概率與數(shù)理統(tǒng)計

概率與數(shù)理統(tǒng)計匯報人：AA2024-01-19概率論基本概念一維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計基本概念假設檢驗與方差分析回歸分析初步目錄01概率論基本概念隨機事件在一定條件下并不總是發(fā)生，而且人們事先不能確知其是否發(fā)生的事件。概率表示隨機事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值。概率的性質(zhì)非負性、規(guī)范性、可加性。隨機事件與概率幾何概型如果樣本空間是一個區(qū)域，且每個樣本點發(fā)生的可能性只與該區(qū)域的面積、體積等幾何量有關，則稱這種試驗為幾何概型。古典概型與幾何概型的區(qū)別主要在于樣本空間和樣本點的等可能性不同。古典概型如果每個樣本點發(fā)生的可能性相等，則稱這種試驗為古典概型。古典概型與幾何概型條件概率在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，記作P(B|A)。獨立性如果事件A的發(fā)生與否對事件B發(fā)生的概率沒有影響，則稱事件A與事件B相互獨立。條件概率與獨立性的關系如果事件A與事件B相互獨立，則P(B|A)=P(B)。條件概率與獨立性03020102一維隨機變量及其分布定義取值可數(shù)的隨機變量稱為離散型隨機變量。常見離散型隨機變量分布二項分布、泊松分布、幾何分布等。分布律描述離散型隨機變量取各個值的概率，常用分布列表示。離散型隨機變量及分布律取值充滿某個區(qū)間的隨機變量稱為連續(xù)型隨機變量。定義描述連續(xù)型隨機變量在某個點的“概率強度”，具有非負性和規(guī)范性。概率密度正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布等。常見連續(xù)型隨機變量分布連續(xù)型隨機變量及概率密度定義：隨機變量的函數(shù)是指將隨機變量的取值通過某種函數(shù)關系進行變換后得到的新的隨機變量。離散型隨機變量的函數(shù)分布：通過分布律的變換求得。連續(xù)型隨機變量的函數(shù)分布：通過概率密度的變換和積分求得，需注意變換后的取值范圍和概率密度的規(guī)范性。010203隨機變量的函數(shù)分布03多維隨機變量及其分布二維隨機變量的定義設$X$和$Y$是兩個隨機變量，則稱$(X,Y)$為二維隨機變量。聯(lián)合分布函數(shù)對于任意實數(shù)$x,y$，二元函數(shù)$F(x,y)=P{Xleqx,Yleqy}$稱為二維隨機變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)。聯(lián)合概率密度函數(shù)如果存在非負函數(shù)$f(x,y)$，使得對于任意實數(shù)$x,y$，有$F(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f(u,v)dudv$，則稱$f(x,y)$為二維隨機變量$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)。010203二維隨機變量及聯(lián)合分布第二季度第一季度第四季度第三季度邊緣分布函數(shù)邊緣概率密度函數(shù)條件分布函數(shù)條件概率密度函數(shù)邊緣分布與條件分布二維隨機變量$(X,Y)$關于$X$的邊緣分布函數(shù)定義為$F_X(x)=P{Xleqx}$，關于$Y$的邊緣分布函數(shù)定義為$F_Y(y)=P{Yleqy}$。如果$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)為$f(x,y)$，則$X$的邊緣概率密度函數(shù)為$f_X(x)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dy$，$Y$的邊緣概率密度函數(shù)為$f_Y(y)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dx$。設$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)為$F(x,y)$，關于$Y=y$的條件分布函數(shù)定義為$F_{X|Y}(x|y)=frac{F(x,y)}{F_Y(y)}$，關于$X=x$的條件分布函數(shù)定義為$F_{Y|X}(y|x)=frac{F(x,y)}{F_X(x)}$。如果$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)為$f(x,y)$，則關于$Y=y$的條件概率密度函數(shù)為$f_{X|Y}(x|y)=frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$，關于$X=x$的條件概率密度函數(shù)為$f_{Y|X}(y|x)=frac{f(x,y)}{f_X(x)}$。隨機變量的獨立性如果對于任意實數(shù)$x,y$，都有$P{Xleqx,Yleqy}=P{Xleqx}P{Yleqy}$，則稱隨機變量$X$與$Y$相互獨立。判斷獨立性的方法通常可以通過判斷聯(lián)合分布函數(shù)是否等于邊緣分布函數(shù)的乘積來判斷兩個隨機變量是否獨立。如果等于，則獨立；如果不等于，則不獨立。獨立性的性質(zhì)如果兩個隨機變量相互獨立，則它們的任意函數(shù)也相互獨立。此外，如果一組隨機變量兩兩獨立，則它們的任意部分也兩兩獨立。兩個隨機變量獨立的定義04數(shù)理統(tǒng)計基本概念研究對象的全體個體組成的集合，通常用一個分布函數(shù)來描述?？傮w從總體中隨機抽取的一部分個體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)。樣本樣本中包含的個體數(shù)目，通常用n表示。樣本容量總體與樣本統(tǒng)計量樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等。抽樣分布統(tǒng)計量的概率分布，描述了統(tǒng)計量在多次抽樣中的分布情況。常見抽樣分布正態(tài)分布、t分布、F分布、卡方分布等。統(tǒng)計量與抽樣分布03評價標準無偏性、有效性、一致性等。01點估計用一個具體的數(shù)值來估計總體參數(shù)的方法，如樣本均值估計總體均值。02區(qū)間估計用一個區(qū)間來估計總體參數(shù)的方法，該區(qū)間以一定的概率包含總體參數(shù)的真值。參數(shù)估計方法05假設檢驗與方差分析原假設通常是研究者想要推翻的假設，而備擇假設則是研究者希望證實的假設。原假設與備擇假設檢驗統(tǒng)計量是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算出的用于判斷原假設是否成立的統(tǒng)計量，而拒絕域則是當檢驗統(tǒng)計量落在某個特定范圍內(nèi)時，我們拒絕原假設的區(qū)域。檢驗統(tǒng)計量與拒絕域顯著性水平是事先設定的用于判斷原假設是否成立的標準，而P值則是在原假設下觀察到當前樣本數(shù)據(jù)或更極端數(shù)據(jù)的概率。顯著性水平與P值假設檢驗基本原理用于比較樣本均值與已知總體均值是否有顯著差異。單樣本t檢驗用于比較兩個獨立樣本均值是否有顯著差異，包括等方差和異方差兩種情況。雙樣本t檢驗用于比較同一組受試者在兩個不同條件下的差異，例如前后測量或?qū)φ諏嶒?。配對樣本t檢驗單樣本和雙樣本t檢驗方差分析的目的01用于研究不同因素對實驗結果的影響程度，以及各因素之間的交互作用。方差分析的基本思想02將總變異分解為各因素引起的變異和隨機誤差引起的變異，通過比較各因素引起的變異與隨機誤差的大小來判斷因素對實驗結果的影響是否顯著。方差分析的步驟03包括建立假設、構造檢驗統(tǒng)計量、確定拒絕域、計算P值并作出決策等步驟。方差分析簡介06回歸分析初步根據(jù)研究目的，明確自變量（解釋變量）和因變量（被解釋變量）。確定自變量和因變量通過繪制自變量和因變量的散點圖，觀察兩者之間的線性關系。繪制散點圖設定一元線性回歸模型的形式為y=ax+b，其中a為斜率，b為截距。建立回歸模型利用最小二乘法等方法，估計出模型參數(shù)a和b的值。估計模型參數(shù)一元線性回歸模型建立提出假設計算檢驗統(tǒng)計量確定顯著性水平作出決策回歸方程顯著性檢驗設定原假設H0為回歸系數(shù)a=0，即自變量對因變量無影響。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算F統(tǒng)計量或t統(tǒng)計量。設定顯著性水平α，通常取0.05或0.01。將計算得到的檢驗統(tǒng)計量與臨界值進行比較，若檢驗統(tǒng)計量大于臨界值，則拒絕原假設，認為自變量