小學(xué)二年級下冊數(shù)學(xué)《奧數(shù)》知識點講解第2課 數(shù)數(shù)與計數(shù)1 試題附答案

小學(xué)二年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點講解第2課《數(shù)數(shù)與計數(shù)1》試題附答案

從數(shù)數(shù)與計數(shù)中，可以發(fā)現(xiàn)重要的算術(shù)運算定律.

例1數(shù)一數(shù)，下面圖形中有多少個點？

例2數(shù)一數(shù)，下左圖中的大長方體是由多少個小長方體組成的?

例3數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個點?

例4數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個點?

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答案

第二講數(shù)數(shù)與計數(shù)

從數(shù)數(shù)與計數(shù)中，可以發(fā)現(xiàn)重要的算術(shù)運算定律.

例1數(shù)一數(shù)，下面圖形中有多少個點？

解：方法L從上到下一行一行地數(shù)，見下圖.

??一?????…?+第一行

??一?????…??第二行

??一?一?…?…?+第三行

?…?…?…?一?一第四行

占ti粉旦

515+5+5=5X4.

方法2：從左至右一列一列地數(shù)，見下圖.

*

M夔第第

四五

列利列列

點的總數(shù)是：4+4+4+4+44X5.

因為不論人們怎樣數(shù)，點數(shù)的多少都是一定的，不會因為數(shù)數(shù)的方法不同

而變化.所以應(yīng)有下列等式成立：

5X4=4X5

從這個等式中，我們不難發(fā)現(xiàn)這樣的事實：

兩個數(shù)相乘，乘數(shù)和被乘數(shù)互相交換，積不變.

這就是乘法交換律.

正因為這樣，在兩個數(shù)相乘時，以后我們也可以不再區(qū)分哪個是乘數(shù)，哪

個是被乘數(shù)，把兩個數(shù)都叫做“因數(shù)”，因此，乘法交換律也可以換個說法：

兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變.

如果用字母a、b表示兩個因數(shù)，那么乘法交換律可以表示成下面的形式：a

Xb=bXa.

方法3：分成兩塊數(shù)，見右圖.

前一塊4行，每行3個點，共3X4個點.

后一塊4行，每行2個點，共2X4個點.

兩塊的總點數(shù)=3X4+2X4.

因為不論人們怎樣數(shù)，原圖中總的點數(shù)的多少都是一定的，不會因為數(shù)數(shù)

的方法不同而變化.所以應(yīng)有下列等式成立：

3X412X4=5X4.

仔細觀察圖和等式，不難發(fā)現(xiàn)其中三個數(shù)的關(guān)系：

3+2=5

所以上面的等式可以寫成：

3X412X4=（3+2）X4

也可以把這個等式調(diào)過頭來寫成：

（3+2）X4=3X44-2X4.

這就是乘法對加法的分配律.

如果用字母a、b、c代表三個數(shù)，那么乘法對加法的分配律可以表示成下面

的形式：

（a+b）Xc=aXc+bXc

分配律的意思是說：兩個數(shù)相加之和再乘以第三數(shù)的積等于第一個數(shù)與第

三個數(shù)的積加上第二個數(shù)與第三個數(shù)的積之和.

進一步再看，分配律是否也適用于括號中是減法運算的情況呢？請看下面

的例子：

計算（3-2）X4和3X4-2X4.

解：（3-2）X4=1X4=4

3X4-2X4=12-8=4.

兩式的計算結(jié)果都是4,從而可知:

（3-2）X4=3X4-2X4

這就是說，這個分配律也適用于一個數(shù)與另一個數(shù)的差與第三個數(shù)相乘的

情況.

如果用字母a、b、c（假設(shè)a>b）表示三個數(shù)，那么上述事實可以表示如

下：（a-b）Xc=aXc-bXc.

正因為這個分配律對括號中的“+”和“-”號都成立，于是，通常人們就

簡稱它為乘法分配律.

例2數(shù)一數(shù)，下左圖中的大長方體是由多少個小長方體組成的？

解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)，見上右圖.

第一層4X2個

第二層4X2個

第三層4X2個

三層小長方體的總個數(shù)（4X2）X3個.

方法2：從左至右一排一排地數(shù)，見下圖.

第一排2X3個

第二排2X3個

第三排2X3個

第四排2X3個

四排小長方體的總個數(shù)為（2X3）X4.

若把括號中的2X3看成是一個因數(shù)，就可以運用乘法交換律，寫成下面的

形式：4X（2X3）.

因為不論人們怎樣數(shù)，原圖中小長方體的總個數(shù)是一定的，不會因為數(shù)數(shù)

的方法不同而變化.把兩種方法連起來看，應(yīng)有下列等式成立：（4X2）X3=4

X（2X3）.

這就是說在三個數(shù)相乘的運算中，改變相乘的順序，所得的積相同.

或是說，三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘再乘以第三個數(shù)，或者先把后兩

個數(shù)相乘，再去乘第一個數(shù)，積不變，這就是乘法結(jié)合律.

如果用字材a、b,c表示三個數(shù)，那么乘法結(jié)合律可以表示如下：（aXb）

Xc=aX（bXc）.

巧妙地運用乘法交換律、分配律和結(jié)合律，可使得運算變得簡潔、迅速.

從數(shù)數(shù)與計數(shù)中，還可以發(fā)現(xiàn)巧妙的計算公式.

例3數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個點？

???

?????????

解：方法1:從上至下一層一層地數(shù)，見下圖.

第一層f?

第二層f??

第三層f???

第四層f????

第五層f?????

第六層f??????

第七層f???????

第八層f

第九層f

總點數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.

方法2：補上一個同樣的三角形點群(但要上下顛倒放置)和原有的那個三

角形點群共同拼成一個長方形點群，則顯然有下式成立(見下圖)：

三角形點數(shù)=長方形點數(shù)+2

因三角形點數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9

而長方形點數(shù)=10義9=(1+9)X9

代入上面的文字公式可得：

1+2+3+4+5+6+7+8+9

=(1+9)X9+2=45.

進一步把兩種方法聯(lián)系起來看：

方法1是老老實實地直接數(shù)數(shù).

方法2可以叫做“拼補法”.經(jīng)拼補后，三角形點群變成了長方形點群，而

長方形點群的點數(shù)就可以用乘法算式計算出來了.

即1+2+3+4+5+6+7+8+9

=(1+9)X9+2.

這樣從算法方面講，拼補法的作用是把一個較復(fù)雜的連加算式變成了一個

較簡單的乘除算式了.這種方法在700多年前的中國的古算書上就出現(xiàn)了.

再進一步，若脫離開圖形（點群）的背景，純粹從數(shù)的方面找規(guī)律，不難

發(fā)現(xiàn)下述事實：

一同的相同的數(shù)

1+2+3+4+5+6+7+84-9=Q+9）X9+2

-----------------------'/

9個數(shù)相同的數(shù)）/

這個等式的左邊就是從1開始的連續(xù)自然數(shù)相加之和，第一個數(shù)1又叫首

項，最后一個數(shù)9叫末項，共有9個數(shù)又可以說成共有9項，這樣，等式的含義就

可以用下面的語言來表述：

從1開始的連續(xù)自然數(shù)前幾項的和等于首項加末項之和乘以項數(shù)的積的一

半.或是寫成下面的文字式：

和=（首項+末項）X項數(shù)+2

這個文字式通常又叫做等差數(shù)列求和公式.

例4數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個點？

???

?????

解：方法L從上至下一層一層地數(shù)，見下圖:

第一層??

第二層???

第三層????

第四層?????

第五層?????

總點數(shù)=2+3+4+5+6=20.

方法2：補上一個同樣的梯形點群，但要上下顛倒放置，和原圖一起拼成一

個長方形點群如下圖所示：

???s?*???????

????、????

由圖可見，有下列等式成立：

梯形點數(shù);長方形點數(shù)+2.

因為梯形點數(shù)=2+3+4+5+6

而長方形點數(shù)=8X5=（2+6）X5

代入上面的文字式，可得：

2+3+44-5+6=（2+6）X5+2

與例1類似，我們用拼補法得到了一個計算梯形點群總點數(shù)的較為簡單的公

式.

再進一步，若脫離開圖形（點群）的背景純粹從數(shù)的方面找找規(guī)律，不難

發(fā)現(xiàn)下述事實：

本膽蹩相同的數(shù)

2+3+4+5+6=（2+6）X5+2

、------7--------/

;個數(shù)相同的數(shù)

這個等式的左邊就是一個等差數(shù)列的求和式，它的首項是2,末項是6,公

差是1,項數(shù)是5.這樣這個等式的含義就可以用下面的語言來表述：

等差數(shù)列前幾項的和等于首項加末項之和乘以項數(shù)的積的一半.

寫成下面較簡化的文字式：

和=（首項+末項）X項數(shù)+2

這就是等差數(shù)列的求和公式.

習(xí)題二

下列各題至少用兩種方法數(shù)數(shù)與計數(shù).

1.數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個點？

2.數(shù)一數(shù)，下圖中的三角形點群有多少個點?

??

???????

???????????

???????????????

3.數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個小正方形?

4.數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少個小