新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+分層練習(xí) 7.4《直線(xiàn)、平面垂直的判定與性質(zhì)》教案 (原卷版)

第四節(jié)直線(xiàn)、平面垂直的判定與性質(zhì)1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線(xiàn)面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.1.直線(xiàn)與平面垂直(1)定義：如果直線(xiàn)l與平面α內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直，則直線(xiàn)l與平面α垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.直線(xiàn)和平面所成的角(1)平面的一條斜線(xiàn)和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角.(2)當(dāng)直線(xiàn)與平面垂直和平行(或直線(xiàn)在平面內(nèi))時(shí)，規(guī)定直線(xiàn)和平面所成的角分別為90°和0°.(3)范圍：[0,eq\f(π,2)].3.二面角的有關(guān)概念(1)二面角：從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成的角叫做二面角的平面角.(3)范圍：[0，π].4.平面與平面垂直(1)定義：如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥αeq\a\vs4\al([常用結(jié)論])直線(xiàn)與平面垂直的五個(gè)結(jié)論(1)若一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面，則這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線(xiàn).(2)若兩條平行線(xiàn)中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.(3)垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行.(4)一條直線(xiàn)垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線(xiàn)與另一個(gè)平面也垂直.(5)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線(xiàn)也垂直于第三個(gè)平面.一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行.()(2)若α⊥β，a⊥β?a∥α.()(3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面.()(4)若平面α內(nèi)的一條直線(xiàn)垂直于平面β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)，則α⊥β.()二、教材改編1.設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線(xiàn)，且l?α，m?β.()A.若l⊥β，則α⊥βB.若α⊥β，則l⊥mC.若l∥β，則α∥βD.若α∥β，則l∥m2.下列命題中不正確的是()A.如果平面α⊥平面β，且直線(xiàn)l∥平面α，則直線(xiàn)l⊥平面βB.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線(xiàn)平行于平面βC.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線(xiàn)垂直于平面βD.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ3.如圖所示，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.4.在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O.(1)若PA＝PB＝PC，則點(diǎn)O是△ABC的________心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點(diǎn)O是△ABC的________心.考點(diǎn)1直線(xiàn)與平面垂直的判定與性質(zhì)1.證明線(xiàn)面垂直的常用方法(1)判定定理.(2)垂直于平面的傳遞性.(3)面面垂直的性質(zhì).2.證明線(xiàn)面垂直的關(guān)鍵是證線(xiàn)線(xiàn)垂直，而證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，則需借助線(xiàn)面垂直的性質(zhì).如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn).證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.通過(guò)本例的訓(xùn)練我們發(fā)現(xiàn)：判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線(xiàn)面垂直的基本思想；另外，在解題中要重視平面幾何知識(shí)，特別是正余弦定理及勾股定理的應(yīng)用.如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點(diǎn)D為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，且AD＝eq\f(1,3)DB，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BC＝eq\r(3)AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.求證：PA⊥CD.考點(diǎn)2平面與平面垂直的判定與性質(zhì)(1)利用面面垂直的判定定理證明面面垂直的一般方法是：先尋找平面的垂線(xiàn)，若圖中存在這樣的直線(xiàn)，則可通過(guò)線(xiàn)面垂直來(lái)證明面面垂直；若圖中不存在這樣的直線(xiàn)，則可通過(guò)作輔助線(xiàn)來(lái)解決，作輔助線(xiàn)應(yīng)有理論根據(jù)并有利于證明.(2)證明兩個(gè)平面垂直，通常是通過(guò)證明線(xiàn)線(xiàn)垂直→線(xiàn)面垂直→面面垂直來(lái)實(shí)現(xiàn).(3)兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線(xiàn)”這一條件.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°，DC＝PC＝2.PA＝AB＝BC＝1.(1)證明：平面PAB⊥平面PBC；(2)求四棱錐P-ABCD的體積.本例第(2)問(wèn)在求四棱錐P-ABCD的高時(shí)，充分利用了三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：[備選例題]如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BE⊥平面ABCD.(1)證明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱錐E-ACD的體積為eq\f(\r(6),3)，求該三棱錐的側(cè)面積.如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝eq\r(2)，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn).(1)求證：平面MOC⊥平面VAB；(2)求三棱錐B-VAC的高.考點(diǎn)3平行與垂直的綜合問(wèn)題探索性問(wèn)題中的平行與垂直關(guān)系處理空間中平行或垂直的探索性問(wèn)題，一般先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置，再給出證明.探索點(diǎn)存在問(wèn)題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或n等分點(diǎn)中的某一個(gè)，需根據(jù)相關(guān)的知識(shí)確定點(diǎn)的位置.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn).(1)求證：BD⊥平面PAC；(2)若∠ABC＝60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；(3)棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE？說(shuō)明理由.對(duì)命題條件的探索的三種途徑途徑一：先猜后證，即先觀(guān)察與嘗試給出條件再證明.途徑二：先通過(guò)命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性.途徑三：將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是棱BC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2.(1)求證：C1E∥平面ADF；(2)設(shè)點(diǎn)M在棱BB1上，當(dāng)BM為何值時(shí)，平面CAM⊥平面ADF.折疊問(wèn)題中的平行與垂直關(guān)系解決平面圖形翻折問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住“折痕”，準(zhǔn)確把握平面圖形翻折前后的兩個(gè)“不變”.(1)與折痕垂直的線(xiàn)段，翻折前后垂直關(guān)系不改變；(2)與折痕平行的線(xiàn)段，翻折前后平行關(guān)系不改變.如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC為折痕將△ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且AB⊥DA.(1)證明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q為線(xiàn)段AD上一點(diǎn)，P為線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，且BP＝DQ＝eq\f(2,3)DA，求三棱錐Q-ABP的體積.本例第(1)問(wèn)是垂直關(guān)系證明問(wèn)題，求解的關(guān)鍵是抓住“BA⊥AC”折疊過(guò)程中始終不變；本例第(2)問(wèn)是計(jì)算問(wèn)題，求解的關(guān)鍵是抓住“∠ACM＝90°”折疊過(guò)程中始終不變.即折疊問(wèn)題的處理可采用：不變的關(guān)系可在平面圖形中處理，而對(duì)于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決.[備選例題]如圖，在三棱錐ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.如圖(1)，在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，AD＝AE，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G，將△ABF沿AF折起，得到如圖(2)所示的三棱錐A-BCF，其中BC＝eq\f(\r(2),2).(1)(2)(1)證明：DE∥平面BCF；(2)證明：CF⊥平面ABF.直線(xiàn)、平面垂直的判定與性質(zhì)一、選擇題1.己知直線(xiàn)l⊥平面α，直線(xiàn)m∥平面β，若α⊥β，則下列結(jié)論正確的是()A.l∥β或l?β B.l∥mC.m⊥α D.l⊥m2.已知直線(xiàn)m，n和平面α，β，則下列四個(gè)命題中正確的是()A.若α⊥β，m?β，則m⊥αB.若m⊥α，n∥α，則m⊥nC.若m∥α，n∥m，則n∥αD.若m∥α，m∥β，則α∥β3.如圖，在四面體D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE4.如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A(yíng)，B的任意一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，則四面體P-ABC的四個(gè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)有()A.4個(gè) B.3個(gè)C.2個(gè) D.1個(gè)5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則()A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC二、填空題6.已知l，m是平面α外的兩條不同直線(xiàn).給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題：________.7.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為_(kāi)_______.8.四面體P-ABC中，PA＝PB＝PC，底面△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC，O為AB中點(diǎn)，請(qǐng)從以下平面中選出兩個(gè)相互垂直的平面________.(只填序號(hào))①平面PAB；②平面ABC；③平面PAC；④平面PBC；⑤平面POC.三、解答題9.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB＝BC.求證：(1)A1B1∥平面DEC1；(2)BE⊥C1E.10.如圖，三棱錐P-ABC中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA⊥PC，PB＝2.(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；(2)若PA＝PC，求三棱錐P-ABC的體積.1.)如圖所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點(diǎn)C1在平面ABC上的射影H必在()A.直線(xiàn)AB上B.直線(xiàn)BC上C.直線(xiàn)AC上D.△ABC的內(nèi)部2.如圖所示，在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線(xiàn)，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn).現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是________.(將符合題意的序號(hào)填到橫線(xiàn)上)①AG⊥△EFH所在平面；②A(yíng)H⊥△EFH所在平面；③HF⊥△AEF所在平面；④HG⊥△AEF所在平面.3.已知∠ACB＝90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC＝2，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為eq\r(3)，那么P到平面ABC的距離為_(kāi)_______.4.在如圖所示的五面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，且∠DAB＝60°，EA＝ED＝AB＝2EF＝2，EF∥AB，M為BC的中點(diǎn).(1)求證：FM∥平面BDE；(2)若平面ADE⊥平面ABCD，求點(diǎn)F到平面BDE的距離.1.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線(xiàn)與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為()A.eq\f(3\r(3),4)