的概率；（2）第二次摸到黑球的概率。設A表示“第一次摸到黑球”；B表示“第二次摸到黑球”。

從結果可以看出：第一次抽到黑球并沒有影響到第二次抽到黑球的概率，即在這個試驗中，有P(B∣A)=P(B)。

容易計算得：77定義2設A,B是任意兩個事件，若P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B相互獨立。由定義顯然有：事件與任意事件A相互獨立。如果P(A)＞0，則有事件A與事件B相互獨立兩個非零概率事件A與B相互獨立的實質是：

“事件A發(fā)生與事件B發(fā)生互不影響”定理下列四組事件相互獨立性等價。78證明：只證明另一方面79事件獨立性的推廣有限個事件的獨立性8081例1.17

設一均勻堆成的四面體，第一面涂為紅色，第二面涂為黃色，第三面涂為籃色，第四面紅黃藍三種顏色各涂一部分。旋轉上拋，下落到地面后，觀察接觸地面面的顏色。記A1表示接觸地面面有紅色；A2表示接觸地面面有黃色；A3表示接觸地面面有藍色。試判斷的獨立性。解：由題設條件與古典概率定義有82直覺未必可信必須深入研究從而所以兩兩相互獨立。但是即不是相互獨立的。83例1.183人獨立地破譯一組密碼，他們各自能破譯密碼的概率分別為1/5，1/3，1/4。試求此密碼能被破譯出的概率。解：設Ai={第i個人破譯出密碼},i=1,2,3。解法一：解法二：則密碼能被破譯出這一事件可表示為A1+A2+A3。84§1.5全概率公式與貝葉斯公式例1.19一在線計算機系統(tǒng),有3條輸入線,其性質如下表:通訊線通訊量份額無誤差的訊息份額1230.40.350.250.99980.99990.9997(1)求一隨機選擇的進入訊號無誤差地被接受的概率;85例1.19(續(xù))解:設事件B:“一訊號無誤差地被接受”Ai：“訊號來自于第i條通訊線”，i=1,2,3由題意，問題轉化為B=BA1+BA2+BA3，所以，86例1.19(續(xù))A1A2A3B

我們的思路：是把樣本空間分割成了3個不相交的