數(shù)學(xué)八年級下冊專題16.1 二次根式-重難點題型（人教版）（教師版）

專題16.1二次根式-重難點題型【人教版】【知識點1二次根式的定義】形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，叫做二次根號，a叫做被開方數(shù).【題型1判斷二次根式的個數(shù)】【例1】（2021春?林州市月考）在式子π，a2+b2，a+5，?3y（y≤0），m2?1和A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【分析】根據(jù)二次根式的定義：一般地，我們把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式進行分析即可．【解答】解：式子π，a2+b2，?3y（y≤0），ab（故選：B．【點評】此題主要考查了二次根式定義，關(guān)鍵是注意被開方數(shù)為非負數(shù)．【變式1-1】（2020秋?遂寧期末）下列式子中二次根式的個數(shù)有（）（1）13；（2）?3；（3）?x2+1；（4）38；（5）(?13A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】根據(jù)二次根式的定義對各小題分析判斷即可得解．【解答】解：（1）13（2）?3不是二次根式；（3）?x（4）38（5）(?1（6）1?x（x＞1）不是二次根式；（7）7是二次根式．綜上所述，是二次根式的有（1）（3）（5）（7）共4個．故選：C．【點評】本題考查了二次根式的定義，二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負數(shù)．【變式1-2】（2020秋?沈丘縣期末）在式子x2A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】根據(jù)二次根式的定義對各數(shù)分析判斷即可得解．【解答】解：根據(jù)二次根式的定義，y＝﹣2時，y+1＝﹣2+1＝﹣1＜0，y+1無意義，故不符合題意；33是三次根式，不符合題意；x+y所以二次根式有x2（x＞0），2，?2x（x＜0），x故選：C．【點評】本題考查了二次根式的定義，比較簡單，要注意被開方數(shù)是非負數(shù)，熟記概念是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2020春?文登區(qū)期中）在式子，x2（x＞0），2，y+1（y＝﹣2），?2x（x＞0），33，x2+1，A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】根據(jù)二次根式的定義作答．【解答】解：x2（x＞0），2，xy+1（y＝﹣2），?2x（x＞0）無意義，不是二次根式．33x+y不是根式．故選：B．【點評】本題考查了二次根式的定義．一般形如a（a≥0）的代數(shù)式叫做二次根式．當(dāng)a≥0時，a表示a的算術(shù)平方根；當(dāng)a小于0時，非二次根式（在一元二次方程中，若根號下為負數(shù)，則無實數(shù)根）．【題型2根據(jù)二次根式的定義求字母的值】【例2】（2021春?河西區(qū)期中）已知96n是整數(shù)，正整數(shù)n的最小值為（）A．96 B．6 C．24 D．2【分析】根據(jù)96＝42×6n，若96n是整數(shù)，則96n一定是一個完全平方數(shù)，即可求解．【解答】解：96＝42×6n，則96n是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值6．故選：B．【點評】本題主要考查了二次根式的化簡，理解96n是整數(shù)的條件是解決本題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2020秋?偃師市期中）已知n是正整數(shù)，5n?1是整數(shù)，則n的值可以是（）A．5 B．7 C．9 D．10【分析】將選項的值逐個代入驗證即可．【解答】解：A、當(dāng)n＝5時，5n?1=24=26B、當(dāng)n＝7時，5n?1=34，不是整數(shù)，故C、當(dāng)n＝9時，5n?1=44=211D、當(dāng)n＝10時，5n?1=49=故選：D．【點評】本題考查了二次根式的定義及二次根式的化簡，屬于基礎(chǔ)知識的考查，比較簡單．【變式2-2】（2020春?青山區(qū)期中）已知n是正整數(shù)，117n是整數(shù)，則n的最小值為13．【分析】將117變形為9×13n，根據(jù)117是整數(shù)判斷即可得．【解答】解：∵117=9×13n=313n∴正整數(shù)n的最小值為13，故答案為：13．【點評】本題主要考查二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是掌握形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．【變式2-3】（2020春?南昌期中）若12?x是正整數(shù)，則x的最大值是11．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)解答．【解答】解：由題意得：12﹣x≥0，∴x≤12．又12?x是正整數(shù)，∴x的最大值是11．故答案是：11．【點評】本題考查了二次根式的定義，注意“12?x是正整數(shù)”暗含條件x≠12．【知識點2二次根式有意義的條件】（1）二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)；（2）二次根式具有非負性：a≥0【知識點3判斷二次根式有意義的條件】如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負數(shù)；（2）如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零．【題型3根據(jù)二次根式有意義條件求范圍】【例3】（2021?寧波模擬）使代數(shù)式2x?13?x有意義的xA．x≠3 B．x≥12 C．x≥12且x≠3【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件、分式有意義的條件列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由題意得，2x﹣1≥0，3﹣x≠0，解得，x≥12且故選：C．【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件、分式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)、分式的分母不為0是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2020春?歷城區(qū)校級月考）若式子1x2?4A．x＞﹣2 B．x≥﹣2，且x≠2 C．x≥﹣2 D．x＞﹣2，且x≠2【分析】根據(jù)分式的分母不等于0和二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)解答．【解答】解：根據(jù)題意，得x+2≥0且x2﹣4≠0．解得x＞﹣2且x≠2．故選：D．【點評】本題考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：（1）分式無意義?分母為零；（2）分式有意義?分母不為零；（3）分式值為零?分子為零且分母不為零．【變式3-2】（2021?懷化模擬）使x+1x2?1有意義的x的取值范圍為【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范圍．【解答】解：根據(jù)題意得：x+1≥0x解得：x＞﹣1且x≠1．故答案是：x＞﹣1且x≠1．【點評】本題考查的知識點為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．【變式3-3】（2021春?海淀區(qū)校級月考）求a+4+1|a|?2?1【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于或等于0，分母不等于0，可以求出a的范圍，進一步求得a的整數(shù)值．【解答】解：由題意得，a+4≥0，|a|﹣2≠0，3﹣a＞0，解得﹣4≤a＜3且a≠±2．故a的整數(shù)值為﹣4，﹣3，﹣1，0，1．故答案為：﹣4，﹣3，﹣1，0，1．【點評】本題考查的是二次根式的性質(zhì)和分式的意義，掌握被開方數(shù)大于或等于0，分母不等于0是解題的關(guān)鍵．【題型4根據(jù)二次根式有意義條件求值】【例4】（2021春?蜀山區(qū)校級期中）已知y=x?2+2?x?3，則（x+y）2000（xA．2?3 B．2+3 C．﹣1【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出x，y的值，進而利用積的乘方運算法則計算得出答案．【解答】解：∵y=x?2∴x＝2，y=?3則（x+y）2000（x﹣y）2001＝（2?3）2000×（2+3＝[（2+3）×（2?3）]2000×（2＝（4﹣3）2000×（2+3＝1×（2+3＝2+3故選：B．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確運用積的乘方運算法則是解題關(guān)鍵．【變式4-1】（2021春?淮北月考）已知|2020﹣a|+a?2021=a，則4a﹣4040A．8084 B．6063 C．4042 D．2021【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求出a的范圍，把已知式子變形，代入計算即可．【解答】解：由題意得，a﹣2021≥0，解得，a≥2021，原式變形為：a﹣2020+a?2021=則a?2021=∴a﹣2021＝20202，∴4a＝4×20202+8084，∴4a﹣40402＝40402+8084﹣40402＝8084，故選：A．【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件、絕對值的性質(zhì)，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2021?石家莊模擬）若a、b為實數(shù)，且b=a2?1+1?a2【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可求出a的值，將a的值代入原式即可求出b的值．【解答】解：由題意可知：a2∴a2＝1，∴a＝±1，∴b＝0，當(dāng)a＝1時，原式＝1．當(dāng)a＝﹣1時，原式＝﹣1．故答案為：±1【點評】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式有意義的條件，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式4-3】（2021春?雨花區(qū)校級月考）已知實數(shù)x、y為實數(shù)，是否存在實數(shù)m滿足關(guān)系式3x+5y?2?m+2x+3y?m=【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得x+y＝100，等式右邊等于0，可得方程組，解方程組即可．【解答】解：由題意得：x?100+y≥0100?x?y≥0解得：x+y＝100，∴3x+5y?2?m+∴x+y=1003x+5y?2?m=0解得：m＝102，∴存在，m的值為102．【點評】本題考查二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件得到方程組是解題的關(guān)鍵．【知識點4二次根式的性質(zhì)】性質(zhì)1：a2=a（a≥0性質(zhì)2：a2=a=a（【題型5利用二次根式的性質(zhì)化簡】【例5】（2021春?柯橋區(qū)月考）已知在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：n2+【分析】根據(jù)a2=|【解答】解：根據(jù)數(shù)軸得：n＞0，m＜n，m＜﹣1，∴m﹣n＜0，m+1＜0，∴原式＝n+n﹣m﹣（m+1）＝n+n﹣m﹣m﹣1＝2n﹣2m﹣1．故答案為：2n﹣2m﹣1．【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)和化簡，根據(jù)數(shù)軸判斷出絕對值里面的數(shù)的正負是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2021春?江油市月考）已知0＜a＜1，化簡得(a+1a【分析】根據(jù)（a+1a）2﹣4＝（a?1a）2，（a?1a）2【解答】解：∵0＜a＜1，∴a＜∴原式=(a?1a)2+(a+1a)2=|故答案為：2a【點評】本題考查二次根式的性質(zhì)和化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是正確解答的前提．【變式5-2】（2021春?合肥期中）已知三角形的兩邊長分別為3和5，第三邊長為c，化簡c2【分析】由三角形三邊關(guān)系求得c的取值范圍；然后判斷被開方數(shù)的正負，再化簡開方，計算．【解答】解：由三邊關(guān)系定理，得3+5＞c，5﹣3＜c，即8＞c＞2，∴原式=＝|c﹣2|?12|＝c﹣2?12（8﹣=32【點評】本題主要考查二次根式的化簡方法與運用，掌握其性質(zhì)是解決此題關(guān)鍵．【變式5-3】（2021春?龍口市期中）閱讀下列解題過程例：若代數(shù)式(a?1)2+(a?3)解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，當(dāng)a＜1時，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）；當(dāng)1≤a≤3時，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合條件；當(dāng)a＞3時，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）所以，a的取值范圍是1≤a≤3上述解題過程主要運用了分類討論的方法，請你根據(jù)上述理解，解答下列問題（1）當(dāng)2≤a≤5時，化簡：(a?2)2+（2）若等式(3?a)2+(a?7)2=（3）若(a+1)2+(a?5)【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案；（2）先將等式的左邊進行化簡，然后分情況討論即可求出答案；（3）先將等式的左邊進行化簡，然后分情況討論即可求出答案；【解答】解：（1）∵2≤a≤5，∴a﹣2≥0，a﹣5≤0，∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5|＝a﹣2﹣（a﹣5）＝3；（2）由題意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4，當(dāng)a≤3時，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0，∴原方程化為：3﹣a﹣（a﹣7）＝4，∴a＝3，符合題意；當(dāng)3＜a＜7時，∴3﹣a＜0，a﹣7＜0，∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4，∴4＝4，故3＜a＜7符合題意；當(dāng)a≥7時，∴3﹣a＜0，a﹣7≥0，∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4，∴a＝7，符合題意；綜上所述，3≤a≤7；（3）原方程可化為：|a+1|+|a﹣5|＝8，當(dāng)a≤﹣1時，∴a+1≤0，a﹣5＜0，∴原方程化為：﹣a﹣1﹣（a﹣5）＝8，∴a＝﹣2，符合題意；當(dāng)﹣1＜a＜5時，∴a+1＞0，a﹣5＜0，∴（a+1）﹣（a﹣5）＝8，∴此方程無解，故﹣1＜a＜5不符合題意；當(dāng)a≥5時，∴a+1＞0，a﹣5≥0，∴a+1+a﹣5＝8，∴a＝6，符合題意；綜上所述，a＝﹣2或a＝6；故答案為：（1）3；（2）3≤a≤7【點評】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．【題型6化簡復(fù)合二次根式】【例6】（2020秋?雨城區(qū)校級期中）有這樣一類題目：將a±2b化簡，如果你能找到兩個數(shù)m、n，使m2+n2＝a且mn=b，則a±2b將變成m2+n2±2mn，即變成（m±n）2，從而使a±2b得以化簡．例如，因為5+26=3+2+26=（3）2+（2）2+22×3請仿照上面的例子化簡下列根式：（1）4+23（2）9?45【分析】將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為完全平方公式的結(jié)構(gòu)形式，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【解答】解：（1）∵4+23=（3）2+12+2×3×1＝（3∴4+23=(3+1（2）∵9﹣45=（5）2+22﹣2×5×2＝（5∴9?45=(5?2【點評】本題考查完全平方公式，二次根式的性質(zhì)與化簡，掌握二次根式化簡的方法是得出答案的前提．【變式6-1】（2020秋?武侯區(qū)校級期中）閱讀材料：把根式x±2y進行化簡，若能找到兩個數(shù)m，n，使m2+n2＝x且mn=y，則把x±2y變成m2+n2±2mn＝（m±n）2開方，從而使得例如：化簡3+22解：∵3+22=1+2+22=12+（2）2+2×1×2=（1∴3+22=(1+請你仿照上面的方法，化簡下列各式：（1）7+43（2）5?26【分析】（1）（2）根據(jù)完全平方公式把原式變形，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【解答】解：（1）∵7+43=4+43+3＝22+2×2×3+（3）2＝（2∴7+43=(2+（2）∵5﹣26=3﹣26+2