2024年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練-動(dòng)點(diǎn)最值之胡不歸模型

第1頁(yè)（共1頁(yè)）中考專題-動(dòng)點(diǎn)最值之胡不歸模型【背景故事】從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無(wú)反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說(shuō)，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？建立模型【解決思路】構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，即CHAC=k，CH將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過(guò)B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。纠}】1．如圖，?ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB+32A．3 B．3 C．33 D．2+232．在△ABC中，∠ACB＝90°，P為AC上一動(dòng)點(diǎn)，若BC＝4，AC＝6，則2BP+AP的最小值為（）A．5 B．10 C．52 D．1023．如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝45°，BD是△ABC的邊AC上的高，點(diǎn)P是BD上動(dòng)點(diǎn)，則22BP+CPA．522 B．52 C．104．已知等邊△ABC中AD⊥BC，AD＝12，若點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)12AP+BP的值最小時(shí)，APA．4 B．8 C．10 D．125．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則2PD+PC的最小值是（）A．4 B．2+22 C．22 D．36．如圖，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接BP，則22AP+PBA．2 B．3 C．62

【練習(xí)】7．如圖，?ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則2PB+PD的最小值等于．8．如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB+12PD的最小值等于9.例3.如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)B的直線交拋物線于E，且tan∠EBA＝43，有一只螞蟻從A出發(fā)，先以1單位/s的速度爬到線段BE上的點(diǎn)D處，再以1.25單位/s的速度沿著DE爬到E點(diǎn)處覓食，則螞蟻從A到E的最短時(shí)間是

胡不歸問(wèn)題參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）1．如圖，?ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB+32A．3 B．3 C．33 D．2+23【分析】過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，有銳角三角函數(shù)可得EP=32PD，即PB+32PD＝PB+PE，則當(dāng)點(diǎn)B，點(diǎn)P，點(diǎn)E三點(diǎn)共線且BE⊥AD時(shí)，PB+【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵AB∥CD，∴∠EDP＝∠DAB＝60°，∴sin∠EDP=EP∴EP=3∴PB+32PD＝PB∴當(dāng)點(diǎn)B，點(diǎn)P，點(diǎn)E三點(diǎn)共線且BE⊥AD時(shí)，PB+PE有最小值，即最小值為BE，∵sin∠A=BE∴BE＝33，故選：C．2．在△ABC中，∠ACB＝90°，P為AC上一動(dòng)點(diǎn)，若BC＝4，AC＝6，則2BP+AP的最小值為（）A．5 B．10 C．52 D．102【分析】2BP+AP=2（BP+22AP），求BP+22AP【解答】解：以A為頂點(diǎn)，AC為一邊在下方作∠CAM＝45°，過(guò)P作PF⊥AM于F，過(guò)B作BD⊥AM于D，交AC于E，如圖：2BP+AP=2（BP+22AP），要使2BP+AP最小，只需BP∵∠CAM＝45°，PF⊥AM，∴△AFP是等腰直角三角形，∴FP=22∴BP+22AP最小即是BP+FP最小，此時(shí)P與E重合，F(xiàn)與D重合，即BP+22∵∠CAM＝45°，BD⊥AM，∴∠AED＝∠BEC＝45°，∵∠ACB＝90°，∴sin∠BEC＝sin45°=BCBE，tan∠BEC又BC＝4，∴BE＝42，CE＝4，∵AC＝6，∴AE＝2，而sin∠CAM＝sin45°=DE∴DE=2∴BD＝BE+DE＝52，∴2BP+AP的最小值是2BD＝10，故選：B．3．如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝45°，BD是△ABC的邊AC上的高，點(diǎn)P是BD上動(dòng)點(diǎn)，則22BP+CPA．522 B．52 C．10【分析】過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，由勾股定理得PE=22BP．繼而證明當(dāng)C、P、E三點(diǎn)共線且CE⊥AB，22BP+PC＝PE+PC的值最小為CE．由由等腰三角形腰上的高相等，解出【解答】解：∵∠A＝45°，BD⊥AC，∴∠ABD＝45°．過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，由勾股定理得PE=2∴22當(dāng)C、P、E三點(diǎn)共線，且CE⊥AB時(shí)，22BP+PC＝PE+PC的值最小為CE∵△ABC中，AB＝AC＝10，BD⊥AC，CE⊥AB，由等腰三角形腰上的高相等，∴BD＝CE，在Rt△ABD中，BD=AB2故22BP+PC＝PE+PC＝CE=5故選：B．4．已知等邊△ABC中AD⊥BC，AD＝12，若點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)12AP+BP的值最小時(shí)，APA．4 B．8 C．10 D．12【分析】可以作BE⊥AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)P，根據(jù)△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，得∠DAC＝30°，所以PE=12當(dāng)BP⊥AC時(shí)，12AP+BP＝PE+BP的值最小，根據(jù)等邊三角形的重心即可求得AP【解答】解：如圖，作BE⊥AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)P，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴∠DAC＝30°∴PE=1當(dāng)BP⊥AC時(shí)，12AP+BP＝PE+BP此時(shí)，AP=23故選：B．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則2PD+PC的最小值是（）A．4 B．2+22 C．22 D．3【分析】過(guò)點(diǎn)P作PJ⊥BC于J，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H．根據(jù)2PD+PC=2（PD+22PC）=2（DP+PJ），求出【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作PJ⊥BC于J，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H．∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，∴DH＝BD?sin45°＝22，∵PJ⊥CB，∴∠PJC＝90°，∴PJ=22∴2PD+PC=2（PD+22PC）=2（∵DP+PJ≥DH，∴DP+PJ≥22，∴DP+PJ的最小值為22，∴2PD+PC的最小值為4．故選：A．6．如圖，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接BP，則22AP+PBA．2 B．3 C．62 【分析】可以在△ABC內(nèi)作∠MBA＝30°，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BM于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)P，可得EP=22當(dāng)BP⊥AE時(shí)，則22AP+PB＝PE+PB的值最小，最小值是BE【解答】解：如圖，在△ABC內(nèi)作∠MBA＝30°過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BM于點(diǎn)E，BM交AC于點(diǎn)P，∵∠BAC＝15°，∴∠APE＝45°∴EP=2當(dāng)BP⊥AE時(shí)，則22AP+PB＝PE+PB最小值是BE的長(zhǎng)，在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，AB＝2∴BE＝AB?cos30°=3∴22AP+PB的最小值是3故選：B．二．填空題（共2小題）7．如圖，?ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則2PB+PD的最小值等于6．【分析】依據(jù)∠EDP＝∠DAB＝30°，即可得出DP＝2EP，進(jìn)而得到2PB+PD＝2（PB+PE），當(dāng)點(diǎn)B、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，2PB+PD的最小值等于2BE的長(zhǎng)，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得到BE的長(zhǎng)．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作AD的垂線，交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EDP＝∠DAB＝30°，∴EP=12DP，即DP＝2∴2PB+PD＝2（PB+PE），當(dāng)點(diǎn)B、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，PB+EP有最小值，最小值等于BE的長(zhǎng)，此時(shí)2PB+PD的最小值等于2BE的長(zhǎng)，∵此時(shí)在Rt△ABE中，∠EAB＝30°，AB＝6，∴BE=12∴2PB+PD的最小值等于6．故答案為：6．8．如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB+12PD的最小值等于【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于E，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AE于M．解直角三角形求出BM，由PB+12PD＝BP+PE，利用BP+PE≥【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于E，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AE于M．在Rt△ABM中，∵∠AMB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，∴BM=12∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，∴∠PDE＝∠A＝30°，∵∠PED＝90°，∴PE=12∵PB+12PD＝BP+∵BP+PE≥BM，∴BP+PE≥3，∴BP+PE的最小值為3，∴PB+129.【解答】過(guò)點(diǎn)E作x軸的平行線，再過(guò)D點(diǎn)作y軸的平行線，兩線相交于點(diǎn)H，如圖，∵EH∥AB，∴∠HEB＝∠ABE，∴tan∠HED＝tan∠EBA＝，設(shè)DH＝4m，EH＝3m，則DE＝5m，∴螞蟻從D爬到E點(diǎn)的時(shí)間＝＝4（s）若設(shè)螞蟻從D爬到H點(diǎn)的速度為1單位/s，則螞蟻從D爬到H點(diǎn)的時(shí)間＝＝4（s），∴螞蟻從D爬到E點(diǎn)所用的時(shí)間等于從D爬到H點(diǎn)所用的時(shí)間相等，∴螞蟻從A出發(fā)，先以1單位/s的速度爬到線段BE上的點(diǎn)D處，再以1.25單位/s的速度沿著DE爬到E點(diǎn)所用時(shí)間等于它從A以1單位/s的速度爬到D點(diǎn)，再?gòu)腄點(diǎn)以1單位/s速度爬到H點(diǎn)的時(shí)間，作AG⊥EH于G，則