2022年高考數(shù)學(xué)必備技能：二級結(jié)論速解

專題01子集、交集、并集、補(bǔ)集之間的關(guān)系式

一、結(jié)論

1、子集、交集、并集、補(bǔ)集之間的關(guān)系式：

4=8=Nn8=/=/U8=6=NnC/8=0=C/U8=/（其中/為全集）

（1）當(dāng)4=5時(shí)，顯然成立

（2）當(dāng)”8時(shí)，恂?〃圖如圖所示，結(jié)論正確.

2、子集個(gè)數(shù)問題：若一個(gè)集合/含有〃（〃eND個(gè)元素，則集合/的子集有2"個(gè)，非空子集有2"-1個(gè).

真子集有2"一1個(gè)，非空真子集有2"-2個(gè).

理解：N的子集有2"個(gè)，從每個(gè)元素的取舍來理解，例如每個(gè)元素都有兩種選擇，則〃個(gè)元素共有2"種選

擇，該結(jié)論需要掌握并會(huì)靈活應(yīng)用.

二、典型例題（高考真題+高考模擬）

1.（2012?湖北?高考（文））己知集合/=卜|*-3》+2=0,X€"，8={x|0<x<5,xeW，則滿足條件

/=的集合C的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【解析】求解一元二次方程，得

Z={x|X。-3x+2=0,xeR}={x|=0,xeR}

={1,2},易知8={X[0<X<5,XGN}={1,2,3,4}.

因?yàn)閆qCqB,所以根據(jù)子集的定義，

集合C必須含有元素1,2,且可能含有元素3,4,

原題即求集合{3,4}的子集個(gè)數(shù)，即有2?=4個(gè)，故選D.

【反思】本題考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本題在求集合個(gè)數(shù)時(shí)，由于集合元素個(gè)數(shù)少，也

可采用列舉法，列出集合C的所有可能情況，再數(shù)個(gè)數(shù)即可.

2.（2021?全國?模擬預(yù)測）已知集合[={x|2<x<4},5={x||2x-2a-l|<l},若/口8=8,則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是（）

A.（1,3）B.（2,3）C.[1,3]D.[2,3]

【答案】B

【解析】解不等式|2X-2"1|41,得aW“+l,所以8={中4

由/口8=8,得畫出數(shù)軸:

故選：B

【反思】在利用數(shù)軸求8U4包含關(guān)系時(shí)，特別注意最后答案區(qū)間的開閉細(xì)節(jié)問題；解此類題目時(shí)可以遵

循兩步法原則：

①先確定大方向：由8a4,結(jié)合數(shù)軸

\a>2

可以得到：,〃注意此時(shí)不要把等號寫上去，所謂先確定大方向，就是只確定。與2的大小，a+1與4

[a+l<4

的大??；

②再確定個(gè)別點(diǎn)：經(jīng)過上述步驟再確定”不等式組中等號是否可以取到等號；假設(shè)。=2；則由數(shù)軸

[a+\<4

可以觀察出幾何力={x|2<x<4}中左端是開區(qū)間；而集合8={x|a?xWa+l}左端是閉區(qū)間，結(jié)合數(shù)軸假設(shè)

[a>2

。二2不成立；同理假設(shè)。+1=4,也不成立；故本題最后得到的關(guān)系式為,

〃+1<4

三、針對訓(xùn)練舉一反三

（2013?福建?高考真題（文））若集合4={1,2,3}，8={1,3,4},貝必CI2的子集個(gè)數(shù)為

2.（2011?安徽?高考真題（理））設(shè)集合4={1,2,3,4,5,6},8={4,5,6,7},則滿足5勺4目.5口8*0的集合5

的個(gè)數(shù)為

3.（2022?安徽黃山?一模（文））已知集合S=k|s=2〃+l,〃eZ},7={小|<3},則SDT的真子集的個(gè)

數(shù)是（)

A.1B.2C.3D.4

4.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知4={-2,-1,0,1,3,4},8=k|2、一2〉1},則為口佃町的子集的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.15D.16

5.（2022,重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校一模）已知集合4={X￡N^￡N）,則集合A的所有非空子集的個(gè)數(shù)為

（）

A.5個(gè)B.6個(gè)C.7個(gè)D.8個(gè)

6.（2021?全國?模擬預(yù)測）已知集合/=卜卜2（-一］）=0},%={機(jī),療}，若〃UN=〃，則%=（）

A.-1B.-1或0C.±1D.0或±1

7.（2021?江西?新余市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知集合4={x,2+3X-4=0},集合

5={x|x2+（a+1）x-a-2=0},且XU8=/,則實(shí)數(shù)°的取值集合為（）

A.{-3,2}B.{-3,0,2}

C.{a\a>-3}D.{4°<-3或0=2}

8.（2021?全國全國?模擬預(yù)測）已知集合0={x|2x2-7x4O,xeN},且？UQ,則滿足條件的集合P的個(gè)

數(shù)是（）

A.8B.9C.15D.16

9.（2021?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）已知非空集合A、B、C滿足：A^B^C,AHC^B.則（）.

A.B=CB.^G（SUC）

C.（8cC）a/D./c8=ZcC

10.（2021?湖南?雅禮中學(xué)高一期中）定義4區(qū)8=，卜=中+：/€4y€8卜設(shè)集合/={0,2},5={1,2）,

C={1},則集合（/③8）?C的所有子集中的所有元素之和為.

11.（2022?全國?高三專題練習(xí)）集合S={0,1,2,3,4,5},A是5的一個(gè)子集，當(dāng)xw4時(shí)，若有x-1AKx+1A,

則稱X為A的一個(gè)〃孤立元素〃，那么S的4元子集中無“孤立元素〃的子集個(gè)數(shù)是.

12.（2022?天津西青,高三期末）若集合/={0,1,2,3},8=例夕=/-1,》€(wěn)4},則集合8的所有子集的個(gè)數(shù)

是

13.（2021?江西?模擬預(yù)測）設(shè)全集U=R,集合/={串--9》+440},B=[x\2-a<x<a].

⑴當(dāng)a=2時(shí)，求q（NuB）；

⑵若/門8=/1,求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

14.（2021?江西?模擬預(yù)測）設(shè)全集U=R,集合4={x|2“4x4a+l},8=[x；<4*<64

⑴當(dāng)“=-1時(shí)，求40（電8）；

（2）^AQB=A,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

15.（2021?陜西?高新一中高一期中）已知集合工=k1/+2X一3<0},8=廿|^<-1或

y>y）,C={x\-2<x<m+\],其中〃？>-3.

⑴求力8；

（2）若（/U8）nc=c,求實(shí)數(shù)也的取值范圍.

16.（2021?安徽?蕪湖一中高一階段練習(xí)）已知集合/（={x|-24xV5},8={x|m+lVxV2"Ll}.

⑴當(dāng)力={xwZ|-24x45}時(shí)，求A的非空真子集的個(gè)數(shù)；

⑵若/口8=/,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

（3）若力仆8=0,求實(shí)數(shù)，”的取值范圍.

專題02交、并、補(bǔ)（且、或、非）之間的關(guān)系（德?摩根定律）

一、結(jié)論

交、并、補(bǔ)（且、或、非）之間的關(guān)系（德?摩根定律）

⑴集合形式0,（4n8）=a⑷u（C8），c（/u8）=c/）n（C6）

（2）命題形式:TpA4）=（―ip）V（―14），—,（/?V^）=（―i/>）A（―17）

二、典型例題

1.（2017?四川?三模（理））已知全集U,集合M,N滿足MuNqU,則下列結(jié)論正確的是（）

A.MUN=UB.（賴/）（"|（”）=0

C.“n&N）=0D.（胭）U（uN）=U

【解析】

全集U,集合"，N滿足M^NgU,

繪制Venn圖，如下:

對于A：MuN=N,A錯(cuò)誤；

對于B：（枷）n（”）=；f（MUN）=°N,B錯(cuò)誤；

對于C：Me（為N）=0,C正確；

對于D：（樹川（9）=疫（〃口%）=』；D錯(cuò)誤；

故選：C

【反思】本題主要借助〃圖，對于B,D選項(xiàng)，充分利用德摩根律

G（/n8）=（CMU（C8）,GG4U8）=（C/）n（G8）,再結(jié)合〃圖，可以快速，準(zhǔn)確判斷正誤.

2.（2011?廣東汕頭?一模（理））設(shè)，、$2、$3是全集。的三個(gè)非空子集，且EUSzUSs：。，則下面論斷

正確的是

A.q；s3n（s2us,）=0B.s,^（^s2nt,.s3）

C.那「於2口33=0D.S,e（^S2U

【解析】

根據(jù)公式領(lǐng)4c8）=（M）u（4）,^（AuB）=（vA）r＞（vB）,即可推出正確的結(jié)論.

,:S|uS2oS3=U,

uS2c瘠S3=（5jS2oS3）=N=0.

故選：C.

【反思】本題考查交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練運(yùn)用公式賴/CB）=（J）5*），賴XDB）=（川）c（涉）

是解題的關(guān)鍵。

三、針對訓(xùn)練舉一反三

1.（2021?上海市進(jìn)才中學(xué)高一期中）已知。為全集，集合A、8非空，且/uB,則下列式子中一定是

空集的為（）

A.B./2為8）

C.俺4）c（08）D.（瘠/）U（/）

2.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）己知。為全集，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.若/n8=0,則（領(lǐng)）U（/）=uB.若zn5=0,則Z=0或8=0

C.若NU8=U,則（膨）n（/）=0D.若ZU8=0,則4=8=0

3.（2021嚏國福一單元測試）已知集合A中有10個(gè)元素，8中有6個(gè)元素，全集。有18個(gè)元素，/I8*0.

設(shè)集合（瘠/）n（u8）中有x個(gè)元素，則x的取值范圍是（）

A.|x|3<x<8,xeN}B.^x|2<x<8,xeN1

C.|x[8<x<12,xeN|D.|x|10<x<15,xeN|

4.（2020?浙江?）已知全集U=中有0個(gè)元素，（知4）U（4）中有〃個(gè)元素，若/CIS非空，則/QB

的元素個(gè)數(shù)為（）.

A.mB.nC.m+nD.

5.（2021?全國?高一單元測試）已知全集U=R,則（瘩A/）U（十）=（）

A.a（〃nN）B.MCNC.M\JND.R

6.（2017?上海市育才中學(xué)）集合〃中有10個(gè)元素，8中有6個(gè)元素，全集。有18個(gè)元素，設(shè)集合CJZU8）

有x個(gè)元素，則x的所有取值組成的集合為.

7.（2019?河南?高一階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=JTP■的定義域?yàn)?函數(shù)g（x）=ln（l-x）+ln（x+1）的

定義域?yàn)?,設(shè)全集U=R,則（?。︰（膽）=.

8.（2021?寧夏?吳忠中學(xué)高一期中）下列命題之中，U為全集時(shí)，下列說法正確的是.

⑴若"n8=0,則（q/）U（Cu8）=U；⑵若/ns=0,則4=0或8=0;

⑶若ZU8=U,則（4/）0（。4）=0；⑷若/UB=0,則4=5=0.

9.（2021?天津市濱海新區(qū)大港實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）全集廬A,已知集合/={x|（x-3）（x+2）>0},

B={x|-3<2x-3<5},C-{x\aJr2<x<2a+1}.

⑴求/n8,4UB,（疹mn（*）；

（2）若81C=C，求。的范圍.

10.(2020?江蘇省板浦高級中學(xué)高一階段練習(xí))設(shè)全集U=[o,8],集合力={x|24xW5},8={x|14x46},

(1)求8n(C").

(2)求(C/)U(Q8)

專題03奇函數(shù)的最值性質(zhì)

一、結(jié)論

①已知函數(shù)/(X)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù),則對任意的xe。，都有/(X)+/(-X)=0.

②特別地，若奇函數(shù)/(X)在D上有最值,則/(x)max+/(》)*=0;

③若OcOOe。，則有f(0)=0.(若/(x)是奇函數(shù)，且0eQ=/(0)=0,特別提醒反之不成立)

二、典型例題

1.(2012?全國?高考真題(文))設(shè)函數(shù)/(x)=(x+l『+：inx的最大值為〃,最小值為〃，，則

m+M=.

【解析】/■(x)=^1j2-SinX=1+2xtSinX?令g(x)=24s，,則g(x)為奇函數(shù)，

所以g(x)的最大值和最小值和為0,又g(x)=

有歷-1+”?-1=0,即加+M=2.

答案為：2.

【反思】本題中/(x)不是奇函數(shù)，無法直接使用結(jié)論，但是通過構(gòu)造g(x)=/(x)-l,使得g(x)是奇函數(shù),

從而有g(shù)(x)max+g(x)min=0n"_l+m_]=0nW+m=2

2.(2022?江蘇鹽城?一模)若/(x)=(x+3)5+(x+m)5是奇函數(shù)，貝|j〃?=.

【解析】因?yàn)椤▁)=(x+3)5+(x+⑼5是奇函數(shù)，并且/(X)定義域?yàn)榧?/p>

所以有/(。)=。，即3'+疝=0=加=—3.

【反思】在本例中，由于/(x)是奇函數(shù)，并且0屬于定義域，所以可以直接利用奇函數(shù)性質(zhì)/(0)=0求解

三、針對訓(xùn)練舉一反三

1.（2022?河南?高三階段練習(xí)（文））已知為奇函數(shù)，當(dāng)X20時(shí)，〃x）=x2-4'+/,則當(dāng)》＜0時(shí),

〃x）=（）

22X

A.X-4^+1B.-X-4-1

C.-x2+4"J-1D.-x2+4v+1

2.（2022?湖北?十堰市教育科學(xué)研究院高三期末）已知y=/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)xNO時(shí)，

/（x）=x2+OJC4-674-1,則/（-2）=（）

A.-2B.2C.-6D.6

3.（2022?四川遂寧?高一期末）若函數(shù)/（幻=小+伙，-eT）+3在（-8,0）上有最小值一6,（a,6為常數(shù)）,

則函數(shù)/（X）在（0,”）上（）

A.有最大值5B.有最小值5

C.有最大值9D.有最大值12

4.（2017?山西?（理））若對Vx,yeR,有/（x+y）=〃x）+/（y）-3,則函數(shù)g@）=言+〃可在

［-2017,2017］上的最大值與最小值的和為

A.4B.6C.9D.12

5.（2021?甘肅省民樂縣第一中學(xué)（文））設(shè)函數(shù)/（xjno?+bsinx+clnk+mj+B的最大值為5,則

/（X）的最小值為（）

A.-5B.1C.2D.3

6.（2022?湖北?高一期末）已知函數(shù)/。）=3/+/+5》+2,若〃a）+/（2a-l）＞4,則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是（）

A.（；，+8）B.卜00，；）C.（-8,3）D.（3,+oo）

7.（2021?江西?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（乃=二：2在［-2021,2021］上的最大值與最小值分別為〃，加，則

3,4-1

M-\-m=.

8.（2022?全國?高三專題練習(xí)）定義在R上的奇函數(shù)g（x）,設(shè)函數(shù)/（x）=a+￥+g（x）的最大值為在,最小

X+1

值為加，貝!|"+〃7=_.

I

9.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的最大值為"，最小值為加，則M+加=_.

x2+1

10.（2021?江西?貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）己知定義域?yàn)镽的函數(shù)/（、）=/詈是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)“

的值.

11.（2021?山東省萊西市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（X）=〉-2）；；；COS3X的最大值為〃,最小

值為加廁"+.

州+2+X+9

12.（2021?陜西高新一中高一期中）已知函數(shù)的最大值為用，最小值為加，求"+”的

值.

專題04指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)

一、結(jié)論

若函數(shù)y=/（x）是定義在非空數(shù)集。上的單調(diào)函數(shù)，則存在反函數(shù)y=/T（x）.特別地，丁=優(yōu)與

y=logflx（?！?且。。1）互為反函數(shù).

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，兩函數(shù)互為反函數(shù)圖象關(guān)于y=x對稱，即（XoJGo））與（〃/）,/）分別在函

數(shù)卜=/（X）與反函數(shù)y=/“（X）的圖象上.

若方程x+/（x）=左的根為項(xiàng)，方程x+/T（x）=A的根為X2,那么項(xiàng)+/=左.

二、典型例題

1.若實(shí)數(shù)。滿足e'+x-2=0,實(shí)數(shù)b滿足lnx+x—2=0,則a+b=

解析：同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，圖像關(guān)于y=x對稱，可知x=a是函數(shù)y=，和

y=-了+2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，同理x=b是函數(shù)y=lnx與y=-1+2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且歹=一1+2與y=x垂

=>x=1,所以x=a,x=b關(guān)于x=l對稱，所以Q+6=2

y=-x+2

【反思】對于利用反函數(shù)解題問題，首先要判斷題目中兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，然后再重復(fù)利用結(jié)論：若方

程x+/(x)=上的根為玉，方程x+/T(x)=《的根為馬，那么X+±=h可快速解題.

2.設(shè)點(diǎn)尸為曲線￡上的動(dòng)點(diǎn)，。為曲線G上的動(dòng)點(diǎn)，則稱|PQ|的最小值為曲線￡，G之間的距離，記

為：.若G-2y=0,C2:In%+In2=,則"(G，。?)="(￡<2)=

解析：y=g和夕=ln2x互為反函數(shù)，關(guān)于y=x對稱，設(shè)與y=x平行的直線《分別與'

XX

y=ln2x相切于點(diǎn)M,N,則d(G，C2)=|MN|,由y得V=]=lnx=ln2,即"(ln2,l),由

y=ln2x得y'=-=\^x=l,即N(l,ln2),所以

X

d(G,。2)=1MN|=J(l_ln2)2+(ln2-l)2=72(1-In2)

【反思】反函數(shù)問題的重點(diǎn)就是圖象關(guān)于_y=x對稱，這也是解題的關(guān)鍵，在利用反函數(shù)解題時(shí)，注意配

圖，在圖象中尋找解題突破口，數(shù)形結(jié)合.

三、針對訓(xùn)練舉一反三

1.已知苞是方程X+2*=4的根，%是方程x+log2X=4的根，則斗+工2=

2.已知再是方程x+lgx=3的一個(gè)根，%方程x+10*=3的一個(gè)根，則%+%=

3.已知函數(shù)/(x)=&,xe[Le],g(x)=(與，若/(x),g(x)圖象上分別存在點(diǎn)M,N關(guān)于直線N=x

ee

對稱，則實(shí)數(shù)左的取值范圍為()

1232

A.[一一,e]B.[一一,2e]C.[一一,3e]D.(一一,2e)

eeee

4.若須是方程xeY=/的解，/是方程xlnx=/的解，則玉/=()

4

A.eB./c./D.E

5.已知實(shí)數(shù)凡b滿足Q=1()7-a,lgb=l()4-3一3,則/=

6.已知實(shí)數(shù)P，4滿足2。+p=5,log2y]q+l+q-\,則p+2q=()

A.1B.2C.3D.4

3專題05函數(shù)周期性問題

一、結(jié)論

已知定義在R上的函數(shù)/(幻,若對任意xeR,總存在非零常數(shù)T,使得八x+7)=/(%),則稱/(x)

是周期函數(shù)，T為其一個(gè)周期.除周期函數(shù)的定義外,還有一些常見的與周期函數(shù)有關(guān)的結(jié)論如下：

(D如果/(，+。)=-Ax)。0),那么/(x)是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期T=2a

⑵如果/(%+。)=1(aH0),那么/(x)是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期T=2a.

/(x)

⑶如果/(x+。)=一1(aH0),那么f(x)是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期T=2a.

f(x)

(4)如果/(x+a)+〃x)=c(。h0),那么f(x)是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期T=2a.

⑸如果f(x+a)=/(x+6)(。工01#0),那么/(%)是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期T=|a-b|.

(6)如果/(X)=/(x+。)+f(x-a)(ah0),那么/(x)是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期T=6a.

二、典型例題

1.(2021?全國?高考真題)已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,〃x+2)為偶函數(shù)，/(2x+I)為奇函數(shù)，則()

A.=0B./(-1)=0C./(2)=0D./(4)=0

【答案】B

【解析】

因?yàn)楹瘮?shù)/(x+2)為偶函數(shù)，則/(2+x)=〃2-x),可得/(x+3)=/(l-x),

因?yàn)楹瘮?shù)〃2x+l)為奇函數(shù)，則為l-2x)=-/(2x+l),所以，/(l-x)=-/'(x+l),

所以，/(x+3)=—/(x+l)=/(x-l),即/(x)=/(x+4),

故函數(shù)/(X)是以4為周期的周期函數(shù)，

因?yàn)楹瘮?shù)尸(x)=〃2*+l)為奇函數(shù)，則尸(0)=/⑴=0,

故〃T)=-/、(l)=0,其它三個(gè)選項(xiàng)未知.

故選：B.

解法二：因?yàn)楹瘮?shù)/(x+2)為偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于x=0對稱，則函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對

稱；所以/(—x)=〃x+4)…⑴；

又函數(shù)/(2x+l)為奇函數(shù)，所以其關(guān)于(0,0)對稱；

橫坐標(biāo)向右平移1個(gè)單位1出巫卜.b

/(2x+l)---------------2-------->7(2(X-1升l)=f(2x)橫，林伸長為原來2倍>/(X)

通過圖象平移伸縮變換，可以得到/(2x)關(guān)于(；,0)對稱，進(jìn)而/(x)關(guān)于(1,0)對稱；

可得：f(-x)=-f(x+2)-(2).綜合⑴⑵可得“x+4)=—/(x+2)n/(x+2)=-②x)；利用

結(jié)論/(x+a)=-f(x)的周期為7=2。，故本題中/(x)的周期為7=4

利用/(-X)=-f(x+2)…(2)可得/(-1)=一"3)=-/(3-4)=-/(-I)=2/(-1)=0=>/(-1)=0

【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，對稱性的綜合問題，其中求解周期的常用結(jié)論需直接記憶，可直接

使用，本文中的6個(gè)周期結(jié)論直接記憶，可快速求周期.

對稱性問題：

f(a+x)=f(a-x)

①軸對稱問題：/(x)關(guān)于x=a對稱，可得到如下結(jié)論中任意一個(gè)：J/(x)=/(2?-x)；

f(~x)=.f(2a+x)

rf(a+x)=-f(a-x)

②點(diǎn)對稱問題：/(x)關(guān)于(a,0)對稱，可得到如下結(jié)論中任意一個(gè)：</(x)=—/(2a—x):

/(-x)=-/(2a+x)

2.(2021?全國?高考真題(理))設(shè)函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,/(x+1)為奇函數(shù)，/(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)xe[l,2]

時(shí)，f(x)=ax2+h.若/(0)+〃3)=6,則/(|)=(

)

.935

A.—B.—C.一D.-

4242

【答案】D

【解析】

令X=l,由①得：/(0)=-/(2)=-(4a+6),由②得:y(3)=〃l)=a+b,

因?yàn)?(0)+/(3)=6,所以-(4a+b)+a+b=6=a=-2,

令x=0,由①得：/(l)=-/(l)n/(l)=0=b=2,所以/(X)=_2X2+2.

因?yàn)?(x+1)是奇函數(shù)，所以/(x+1)圖象關(guān)于(0,0)對稱，/(x+1)橫坐標(biāo)向右平樹個(gè)單位＞/*)所以/(x)關(guān)

于(1,0)對稱，得:

/(-%)=-/(2+%)-(1)

因?yàn)?(x+2)是偶函數(shù)，所以〃x+2)圖象關(guān)于x=0對稱；

/(X+2)橫坐標(biāo)向右平移2個(gè)單位＞/1),所以/(X)關(guān)于x=2對稱，得：

/(-x)=/(4+x)…(2)；綜合(1)(2)得到：

f(x+4)=-f(x+2)nj\x+2)=-/(x)得到7=4

所以/弓］=/(3'再利用/(一口=一/(2+力…⑴令x=-g代入：/(^)=-/(|)=|

故選：D.

【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，對稱性的綜合問題，其中求解周期的常用結(jié)論需直接記憶，可直接

使用，本文中的6個(gè)周期結(jié)論直接記憶，可快速求周期.

三、針對訓(xùn)練舉一反三

1.(2008?湖北,高考真題(文))己知/⑺在R上是奇函數(shù)，且〃x+4)=/(x),當(dāng)xe(0,2)時(shí),f(x)=2x2,

貝4/(7)=

A.-2B.2C.-98D.98

2.(2021?全國?模擬預(yù)測(文))已知定義在R上的偶函數(shù)/(x),對VxeR,有〃x+6)=〃x)+/(3)成立,

當(dāng)04x43時(shí)，f(x)=2x-6,則〃2021)=()

A.0B.-2C.-4D.2

3.(2021?江西?三模(理))已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,且滿足/(x+l)+/(3-x)=0,且當(dāng)xe(2,4)

時(shí)，/(x)=-logi(x-l)+機(jī)，若」(2021)-1=〃_］),則機(jī)=()

22

4343

A.-B.-C.—D.—

3434

4.(2021?四川?石室中學(xué)模擬預(yù)測(理))已知定義域?yàn)閰^(qū)的奇函數(shù)/(刈滿足/(丫+4)二/'")=〃2),當(dāng)工€(0,2)

時(shí)，/(X)=2X2-3X+1,則函數(shù)y=/(x)在［T,4］上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.10B.11C.12D.13

5.(2021?廣西玉林?模擬預(yù)測(文))已知定義在R上的偶函數(shù)"X)滿足/(x+3)=/(3-x),且當(dāng)xe(0,3),

f(x)=xex,則下面結(jié)論正確的是()

A.〃ln3)</[S</(e)

B.

C.,/fyk/(e)</(ln3)D./(In3)</(e)</^yj

6.(2021?黑龍江?佳木斯一中三模(理))已知y=/(x)為奇函數(shù)且對任意xeR,/(x+2)=/(-x),若

當(dāng)xe[0,l]時(shí)，/(x)=log2(x+?),則/(2021)=()

A.-1B.0C.1D.2

7.(2021?浙江?瑞安中學(xué)模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)是定義在H上的奇函數(shù)，滿足/(x+2)=/(r),且當(dāng)

x?0,l]時(shí)，/(x)=log2(x+l),則函數(shù)歹=/(%)—d的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.2B.3C.4D.5

8.(2021?陜西?模擬預(yù)測(文))已知定義在R上的奇函數(shù)〃x)滿足/(x)=〃2-x).當(dāng)14x42時(shí)，

/(x)=log2(x+7),則/(2021)=()

A.3B.-3C.-5D.5

9.(2021?全國?模擬預(yù)測)已知/3是定義在尺上的偶函數(shù),且心€/?,/(4-\)+/3=0.若/(1)-/(3)=6,

則/⑵)=.

10.(2021?陜西?二模(理))已知定義在火上的奇函數(shù)y=/(x)滿足/(x+8)+/(x)=0,且"5)=5,則

/(2019)+/(2024)=.

專題06函數(shù)圖象的對稱性

一、結(jié)論

已知函數(shù)/(X)是定義在及上的函數(shù).

(1)若/(X+幻=f(b-x)恒成立,則y=/(x)的圖象關(guān)于直線X=一對稱,特別地，若

f(a+x)=j\a-x)恒成立,則y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱；

f(a+x)^f(a-x)

最常逆應(yīng)用：若丁=/(x)關(guān)于x=a對稱：可得到如下結(jié)論中任意一個(gè)：\f[x}=f(2a-x)；

/(—x)=/(2a+x)

周期性與對稱性記憶口訣：同號周期，異號對稱.

(2)若/(。+》)=一/(1)+。，則y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一,|)對稱.

特別地，若f(a+x)=~J\a-x)+2b恒成立,則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,h)對稱.

特別地,若f(a+x)=-/("x)恒成立,則y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱.

f(a+x)^-f(a-x)

最常逆應(yīng)用：若N=/(x)關(guān)于x=a對稱：可得到如下結(jié)論中任意一個(gè)：/(x)=-/(2?-x)

J(r)=—/(2a+x)

二、典型例題

L(2021?四川雅安?模擬預(yù)測(文))已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且/(x+1)是偶函數(shù).當(dāng)0<xWI

時(shí)，/(x)=f—8x+15,貝IJ/(7)=()

A.-16B.-8C.8D.16

【答案】B

【解析】

由/(x+1)是偶函數(shù)可知對稱軸為x=l,故/(—x)=/(2+x)…⑴，

又函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，故/(r)=-/(x)…(2),綜合⑴(2)得:

f(x+2)=-/(x)可得到函數(shù)最小正周期為T=4,所以"7)=〃-1)=-/(1)=-(1-8+19=-8.故選：B

【反思】函數(shù)的對稱性和周期性，奇偶性，往往是緊密結(jié)合在一起的，其綜合性更豐富考查函數(shù)的性質(zhì)，

如本例中“X)對稱軸為x=l,可以得到很多結(jié)論，比如：/(I-x)=/(l+x),f(x)=f(2-x),

/(f)=〃2+x)等，那么在解題時(shí)如何取舍呢，選哪個(gè)結(jié)論能更快的解題？對于這個(gè)疑問，需同時(shí)兼顧本

例中“X)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，可得到/(r)=-/(x),縱觀整體，可以看出對于/(x)對稱軸為x=l得

到的結(jié)論中選取/(-x)=/(2+x)從而進(jìn)行快速求出周期.

2.(2021.全國.模擬預(yù)測(文))已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足/(x+l)=-/(-l+x),且在區(qū)間［1,2］

上/(X)是增函數(shù)，令。=而?ft=siny,e=siny,則/(a),f(b),〃c)的大小關(guān)系為.

【答案】/(a)>/(c)>/(/>)

【解析】

/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，可得到：/(-幻=-/(幻①

〃x+l)=-/(T+x)n/(x+2)=-/(》)②

聯(lián)立①②得/(x+2)=/(—x)所以/(x)關(guān)于x=1對稱.

由于/(x)在口，2］上遞增，所以/(x)在［0,1］遞減.

.5TT.f2兀).2n

c=sin—=sin|it------=sin—,

7I7J7

、=$南》在(0,5)上遞增，所以a<c<b,

所以/⑷>/(c)>/(b).

故答案為：/(?)>,/-(c)>/(/>)

【反思】函數(shù)的對稱性和周期性，奇偶性，往往是緊密結(jié)合在一起的，其綜合性更豐富考查函數(shù)的性質(zhì)，

本例中，用數(shù)學(xué)符號/(-x)=-/(x)表示出/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，通過化簡

/(x+l)=-/(-l+x)n/(x+2)=-/(x)再聯(lián)立，可得到：/(x+2)=/(—x)這樣就得到了：/(x)關(guān)于x=l

對稱.這也是周期性，奇偶性，對稱性?？嫉男问?解題時(shí)注意利用已知條件，尤其是對稱性的逆應(yīng)用.

三、針對訓(xùn)練舉一反三

1.(2021?黑龍江?哈爾濱市第六中學(xué)校二模(理))已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)在［2,+8)單調(diào)遞減，且

/(4-x)+〃x)=0,則使得不等式/(f+x)+f(2x)<0成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍是()

A.-4<x<lB.或x>3

C?x<-3或x〉lD,x<-4或x〉l

2.(2021?寧夏六盤山高級中學(xué)一模(理))已知函數(shù)/⑴是R上的滿足/(l+x)=/(-l-x),且的圖象

關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，當(dāng)xw［0,l］時(shí)、/(x)=2-2\則/(0)+/(1)+/(2)+…+7(2021)的值為()

A.-2B.-1C.0D.1

3.(2021?全國?二模(理))已知/(X)是定義域?yàn)槌叩钠婧瘮?shù)，/(l+x)=〃l-x),當(dāng)OWxWl時(shí)，〃x)=e'-l,

則24x43時(shí)，“X)的解析式為()

A./(x)=l-e、-2B./(x)=er-2-1

C.f(x}=\-ex-'D./(x)=e'-'-l

4.(2021?山東濱州?一模)定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足〃2+x)=〃2-x),當(dāng)xe［-2,0］時(shí)，〃x)=x+2,

設(shè)函數(shù)力(x)=eTT(_2<x<6)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則/⑺與〃(x)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為

()

A.5B.6C.7D.8

5.(2021?河南?二模(文))已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)在［2,+8)單調(diào)遞減，且/(4-*)+〃x)=0,則使

得不等式/(/+9+/(》+1)<0成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍是()

A.-3<x<1B.或x>3C.x<-3或x>lD.XR-1

6.(2021?黑龍江肇州?模擬預(yù)測(文))已知/(x)是定義在R上的函數(shù)，且對任意xeR都有

f(x+2)=/(2-x)+4/(2)，若函數(shù)y=/。+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對稱，且/(I)=3,則“2021)=()

A.6B.3C.0D.-3

7.(2021?廣西?模擬預(yù)測(文))已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足/(l+x)=/(l-x),7⑴=2,

則/(2)+/(3)+/(4)=()

A.0B.-2C.2D.6

8.(2021?全國全國?模擬預(yù)測)請寫出一個(gè)同時(shí)滿足條件①②③的函數(shù)/(x)=.

①WxeR,/(1-x)=/(l+x)；②函數(shù)/(x)的最小值為1；③函數(shù)/(x)不是二次函數(shù).

9.(2021?江西?新余市第一中學(xué)模擬預(yù)測(文))已知定義在火上的奇函數(shù)/(x),滿足/(x+2)=-/(x),

且當(dāng)xe［0,1］時(shí)，/(x)=x2+x+sinx,若方程/(x)=〃?(〃?>0)在區(qū)間［-4,4］上有四個(gè)不同的根斗G知匕，

則xt+x2+x3+x4的值為.

10.(2021?江西上饒?三模(理))已知函數(shù)/(x)定義域?yàn)镽,滿足/(x)=/(2-r),且對任意1￡1<凡,均

則不等式“2x-l)-/(3-x”0解集為

^/(%,)-/(x2)，

專題07經(jīng)典超越不等式

一、結(jié)論

(1)對數(shù)形式：x21+Inx(x>0),當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),等號成立.

(2)指數(shù)形式：/2x+l(xeH),當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),等號成立.

進(jìn)一步可得到一組不等式鏈：e'>x+l>x>l+lnx(x>0且XHI)

上述兩個(gè)經(jīng)典不等式的原型是來自于泰勒級數(shù)：

Y2npOx

ex=l+x+—+■■-+X—+——x,,+l；

2!n\(M+1)!

-v3?+'

ln(l+x)=x-----1-----,?,+(-1)H-r---F0(x〃+i)；

23〃+l

截取片段：

ex>X+1(XG7?)

ln(l+x)<x(x>-l),當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號成立;

進(jìn)而：InxWx—l(x>0)當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號成立

二、典型例題

1.(2022?江蘇蘇州?高三期末)已知。>6+1>1則下列不等式一定成立的是()

A.\b-a\>bB.a+—>b+—

ab

「6+1/c

C.----<----D.a+\nb<b+\na

a-\Ina

【答案】C

【解析】

取。=