電路分析第7章：正弦穩(wěn)態(tài)分析

第7章正弦穩(wěn)態(tài)分析7.1正弦量7.2正弦量的相量表示法7.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型7.4阻抗與導(dǎo)納7.5正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法7.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率7.7三相電路7.8非正弦周期電路的穩(wěn)態(tài)分析7.1正弦量在本節(jié)中將介紹正弦量的三要素、相位差和有效值等概念。7.1.1正弦量的三要素所謂正弦量是指隨時(shí)間按正弦或余弦規(guī)律變化的物理量。正弦量既可用正弦函數(shù)表示，亦可用余弦函數(shù)表示，但在本書中將采用余弦函數(shù)表示正弦量。正弦量除可用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示外，還可用波形圖表示。由于無論正弦量的頻率f為何值，每個(gè)循環(huán)正弦量的相位總改變2π弧度，因此為方便起見，作波形圖時(shí)，通常以ωt為橫軸坐標(biāo)。圖7-1(a)和(b)分別給出了φ＞0和φ＜0時(shí)，正弦量f(t)的波形圖。圖７-１正弦量f(t)的波形7.1.2正弦量間的相位差在同一正弦穩(wěn)態(tài)電路中，任意電壓和電流都是同頻率的正弦量，因此各正弦量的區(qū)別在于振幅和初相不同；雖然我們關(guān)心各電壓或電流的大小，但有時(shí)也關(guān)心各正弦電壓和電流間變化進(jìn)程之間的差別，即正弦量間的相位差。對于同頻的兩個(gè)正弦量，計(jì)時(shí)起點(diǎn)改變，雖然它們的初相發(fā)生變化，但由于初相的改變量相同，所以相位差不變，因此相位差與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇無關(guān)，基于此在正弦穩(wěn)態(tài)電路分析中，為方便起見，通過選擇合適的計(jì)時(shí)起點(diǎn)，使某個(gè)正弦量的初相為零，然后再由相位差來決定其他正弦量的初相，并將這個(gè)初相為零的正弦量稱為參考正弦量；對于兩個(gè)不同頻率的正弦量，由于它們的相位差隨時(shí)間變化，無法確定它們之間的超前與落后關(guān)系，因此其相位差無實(shí)際意義。7.1.3正弦量的有效值周期信號(包括正弦信號)的瞬時(shí)值隨時(shí)間不斷變化，在測量和計(jì)算中使用很不方便，因此在工程中常常用有效值來度量周期信號的大小。周期信號的有效值是根據(jù)其本身的熱效應(yīng)與一個(gè)直流信號的熱效應(yīng)進(jìn)行對比而定義的。有效值在工程中應(yīng)用十分廣泛，實(shí)驗(yàn)室中的交流電流表和電壓表的刻度是指其有效值，交流電機(jī)和電器的銘牌上所標(biāo)注的額定電壓或電流是指有效值，通常所說的民用交流電的電壓為220V，指的也是其電壓的有效值。7.2正弦量的相量表示法任意一個(gè)正弦量由它的振幅、角頻率和初相這3個(gè)要素惟一地確定。正弦穩(wěn)態(tài)電路中，響應(yīng)與激勵均為同頻的正弦量，而激勵的頻率通常是已知的，因此要求響應(yīng)，只需求出其振幅和初相即可。相量法就是利用這一事實(shí)，用相量（復(fù)數(shù)）表示正弦量的振幅和初相，將電路微分方程變換為復(fù)數(shù)代數(shù)方程，從而大大簡化正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析計(jì)算。時(shí)間函數(shù)表達(dá)式與相量是在不同域中對正弦量的表示，通常將正弦量的時(shí)間函數(shù)表達(dá)式和對應(yīng)的波形圖稱為正弦量的時(shí)域表示；而將相量和對應(yīng)的相量圖稱為正弦量的相量表示或頻域表示。7.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型由于電路的兩種約束，即基爾霍夫定律和電路元件的伏安關(guān)系是進(jìn)行電路分析的兩個(gè)基本依據(jù)，因此在介紹正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法之前，首先要討論基爾霍夫定律和電路元件伏安關(guān)系的相量形式。7.3.1基爾霍夫定律的相量形式7.3.2電路元件伏安關(guān)系的相量形式1.電阻元件伏安關(guān)系的相量形式2.電容元件伏安關(guān)系的相量形式3.電感元件伏安關(guān)系的相量形式 對于一個(gè)正弦穩(wěn)態(tài)電路，若將電路中的所有電壓和電流（包括電源和各支路電壓或電流）都用它們對應(yīng)的相量代替；將所有的電路元件都用它們的相量模型代替，則可得到原電路對應(yīng)的相量模型。7.4阻抗與導(dǎo)納由前已知，在電阻電路中，任意一個(gè)線性無源二端網(wǎng)絡(luò)可等效為一個(gè)電阻或電導(dǎo)。在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，通過引入阻抗和導(dǎo)納的概念，將看到任意一個(gè)無源二端網(wǎng)絡(luò)的相量模型可與一個(gè)阻抗或?qū)Ъ{等效。圖７-１４阻抗與導(dǎo)納正弦穩(wěn)態(tài)電路中無源二端網(wǎng)絡(luò)，就其端口而言，既可用阻抗等效，也可用導(dǎo)納等效，前者為電阻和電抗的串聯(lián)電路，后者為電導(dǎo)和電納的并聯(lián)電路。由于阻抗和導(dǎo)納都是角頻率ω的函數(shù)，因此隨著ω的改變，電路的性質(zhì)（感性、容性或電阻性）和等效電路中元件參數(shù)都會隨之改變。7.5正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法應(yīng)用相量法對正弦穩(wěn)態(tài)電路進(jìn)行分析的主要步驟為：首先將時(shí)域電路變換為相量模型；其次利用KVL、KCL

和元件伏安關(guān)系的相量形式以及由它們導(dǎo)出的各種分析法、等效變換和定理建立復(fù)代數(shù)方程，并解出所求響應(yīng)的相量；最后將響應(yīng)的相量變換為正弦量。由于正弦量與其對應(yīng)相量之間的相互變換很簡單，復(fù)代數(shù)方程的求解比解微分方程容易，且可避免微分方程的建立過程，因此用相量法對正弦穩(wěn)態(tài)電路進(jìn)行分析將較簡便，這就是相量法的優(yōu)點(diǎn)。7.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率正弦穩(wěn)態(tài)電路的重要用途之一就是傳遞能量，因此，有關(guān)正弦穩(wěn)態(tài)電路功率的概念和計(jì)算是正弦穩(wěn)態(tài)電路分析的重要內(nèi)容。本節(jié)首先介紹正弦穩(wěn)態(tài)電路中二端網(wǎng)絡(luò)的功率及其計(jì)算，引入平均功率、視在功率、無功功率、復(fù)功率及功率因數(shù)等概念，然后討論正弦穩(wěn)態(tài)電路中的最大功率傳輸問題。7.6.1二端網(wǎng)絡(luò)的功率平均功率不僅取決于電壓和電流的有效值，還與阻抗角有關(guān)。下面介紹正弦電路有功功率的測量。在測量負(fù)載的有功功率時(shí)，既要測出它的電壓和電流的有效值，又要測出兩者之間的相位差。在工程上通常用瓦特表來測量電路的平均功率，瓦特表也稱（單相）功率表。電動式瓦特表的基本結(jié)構(gòu)、符號和測量時(shí)的接線圖分別如圖7-25（a)、(b)和(c)所示。瓦特表有兩個(gè)線圈：固定的電流線圈和可轉(zhuǎn)動的電壓線圈。圖中電流線圈端1和電壓線圈端2標(biāo)有“*”號，稱為兩個(gè)線圈的同名端（有關(guān)“同名端”的內(nèi)容詳見下1章），標(biāo)志兩線圈的繞線特性。測量負(fù)載的功率時(shí)，電路連接如圖7-25(c)所示。圖７-２5瓦特表的基本結(jié)構(gòu)、符號和接線圈將電流線圈串入被測量的電路，電壓線圈跨接在負(fù)載兩端，并注意同名端的位置。兩組線圈中分別流過電流，并產(chǎn)生磁場。在磁場的作用下使可轉(zhuǎn)動的線圈2產(chǎn)生偏轉(zhuǎn)，從而帶動指針顯示被測量值。瓦特表的讀數(shù)等于加在電壓線圈上的電壓有效值和流過電流線圈的電流有效值的乘積，并乘以電壓（參考方向從星號指向非星號）相量和電流（參考方向也從星號指向非星號）相量之間相位差的余弦。對于感性負(fù)載可通過并聯(lián)電容，利用電容元件的無功功率去補(bǔ)償感性負(fù)載的無功功率，從而減少網(wǎng)絡(luò)與電源間的能量交換，提高電路的功率因數(shù)，相應(yīng)地減小網(wǎng)絡(luò)的視在功率和電源的輸出電流。7.6.2最大功率傳輸7.7三相電路三相電路是一種特殊形式的復(fù)雜正弦電路，由于在發(fā)電、輸電和用電等方面三相電路與單相電路相比有很多優(yōu)點(diǎn)，因此從19世紀(jì)末三相電路出現(xiàn)以來，一直被世界各國的電力供電系統(tǒng)廣泛采用。7.7.1三相電路的基本概念三相電路是由三相電源和三相負(fù)載所組成的電路整體的總稱。所謂三相電源是指能同時(shí)產(chǎn)生3個(gè)頻率相同但相位不同的正弦電壓的電源總體。三相交流發(fā)電機(jī)就是一種應(yīng)用最普遍的三相電源。如果三相電源產(chǎn)生的3個(gè)同頻正弦電壓的振幅相等、相位彼此互差120°，則稱為對稱三相電源。在電路分析中，三相電源的電路模型由3個(gè)獨(dú)立正弦電壓源按一定方式連接而成，其中的每一個(gè)電壓源稱為三相電源的一相。三相電源中，通常把各相電壓經(jīng)過同一值（如最大值）的先后次序稱為相序。如果相序?yàn)锳－B－C（或B－C－A和C－A－B），則稱為正序或順序；相反，如果相序?yàn)锳－C－B（或C－B－A和B－A－C），則稱為反序或逆序。圖7-34對稱三相電源的波形圖和相量圖在三相電路中，三相電源有星形（Y）和三角形（Δ）兩種連接方式。星形連接如圖７-35（a)所示，是將三相電源的3個(gè)負(fù)極性端X、Y和Z連接起來形成一個(gè)公共點(diǎn)O，O點(diǎn)稱為三相電源的中點(diǎn)，從三相電源的3個(gè)正極性端A、B和C引出供電線，引出的供電線稱為端線，俗稱火線。三角形連接如圖７-35（b)所示，是將三相電源的正極性端和負(fù)極性端順次相接構(gòu)成一個(gè)回路，從連接點(diǎn)A（Z）、B（Y）和C（X）引出供電線。必須注意，三相電源作三角形連接時(shí)，各相電源的極性不能接錯。圖7-35三相電源的連接方式三相電路中，負(fù)載一般也是三相的，即由三個(gè)負(fù)載阻抗組成，每一個(gè)負(fù)載稱為三相負(fù)載的一相。如果三相負(fù)載的3個(gè)負(fù)載阻抗相同，則稱為對稱負(fù)載；否則稱為不對稱負(fù)載。三相電動機(jī)就是一種常見的對稱負(fù)載。三相負(fù)載也有星形（Y）和三角形（Δ）兩種連接方式，如圖7-36（a)

和（b)所示。星形連接時(shí)，3個(gè)負(fù)載的公共點(diǎn)O′，稱為三相負(fù)載的中點(diǎn)。圖7-36三相負(fù)載的連接方式由于三相電源和三相負(fù)載均有星形和三角形兩種連接方式，因此當(dāng)三相電源和三相負(fù)載通過供電線連接構(gòu)成三相電路時(shí)，可形成如圖7-37所示的4種連接方式的三相電路。在三相電路中，電源通常都是對稱的，負(fù)載則可能對稱，也可能不對稱。所謂對稱三相電路就是由對稱三相電源、對稱三相負(fù)載及對稱三相線路組成的電路。三相線路是指三相端線，如各端線的阻抗相等，則稱為對稱三相線路。通常一個(gè)電源對外供電需用兩根導(dǎo)線，3個(gè)電源需用6根導(dǎo)線，但在三相電路中，如圖7-37所示只需3根或4根導(dǎo)線即可，因此采用三相制供電方式可節(jié)省大量架線器材，這是三相制的一大優(yōu)點(diǎn)。7.7.2對稱三相電路的分析從電路分析的角度看，穩(wěn)定工作中的三相電路實(shí)質(zhì)上是一個(gè)正弦穩(wěn)態(tài)電路，可按一般正弦穩(wěn)態(tài)電路進(jìn)行分析。但由于對稱三相電路有一些特殊的對稱性質(zhì)，利用這些性質(zhì)可大大簡化計(jì)算。在三相電路中，將每相電源或負(fù)載上的電壓稱為電源或負(fù)載的相電壓，流過每相電源或負(fù)載的電流稱為電源或負(fù)載的相電流，火線間的電壓稱為線電壓，火線上的電流稱為線電流。圖７-38對稱三相電源星形連接時(shí)，相電壓、線電壓關(guān)系圖７-39對稱三相負(fù)載三角形連接時(shí),相電流、線電流關(guān)系7.7.3不對稱三相電路概念通常，在不對稱三相電路中，主要負(fù)載是不對稱的，而三相電源和三相線路一般是對稱的。不對稱三相電路沒有上節(jié)所述的特點(diǎn)，不能采用單相電路來進(jìn)行計(jì)算。一般情況下，不對稱三相電路可以看成復(fù)雜正弦穩(wěn)態(tài)電路，可用一般復(fù)雜正弦穩(wěn)態(tài)電路的方法來分析計(jì)算。圖7-40不對稱三相電路及其相量圖7.7.4三相電路的功率測量三相電路的有功功率可用功率表來測量，測量方法隨三相電路連接形式以及是否對稱而有所不同。先討論三相四線制電路中的有功功率測量方法。由于三相負(fù)載吸收的有功功率為其各相有功功率之和，所以，三相負(fù)載的有功功率可以用3個(gè)功率表分別測量。三表指示值之和為三相負(fù)載吸收的總功率。如圖7-45所示。這種方法共用3個(gè)功率表，所以叫作三表法。圖7-45三相四線制功率測量當(dāng)三相電路對稱時(shí)，上述3個(gè)功率表指示值是相同的。故此時(shí)可以用1個(gè)功率表測量任一相的功率，然后再乘以3即可得到三相負(fù)載吸收的有功功率。這種方法稱為一表法。當(dāng)然，電路不對稱時(shí)，3個(gè)功率表的指示一般不相同，這時(shí)，只能用三表法。在三相三線制電路中，理論上也可以用三表法來測量，如圖7-46所示。但實(shí)際上很少應(yīng)用。觀察圖7-46(a)星形負(fù)載的中點(diǎn)O′常常不易在電機(jī)或電器的外部找到；圖7-46(b)三角形負(fù)載也會帶來連接方面的困難。圖7-46三表法測量三相三線制功率工程實(shí)際中，三相三線制電路無論負(fù)載對稱與否，其三相負(fù)載吸收的總有功功率一般都使用兩個(gè)單相功率表來測量，這種方法稱為兩表法。如圖7-47所示，兩個(gè)功率表的電流線圈分別串入任意兩條端線中，它們的電壓線圈的非星號端共同接到第三條端線上。顯然，這種測量方法中功率表的接線只觸及到端線而不觸及到負(fù)載或電源的內(nèi)部，且與負(fù)載或電源的連接方式無關(guān)。這時(shí)，兩只功率表讀數(shù)的代數(shù)和等于被測三相電路的總功率。圖7-47兩表法測量三相三線制功率應(yīng)該指出：1.兩表法不能用來測量三相四線制負(fù)載的有功功率；2.用兩表法測量三相三線制負(fù)載功率時(shí)，一般來說，每個(gè)功率表的讀數(shù)沒有什么意義，兩表的讀數(shù)一般不相同，其中1個(gè)讀數(shù)還可能為零或負(fù)值；3.當(dāng)然，對于對稱三相三線制電路也可以用一個(gè)功率表來測量三相負(fù)載的總功率。但這時(shí)需要建立中點(diǎn)，以便使功率表電壓線圈得到規(guī)定的相電壓，即需在另兩條端線上分別接兩個(gè)高阻值電阻，其阻值與功率表電壓線圈電阻值相同，且接成星形連接。如圖7-48所示。圖7-48對稱三相三線制負(fù)載功率測量7.8非正弦周期電路的穩(wěn)態(tài)分析7.8.1周期信號的分解與非正弦周期電路的穩(wěn)態(tài)分析在實(shí)際應(yīng)用中，除了直流電路和正弦穩(wěn)態(tài)電路外，還經(jīng)常遇到激勵為周期方波信號