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文檔簡介

課程名稱:乘法的速算與巧算

教學(xué)內(nèi)容和地位:這一部分內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了整數(shù)乘法及乘法的運算定律

的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的。乘、除法的一些運算律和性質(zhì),它是乘、

1、教材分析除法中巧算的理論根據(jù),也給出了一些巧算的方法。本講在此

基礎(chǔ)上再介紹一些乘法中的巧算方法。

教學(xué)重點:

教學(xué)難點:

2、課時規(guī)劃課時:3課時

3、教學(xué)目標(biāo)掌握巧算中經(jīng)常要用到的一些運算定律,如乘法交換律、結(jié)合律、分配律以及

分析除法分配律等變式定律與性質(zhì)。

一、課前復(fù)習(xí)

二、知識點串講

4、教學(xué)思路三、難點知識剖析

四、能力提升

五、易錯點總結(jié)

必講知識點

一、課前復(fù)習(xí)

乘法的意義,乘法交換律,乘法結(jié)合律,乘法分配律的意義。

二、知識點串講

1,整數(shù)乘法的意義:整數(shù)乘法的意思,是幾個相同的整數(shù)的和的一種表達(dá)

形式

如ab中,a和b都是整數(shù)

他們的乘積相當(dāng)于a個b的和或b個a的和

2,整數(shù)的運算定律:a,b,c為整數(shù)

5、教學(xué)過程

設(shè)計

加法交換律:a+b=b+a

加法結(jié)合律:a+b+c

=(a+b)+c

=a+(b+c)

=(a+c)+b

乘法交換律:axb=bxa

乘法結(jié)合律:axbxc

=(axb)xc

=ax(bxc)

=(a><c)xb

乘法分配律:ax(b+c)

=axb+a><c

三、難點知識剖析

1、乘11,101,1001的速算法

一個數(shù)乘以11,101,1001時,因為11,101,1001分別

比10,100,1000大1,利用乘法分配律可得

aXll=aX(10+l)=10a+a,

aX101=aX(101+l)=100a+a,

aX1001=aX(10004-l)=1000a+ao

例如,38X101=38X100+38=3838o

2.乘9,99,999的速算法

一個數(shù)乘以9,99,999時,因為9,99,999分別比10,

100,1000小1,利用乘法分配律可得

aX9=aX(10-1)=10a-a,

aX99=aX(100-l)=100a-a,

aX999=aX(1000-1)=1000a-ao

例如,18X99=18X100-18=1782。

上面講的兩類速算法,實際就是乘法的湊整速算。湊整速

算是當(dāng)乘數(shù)接近整十、整百、整千……的數(shù)時,將乘數(shù)表示成

上述整十、整百、整千……與一個較小的自然數(shù)的和或差的形

式,然后利用乘法分配律進(jìn)行速算的方法。

例1,計算:

(1)356X1001

=356X(1000+1)

=356X1000+356

=356000+356

=356356;

(2)38X102

=38X(100+2)

=38X100+38X2

=3800+76

=3876;

(3)526X99

=526X(100-1)

=526X100-526

=52600-526

=52074;

(4)1234X9998

=1234X(10000-2)

=1234X10000-1234X2

3.乘5,25,125的速算法

一個數(shù)乘以5,25,125時,因為5X2=10,25X4=100,

125X8=1000,所以可以利用“乘一個數(shù)再除以同一個數(shù),數(shù)

值不變”及乘法結(jié)合律,得到

例如,76X25=7600+4=1900。

上面的方法也是一種“湊整”,只不過不是用加減法“湊

整”,而是利用乘法“湊整”。當(dāng)一個乘數(shù)乘以一個較小的自

然數(shù)就能得到整十、整百、整千……的數(shù)時,將乘數(shù)先乘上這

個較小的自然數(shù),再除以這個較小的自然數(shù),然后利用乘法結(jié)

合律就可達(dá)到速算的目的。

例2計算:

(1)186X5

=186X(5X2)4-2

=18604-2

=930;

(2)96X125

=96X(125X8)4-8

=960004-8=12000o

有時題目不是上面講的“標(biāo)準(zhǔn)形式”,比如乘數(shù)不是25

而是75,此時就需要靈活運用上面的方法及乘法運算律進(jìn)行

速算了。

例3計算:

(1)84X75

=(21X4)X(25X3)

=(21X3)X(4X25)

=63X100=6300;

(2)56X625

=(7X8)X(125X5)

=(7X5)X(8X125)

=35X1000=35000;

(3)33X125

=32X125+1X125

=4000+125=4125;

(4)39X75

=(32+1)X125=(40-1)X75

=40X75-1X75

=3000-75=2925o

4.個位是5的兩個相同的兩位數(shù)相乘的速算法

個位是5的兩個相同的兩位數(shù)相乘,積的末尾兩位是25,

25前面的數(shù)是這個兩位數(shù)的首位數(shù)與首位數(shù)加1之積。例如:

四、能力提升

求一位數(shù)的平方,在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被同學(xué)們熟知,如7"=49(七

七四十九)。對于兩位數(shù)的平方,大多數(shù)同學(xué)只是背熟了10?20的平方,而

21?99的平方就不大熟悉了。有沒有什么竅門,能夠迅速算出兩位數(shù)的平方

呢?這里向同學(xué)們介紹一種方法一湊整補零法。所謂湊整補零法,就是用所

求數(shù)與最接近的整十?dāng)?shù)的差,通過移多補少,將所求數(shù)轉(zhuǎn)化成一個整十?dāng)?shù)乘以

另一數(shù),再加上零頭的平方數(shù)。下面通過例題來說明這一方法。

例1,?求292和822的值。

解:解2=29x29

=(29+1)x(29-1)+12

=30x28+1

=840+1

=841。

822=82x82

=(82-2)x(82+2)+22

=80x84+4

=6720+4

=6724。

由上例看出,因為29比30少1,所以給29"補”1,這

叫“補少”;因為82比80多2,所以從82中“移走”2,這叫

“移多”。因為是兩個相同數(shù)相乘,所以對其中一個數(shù)“移多

補少”后,還需要在另一個數(shù)上“找齊”。本例中,給一個29

補1,就要給另一個29減1;給一個82減了2,就要給另

一個82加上2。最后,還要加上“移多補少”的數(shù)的平方。

由湊整補零法計算352,得

35x35=40x30+52=1225。這與個位數(shù)是5的數(shù)的平

方的速算方法結(jié)果相同。

這種方法不僅適用于求兩位數(shù)的平方值,也適用于求

三位數(shù)或更多位數(shù)的平方值。

例2,?求9932和20042的值。

解:9932=993x993

=(993+7)x(993-7)+72

=1000x986+49

=986000+49

=986049。

20042=2004x2004

=(2004-4)x(2004+4)+42

=2000x2008+16

=4016000+16

=4016016。

下面,我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法。

請看下面的算式:

66X46,73X88,19X44。

這幾道算式具有一個共同特點,兩個因數(shù)都是兩位數(shù),

一個因數(shù)的十位數(shù)與個位數(shù)相同,另一因數(shù)的十位數(shù)與個

位數(shù)之和為10。這類算式有非常簡便的速算方法。

例3,?88X64=?

分析與解:由乘法分配律和結(jié)合律,得到

88x64

=(80+8)x(60+4)

=(80+8)x60+(80+8)x4

=80*60+8x60+80x4+8x4

=80x60+80x6+80x4+8x4

=80“(60+6+4)+8x4

=80x(60+10)+8x4

=8x(6+1)X100+8*4O

于是,我們得到下面的速算式:

由上式看出,積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積,本例為8x4;積中

從百位起前面的數(shù)是“個位與十位相同的因數(shù)”的十位數(shù)與“個位與十位之和為

10的因數(shù)”的十位數(shù)加1的乘積,本例為8x(6+1)。

例4,77x91=?

解:由例3的解法得到

由上式看出,當(dāng)兩個因數(shù)的個位數(shù)之積是一位數(shù)時,應(yīng)在十位上補一個0,

本例為7x1=07。

用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數(shù)的乘法計算。

五、易錯點總結(jié)

小結(jié):計算整數(shù)乘法時,應(yīng)該注意以下幾點:

1、掌握好乘法運算定律,是解題的關(guān)鍵。

2、乘法分配律為:aX(b+c)=aXb+aXc,反過來為aXb+aXc=aX(b

+c)?計算時,注意根據(jù)題目特點,靈活選用。

練習(xí)題:用速算法計算下列各題:

1.(1)68X101;(2)74X201;

(3)762X999;(4)34X98。

2.(1)5

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