計(jì)算機(jī)組成原理第五講課件

*12.4定點(diǎn)除法運(yùn)算

定點(diǎn)除法運(yùn)算2.4.1原碼除法算法原理

2.4.2并行除法器

基本原理：

兩個(gè)原碼表示的數(shù)相除時(shí),商的符號(hào)由兩數(shù)的符號(hào)按位相加（異或）求得,商的數(shù)值部分由兩數(shù)的數(shù)值部分相除求得。

設(shè)有n位定點(diǎn)小數(shù)(定點(diǎn)整數(shù)也同樣適用)：

被除數(shù)ｘ，其原碼為：[ｘ]原＝ｘf.ｘn－1…ｘ1ｘ0

除數(shù)ｙ，其原碼為：

[ｙ]原＝ｙf.ｙn－1…ｙ1ｙ0

則有商q＝ｘ/ｙ，其原碼為：

[q]原＝(ｘf⊕ｙf)+(0.ｘn－1…ｘ1ｘ0/0.ｙn－1…ｙ1ｙ0)

商的符號(hào)運(yùn)算qf＝ｘf⊕ｙf與原碼乘法一樣。

原碼除法運(yùn)算原理2.4.1原碼除法運(yùn)算原理

商的求法：商的數(shù)值部分的運(yùn)算,實(shí)質(zhì)上是兩個(gè)正數(shù)求商的運(yùn)算。所以，原碼的除法只需考慮兩個(gè)正數(shù)相除即可。根據(jù)我們所熟知的十進(jìn)制除法運(yùn)算方法，很容易得到二進(jìn)制數(shù)的除法運(yùn)算方法。所不同的只是在二進(jìn)制中,商的每一位不是“1”就是“0”,其運(yùn)算法則更簡(jiǎn)單一些。下面僅討論數(shù)值部分的運(yùn)算。設(shè)被除數(shù)ｘ＝0.1001，除數(shù)ｙ＝0.1011，模仿十進(jìn)制除法運(yùn)算，以手算方法求ｘ÷ｙ的過(guò)程如下:定點(diǎn)除法運(yùn)算

0.1101

（商q）

0.1011

0.10010

ｘ(r0)被除數(shù)小于除數(shù)，商0

－0.01011

2－1ｙ除數(shù)右移1位，減除數(shù)，商1

0.001110

r1得余數(shù)r1－0.0

01011

2－2ｙ除數(shù)右移1位，減除數(shù)，商1

0.0000110

r2

得余數(shù)r2－0.0

001011

2－3ｙ除數(shù)右移1位，不減除數(shù)，商0

0.00001100

r3

得余數(shù)r3－0.0

0001011

2－4ｙ除數(shù)右移1位，減除數(shù)，商1

0.00000001

r4得余數(shù)r4

得ｘ÷ｙ的商q＝0.1101，余數(shù)為r＝0.00000001。該步不作計(jì)算機(jī)計(jì)算需考慮的幾點(diǎn)：

1、計(jì)算機(jī)中，小數(shù)點(diǎn)是固定的，不能簡(jiǎn)單地采用手算的辦法。為便于機(jī)器操作,計(jì)算機(jī)一般采用“除數(shù)右移”或“余數(shù)左移”的方法。

2、機(jī)器的運(yùn)算過(guò)程和人畢竟不同，人會(huì)眼看心算，一看就知道夠不夠減。但機(jī)器卻不會(huì)心算，必須先作減法，若余數(shù)為正，才知道夠減；若余數(shù)為負(fù)，才知道不夠減。不夠減時(shí)必須恢復(fù)原來(lái)的余數(shù),以便再繼續(xù)往下運(yùn)算。這種方法稱為恢復(fù)余數(shù)法。要恢復(fù)原來(lái)的余數(shù),只要當(dāng)前的余數(shù)加上除數(shù)即可。但由于要恢復(fù)余數(shù)，使除法進(jìn)行過(guò)程的步數(shù)不固定，因此控制比較復(fù)雜。機(jī)器實(shí)現(xiàn)除法運(yùn)算有兩個(gè)先決條件（純小數(shù)）：除數(shù)不等于0，否則商為無(wú)窮大。被除數(shù)要小于除數(shù)，否則商會(huì)溢出。定點(diǎn)除法運(yùn)算[例]ｘ＝0.101001,ｙ＝0.111,求ｘ÷ｙ。

[解:]

x*=|x|=0.101001，

y*=|y|=0.111，先求|x|/|y|，符號(hào)位單獨(dú)處理，

由于需要做減法運(yùn)算，所以需求[-y*]補(bǔ)＝1.001

被除數(shù)ｘ

0.101001

+[－ｙ]補(bǔ)(減ｙ

)

1.001

余數(shù)為負(fù)1.110001＜0

q0=0

加ｙ

0.111

(恢復(fù)余數(shù))

0.101001

余數(shù)左移

1.010010

減ｙ

1.001

余數(shù)為正0.01101

＞0

q1=1

余數(shù)左移0.1101

減ｙ

1.001

余數(shù)為負(fù)1.1111

＜0

q2=0

加ｙ

0.111

(恢復(fù)余數(shù))

0.1101

余數(shù)左移1.101

減ｙ

1.001

余數(shù)為正0.110

＞0

q3=1

故得：

商

q=q0.q1q2q3=0.101余數(shù)

r=(0.00r3r4r5r6)=0.000110

定點(diǎn)除法運(yùn)算

冗余計(jì)算

冗余計(jì)算

顯然，恢復(fù)余數(shù)法中包含有一些無(wú)效（冗余）運(yùn)算。實(shí)際中常采用不恢復(fù)余數(shù)法,又稱加減交替法：

加減交替法是對(duì)恢復(fù)余數(shù)除法的一種修正。當(dāng)某一次求得的差值(余數(shù))為負(fù)時(shí)，不是恢復(fù)它，而是繼續(xù)求下一位商，但用加上除數(shù)(+Y)的辦法來(lái)取代(-Y)操作，其他操作依然不變。其原理證明如下：當(dāng)余數(shù)Ri>0時(shí)，商“1”，再對(duì)Ri左移一位后減除數(shù)，即2Ri-y*；當(dāng)余數(shù)Ri<0時(shí)，商“0”，先做Ri+y*（恢復(fù)余數(shù)），再做2(Ri+y*)-y*,即2Ri+y*；即可用2Ri±y*實(shí)現(xiàn)。

“不恢復(fù)余數(shù)法”除法規(guī)則：x/y1.首先對(duì)被除數(shù)|x|做減除數(shù)|y|運(yùn)算，即：+[-y*]補(bǔ)；

2.判斷余數(shù)符號(hào)，若余數(shù)為正（夠減），則：商上“1”；

3.余數(shù)左移一位，然后做減除數(shù)（+[-y*]補(bǔ)）運(yùn)算；

4.若余數(shù)為負(fù)（不夠減），則：商上“0”；

5.余數(shù)左移一位，然后做加除數(shù)（+[y*]補(bǔ)）運(yùn)算。加減交替法實(shí)例：[例]ｘ＝0.101001,ｙ＝0.111,求ｘ÷ｙ。

（書(shū)P49）[解:]

[－ｙ]補(bǔ)＝1.001

被除數(shù)ｘ

0.101001

+[－ｙ]補(bǔ)(減ｙ

)

1.001

余數(shù)為負(fù)1.110001＜0

q0＝0

余數(shù)左移1.10001

加ｙ

0.111

余數(shù)為正0.01101

＞0

q1＝1

余數(shù)左移0.1101

減ｙ

1.001

余數(shù)為負(fù)1.1111

＜0

q2＝0

余數(shù)左移1.111

加ｙ

0.111

余數(shù)為正0.110

＞0

q3＝1

故得

商

q＝q0.q1q2q3＝0.101

余數(shù)

r＝(0.00r3r4r5r6)＝0.000110定點(diǎn)除法運(yùn)算[例]ｘ＝0.101001,ｙ＝-0.111,求ｘ÷ｙ。

[解:]

xf=0，yf=1，x*=0.101001，ｙ*=0.111，

[ｙ*]補(bǔ)＝0.111，[－ｙ*]補(bǔ)＝1.001

被除數(shù)ｘ*

0.101001

+[－ｙ*]補(bǔ)(減ｙ*

)

1.001

余數(shù)為負(fù)1.110001＜0

q0＝0

余數(shù)左移1.10001

加ｙ*

0.111

余數(shù)為正0.01101

＞0

q1＝1

余數(shù)左移0.1101

減ｙ*

1.001

余數(shù)為負(fù)1.1111

＜0

q2＝0

余數(shù)左移1.111

加ｙ*

0.111

余數(shù)為正0.110

＞0

q3＝1

故得

商

q*＝q0.q1q2q3＝0.101余數(shù)

r＝0.000110

由ｘf⊕ｙf=0⊕1=1所以：ｘ÷ｙ=-(0.101+0.110×2-3/0.111)定點(diǎn)除法運(yùn)算[例]ｘ＝-0.101001,ｙ＝-0.111,求ｘ÷ｙ。

[解:]

xf=1，yf=1，x*=0.101001，ｙ*=0.111，

[ｙ*]補(bǔ)＝0.111，[－ｙ*]補(bǔ)＝1.001

被除數(shù)ｘ*

0.101001

+[－ｙ*]補(bǔ)(減ｙ*

)

1.001

余數(shù)為負(fù)1.110001＜0

q0＝0

余數(shù)左移1.10001

加ｙ*

0.111

余數(shù)為正0.01101

＞0

q1＝1

余數(shù)左移0.1101

減ｙ*

1.001

余數(shù)為負(fù)1.1111

＜0

q2＝0

余數(shù)左移1.111

加ｙ*

0.111

余數(shù)為正0.110

＞0

q3＝1

故得

商

q*＝q0.q1q2q3＝0.101余數(shù)

r＝0.000110

由ｘf⊕ｙf=1

⊕1=0所以：ｘ÷ｙ=+(0.101+0.110×2-3/0.111)定點(diǎn)除法運(yùn)算[例]ｘ＝-0.101111,ｙ＝-0.111,求ｘ÷ｙ。

[解:]

xf=1，yf=1，x*=0.101111，ｙ*=0.111，

[ｙ*]補(bǔ)＝0.111，[－ｙ*]補(bǔ)＝1.001

被除數(shù)ｘ*

0.101111

+[－ｙ*]補(bǔ)(減ｙ*

)

1.001

余數(shù)為負(fù)1.110111＜0

q0＝0

余數(shù)左移1.10111

加ｙ*

0.111

余數(shù)為正0.10011

＞0

q1＝1

余數(shù)左移1.0011

減ｙ*

1.001

余數(shù)為正0.0101

＞

0

q2＝1

余數(shù)左移0.101

減ｙ*

1.001

余數(shù)為負(fù)1.110＜

0

q3＝0故得

商

q*＝q0.q1q2q3＝0.110余數(shù)

r＝0.000101

由ｘf⊕ｙf=1

⊕1=0所以：ｘ÷ｙ=+（0.110+0.101×2-3/0.111)定點(diǎn)除法運(yùn)算加ｙ*恢復(fù)余數(shù)注意：在定點(diǎn)小數(shù)的原碼除法運(yùn)算中，要求：（1）x*>0，y*>0,，數(shù)值均取正的小數(shù)；（符號(hào)位單獨(dú)考慮）（2）要求：x*<y*，保證：商q=x*/y*也是小數(shù)。（3）在具體計(jì)算中，減法仍然須采用補(bǔ)碼進(jìn)行計(jì)算。（4）在不恢復(fù)余數(shù)法中,最后一步,當(dāng)余數(shù)為負(fù)時(shí)，需加上除數(shù)，恢復(fù)成原余數(shù)。原碼不恢復(fù)余數(shù)法示例除法運(yùn)算需要3個(gè)寄存器：A寄存器存放被除數(shù)：被除數(shù)AB寄存器存放除數(shù)：除數(shù)BC寄存器存放商：商C例6：已知：X=-0.10101，Y=0.11110，求：X÷Y。解：|X|=00.10101→A，0→C|Y|=00.11110→B，-|Y|=11.00010原碼不恢復(fù)余數(shù)法AC說(shuō)明00.101010.00000-|Y|11.00010-|Y|11.101110.00000

余數(shù)為負(fù)，商0←11.01110左移一位+|Y|00.11110+|Y|00.011000.00001

余數(shù)為正，商1←00.11000左移一位-|Y|11.00010-|Y|11.110100.00010

余數(shù)為負(fù)，商0←11.10100左移一位

+|Y|00.11110+|Y|00.100100.00101

余數(shù)為正，商1←01.00100左移一位-|Y|11.00010-|Y|00.001100.01011

余數(shù)為正，商1←00.01100左移一位-|Y|11.00010-|Y|11.011100.10110

余數(shù)為負(fù)，商0+|Y|00.11110恢復(fù)余數(shù)，+|Y|00.01100原碼需要原碼不恢復(fù)余數(shù)法示例（續(xù)）

Qs=Xs⊕Ys=1⊕0=1

商=0.10110

余數(shù)=0.011002-5∴X÷Y=-(0.10110+)0.011002-50.11110需要注意幾點(diǎn)：

1、不恢復(fù)余數(shù)法，被除數(shù)、除數(shù)需要取雙符號(hào)位。2、如果最終余數(shù)為負(fù)，必須恢復(fù)一次余數(shù)且不需左移。3、符號(hào)位不參加原碼運(yùn)算，應(yīng)單獨(dú)處理。原碼不恢復(fù)余數(shù)法的硬件實(shí)現(xiàn)A、B寄存器，n+2位

C寄存器，n+1位 加法器，n+2位 與或門，n+2個(gè)A、C寄存器級(jí)連在一起，具有左移一位功能。每次移位時(shí)，C的最高位進(jìn)入A的最低位，而C的最低位用來(lái)保存每次運(yùn)算得到的商。A的初值為被除數(shù)，最后變?yōu)橛鄶?shù)，C的內(nèi)容為除法得到的商。 在運(yùn)算過(guò)程中，由余數(shù)的符號(hào)決定商值和下一步操作，即控制運(yùn)算器加除數(shù)還是減除數(shù)。加減交替法的算法特點(diǎn):

運(yùn)算過(guò)程中，無(wú)論夠減或是不夠減，可以根據(jù)余數(shù)符號(hào)得出判斷,進(jìn)而直接決定下一步的運(yùn)算，不必考慮余數(shù)的恢復(fù)問(wèn)題。因此，這種算法步數(shù)固定,控制簡(jiǎn)單，被廣泛