線性代數(shù)特征值與特征向量

在數(shù)學和工程技術的許多領域，如微分方程、運動穩(wěn)定性、振動、自動控制、多體系統(tǒng)動力學、航空、航天等等，常常遇到矩陣的相似對角化問題。而解決這一問題的重要工具就是特征值與特征向量。為此，本章從介紹特征值與特征向量的概念和計算開始，進而討論矩陣與對角形矩陣相似的條件，最后介紹相關的應用問題。第五章特征值與特征向量一.特征值與特征向量的定義和求法

§5.1特征值與特征向量

定義5.1.1設A=[]是n階方陣。若存在數(shù)λ及非零列向量，或則稱λ為矩陣A的特征值，X為矩陣A的屬于（或?qū)冢┨卣髦郸说奶卣飨蛄俊?/p>

X=使得注意:1.只有方陣才有特征值與特征向量;2.特征向量必須是非零向量，而特征值不一定非零。下面討論特征值和特征向量的解法：式子可寫成以下線性方程組如果是方程組的非零解，則有是的根。反之，如果有是的根，方程組有非零解。是的特征值的特征向量，是的特征根。

定義5.1.2設A為n階方陣，稱為矩陣A的特征矩陣，為矩陣A的特征多項式，

=0為矩陣A的特征方程，為矩陣A的特征方程組。綜上，可得矩陣的特征值與特征向量的求法：（1)寫出矩陣的特征多項式，它的全部根就是矩陣的全部特征值;

(2)

設是矩陣的全部互異的特征值.將的每個互異的特征值分別代入特征方程組，得分別求出它們的根底解系這就是特征值所對應的線性無關的特征向量。非零線性組合是的屬于特征值的全部特征向量，其中為任意常數(shù)。例1

設求A的特征值與特征向量．解1l=-1當時解方程組〔-I-A)X=0得根底解系為：例2

證明：若是矩陣A的特征值，是A的屬于的特征向量，則證再繼續(xù)施行上述步驟次，就得顯然單位矩陣的特征值全是1；零矩陣的特征值全是0；上〔下〕三角陣的特征值是它的全部主對角元。矩陣的全部特征值的集合常稱為的譜。二、特征值和特征向量的性質(zhì)設，易見，它的特征多項式是關于的次多項式，不妨設為即考慮上式左端行列式的展開式，它除了這一項含有個形如的因式外，其余各項最多含有個這樣的因式。于是只能由（5.1.6)產(chǎn)生。比較（5.1.5)兩端的系數(shù)，得在式（5.1.5)中，令，得另外,根據(jù)多項式理論，次多項式在復數(shù)域上有個根，不妨設為，又由于的首項系數(shù)，于是有比較和，得于是可得特征值的重要性質(zhì):由易見，矩陣可逆的充要條件是它的所有特征值都不為零。矩陣的主對角線上的所有元素之和稱為矩陣的跡，記作。于是，性質(zhì)又可寫成還可證明，特征值和特征向量還有如下性質(zhì)：并可證明，的屬于特征值的全部特征向量，再添加零向量，便可以組成一個子空間，稱之為的屬于特征值的特征子空間，記為。不難看出，正是特征方程組的解空間。假設都是矩陣的屬于特征值的特征向量，那么其非零線性組合也是A的屬于特征值的特征向量。若是矩陣的特征值，是的屬于特征值的特征向量，則有是矩陣的特征值（其中為正整數(shù)）；是矩陣的特征值（其中為任意常數(shù)）；是的特征值（這里是關于的多項式函數(shù)）;當可逆時，是的特征值；并且仍是矩陣的分別對應于特征值的特征向量；例n階可逆方陣A的全部特征值為求的全部特征值及解由特征值的性質(zhì)知，又可逆，從而的全部特征值為由伴隨矩陣的性質(zhì)知，當可逆時，從而有于是，由上述性質(zhì)中的知，的全部特征向量值為于是三.矩陣的相似定義設A、B是兩個n階矩陣。若存在n階可逆矩陣P，使得則稱Ａ相似于Ｂ，記作Ａ～Ｂ，Ｐ稱為由Ａ到Ｂ的相似變換矩陣。

相似矩陣具有如下性質(zhì)：顯然，假設~，那么另外，可以證明，相似矩陣還有以下性質(zhì)：為任意數(shù)。其中均為階矩陣，為階可逆矩陣。特別地，當時，有〔4〕假設A~B，那么f(A)~f(B)，這里為任一多項式函數(shù)。其證明如下：設那么由A~B可知，存在可逆矩陣，使得于是即得f(A)~f(B)。若~，則，其證明如下由~可知，存在可逆矩陣，使得于是由上易見，若~，則矩陣，有相同的譜。若~，則~其證明如下：由~可知，存在可逆矩陣取顯然可逆，且于是有因此~

例５.１.3設是矩陣Ａ的屬于特征值的特征向量。證明：是矩陣Ｂ的對應于特征值的一個特征向量。證由可得于是又由得，故結論成立。2）求。例５.１.4已知

1）求；解1〕先求得于是2〕由上式得兩端同時求次冪，得思考題思考題解答§５.２矩陣的相似對角化

一.矩陣可對角化的條件不妨假設階方陣可相似于對角陣，即存在可逆矩陣，使得或令并將之代入上式，得即從而有由可逆知,且線性無關從而是的個線性無關的特征向量，是的個特征值。反之，若階方陣有個線性無關的特征向量，不妨設為，則存在相應的特征值，使得此時，令顯然可逆，且有綜上，有如下結論定理５．２．１ｎ階方陣Ａ可相似對角化的充要條件是Ａ有ｎ個線性無關的特征向量。

與相對應的對角陣的主對角元正好是的全部特征值，并且的順序與的順序相對應.相似變換矩陣由的個線性無關的特征向量作為列構成，即不唯一，因為1〕特征向量不唯一；2)的順序隨的順序改變而改變。根據(jù)定理5.2.1，階方陣的相似對角化問題就轉化為是否有個線性無關的特征向量的問題.定理５.２.２ｎ階方陣Ａ的屬于不同特征值的特征向量是線性無關的。

證設的互不相等特征值及其對應特征向量且有下證線性無關。當時，顯然結論成立。假設結論對個互異的特征值成立，下面證對個互異特征值也成立。設上式兩端同時左乘A，得由于上式可變?yōu)橛墒綔p式的倍，消去，得根據(jù)歸納假設，線性無關。于是已知，所以必有綜上，結論對一切正整數(shù)都成立。代入，得又因，所以必有，于是線性無關。推論假設ｎ階方陣Ａ有n個互異的特征值〔即特征多項式無重根〕，那么Ａ可相似對角化。定理５．２．３設是ｎ階方陣Ａ的ｍ個互異的特征值，是屬于特征值的線性無關的特征向量,那么由所有這些特征向量〔共個〕構成的向量組是線性無關的。由定理和知，對階方陣來說，只要屬于它的各個互異特征值的特征向量的總數(shù)不少于,就可以相似對角化。那么，對它的特征值來說，屬于它的線性無關的特征向量最多有多少個？由§５.1知，特征值對應的全部特征向量正好是特征方程組的全部非零解。因此，的屬于特征值的線性無關的特征向量最多有個。

這個數(shù)就是特征方程組解空間的維數(shù)，也即特征子空間的維數(shù)，稱之為特征值的幾何重數(shù)，記為。另外，有被稱為特征值的代數(shù)重數(shù)，且有設A的互異特征值,對應的幾何重數(shù)分別為。于是A的線性無關的特征向量最多有個。A可相似對角化當且僅當定理５.2.4

ｎ階方陣Ａ的任一特征值的幾何重數(shù)不大于它的代數(shù)重數(shù)。

特別地，對于單特征值，其幾何重數(shù)等于代數(shù)重數(shù)。由定理可得同時，由上面，A可相似對角化當且僅當于是有定理５．２．５設是ｎ階方陣A的全部互異的特征值，和分別是特征值的代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)，i=1，2，…,s，則A可相似對角化的充要條件是=，i=1，2，…，s

二相似對角化的方法求出的全部互異的特征值前面討論了階矩陣可相似對角化的條件，下面給出求相似對角陣及變換矩陣的方法和步驟：對每個特征值,求特征矩陣的秩，并判斷的幾何重數(shù)是否等于它的代數(shù)重數(shù)。只要的一組根底解系有一個不相等，就不可以相似對角化；否則可以相似對角化。當可以對角化時，對每個特征值,求方程組那么有令其中有個。例1

判斷下列實矩陣能否化為對角陣？解解之得根底解系求得根底解系解之得根底解系故不能化為對角矩陣.A能否對角化？若能對角例2解解之得根底解系所以可對角化.注意即矩陣的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應．那么從而有一般地，對任意多項式及階方陣,若三、小結

１．相似矩陣相似是矩陣之間的一種關系，它具有很多良好的性質(zhì)，除了課堂內(nèi)介紹的以外，還有：２．相似變換與相似變換矩陣這種變換的重要意義在于簡化對矩陣的各種運算，其方法是先通過相似變換，將矩陣變成與之等價的對角矩陣，再對對角矩陣進行運算，從而將比較復雜的矩陣的運算轉化為比較簡單的對角矩陣的運算．

相似變換是對方陣進行的一種運算，它把A變成，而可逆矩陣稱為進行這一變換的相似變換矩陣．思考題思考題解答§５.３實對稱矩陣的相似對角化一.實對稱矩陣的特征值和特征向量.二.實對稱矩陣的相似對角化。定理1實對稱矩陣的特征值為實數(shù).證明一.實對稱矩陣的特征值和特征向量.于是有兩式相減，得定理

實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量是正交的。

證設于是二、實對稱矩陣的相似對角化定理設是n階實對稱矩陣A的任一特征值，p，q分別為它的代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)，則定理對任一ｎ階實對稱矩陣Ａ，存在ｎ階正交矩陣Ｑ，使得

其中為矩陣Ａ的全部特征值。

由此定理知，實對稱矩陣一定可以相似對角化，而且有根據(jù)上述結論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為：將特征向量正交化;3.將特征向量單位化.4.2.1.解例

對下列各實對稱矩陣，分別求出正交矩陣，使為對角陣.(1)第一步求的特征值解之得根底解系解之得根底解系解之得根底解系第三步將特征向量正交化第四步將特征向量單位化于是得正交陣例設3階實對稱矩陣A的特征值為1，4，-2，矩陣A對應的特征值1和4的特征向量分別為〔1〕求A的特征值-2的特征向量；〔2〕求A。解

設A的特征值-2的特征向量是因此，A的特征值-2的全部特征向量為求得其一組基礎解系：（2）取同時從而例5.3.3已知為實對稱矩陣，且證明：存在正交矩陣，使得證由知和有相同的特征值，設為根據(jù)定理5.3.4，對和分別存在正交矩陣和,使得從而有其中由正交矩陣的性質(zhì)知，為正交矩陣。取，于是有思考題思考題解答§５．４應用

一.求解線性方程組例５．４．１求解線性微分方程組

解令則方程組可表示成矩陣形式假設可以相似對角化，即存在可逆矩陣,使得其中為的全部特征值。于是令即其中,將式代入式，得在上式兩端同時左乘,得即將上式積分得其中為積分常數(shù)。將式代入式，可得其中為矩陣的第列，也是的對應于特征值的特征向量，另外，對于階線性齊次常系數(shù)微分方程可令于是，可得與方程同解的方程組其中式可寫成矩陣形式于是這類微分方程可以歸結為等價的線性微分方程組，然后再利用特征值和特征向量求解。解令例５．４．２求解微分方程于是，式可變?yōu)榈葍r的方程組即其中于是由例可知，可求得的特征值為，對應的特征向量分別為從而其中為任意常數(shù)。二.Ｍａｒｋｏｖ過程例５．４．３某超市為了提高自己的經(jīng)營、效勞水平，年末對附近一個小區(qū)的居民作了市場調(diào)查。結果說明，該小區(qū)有６０％的居民使用該超市提供的日用品，而且在這些老顧客中，有７０％的人表示，來年仍將繼續(xù)使用該超市提供的日用品；同時，在尚未使用過該超市提供的日用品的被調(diào)查中，有３０％的人表示，來年將使用該超市提供的日用