高中數(shù)學(xué)配套課件：第1部分第三章31312用二分法求方程的近似解

高中數(shù)學(xué)配套課件第1部分第三章31312用二分法求方程的近似解目錄二分法簡(jiǎn)介二分法的基本步驟用二分法求解方程的近似解二分法的應(yīng)用實(shí)例二分法的注意事項(xiàng)和誤差分析01二分法簡(jiǎn)介Part0102二分法的定義它基于函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，通過不斷縮小搜索區(qū)間來找到方程的近似解。二分法是一種通過不斷將區(qū)間一分為二來逼近方程根的數(shù)值方法。二分法的基本思想選擇一個(gè)初始區(qū)間，并確定一個(gè)目標(biāo)精度。重復(fù)上述步驟，直到達(dá)到目標(biāo)精度。找到區(qū)間的中點(diǎn)，并檢查中點(diǎn)處的函數(shù)值。根據(jù)函數(shù)值在左右兩側(cè)的表現(xiàn)，將區(qū)間縮小為更小的子區(qū)間。二分法的適用范圍二分法適用于求解實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的單根或重根問題。適用于連續(xù)且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)變化的函數(shù)。不適用于多根或非單調(diào)函數(shù)的情況。02二分法的基本步驟PartSTEP01STEP02STEP03確定初始區(qū)間確定初始區(qū)間的目的是為了縮小搜索范圍，以便更快地找到方程的近似解。在確定初始區(qū)間時(shí)，需要考慮方程的性質(zhì)和已知條件，以確保所選區(qū)間包含解。確定初始區(qū)間是求解方程近似解的第一步，通常選擇包含解的區(qū)間作為初始區(qū)間。中點(diǎn)的計(jì)算公式為：$x_{mid}=frac{x_1+x_2}{2}$，其中$x_1$和$x_2$分別是初始區(qū)間的左右端點(diǎn)。計(jì)算中點(diǎn)是二分法中關(guān)鍵的一步，中點(diǎn)的計(jì)算精度直接影響最終求解的精度。中點(diǎn)是初始區(qū)間的中點(diǎn)，通過計(jì)算中點(diǎn)可以將初始區(qū)間一分為二。計(jì)算中點(diǎn)判斷中點(diǎn)處的函數(shù)值是二分法中的重要步驟，需要根據(jù)函數(shù)在$x_{mid}$處的值來判斷解所在的區(qū)間。如果函數(shù)在$x_{mid}$處的值為正，則解在$x_{mid}$的右側(cè)；如果函數(shù)值為負(fù)，則解在$x_{mid}$的左側(cè)。判斷中點(diǎn)處的函數(shù)值有助于縮小搜索范圍，加速求解過程。判斷中點(diǎn)處的函數(shù)值根據(jù)判斷中點(diǎn)處的函數(shù)值結(jié)果，需要決定新的區(qū)間，即選擇包含解的子區(qū)間繼續(xù)進(jìn)行搜索。如果函數(shù)值在$x_{mid}$處為正，則選擇$x_{mid}$右側(cè)的區(qū)間作為新的搜索區(qū)間；如果函數(shù)值為負(fù)，則選擇$x_{mid}$左側(cè)的區(qū)間作為新的搜索區(qū)間。決定新的區(qū)間是二分法中的關(guān)鍵步驟，它決定了最終求解的精度和速度。決定新的區(qū)間重復(fù)以上步驟，直到滿足精度要求或搜索區(qū)間長(zhǎng)度足夠小為止。在重復(fù)步驟時(shí)，需要不斷更新搜索區(qū)間和計(jì)算中點(diǎn)，并根據(jù)中點(diǎn)處的函數(shù)值判斷解所在的區(qū)間。當(dāng)滿足精度要求或搜索區(qū)間長(zhǎng)度足夠小時(shí)，即可得到方程的近似解。重復(fù)步驟直至滿足精度要求03用二分法求解方程的近似解Part求解一元方程的近似解定義域和值域確定一元方程的定義域和值域，以便確定求解的區(qū)間范圍。精度要求設(shè)定一個(gè)精度要求，當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度小于該精度時(shí)，停止迭代，輸出近似解。初始區(qū)間選擇一個(gè)初始區(qū)間，其中包含方程的根。迭代過程根據(jù)二分法原理，不斷將初始區(qū)間一分為二，并選取合適的點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)，逐步逼近方程的根。1423求解多元方程的近似解線性化將多元方程組轉(zhuǎn)化為一系列一元方程，每個(gè)一元方程對(duì)應(yīng)一個(gè)變量的解。分區(qū)求解將定義域劃分為若干個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間內(nèi)近似為一元方程。迭代過程對(duì)每個(gè)小區(qū)間應(yīng)用二分法，逐步逼近該區(qū)間內(nèi)的一元方程的根。精度要求設(shè)定一個(gè)精度要求，當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度小于該精度時(shí)，停止迭代，輸出近似解。求解非線性方程的近似解線性化將非線性方程通過泰勒級(jí)數(shù)展開或其它方法轉(zhuǎn)化為線性方程或一元方程。精度要求設(shè)定一個(gè)精度要求，當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度小于該精度時(shí)，停止迭代，輸出近似解。初始條件和邊界條件根據(jù)問題的實(shí)際情況，設(shè)定初始條件和邊界條件。迭代過程對(duì)轉(zhuǎn)化后的線性方程或一元方程應(yīng)用二分法，逐步逼近方程的根。04二分法的應(yīng)用實(shí)例Part用二分法求解一元方程的近似解的實(shí)例實(shí)例1求解方程$f(x)=x^3-x-1=0$的近似解。實(shí)例2求解方程$ln(x)=2$的近似解。實(shí)例3求解方程$xsin(x)=1$的近似解。求解方程組$begin{cases}x+y=1xy=2end{cases}$的近似解。實(shí)例1實(shí)例2實(shí)例3求解方程組$begin{cases}x+y+z=1xyz=2end{cases}$的近似解。求解方程組$begin{cases}x-y=1y-z=2z-x=3end{cases}$的近似解。030201用二分法求解多元方程的近似解的實(shí)例STEP01STEP02STEP03用二分法求解非線性方程的近似解的實(shí)例實(shí)例1求解方程$sin(x)=x$的近似解。實(shí)例2實(shí)例3求解方程$xln(x)=1$的近似解。求解方程$e^x=x$的近似解。05二分法的注意事項(xiàng)和誤差分析Part初始區(qū)間選擇收斂性判斷停止條件異常處理使用二分法的注意事項(xiàng)在每一步迭代中，需要判斷新的區(qū)間長(zhǎng)度是否小于預(yù)設(shè)的精度要求，以決定是否繼續(xù)迭代。當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度小于預(yù)設(shè)的精度要求時(shí)，應(yīng)停止迭代，并輸出近似解。當(dāng)?shù)^程中出現(xiàn)無法計(jì)算的中間值或區(qū)間長(zhǎng)度不減反增時(shí)，應(yīng)停止迭代，并考慮是否需要重新選擇初始區(qū)間或調(diào)整精度要求。選擇一個(gè)合適的初始區(qū)間，使得該區(qū)間內(nèi)包含方程的根。初始區(qū)間的選擇會(huì)影響二分法的收斂速度和精度。區(qū)間長(zhǎng)度越短，誤差越小。因此，選擇合適的初始區(qū)間和迭代過程中的區(qū)間長(zhǎng)度是關(guān)鍵。區(qū)間長(zhǎng)度與誤差關(guān)系隨著迭代次數(shù)的增加，誤差會(huì)逐漸減小。但迭代次數(shù)過多也可能導(dǎo)致計(jì)算量增加，影響效率。迭代次數(shù)與誤差關(guān)系