小學(xué)數(shù)學(xué)5年級培優(yōu)奧數(shù)講義 第06講-分類數(shù)圖形（含解析）

第06講分類數(shù)圖形

學(xué)習(xí)目標(biāo)

*：

京認(rèn)識了解線段、角、三角形、長方形等基本圖形；

:學(xué)會數(shù)基本圖形的個數(shù)；

＞掌握數(shù)圖形的規(guī)律。

堂知識梳理「

一、學(xué)會數(shù)圖形

同學(xué)們，你想學(xué)會數(shù)圖形的方法嗎？要想不重復(fù)也不遺漏地數(shù)出線段、角、三角形、長方形……

那就必須要有次序、有條理地數(shù)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，以便得到正確的結(jié)果。

要正確數(shù)出圖形的個數(shù)，關(guān)鍵是要從基本圖形入手。首先要弄清圖形中包含的基本圖形是什么,

有多少個，然后再數(shù)出由基本圖形組成的新的圖形，并求出它們的和。當(dāng)我們識了線段、角、

三角形、長方形等基本圖形后，這些圖形重重疊疊地交錯在一起時就構(gòu)成了復(fù)雜的幾何圖形。

要想準(zhǔn)確地計數(shù)這類圖形中所包含的某一種基本圖形的個數(shù)，就需要仔細(xì)地觀察，靈活地運用

有關(guān)的知識和思考方法，掌握數(shù)圖形的規(guī)律，才能獲得正確的結(jié)果。

二、解題策略

要準(zhǔn)確、迅速地計數(shù)圖形必須注意以下幾點：

1.弄清被數(shù)圖形的特征和變化規(guī)律。

2.要按一定的順序數(shù)，做到不重復(fù)，不遺漏。

0典例分析

1、箍

焉一：基本圖形

例1、數(shù)出下圖中有多少條線段？

ABCD

例2、數(shù)出圖中有幾個角？

A

例3、數(shù)出右圖中共有多少個三角形？

例4、數(shù)出下圖中有多少個長方形?

例5、數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個正方形？（每個小方格是邊長為1的正方形）

考點二：較復(fù)雜的問題

例1、有5個同學(xué)，每兩個人握手一次，一共要握手多少次?

例2、從廣州到北京的某次快車中途要?？?個大站，鐵路局要為這次快車準(zhǔn)備多少種不同車

的車票？這些車票中有多少種不同的票價？

例3、求下列圖中線段長度的總和。（單位：厘米）

.1.423.

ABCDE

例4、下圖中共有多少個三角形?

例5、數(shù)出下圖中所有三角形的個數(shù)。

例6、如下圖，平面上有12個點，可任意取其中四個點圍成一個正方形，這樣的正方形有多

少個?

例7、數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少個三角形？

實戰(zhàn)演練

＞課堂狙擊

1、數(shù)出下圖中有多少條線段?

ABCDE

2、數(shù)出圖中有幾個角？

O

3、數(shù)出圖中共有多少個三角形？

4、數(shù)出下圖中有多少個長方形？

5、銀海學(xué)校三年級有9個班，每兩個班要比賽拔河一次，這樣一共要拔河幾次?

6、從上海到武漢的航運線途中，有9個停靠碼頭，航運公司要為這段航運線準(zhǔn)備多少種不同

的船票？

7、數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個三角形。

8、下圖中共有8個點，連接任意四點圍成一個長方形，一共能圍成多少個長方形?

＞課后反擊

1、數(shù)出下圖中有幾個長方形?

2、數(shù)出圖中有幾個角？

3、數(shù)出圖中共有多少個三角形?

5、有1,2,3,4,5,6,7,8等8個數(shù)字各用一次，能組成多少個不同的兩位數(shù)?

6、從上海至青島的某次直快列車，中途要?？?個大站，這次列車有幾種不同票價?

7、下面圖中共有多少個三角形？

8、下圖中共有多少個正方形，多少個三角形?

色

9、下圖中共有6個點，連接其中的三點圍成一個三角形,一共能圍成多少個三角形?

直擊賽場

1、下邊三個圖中都有一些三角形，在圖A中，有個；在圖B中，有一個；在圖C中，有

個。

B

（第一屆小學(xué)“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽四年級第1試）

2、數(shù)一數(shù)，圖中有個三角形。

（第二屆小學(xué)“希望杯，，全國數(shù)學(xué)邀請賽第2試）

重點回顧

⑴認(rèn)識了解線段、角、三角形、長方形等基本圖形;

⑵學(xué)會數(shù)基本圖形的個數(shù)；

⑶掌握數(shù)圖形的規(guī)律

不名師點撥A

霸和難點突破：

要準(zhǔn)確、迅速地計數(shù)圖形必須注意以下幾點：

1.弄清被數(shù)圖形的特征和變化規(guī)律。

2.要按一定的順序數(shù)，做到不重復(fù)，不遺漏。

.學(xué)霸經(jīng)驗&

A旦本節(jié)課我學(xué)到了

＞我需要努力的地方是

第06講分類數(shù)圖形

教學(xué)目標(biāo)

-認(rèn)識了解線段、角、三角形、長方形等基本圖形;

國學(xué)會數(shù)基本圖形的個數(shù);

/掌握數(shù)圖形的規(guī)律。

知識梳理

一、學(xué)會數(shù)圖形

同學(xué)們，你想學(xué)會數(shù)圖形的方法嗎？要想不重復(fù)也不遺漏地數(shù)出線段、角、三角形、長方形……

那就必須要有次序、有條理地數(shù)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，以便得到正確的結(jié)果。

要正確數(shù)出圖形的個數(shù)，關(guān)鍵是要從基本圖形入手。首先要弄清圖形中包含的基本圖形是什么，

有多少個，然后再數(shù)出由基本圖形組成的新的圖形，并求出它們的和。當(dāng)我們識了線段、角、

三角形、長方形等基本圖形后，這些圖形重重疊疊地交錯在一起時就構(gòu)成了復(fù)雜的幾何圖形。

要想準(zhǔn)確地計數(shù)這類圖形中所包含的某一種基本圖形的個數(shù)，就需要仔細(xì)地觀察，靈活地運用

有關(guān)的知識和思考方法，掌握數(shù)圖形的規(guī)律，才能獲得正確的結(jié)果。

二、解題策略

要準(zhǔn)確、迅速地計數(shù)圖形必須注意以下幾點：

1.弄清被數(shù)圖形的特征和變化規(guī)律。

2.要按一定的順序數(shù)，做到不重復(fù)，不遺漏。

典例分析，

*E—：基本圖形

例;、數(shù)出下圖中有多少條線段？

ABCD

【解析】方法一：我們可以采用以線段左端點分類數(shù)的方法。以A點為左端點的線段有：AB、

AC、AD3條；以B點為左端點的線段有：BC、BD2條；以C點為左端點的線段有：CD1

條。所以，圖中共有線段3+2+1=6（條）。

方法二：把圖中線段AB、BC、CD看做基本線段來數(shù)，那么，由1條基本線段構(gòu)成的線

段有：AB、BC、CD3條；由2條基本線段構(gòu)成的線段有:AC、BD2條；由3條基本線段構(gòu)

成的線段有：AD1條。所以，圖中一共有3+2+1=6（條）線段。

例2、數(shù)出圖中有幾個角？

【解析】數(shù)角的個數(shù)可以采用與數(shù)線段相同的方法來數(shù)。

方法一：以0A為一邊的角有：NAOB、NAOC、NA0D3個；以0B為一邊的角還有:

NBOC、NB0D2個；以0C為一邊的角還有：ZCOD1個。所以，圖中共有角3+2+1=6（個）。

方法二：把圖中/AOB、NBOC、NCOD看做基本角來數(shù)，那么，由1個基本角構(gòu)成的

角有：NAOB、NBOC、NCOD3個；由2個基本角構(gòu)成的角有：NAOC、NBOD2個；由3

個基本角構(gòu)成的角有：NAOD1個。所以，圖中一共有3+2+1=6（個）角。

例3、數(shù)出右圖中共有多少個三角形？

【解析】方法一：我們可以采用按邊分類數(shù)的方法。以PA為邊的三角形有：aPAB、APAC.

△PAD、3個；以PB為邊的三角形還有：△PBC、△PBD2個；以PC為邊的三角形還有：△PCD

1個。所以，圖中共有三角形3+2+1=6（個）。方法二：把圖中三角形APAB、△PBC>△PCD

看做基本三角形來數(shù)，那么，由1個基本三角形構(gòu)成的三角形有：aPAB、△PBC.△PCD3

個；由2個基本三角形構(gòu)成的三角形有：△PAC、△PBD2個；由3個基本三角形構(gòu)成的三角

形有：4PADl個。所以，圖中一共有3+2+1=6（個）三角形。方法三：我們發(fā)現(xiàn)，要數(shù)出圖中

三角形的個數(shù)，只需數(shù)出線段AD中包含幾條線段就可以了，即3+2+1=6（個）。所以圖中共有

6個三角形。

例4、數(shù)出下圖中有多少個長方形？

【解析】數(shù)圖中有多少個長方形和數(shù)三角形的方法一樣，長方形是由長、寬兩對線段圍成，線

段CD上有3+2+1=6（條）線段,其中每一條與AC中一條線段對應(yīng),分別作為長方形的長和寬，

這里共有6xl=6（個）長方形，而AC上共有2+1=3（條）線段也就有6x3=18（個）長方形。它的計算

公式為：

長方形的總數(shù)=長邊線段的總數(shù)x寬邊線段的總數(shù)：

（3+2+l）x（2+l）=18（個）

例5、數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個正方形？（每個小方格是邊長為1的正方形）

【解析】圖中邊長為1個長度單位的正方形有3X3=9個，邊長為2個長度單位的正方形有2

X2=4個，邊長為3個長度單位的正方形有1X1=1個。所以圖中的正方形總數(shù)為：1+4+9=14

個。

經(jīng)進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)，由相同的nXn個小方格組成的幾行幾列的正方形其中所含的正

方形總數(shù)為：IX1+2X2H------FnXno

考點二：較復(fù)雜的問題

例1、有5個同學(xué)，每兩個人握手一次，一共要握手多少次？

【解析】這道題可以用數(shù)線段的方法來解答。根據(jù)題意，畫出線段圖，每一個端點代表一個同

學(xué)。

1~~2~3~4~5

從圖上可以看出，第1個同學(xué)要與其余4個同學(xué)握手共握手4次；第2個同學(xué)還要與其余3個

同學(xué)握手共握手3次，第3個同學(xué)要與其余2個同學(xué)握手共握手2次；第4個同學(xué)還要與最后

1個同學(xué)握手共握手1次。所以，一共要握手4+3+2+1=10(次)

例2、從廣州到北京的某次快車中途要?？?個大站，鐵路局要為這次快車準(zhǔn)備多少種不同車

的車票？這些車票中有多少種不同的票價？

【解析】這道題是數(shù)線段的方法在實際生活中的應(yīng)用，連同廣州、北京在內(nèi)，這條鐵路上共有

10個站，共有1+2+3+…+9=45條線段，因此要準(zhǔn)備45種不同的車票。由于這些車站之間的距

離各不相等，因此，有多少種不同的車票，就有多少種不同的票價，所以共有45種不同的票

價。

例3、求下列圖中線段長度的總和。(單位：厘米)

.1.4.2.3.

ABCDE

【解析】要求圖中的線段長度總和，可以這樣計算：

AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE

=1+(1+4)+(1+4+2)+(1+4+2+3)+4+(4+2)+(4+2+3)+2+(2+3)=352厘米

從上面的計算中可以發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律，算式中長1厘米的基本線段(我們把不能再劃分的線

段稱為基本線段)出現(xiàn)了4次，長4厘米的線段出現(xiàn)了(3X2)次，長2厘米的線段出現(xiàn)了(2義3)

次，長3厘米的線段出現(xiàn)了(1X4)次，所以，各線段長度的總和還可以這樣算：1X4+4X(3X

2)+2X(2X3)+3X(lX4)

=1X(5—1)+4X(5—2)X2+2X(5—3)X3+3X(5—4)X4=52厘米

上式中的5是線段上的5個點，如果設(shè)線段上的點數(shù)為n,基本線段分別為al、a2、…a(n—

l)o以上各線段長度的總和為L,那么L=alX(n-l)Xl+a2X(n-2)X2+a3X(n—3)X3+…+

a(n-l)XlX(n-l)

例4、下圖中共有多少個三角形？

【解析】為了保證不漏數(shù)又不重復(fù)，我們可以分類來數(shù)三角形，然后再把數(shù)出的各類三角形的

個數(shù)相加。

(1)圖中共有6個小三角形；

(2)由兩個小三角形組合的三角形有3個；

(3)由三個小三角形組合的三角形有4個；

(4)由六個小三角形組合的三角形有1個。

所以共有6+3+4+1=14個三角形。

例5、數(shù)出下圖中所有三角形的個數(shù)。

【解析】和三角形AFG一樣形狀的三角形有5個；和三角形ABF一樣形狀的三角形有10個；

和三角形ABG一樣形狀的三角形有5個；和三角形ABE一樣形的三角形有5個；和三角形

AMD一樣形狀的三角形有5個，共35個三角形。

例6、如下圖，平面上有12個點，可任意取其中四個點圍成一個正方形，這樣的正方形有多

少個？

【解析】把相鄰的兩點連接起來可以得到下面圖形，從圖中可以看出:

(1)最小的正方形有6個；

(2)由4個小正方形組合而成的正方形有2個;

(3)中間還可圍成2個正方形。

所以共有6+2+2=10個。

例7、數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少個三角形？

我們可以分類來數(shù)：

1、單一的小三角形有16個；

2、兩個小三角形組合的有10個；

3、四個小三角形組合的有8個；

4、八個小三角形組合的有2個。

所以，圖中一共有16+10+8+2=36個三角形。

工實戰(zhàn)演練

＞課堂狙擊

1、數(shù)出下圖中有多少條線段?

ABCDE

【解析】我們可以采用以線段左端點分類數(shù)的方法。以A點為左端點的線段有4條；以B點

為左端點的線段有3條；以C點為左端點的線段有2條，以D點為左端點的線段有1條。所以

圖中共有線段4+3+2+1=10（條）。

2、數(shù)出圖中有幾個角？

【解析】以O(shè)A為一邊的角有2個；以O(shè)B為一邊的角還有1個；以O(shè)C為一邊的角還有：ZCOD

1個。所以，圖中共有角2+1=3（個）。

3、數(shù)出圖中共有多少個三角形？

【解析】我們可以采用按邊分類數(shù)的方法。以BA為邊的三角形有4個；以AC為邊的三角形

還有3個；以AD為邊的三角形還有2個，以AE為邊的三角形還有1個。所以，圖中共有三

角形4+3+2+1=10（個）。

4、數(shù)出下圖中有多少個長方形？

【解析】長方形的總數(shù)=長邊線段的總數(shù)x寬邊線段的總數(shù):

(4+3+2+1)x(3+2+1)=60(個)

5、銀海學(xué)校三年級有9個班，每兩個班要比賽拔河一次，這樣一共要拔河幾次？

【解析】第一個班要和其余8個班比賽一次，第二個班又要和剩下7個班比賽一次,依次下去，

總數(shù)是：8+7+6+5+4+3+2+1=36場。

6、從上海到武漢的航運線途中，有9個?？看a頭，航運公司要為這段航運線準(zhǔn)備多少種不同

的船票？

【解析】算上上海、武漢一共有11個碼頭,一共有10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55條線段，那么

算上往返的船票，一共是110種。

7、數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個三角形。

【解析】一共有22+10=32個。

8、下圖中共有8個點，連接任意四點圍成一個長方形，一共能圍成多少個長方形?

【解析】

一共3+2+1=6個。???

＞課后反擊

1、數(shù)出下圖中有幾個長方形?

【解析】一共5+4+3+2+1=15個。

【解析】一共4+3+2+1=10個。

3、數(shù)出圖中共有多少個三角形？

【解析】一共有(4+3+2+1)+(4+3+2+1)=20個。

4、數(shù)出下圖中有多少個長方形？

【解析】一共有：4+1+1+1=7個。

5、有1,2,3,4,5,6,7