新高考數(shù)學一輪復習講義+分層練習 4.2《同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式》教案 (原卷版)

第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式1.理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanα；2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式.1.同角三角函數(shù)的基本關系式(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商數(shù)關系：tanα＝eq\f(sinα,cosα).2.誘導公式組序一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α﹣απ﹣αeq\f(π,2)﹣αeq\f(π,2)＋α正弦sinα﹣sinα﹣sinαsinαcosαcos_α余弦cosα﹣cosαcosα﹣cos_αsinα﹣sinα正切tanαtanα﹣tanα﹣tan_α口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變符號看象限eq\a\vs4\al([常用結論])1.同角三角函數(shù)關系式的常用變形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.2.誘導公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，則tanα＝eq\f(sinα,cosα)恒成立.()(3)sin(π＋α)＝﹣sinα成立的條件是α為銳角.()(4)若sin(kπ﹣α)＝eq\f(2,3)(k∈Z)，則sinα＝eq\f(2,3).()二、教材改編1.化簡sin690°的值是()A.eq\f(1,2)B.﹣eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.﹣eq\f(\r(3),2)2.若sinα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)＜α＜π，則tanα＝________.3.已知tanα＝2，則eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)的值為________.4.化簡eq\f(cos（α－\f(π,2)）,sin（\f(5,2)π＋α）)·sin(α﹣π)·cos(2π﹣α)的結果為________.考點1同角三角函數(shù)基本關系式同角三角函數(shù)基本關系的應用技巧(1)弦切互化：利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)實現(xiàn)角α的弦切互化.(2)和(差)積轉換：利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα進行變形、轉化.(3)“1”的變換：1＝sin2α＋cos2α＝cos2α(tan2α＋1)＝sin2α(1＋eq\f(1,tan2α)).“知一求二”問題(1)已知cosα＝k，k∈R，α∈(eq\f(π,2)，π)，則sin(π＋α)＝()A.﹣eq\r(1－k2)B.eq\r(1－k2)C.±eq\r(1－k2)D.﹣k(2)若α∈(eq\f(π,2)，π)，sin(π﹣α)＝eq\f(3,5)，則tanα＝()A.﹣eq\f(4,3)B.eq\f(4,3)C.﹣eq\f(3,4)D.eq\f(3,4)利用同角三角函數(shù)的基本關系求解問題的關鍵是熟練掌握同角三角函數(shù)的基本關系的正用、逆用、變形.同角三角函數(shù)的基本關系本身是恒等式，也可以看作是方程，對于一些題，可利用已知條件，結合同角三角函數(shù)的基本關系列方程組，通過解方程組達到解決問題的目的，此時應注意在利用sin2α＋cos2α＝1求sinα或cosα時，符號的選取.弦切互化(1)已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，則cos2α＋eq\f(1,2)sin2α的值是()A.eq\f(3,5)B.﹣eq\f(3,5)C.﹣3D.3(2)已知θ為第四象限角，sinθ＋3cosθ＝1，則tanθ＝________.若已知正切值，求一個關于正弦和余弦的齊次分式的值，則可以通過分子、分母同時除以一個余弦的齊次冪將其轉化為一個關于正切的分式，代入正切值就可以求出這個分式的值，這是同角三角函數(shù)關系中的一類基本題型.sinα±cosα與sinαcosα關系的應用(1)若|sinθ|＋|cosθ|＝eq\f(2\r(3),3)，則sin4θ＋cos4θ＝()A.eq\f(5,6)B.eq\f(17,18)C.eq\f(8,9)D.eq\f(2,3)(2)已知θ為第二象限角，sinθ，cosθ是關于x的方程2x2＋(eq\r(3)﹣1)x＋m＝0(m∈R)的兩根，則sinθ﹣cosθ＝()A.eq\f(1－\r(3),2)B.eq\f(1＋\r(3),2)C.eq\r(3)D.﹣eq\r(3)對于sinα＋cosα，sinα﹣cosα，sinαcosα這三個式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t(t∈[﹣eq\r(2)，eq\r(2)])，則sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，sinα﹣cosα＝±eq\r(2－t2)(注意根據(jù)α的范圍選取正、負號)，體現(xiàn)了方程思想的應用.1.已知sin(π＋α)＝﹣eq\f(1,3)，則tan(eq\f(π,2)﹣α)值為()A.2eq\r(2)B.﹣2eq\r(2)C.eq\f(\r(2),4)D.±2eq\r(2)2.已知tanθ＝2，則eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ)＋sin2θ的值為()A.eq\f(19,5)B.eq\f(16,5)C.eq\f(23,10)D.eq\f(17,10)3.已知sinx＋cosx＝eq\f(\r(3)－1,2)，x∈(0，π)，則tanx＝()A.﹣eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\r(3)D.﹣eq\r(3)4.若3sinα＋cosα＝0，則eq\f(1,cos2α＋2sinαcosα)的值為________.考點2誘導公式的應用應用誘導公式的一般思路(1)化大角為小角，化負角為正角；(2)角中含有加減eq\f(π,2)的整數(shù)倍時，用公式去掉eq\f(π,2)的整數(shù)倍.(1)設f(α)＝eq\f(2sin（π＋α）cos（π－α）－cos（π＋α）,1＋sin2α＋cos（\f(3π,2)＋α）－sin2（\f(π,2)＋α）)(1＋2sinα≠0)，則f(﹣eq\f(23π,6))＝________.(2)已知cos(eq\f(π,6)﹣θ)＝a，則cos(eq\f(5π,6)＋θ)＋sin(eq\f(2π,3)﹣θ)的值是________.(1)已知角求值問題，關鍵是利用誘導公式把任意角的三角函數(shù)值轉化為銳角的三角函數(shù)值求解.轉化過程中注意口訣“奇變偶不變，符號看象限”的應用.(2)對給定的式子進行化簡或求值時，要注意給定的角之間存在的特定關系，充分利用給定的關系結合誘導公式將角進行轉化.特別要注意每一個角所在的象限，防止符號及三角函數(shù)名出錯.1.化簡：eq\f(tan（π＋α）cos（2π＋α）sin（α－\f(3π,2)）,cos（－α－3π）sin（－3π－α）)＝________.2.已知角α終邊上一點P(﹣4，3)，則eq\f(cos（\f(π,2)＋α）·sin（－π－α）,cos（\f(11π,2)－α）·sin（\f(9π,2)＋α）)的值為_____.考點3同角三角函數(shù)基本關系式和誘導公式的綜合應用求解誘導公式與同角關系綜合問題的基本思路和化簡要求基本思路①分析結構特點，選擇恰當公式；②利用公式化成單角三角函數(shù)；③整理得最簡形式化簡要求①化簡過程是恒等變換；②結果要求項數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結構盡可能簡單，能求值的要求出值已知f(x)＝eq\f(cos2（nπ＋x）·sin2（nπ－x）,cos2[（2n＋1）π－x])(n∈Z).(1)化簡f(x)的表達式；(2)求f(eq\f(π,2018))＋f(eq\f(504π,1009))的值.(1)利用同角三角函數(shù)關系式和誘導公式求值或化簡時，關鍵是尋求條件、結論間的聯(lián)系，靈活使用公式進行變形.(2)注意角的范圍對三角函數(shù)符號的影響.[備選例題]已知﹣π＜x＜0，sin(π＋x)﹣cosx＝﹣eq\f(1,5).(1)求sinx﹣cosx的值；(2)求eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值.1.已知α為銳角，且2tan(π﹣α)﹣3cos(eq\f(π,2)＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)﹣1＝0，則sinα的值是()A.eq\f(3\r(5),5)B.eq\f(3\r(7),7)C.eq\f(3\r(10),10)D.eq\f(1,3)2.已知tan(π﹣α)＝﹣eq\f(2,3)，且α∈(﹣π，﹣eq\f(π,2))，則eq\f(cos（－α）＋3sin（π＋α）,cos（π－α）＋9sinα)＝_____.3.已知sinα＋cosα＝﹣eq\f(1,5)，且eq\f(π,2)＜α＜π，則eq\f(1,sin（π－α）)＋eq\f(1,cos（π－α）)的值為________.同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式一、選擇題1.若eq\f(sin（π－θ）＋cos（θ－2π）,sinθ＋cos（π＋θ）)＝eq\f(1,2)，則tanθ＝()A.1B.﹣1C.3D.﹣32.若tanα＝eq\f(1,2)，則sin4α﹣cos4α的值為()A.﹣eq\f(1,5)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,5)D.﹣eq\f(3,5)3.已知cos31°＝a，則sin239°·tan149°的值是()A.eq\f(1－a2,a)B.eq\r(1－a2)C.eq\f(a2－1,a)D.﹣eq\r(1－a2)4.若θ∈(eq\f(π,2)，π)，則eq\r(1－2sin（π＋θ）sin（\f(3π,2)－θ）)等于()A.sinθ﹣cosθB.cosθ﹣sinθC.±(sinθ﹣cosθ)D.sinθ＋cosθ5.cos(eq\f(π,12)﹣θ)＝eq\f(1,3)，則sin(eq\f(5π,12)＋θ)等于()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2\r(2),3)C.﹣eq\f(1,3)D.﹣eq\f(2\r(2),3)二、填空題6.sineq\f(4,3)π·coseq\f(5,6)π·tan(﹣eq\f(4,3)π)的值是________.7.若角α的終邊落在第三象限，則eq\f(cosα,\r(1－sin2α))＋eq\f(2sinα,\r(1－cos2α))＝________.8.在△ABC中，若tanA＝eq\f(\r(2),3)，則sinA＝________.三、解答題9.已知sin(3π＋α)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))，求下列各式的值：(1)eq\f(sinα－4cosα,5sinα＋2cosα)；(2)sin2α＋sin2α.10.已知α為第三象限角，f(α)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))·tan（π－α）,tan（－α－π）·sin（－α－π）).(1)化簡f(α)；(2)若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝eq\f(1,5)，求f(α)的值.1.已知函數(shù)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，則f(2021)的值為()A.﹣1B.1C.3D.﹣32.已知θ是第一象限角，若sinθ﹣2cosθ＝﹣eq\f(2,5)，則sinθ＋cosθ的值為()A.eq\f(1,5)B.﹣eq\f(1,5)C.eq\f(7,5)D.eq\f(3,4)3.已知α為第二象限角，則cosαeq\r(1＋tan2α)＋sinαeq\r(1＋\f(1,tan2α))＝________.4.已知關于x的方程2x2﹣(eq\r(3)＋1)x＋m＝0的