點到直線的距離

教學(xué)目標(biāo)1.讓學(xué)生理解點到直線距離公式的推導(dǎo)和掌握點到直線距離公式;

2.培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考、分析等數(shù)學(xué)能力,認(rèn)識和體會事物(知識)之間相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化的辯證法思想。3.讓學(xué)生了解和感受探索問題的方法,以及用聯(lián)系的觀點看問題。在探索問題的過程中,培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊合作精神,提高學(xué)生個性品質(zhì),體驗成功的喜悅。2學(xué)情分析

點到直線的距離公式在以往的教學(xué)過程中遇到的最大困難是:思路自然的運(yùn)算較繁,而運(yùn)算較簡單的解法思路又很不自然,這樣就造成了教學(xué)中通常采用“注入式”,學(xué)生的思維得不到應(yīng)有的訓(xùn)練,學(xué)生的主體作用也不能充分體現(xiàn)出來?！爸亟Y(jié)論,但更重過程”是新課程的教學(xué)理念。因此這節(jié)課學(xué)生可在教師精心設(shè)計的問題引導(dǎo)下,真正成為課堂的主人,經(jīng)歷推導(dǎo)公式的過程,獲得成功的體驗。

本節(jié)是直線部分最后一個內(nèi)容,有意識地涉及到兩直線垂直、兩直線的交點等知識,既幫助學(xué)生整理、復(fù)習(xí)已學(xué)知識的結(jié)構(gòu),也讓學(xué)生在新授知識時,在原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找到生長點;同時,高二的學(xué)生已掌握了函數(shù)、三角函數(shù)、平面向量等相關(guān)知識,具備了一定的利用代數(shù)方法研究幾何問題的能力,自然地引出新問題,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,有利于學(xué)生形成合理、完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu),在這過程中展示了數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的思維過程,學(xué)生能夠自覺地、主動地參與進(jìn)來:從不同的角度思考問題,不僅加強(qiáng)了知識間的聯(lián)系,鍛練、提高學(xué)生運(yùn)用知識分析問題和解決問題的能力,而且有利于數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高。3重點難點教學(xué)重點:點到直線距離公式及其應(yīng)用教學(xué)難點:點到直線距離公式的推導(dǎo)4教學(xué)過程4.1第一學(xué)時4.1.1教學(xué)活動活動1【導(dǎo)入】教師設(shè)置問題，引發(fā)學(xué)生思考

平面幾何是研究平面圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科,距離和角是重要工具,為進(jìn)一步用代數(shù)方法研究曲線問題奠定了基礎(chǔ)。今天我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)“距離”。

問題1在直角坐標(biāo)系下,兩點之間的距離公式的形式是怎樣的?它是怎樣推導(dǎo)的?如何用?用該公式求距離與以往的方法有哪些不同?

設(shè)計意圖:與“從學(xué)生的生活經(jīng)驗創(chuàng)設(shè)情景”相比,優(yōu)點在于:一為推導(dǎo)公式(轉(zhuǎn)化為點點距)打伏筆,二為新知識提供一個“最近發(fā)現(xiàn)區(qū)”三為學(xué)生提供一個知識生長點,四是點出這部分內(nèi)容涉及到的核心方法——坐標(biāo)法。

除了兩點間的距離外,還有點到直線的距離、兩條直線的距離等等。這節(jié)課的課題是——點到直線的距離?；顒?【活動】新知識的探究

問題2

解析幾何中,你認(rèn)為要求得點到直線的距離,需要擁有哪些條件?

設(shè)計意圖:讓學(xué)生感悟解析法的特點,進(jìn)一步知曉用代數(shù)方法研究幾何問題的手段與方法。

問題3

請同學(xué)們每人設(shè)計三個求點到直線距離的題目并試著解決它們。

情形1:點在直線上,如點(0,0)到直線x+y=0的距離;

情形2:點到坐標(biāo)軸(或與坐標(biāo)軸平行的直線)之間的距離,如點(―1,2)到直線x=4的距離;

情形3:點(―1,2)到直線2x+y-4=0

的距離。

設(shè)計意圖:學(xué)生設(shè)計題目,相互交流,其中不乏簡單易行,或有挑戰(zhàn)性的題目,形成探索第一波。有助于學(xué)生思維的深刻性、嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)。

學(xué)生從簡單問題入手,沿著由易到難的臺階拾級而上。對于情形2的問題,學(xué)生回答迅速肯定;而情形1的答案不一致。有的同學(xué)說不知道,沒想過,不清楚,有的說是零……

此時有必要統(tǒng)一認(rèn)識:在幾何學(xué)中距離的定義是怎樣的?在幾何學(xué)中,兩個圖形間的距離定義為:圖形F1內(nèi)的任一點與圖形F2內(nèi)的任一點間的距離中的最小值,叫做圖形F1與圖形F2的距離.

(回顧一下,平面內(nèi)兩點間距離的定義)

問題4

以求點(―1,2)到直線

2x+y-4=0的距離為例,探求解決問題的解法。

(1)根據(jù)定義:做垂線找垂足,求距離;——想法清晰自然!

還有別的處理方法嗎?你是怎么想到的?

設(shè)計意圖:給學(xué)生探索的主動權(quán),給學(xué)生在公式推導(dǎo)中自主創(chuàng)新的機(jī)會。

(2)構(gòu)造三角形:如何構(gòu)造三角形?

點評:在平面幾何的學(xué)習(xí)中,求距離通常是轉(zhuǎn)化為解直角三角形。充分利用平面幾何的圖形特征,利用三角函數(shù)、等面積法等。由于本題的特殊性,有的學(xué)生注意到“過點(―1,2)及(0,0)的直線與

2x+y-4=0平行”這一特殊性,將問題轉(zhuǎn)化為點(0,0)到直線2x+y-4=0

的距離,口答即可完成。

(3)求函數(shù)最小值;

(4)向量法:

教師點評:巧妙利用向量數(shù)量積的性質(zhì)來求距離,簡直是“巧奪天工”,與其他方法相比,這種方法有絕對優(yōu)勢,我們必須重視對向量工具性的研究和應(yīng)用。向量是數(shù)量與圖形的有機(jī)結(jié)合,解析幾何是用代數(shù)的方法解決幾何問題,兩者都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想,小組的推導(dǎo)方法證明了這一點,也再次說明了向量具有很強(qiáng)的實用性與工具性。由此看來,用向量法解解析幾何題確實行之有效。活動3【講授】延伸推廣

問題5已知點,求點P

到直線Ax+By+C=0之間的距離。這是本節(jié)課我們要徹底解決的核心問題。怎么辦?請選擇一種你熟悉的或你認(rèn)為較快的方法推導(dǎo)公式。

設(shè)計意圖:發(fā)揮教師在教學(xué)中的主導(dǎo)作用。不僅要能推導(dǎo)出結(jié)果,而且要善于反思:為什么選這種方法?它的優(yōu)劣是什么?在教學(xué)過程中應(yīng)特別注意糾正學(xué)生回答問題時的“口誤”,還要抓住時機(jī)肯定學(xué)生的“閃光點”。

問題6公式有哪些結(jié)構(gòu)特征?

公式的分子:保留直線方程一般式的風(fēng)格,充分表明公式與直線方程有關(guān)。

公式的分母:有點距離公式的味道。

象其他我們學(xué)過的一些公式一樣,公式簡潔明了,給我們一種美感?；顒?【練習(xí)】課堂練習(xí)

(1)求P(6,7)到直線l:3x-4y+5=0的距離。

(2)求P(-1,1)到直線l:y=2x-1的距離?；顒?【活動】課堂小結(jié)知識構(gòu)建

(1)你這節(jié)課學(xué)到了什么?有何體會?

(2)本節(jié)課有哪些收獲?給你最大的感受是什么?

(3)該公式推導(dǎo)中用到數(shù)學(xué)方法了嗎?如果有,涉及到哪些?

(4)解析幾何研究問題的特點是什么?有哪些優(yōu)越性?

可先由學(xué)生敘述,教師進(jìn)行補(bǔ)充和整理,小結(jié)的目的一方面讓學(xué)生再次回顧本節(jié)課的活動過程,重點和難點所在,另一方面,更是對探索過程的再認(rèn)識,對數(shù)學(xué)思想方法的升華,對思維的反思,可為學(xué)生以后解決問題提供經(jīng)驗和教訓(xùn)。

解題時,常用結(jié)論或用