新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.5空間中直線平面的平行8.5.3平面與平面平行學(xué)案新人教A版必修第二冊

8.5.3平面與平面平行課標(biāo)要求1．借助長方體，通過直觀感知，歸納出平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并加以證明．2．會應(yīng)用平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明平面與平面平行、直線與平面平行、直線與直線平行．素養(yǎng)要求1．借助幾何體判定平面與平面的位置關(guān)系，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng)．2．通過根據(jù)平行關(guān)系進行相關(guān)計算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).知識點1平面與平面平行的判定定理文字語言如果一個平面內(nèi)的_兩條相交直線__都與另一個平面平行，那么這兩個平面平行符號語言a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β圖形語言[拓展]剖析平面與平面平行的判定定理(1)具備兩個條件判定平面α與平面β平行時，必須具備兩個條件．①平面α內(nèi)兩條相交直線a，b，即a?α，b?α，a∩b＝P.②兩條相交直線a，b都與平面β平行，即a∥β，b∥β.(2)體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想此定理將證明面面平行的問題轉(zhuǎn)化為證明線面平行．(3)此定理可簡記為：線面平行?面面平行．練一練：在正方體中，相互平行的面不會是(D)A．前后相對側(cè)面 B．上下相對底面C．左右相對側(cè)面 D．相鄰的側(cè)面[解析]由正方體的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故選D.知識點2平面與平面平行的性質(zhì)定理文字語言兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線_平行__符號語言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?_a∥b__圖形語言[拓展]1.解讀平面與平面平行的性質(zhì)定理(1)兩個平面平行的性質(zhì)定理揭示了“兩個平面平行之后它們具有什么樣的性質(zhì)”．該性質(zhì)定理可以看作直線與直線平行的判定定理．可簡述為“若面面平行，則線線平行”．(2)用該定理判斷直線a與b平行時，必須具備三個條件：①平面α和平面β平行，即α∥β；②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.以上三個條件缺一不可．(3)在應(yīng)用這個定理時，要防止出現(xiàn)“兩個平面平行，則一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面內(nèi)的一切直線”的錯誤．2．兩個平面平行的一些常見結(jié)論(1)如果兩個平面平行，那么在一個平面內(nèi)的所有直線都與另一個平面平行．(2)如果一條直線和兩個平行平面中的一個相交，那么它也和另一個平面相交．(3)夾在兩個平行平面間的所有平行線段相等．練一練：已知長方體ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，則EF與E′F′的位置關(guān)系是(A)A．平行 B．相交C．異面 D．不確定[解析]因為平面ABCD∥平面A′B′C′D′，所以EF∥E′F′.故選A.題|型|探|究題型一面面平行判定定理的理解典例1(多選題)下列命題中正確的是(CD)A．若一個平面內(nèi)有兩條直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行B．若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行C．若一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行D．若一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面，則這兩個平面平行[解析]對A選項，這兩個平面可能平行，也可能相交；對B選項，這兩個平面可能平行，也可能相交；對C選項，平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面，則一定存在兩條相交直線平行于另一個平面，所以兩平面一定平行；對D選項，是面面平行的判定定理．所以選CD.[歸納提升]利用判定定理證明面面平行，必須具備兩個條件：(1)有兩條直線平行于另一平面；(2)這兩條直線必須相交．對點練習(xí)?已知直線l，m，平面α，β，下列命題正確的是(D)A．l∥β，l?α?α∥βB．l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥βC．l∥m，l?α，m?β?α∥βD．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β題型二平面與平面平行的判定典例2如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點D，E分別是BC與B1C1的中點．求證：平面A1EB∥平面ADC1.[分析]要證平面A1EB∥平面ADC1，只需證平面A1EB內(nèi)有兩條相交直線平行于平面ADC1即可．[證明]如圖，由棱柱的性質(zhì)知，B1C1∥BC，B1C1＝BC.又D、E分別為BC，B1C1的中點，所以C1E∥DB，C1E＝DB，則四邊形C1DBE為平行四邊形，因此EB∥C1D.又C1D?平面ADC1，EB?平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.連接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，所以四邊形EDBB1為平行四邊形，則ED∥B1B，ED＝B1B.因為B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性質(zhì))，所以ED∥A1A，ED＝A1A，則四邊形EDAA1為平行四邊形，所以A1E∥AD.又A1E?平面ADC1，AD?平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E?平面A1EB，EB?平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.[歸納提升]平面與平面平行的判定方法：(1)定義法：兩個平面沒有公共點．(2)判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面．(3)轉(zhuǎn)化為線線平行：平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則α∥β.(4)利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ.對點練習(xí)?(2023·哈爾濱高一檢測)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC，SC的中點．求證：平面EFG∥平面BDD1B1.[證明]連接SD，SB.因為F，G分別是DC，SC的中點，所以FG∥SD，又SD?平面BDD1B1，F(xiàn)G?平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1，同理可證直線EG∥平面BDD1B1，又直線EG?平面EFG，直線FG?平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.題型三平面與平面平行的性質(zhì)典例3(1)如圖，已知平面α∥β，P?α且P?β，過點P的直線m與α，β分別交于A，C，過點P的直線n與α，β分別交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，則BD＝eq\f(24,5).(2)如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中點，D1是B1C1的中點，設(shè)平面A1D1B∩平面ABC＝l1，平面ADC1∩平面A1B1C1＝l2，求證：l1∥l2.[解析](1)因為AC∩BD＝P，所以經(jīng)過直線AC與BD可確定平面PCD，因為α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以eq\f(PA,AC)＝eq\f(PB,BD)，即eq\f(6,9)＝eq\f(8－BD,BD).所以BD＝eq\f(24,5).(2)證明：連接D1D，因為D與D1分別是BC與B1C2的中點，所以DD1綉B(tài)B1，又BB1綉AA1，所以DD1綉AA1，所以四邊形A1D1DA為平行四邊形，所以AD∥A1D1，又平面A1B1C1∥平面ABC，且平面A1B1C1∩平面A1D1B＝A1D1，平面A1D1B∩平面ABC＝l1，所以A1D1∥l1，同理可證：AD∥l2，因為A1D1∥AD，所以l1∥l2.[歸納提升](1)面面平行的性質(zhì)定理是由面面平行證明線線平行．證明線線平行的關(guān)鍵是把要證明的直線看作是平面的交線，所以構(gòu)造三個平面：即兩個平行平面，一個經(jīng)過兩直線的平面．有時需要添加輔助面．(2)證明直線與平面平行，除了定義法，判定定理法以外，還可以用兩平面平行的性質(zhì)，也就是說為了證明直線與平面平行，也可以先證明兩平面平行，再由兩平面平行的性質(zhì)得到線面平行．對點練習(xí)?(1)將本例(1)改為：若點P位于平面α，β之間(如圖)，其他條件不變，試求BD的長．(2)如圖所示，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點．M是AB上一點，連接MC，N是PM與DE的交點，連接NF，求證：NF∥CM.[解析](1)與典例3(1)同理，可證AB∥CD.所以eq\f(PA,PC)＝eq\f(PB,PD)，即eq\f(6,3)＝eq\f(BD－8,8)，所以BD＝24.(2)因為D，E分別是PA，PB的中點，所以DE∥AB.又DE?平面ABC，AB?平面ABC，所以DE∥平面ABC.同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.題型四平面與平面平行的綜合應(yīng)用典例4如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分別是棱AD，AA1上的點．設(shè)F是棱AB的中點．求證：直線EE1∥平面FCC1.[證明]因為F為AB的中點，所以AB＝2AF，又因為AB＝2CD，所以CD＝AF，因為AB∥CD，所以CD∥AF，所以四邊形AFCD為平行四邊形，所以FC∥AD，又FC?平面ADD1A1，AD?平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1，因為CC1∥DD1，CC1?平面ADD1A1，DD1?平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1?平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.[歸納提升]空間中各種平行關(guān)系相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的示意圖對點練習(xí)?如圖，在三棱柱BCF－ADE中，若G，H分別是線段AC，DF的中點．(1)求證：GH∥平面BFC；(2)在線段CD上是否存在一點P，使得平面GHP∥平面BCF，若存在，指出P的具體位置并證明；若不存在，說明理由．[解析](1)連接BD，∵四邊形ABCD為平行四邊形，G是線段BD的中點，∵G，H分別是線段BD，DF的中點，故GH∥BF，又BF?平面BFC，GH?平面BFC，故有GH∥平面BFC.(2)存在，P是線段CD的中點，理由如下：連接PG，PH，由(1)可知：GH∥BF，GH?平面GHP，BF?平面GHP，∴BF∥平面GHP，∵P、H分別是線段CD、DF的中點，則HP∥CF，HP?平面GHP，CF?平面GHP，∴CF∥平面GHP，BF∩CF＝F，BF?平面BCF，CF?平面BCF，故平面GHP∥平面BCF.易|錯|警|示應(yīng)用定理條件不足，推理論證不嚴(yán)密致誤典例5在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是AA1、BB1、CC1、DD1的中點，求證：平面EFGH∥平面ABCD.[錯解]∵E、F分別是AA1和BB1的中點，∴EF∥AB，又EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，同理可證，HG∥平面ABCD.又EF?平面EG，HG?平面EG，∴平面EFGH∥平面ABCD.[錯因分析]錯解中，EF與HG是平面EG內(nèi)的兩條平行直線，不是相交直線，不符合面面平行的判定定理的條件，因此證明不正確．[正解]∵E、F分別是AA1和BB1的中點，∴EF∥AB，又EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.同理可證EH∥平面ABCD.又EF?平面EG，EH?平面EG，EF∩EH＝E，∴平面EFGH∥平面ABCD.[誤區(qū)警示]利用面面平行的判定定理證明兩個平面平行時，所滿足的條件必須是明顯或已經(jīng)證明成立的，并且要與定理條件保持一致，否則容易導(dǎo)致錯誤．對點練習(xí)?如右圖所示，設(shè)E、F、E1、F1分別是長方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB、CD、A1B1、C1D1的中點，則平面EFD1A1與平面BCF1E1的位置關(guān)系是(A)A．平行 B．相交C．異面 D．不確定[解析]∵E1和F1分別是A1B1和D1C1的中點，∴A1D1∥E1F1，又A1D1?平面BCF1E1，E1F1?平面BCF1E1，∴A1D1∥平面BCF1E1.又E1和E分別是A1B1和AB的中點，∴A1E1綉B(tài)E，∴四邊形A1EBE1是平行四邊形，∴A1E∥BE1，又A1E?平面BCF1E1，BE1?平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1，又A1E?平面EFD1A1，A1D1?平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.1．六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六邊形，則此六棱柱的面中互相平行的有(D)A．1對 B．2對C．3對 D．4對[解析]正六棱柱3對側(cè)面和一對底面都是互相平行的．2．下列結(jié)論中，錯誤的是(A)A．平行于同一直線的兩個平面平行B．平行于同一平面的兩個平面平行C．平行于同一平面的兩直線關(guān)系不確定D．兩平面平行，一平面內(nèi)的直線必平行于另一平面[解析]如圖正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1∥平面ADD1A1，BB1∥平面DCC1D1，而平面ADD1A1∩平面DCC1D1＝DD1.故選A.3．已知α，β是兩個不重合的平面，直線a?α，命題p：a∥β，命題q：α∥β，則p是q的(B)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[解析]充分性：如圖所示在正方體中，取平面A1BCD1為面α，平面ABCD為面β，A1D1為直線a，滿足直線a?α，a∥β，但是α，β相交，不平行．故充分性不滿足．必要性：由面面平行的性質(zhì)定理可知，若α∥β且a?α，則a∥β.故必要性滿足．故p是q的必要不充分條件．