新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習考點突破學(xué)案2.2《三角恒等變換與解三角形》（原卷版）

第第頁第2講三角恒等變換與解三角形[考情分析]1.三角恒等變換主要考查化簡、求值，解三角形主要考查求邊長、角度、面積等，三角恒等變換作為工具，將三角函數(shù)與三角形相結(jié)合考查求解最值、范圍問題.2.三角恒等變換以選擇題、填空題為主，解三角形以解答題為主，中等難度.考點一三角恒等變換核心提煉1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).例1(1)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sinβ，則()A.tan(α﹣β)＝1B.tan(α＋β)＝1C.tan(α﹣β)＝﹣1D.tan(α＋β)＝﹣1(2)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tan2α＝eq\f(cosα,2－sinα)，則tanα等于()A.eq\f(\r(15),15)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(5),3)D.eq\f(\r(15),3)規(guī)律方法三角恒等變換的“4大策略”(1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；(2)項的拆分與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α﹣β)＋β等；(3)降冪與升冪：正用二倍角公式升冪，逆用二倍角公式降冪；(4)弦、切互化：一般是切化弦.跟蹤演練1(1)(多選)已知sinθcosθ＋eq\r(3)cos2θ＝cosθ＋eq\f(\r(3),2)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則θ等于()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,12)D.eq\f(π,18)(2)已知函數(shù)f(x)＝sinx﹣2cosx，設(shè)當x＝θ時，f(x)取得最大值，則cosθ＝________.考點二正弦定理、余弦定理核心提煉1.正弦定理：在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC的外接圓半徑).變形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等.2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2﹣2bccosA.變形：b2＋c2﹣a2＝2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).3.三角形的面積公式：S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.例2(1)若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知bsin2A＝asinB，且c＝2b，則eq\f(a,b)等于()A.3B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)(2)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinCsin(A﹣B)＝sinBsin(C﹣A).①證明：2a2＝b2＋c2；②若a＝5，cosA＝eq\f(25,31)，求△ABC的周長.規(guī)律方法正、余弦定理的適用條件(1)“已知兩角和一邊”或“已知兩邊和其中一邊的對角”應(yīng)采用正弦定理.(2)“已知兩邊和這兩邊的夾角”或“已知三角形的三邊”應(yīng)采用余弦定理.注意：應(yīng)用定理要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”.跟蹤演練2(1)在△ABC中，若cosC＝eq\f(7,9)，bcosA＋acosB＝2，則△ABC外接圓的面積為()A.eq\f(49π,8)B.eq\f(81π,8)C.eq\f(81π,49)D.eq\f(81π,32)(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(2c－b,b).①求角A的大小；②若a＝2，求△ABC面積的最大值及此時邊b，c的值.考點三解三角形的實際應(yīng)用核心提煉解三角形應(yīng)用題的?？碱愋?1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.(2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解.例3(1)滕王閣，位于江西省南昌市西北部沿江路贛江東岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代詩人王勃的詩句“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而流芳后世.如圖，小明同學(xué)為測量滕王閣的高度，在滕王閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為12m，在它們的地面上的點M(B，M，D三點共線)測得樓頂A、滕王閣頂部C的仰角分別為15°和60°，在樓頂A處測得滕王閣頂部C的仰角為30°，則小明估算滕王閣的高度為(精確到1m)()A.42mB.45mC.51mD.57m(2)雷達是利用電磁波探測目標的電子設(shè)備，電磁波在大氣中大致沿直線傳播，受地球表面曲率的影響，雷達所能發(fā)現(xiàn)目標的最大直視距離L＝eq\r(R＋h12－R2)＋eq\r(R＋h22－R2)＝eq\r(2Rh1＋h\o\al(2,1))＋eq\r(2Rh2＋h\o\al(2,2))(如圖)，其中h1為雷達天線架設(shè)高度，h2為探測目標高度，R為地球半徑.考慮到電磁波的彎曲、折射等因素，R等效取8490km，故R遠大于h1，h2.假設(shè)某探測目標高度為25m，為保護航母的安全，須在直視距離412km外探測到目標，并發(fā)出預(yù)警，則艦載預(yù)警機的巡航高度至少約為(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2×8.49)≈4.12)()A.6400mB.8100mC.9100mD.1000m規(guī)律方法解三角形實際問題的步驟跟蹤演練3(1)如圖，已知A，B，C，D四點在同一條直線上，且平面PAD與地面垂直，在山頂P點測得點A，C，D的俯角分別為30°，60°，45°，并測得AB＝200m，CD＝100m，現(xiàn)欲沿直線AD開通穿山隧道，則隧道BC的長為()A.100(eq\r(3)＋1)mB.200(eq\r(3)＋1)mC.200eq\r(3)mD.100eq\r(3)m(2)如圖是建黨百年展覽的展館——國家博物館.現(xiàn)欲測量博物館正門柱樓頂部一點P離地面的高度OP(點O在柱樓底部).現(xiàn)分別從地面上的兩點A，B測得點P的仰角分別為30°，45°，且∠ABO＝60°，AB＝60eq\r(2)米，則OP等于()A.40米B.30米C.30eq\r(2)米D.30eq\r(3)米專題強化練一、單項選擇題1.在△ABC中，已知B＝120°，AC＝eq\r(19)，AB＝2，則BC等于()A.1B.eq\r(2)C.eq\r(5)D.32.cos2eq\f(π,12)﹣cos2eq\f(5π,12)等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)3.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為eq\f(3\r(15),4)，b﹣c＝1，cosA＝eq\f(1,4)，則a等于()A.10B.3C.eq\r(10)D.eq\r(3)4.已知cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin(β﹣α)＝﹣eq\f(\r(10),10)，α，β均為銳角，則β等于()A.eq\f(π,12)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,3)5.故宮是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)古建筑群，故宮宮殿房檐設(shè)計恰好使北房在冬至前后陽光滿屋，夏至前后屋檐遮陰.已知北京地區(qū)夏至前后正午太陽高度角約為75°，冬至前后正午太陽高度角約為30°.圖1是頂部近似為正四棱錐、底部近似為正四棱柱的宮殿，圖2是其示意圖，則其出檐AB的長度(單位：米)約為()A.3米B.4米C.6(eq\r(3)﹣1)米D.3(eq\r(3)＋1)米6.已知sinα﹣cosβ＝3cosα﹣3sinβ，且sin(α＋β)≠1，則sin(α﹣β)的值為()A.﹣eq\f(3,5)B.eq\f(3,5)C.﹣eq\f(4,5)D.eq\f(4,5)二、多項選擇題7.下列命題中，正確的是()A.在△ABC中，若A>B，則sinA>sinBB.在銳角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立C.在△ABC中，若acosA＝bcosB，則△ABC是等腰直角三角形D.在△ABC中，若B＝eq\f(π,3)，b2＝ac，則△ABC必是等邊三角形8.函數(shù)f(x)＝sinx(sinx＋cosx)﹣eq\f(1,2)，若f(x0)＝eq\f(3\r(2),10)，x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，下列結(jié)論正確的是()A.f(x)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))B.直線x＝eq\f(π,4)是f(x)圖象的一條對稱軸C.f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上的最小值為﹣eq\f(\r(2),2)D.cos2x0＝eq\f(\r(2),10)三、填空題9.若sinα＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，則tan2α的值為________.10.已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,4)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2α))＝________.11.如圖，某直徑為5eq\r(5)海里的圓形海域上有四個小島，已知小島B與小島C相距5海里，cos∠BAD＝﹣eq\f(4,5).則小島B與小島D之間的距離為________海里；小島B，C，D所形成的三角形海域BCD的面積為________平方海里.12.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＝2，cos2C＝cos2A＋4sin2B，則△ABC面積的最大值為________.四、解答題13.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為S1，S2，S3.已知S1﹣S2＋S3＝eq\f(\r(3),2)，sinB＝eq