小學奧數(shù)最優(yōu)方案與最佳策略解題思路

最優(yōu)方案與最佳策略

【最優(yōu)方案】

例1某工廠每天要生產甲、乙兩種產品，按工藝規(guī)定，每件甲產品需分別

在A、B、C、D四臺不同設備上加工2、1、4、0小時；每件乙產品需分別在A、

B、C、D四臺不同設備上加工2、2,0、4小時。已知A、B、C、D四臺設備，每

天最多能轉動的時間分別是12、8、16、12小時。生產一件甲產品該廠得利潤

200元，生產一件乙產品得利潤300元。問：每天如何安排生產，才能得到最大

利潤?

（中國臺北第一屆小學數(shù)學競賽試題）

講析：設每天生產甲產品a件，乙產品b件。由于設備A的轉動時間每天最

多為12小時，則行：（2a+2b）不超過12?

又（a+2b）不超過8,

4a不超過16.

4b不超過12o

由以上四個條件知，

當b取1時，a可取1、2、3、4；

當b取2時,a可取1、2、3、4；

當b取3時，a可取1、2。

這樣，就是在以上情況卜,，求利潤200a+300b的最大值?？闪斜砣绮?:

b123

a1234123412

200a+300b500700900110080010001200140011001300

所以，每天安排生產4件甲產品，2件乙產品時，能得到最大利潤1100元。

例2甲廠和乙廠是相鄰的兩個服裝廠。它們生產同一規(guī)格的成衣，每個廠

的人員和設備都能進行上衣和褲子生產。由于各廠的特點不同，甲廠每月

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用彳的時間生產上衣，不的時間生產褲子，每月生產900套成衣；乙廠每月

用;的時間生產上衣，!■的時間生產褲子，每月生產1200套成衣?，F(xiàn)在兩廠

聯(lián)合生產，盡量發(fā)揮各自的特長多生產成衣。那么現(xiàn)在比過去每月能多生產

成衣______套。

（1989年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）

錯折：用廠每月用3,（即稱21）的時間生產上—衣；乙廠每月用4方［即%20）

的時間生產上衣。所以，甲廠長于生產褲子，乙廠長于生產上衣。

如果甲廠全月生產褲子，則可生產

2

900十5=2250（條）s

如果乙廠全月生產上衣，則可生產

4

1200-7=2100（件）o

把甲廠生產的褲子與乙廠生產的上衣配成2ioo套成衣，這時甲廠生產150

條褲子的時間可用來生產成套的成衣

2

150X-=60（套）。

故現(xiàn)在比過去每月可以多生產60套。

【最佳策略】

例1A、B二人從A開始，輪流在1、2、3、...、1990這1990個數(shù)中劃去

一個數(shù)，直到最后剩卜兩個數(shù)互質，那么B勝，否則A勝。問：誰能必勝？制勝

的策略是什么？

（《中華電力杯》少年數(shù)學競賽試題）

講析：將這1990個數(shù)按每兩個數(shù)分為一組：（1、2）,（3、4）,（5、6）,…,

（1989、1990）o

當A任意在括號中劃去一個時，B就在同一個括號中劃去另一個數(shù)。這樣B

就一定能獲勝。

例2桌上放有1992根火柴。甲乙兩人輪流從中任取，每次取得根數(shù)為1根

或2根，規(guī)定取得最后一根火柴者勝。問：誰可獲勝？

（1992年烏克蘭基輔市小學數(shù)學競賽試題）

講析：因為兩人輪流各取一次后，可以做到只取3根。誰要搶到第1992根,

誰就必須搶到第1989根，進而搶到第1986、1983、1980、…、6,3根。

誰搶到第3根呢？向然是后取的人。即后取的可以獲勝。

后者獲勝的策略是，當先取的人每取?次火柴梗時，他緊接著取一次，每次

取的根數(shù)與先取的加起來的和等于3。

例3行分別裝球73個和118個的兩個箱子，兩人輪流在任一箱中任意取球,

規(guī)定取得最后一球昔為勝。問：若要先取者為獲勝，應如何??？

（上海市數(shù)學競賽成題）

講析：先取者應不斷地讓后者在取球之前，使兩箱的球處于平衡狀態(tài)，即每

次先取者取之后，使兩箱球保持相等。這樣，先取者一定獲勝。

例：一項工程，甲、乙合做8天可以完成，乙、丙合做10天可以完成，現(xiàn)在先由

甲、乙、丙合做5天后，余下的再由乙做2天即可完成，乙單獨做這項工程需要

幾天？

思路解析：由題意可知，這類工程問題可以用“組合法”解題，昨天的文章中已經例

舉過同類型的題，今天的這道題難度加大。

既然是用“組合法”，那我們按思路來解析：

先由甲、乙、丙合做5天，余下的由乙做2天完成

可以組合成：甲、乙合做5天+乙、丙合做2天十丙做3天。

完整解題如下：

解：設工程總量為“1”

14-8=1/8（甲、乙工作效率和）

14-10=1/10（乙、丙工作效率和）

（1-1/8x