信號與系統(tǒng)習題附答案

習題一

一、完成下列各題。

(1)設連續(xù)時間系統(tǒng)的輸入一輸出關系為y(，)=/(3，)，試判定該系

統(tǒng)是否為線性的、時不變的、因果的。

(2)判定以下離散信號是否是周期性的，如果是周期性的，試確定

其周期。

/(%)=Acos(?左一1)

)(—k——)

f?(k)=e65

(3)試計算積分

(4)若/⑺―/行助，試求才(。=b7?⑵一4)的傅里葉變換。

k-2

(5)試求離散信號/(幻=Z(T)’的單邊z變換。

/=0

(6)求離散卷積和［(2)7(-協(xié)*￡伏)。

(7)已知/(-；r+3)的波形，試畫出了⑺的波形，并求其頻譜廠(j0。

1/(一｝+3)

1__________

04t

(8)因果信號/⑴的單邊拉氏變換尸(S)=嗎＞,試求了⑴。

S+71

(9)若信號/⑺為最高頻率/.nZkHz的帶限信號，則信號

/(3/)?/(5。的奈奎斯特抽樣率人為多少？

(10)若復函數7?⑺傅里葉變換為尸。⑷，試用廠(j3表示/Q)的共

輾函數/*?)的頻譜G(jG)。

二、已知某連續(xù)系統(tǒng)微分方程為

y〃⑺+4火力+3y(t)=2f'(t)+2/(/)

(1)若y(0_)=0,y'(0_)=i，求系統(tǒng)零輸入響應；

(2)若/QXeZQ),求其零狀態(tài)響應。

(3)若/QhV^sinQ+g),求響應y⑺。

三、已知某離散系統(tǒng)系統(tǒng)框圖為

(1)畫出系統(tǒng)的直接形式的信號流圖；

(2)當輸入/(Q=e(Q,y(0)=2,y(—1)=1時的響應y(A);

(3)該系統(tǒng)是否穩(wěn)定？

四、圖示電路，元件參數￡=0.5H,C=1F,K=0.2Q,H2=l。，初

始狀態(tài)%(。-)=1V,以。一)=2A,

（1）寫出圖示電路的狀態(tài)方程和以"c⑺乙⑺為輸出的輸出方程，要

求寫成矩陣標準型；

（2）求出其狀態(tài)轉移矩陣/和傳遞函數矩陣〃（s）；

（3）求后0時的零輸入響應氣⑺，樞，）。

五、如圖（a）所示系統(tǒng)，激勵/?）=縊Sa（利/）,系統(tǒng)H（jo）的

71

8

頻率特性如圖（b）所示，已知心⑺=^3。一〃7）。

〃=—8

（1）畫出工⑺的頻譜圖；

（2）欲從人⑺中無失真地恢復/Q）,求最大抽樣周期T；

（3）畫出當抽樣頻率為奈奎斯特頻率時，力⑺的頻譜圖；

（4）欲使響應信號y⑺=工（力，試問團（j。）應具有什么樣的特

性？（畫出其幅度響應）

〃(j⑼

習題一答案

(1)設連續(xù)時間系統(tǒng)的輸入一輸出關系為y(，)=/(3，)，試判定該系

統(tǒng)是否為線性的、時不變的、因果的。

解：線性、時變、非因果。

(2)判定以下離散信號是否是周期性的，如果是周期性的，試確定

其周期。

/(Zc)=Acos(|z：-|-)

.,57C/TC.

1(——K——)

啟%)=e65

解：力非周期。及周期，周期為12。

(3)試計算積分

解：j：[1+2/+sin(^r)]^(l-2/)dr=j"[1+2t2+sin(^)]|^-1)dr=l

(4)若f⑴cF(W),試求工(，)=eT37>⑵-4)的傅里葉變換。

j3z

解：工⑺=e-/(2r-4)°!^^丁、72(。+3)

2t2y

k-2

(5)試求離散信號〃左)=Z(T)’的單邊z變換。

z=0

kk

解：g/)工(-i)z(i)=H(-iy

Z=-oo/=0

F(z)=z-2G(z)=z-2-------------------=——

z-lz+1z2-l

（6）求離散卷積和y伏）=［（2）^（-初*e（6。

解：出乩忖>。5

J）M—左）=（2）%（一左）》/I?=三|z|<2

y2yL'Z—1/2z—2

-2z2z-2z

丫⑶二三---=-----1-----1<|z|<2

z—1z—1z—2.

y(k)=2^(k)+2(2)^(-k-l)

（7）已知，（-?+3）的波形，試畫出了⑺的波形，并求其頻譜尸（j@。

解：/(，)=￡”1)—￡”3)

-j2w

F(j⑼=-1(er。-e-叫r=2-i1e__sin(⑼

JGW

(8)因果信號/Q)的單邊拉氏變換/⑸=嗎￡2,試求/Q)。

S+7T

解：于Q)=sin(兀。囪。一s(t-2)

(9)若信號/⑺為最高頻率盤L2kHz的帶限信號，則信號

/⑶)"(5。的奈奎斯特抽樣率/為多少？

解：/⑶)帶寬為6kHz,/(5。帶寬為10kHz,/(3。"(5，)帶寬為

16kHz,則￡=32kHz。

(10)若復函數/⑺傅里葉變換為E(j@,試用網jG)表示了⑺的共

輾函數/*?)的頻譜G(jM。

解：G(j6y)=r(-j6y)o

二、已知某連續(xù)系統(tǒng)微分方程為

y〃⑺+4y⑺+3M=2f'(t)+2/(0

(1)若興0_)=0,y'(0.)=1,求系統(tǒng)零輸入響應；

(2)若/⑺=e-2⑺，求其零狀態(tài)響應。

(3)若/0)=后sin(3/+§),求響應》⑺。

解：(1)%Q)=；(eT—eB)￡?)(4分)

2s+2

(2)H(s)F(5)

s~+4s+3s+35+1

2111

匕(s)=H(s)/(s)

s+3s+l5+1s+3

,3，

y2S(r)=(e--e-W)(4分)

(3)系統(tǒng)穩(wěn)定，則

2

j<y+3

2

H(j3)

/、2./c71兀、2./c71、

y(0=-Sin(3r+-sin(3r+—)(4分)

JJJJL乙

三、已知某離散系統(tǒng)框圖為

(1)畫出系統(tǒng)的直接形式的信號流圖；

(2)當輸入/伏)=￡(女),y(0)=2,y(-1)=1時的響應M%);

(3)該系統(tǒng)是否穩(wěn)定？

解:(1)y(k)-0.7y(k-1)+0.ly(k-2)=f(k)-2f(k-1)

l-0.7z^+0.1z-2Z2-0.7Z+0.1

l-2z-']l-2z-'

級聯(lián)：H(z)(2分)

1—0.7ZT+0.1Z-2(l-0.2z-1)(l-0.5z-1)

并聯(lián)

l-2z-1_l-2z_16-5

H(z)

l-0.7z-1+0.1z-2-(l-0.2z_1)(l-0.5z-1)-l-0.2z-1l-0.5z-1

(2分)

(2)%(左)=[一(0.2)、+3(0.5力￡(%)(2分)

z?——2z

H⑦=———-—F(k)=

Z2-0.7Z+0.1

z*2-2zz

匕(z)=H(z)萬(z)

Z2-0.7Z+0.1z-1

<-2.5-1.55、

=z----1------1-----

—1z—0.2z—0.5)

%/)=[_2.5-1.5(0.2P+5(0.5力￡(幻(2分)

y(k)=yzi(k)+yzs(k)=[-2.5-2.5(02/+8(0.5)/(Q(2分)

(3)系統(tǒng)極點位于單位圓內，系統(tǒng)穩(wěn)定。(2分)

四、圖示電路，元件參數L=0.5H,C=1F,4=0.2。,&=1。，初

始狀態(tài)uc(0_)=1V,樞0_)=2A,

(1)寫出圖示電路的狀態(tài)方程和以乙⑺4⑺為輸出的輸出方程，要

求寫成矩陣標準型;

(2)求出其狀態(tài)轉移矩陣小和傳遞函數矩陣”⑸；

(3)求1N0時的零輸入響應七⑺%⑺。

+

%⑺

解：(1)選氣⑺從⑺為狀態(tài)變量，則

氏乙

Cuc=~~--iL,LIL=UC-

整理得狀態(tài)方程：

iic=e(：--^iL=-5uc-iL+5eQ)

<

1L=1"c—7勿=2〃c_2a

輸出方程：

LLQ—4c

h=h

矩陣形式：

-1

s+511s+2—1

(2)0(S)=(S/-A)T

-25+252+75+122s+5

s+2—1-12-11

----------1--------------------1----------

(5+3)(5+4)(s+3)(5+4)s+35+4s+35+4

25+52-22-1

----------1--------------------1----------

(s+3)(s+4)(s+3)(5+4)s+35+4s+35+4

_e』+2e』

v

e'二夕⑺=￡(t)（3分）

2e-3,-2e-4'

5(s+2)

(s+3)(s+4)

H(s)=C(p(s)B+D=

（3分）

(5+3)(5+4)

-e^+2e-4z-e^+e^1

(3)=*)X(0)=eQ)一

2e-3/-2e-4z2e-3,-e-4z

-3e-3,+4e-4z

￡（，）