課件線代課佚名2 ch

1§4向量組的秩定義5設(shè)有向量組A，如果在A

中能選出r

個向量滿足（i）向量組A0：線性無關(guān)；（ii）向量組A中任意r+1個向量（若A中有r+1個向量的話）都線性相關(guān)，那么稱向量組A0

是向量組A

的一個最大線性無關(guān)組最大無關(guān)組）；最大無關(guān)組所含向量個數(shù)r

稱為向量組的秩.只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組，規(guī)定它的秩為0.定理6矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩。注（簡稱2所有r+1階子式均為零，知

A

中任意

r+1個列向量都線性相關(guān).因此Dr

所在的r

列是A

的列向量組的一個最大無關(guān)組，所以列向量組的秩等于

r.類似可證矩陣A

的行向量組的秩也等于R(A).向量組的秩也記作R.（1）若

Dr是矩陣A

的一個最高階非零子式，r

列(行）即是列（行）向量組的一個最大無關(guān)組.說明：則Dr所在的證設(shè)R(A)=r,并設(shè)r

階子式Dr≠0.根據(jù)定理2，由Dr≠0知Dr

所在的r列線性無關(guān)；又因為A

中（2）向量組的最大無關(guān)組一般不是唯一的.如例5R，都是向量組;;的最大無關(guān)組.3（3）向量組A

和它的最大無關(guān)組A0

是等價的.因為A0

是A

組的一部分，所以A0

組總能由A

組線性表示;由定義5的條件（ii）知，對于A中任一向量a，r+1個向量線性相關(guān)，又線性無關(guān)，根據(jù)定理5（3）知a

能由線性表示，線性表示。所以

A

組與

A0組等價。證例1全體n

維向量構(gòu)成的向量組記作

Rn

，無關(guān)組及Rn

的秩。解例1中已證明n

維單位坐標(biāo)向量構(gòu)成的向量組E:是線性無關(guān)的，又根據(jù)定理5（2），知

Rn

中任意n+1個向量都線性相關(guān)，因此向量組E是Rn

的一個最大無關(guān)組，

且Rn的秩為n.注：任何n

個線性無關(guān)的n

維向量組都是Rn

的最大無關(guān)組.反之,即A組能由

A0組求Rn的一個最大4例2.設(shè)矩陣求A

的列向量組的一個最大無關(guān)組，并把不屬于最大無關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示.解5R(A)=3,故列向量組的最大無關(guān)組含3個向量。行變換R=3.所以線性無關(guān)，是

A

的一個最大無關(guān)組。行變換所以6設(shè)向量組B

能由向量組

A

線性表示，則向量組

B

的秩不大于向量組

A

的秩.證設(shè)向量組B

的最大無關(guān)組為B0：向量組A

的一個最大無關(guān)組為A0：要證r≤s.因B0

組能由B

組線性表示，B

組能由A

組線性表示，A組能由A0

組線性表示，故B0組能由A0

組線性表示，由定理3,所以r≤s.

定理推論1等價的向量組的秩相等.證設(shè)向量組

A

與向量組B

的秩依次為s

和r,由于兩個向量組等價，即兩個向量組能相互線性表示，故s≤r與r≤s同時成立，所以s=r.

7推論2設(shè)向量組

B

是向量組

A的部分組,若向量組

A

能則向量組

B

是向量組

A

的一個最大無關(guān)組.證設(shè)向量組B

含r

個向量，則它的秩為r.因A

組能由B

組線性表示，故A

組的秩≤r,則A

組中任意

r+1個向量線性相關(guān).所以向量組B

滿足定義5所規(guī)定的最大無關(guān)組的條件.例3設(shè)向量組B

能由向量組A

線性表示，且它們的秩相等，證明向量組A

與向量組B

等價.由向量組

B

線性表示，且線性無關(guān)，（最大無關(guān)組的等價定義）證.設(shè)向量組A

和B

的秩都為r.因B

組能由A

組線性表示,故A

組和

B

組合并而成的向量組（A,B）的秩也為r.所以

A

組與

B

組等價.8例4設(shè)齊次線性方程組的全體解向量構(gòu)成的向量組為S，求S的秩.解先求方程組的通解,因此先將其系數(shù)矩陣A化簡為行最簡形得令自由未知量9得通解若記此式為，可知：且S能由向量組線性表示；因為向量組的四個分量顯然不成比例,故線性無關(guān).因此，根據(jù)最大無關(guān)組的等價定義知是S的最大無關(guān)組.10小結(jié):2.矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩.1.最大無關(guān)組、向量組的秩；（1）若

Dr是矩陣A

的一個最高階非零子式，(行）即是列（行）向量組的一個最大無關(guān)組;則Dr所在的r

列（2）向量組的最大無關(guān)組一般不是唯一的;（3）向量組A

和它的最大無關(guān)組A0

是等價的.3.設(shè)向量組B

能由向量組

A

線性表示，