山東省煙臺市開發(fā)區(qū)第五初級中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析

山東省煙臺市開發(fā)區(qū)第五初級中學(xué)2021-2022學(xué)年高三

數(shù)學(xué)理測試題含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.定義方程/(x)=/(x)的實數(shù)根/叫做/(X)的“新駐點”，若函數(shù)g(x)=x；

A(X)=hx.儀力=/+1(0<x<2)的“新駐點”分別為6萬，，，則

()

卜.沁。7c.

參考答案：

c

2.已知全集。=R/={x|x>0},5{x|x>1},則>iri(Cv0?()

A{x|0<x<1}B.{x|0<x<1}c{x|x<0}D{x|x>1>

參考答案：

B

略

3.已知全集U=R,集合)={川》一】<","-{HK—】"},則=

()

A{x|l<x<2}B國<*44

c[x[l<x<2)D[x[l<x<4)

參考答案：

c

【分析】

分別解絕對值不等式與分式不等式求得集合A,B,再求得轉(zhuǎn),及/門電m。

【詳解】由題意得"={HK-1<1}={*卜1<*一〔<1}={*1。<*<2},

T若阿■住b。}={x[*<l^A4}

.”={#*<4}."（討）={邛《*<2}故選c

【點睛】集合與集合運算，一般先化簡集合到最簡形式，如果兩個集合都是連續(xù)型數(shù)集，

則常利用數(shù)軸求集合運算結(jié)果，如果是離散型集合運算常運用枚舉法或韋恩圖。

4.在A4EC中，％瓦C分別為角46c的對邊，

且（b+c）：9+a）：M+b）=4:5:6,則最大內(nèi)角為

A.ISO'B.12bc.13sD.

90

參考答案：

B

略

5.為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個橋位樁兒E（如圖），要測

算兩點的距離，測量人員在岸邊定出基線8C,測得BC=50切，

&耽=105*/BCA=45*,就可以計算出A,3兩點的距離為

A.50也eB.503掰

C.25y/2mD.-2-

參考答案:

A

略

rm

6.若函數(shù)/(9的定義域為[1,8],則函數(shù)<一3的定文域為

A.(0,3)B.[1,3)U(3,8]C.[1,3)D.[0,3)

參考答案：

D

的定又域為口,8],若南數(shù)空仃巨義.剜用工

J1J-3Ho

7.已知cosStan^<0,那么角6是()

A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角

C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角.

參考答案：

C

略

8.AA5c中，內(nèi)角4艮。所對邊的長分別為。?瓦。，若asin4+占向8>csinC,則

的形狀是()

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.不確定

參考答案：

D

略

9.設(shè)等差數(shù)列｛。"｝的前"項和為S",Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=()

A、3B、4C、5D、6

參考答案：

C

10.某幾何函數(shù)的三視圖如圖所示，則該幾何的體積為()

A、18+8n8+8n

C>16+16nD、8+16n

俯視圖

參考答案：

A

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.設(shè)x，y為實數(shù)，不等式組卜之2表示區(qū)域。，若指數(shù)函數(shù)y-q的圖像上存

在區(qū)域。上的點，則實數(shù)a的取值范圍是.

參考答案：

［夜刻

12.若動直線"+如=1過點A(ba),以坐標(biāo)原點0為圓心，0A為半徑作圓，則其中最

小圓的面積為.

參考答案：

71

13.數(shù)列SJ的首項為2,數(shù)列為等比數(shù)列且4,若四%=3,則%的值

為.

參考答案:

486

14.已知正方體ABCD-ABCD中，E為GM的中點，則異面直線AE與BC所成的角的余弦

值為.

參考答案:

2

~3

【考點】異面直線及其所成的角.

【分析】根據(jù)題意知AD〃BC,.\NDAE就是異面直線AE與BC所成角，解三角形即可求得

結(jié)果.

【解答】解：連接DE,設(shè)AD=2

易知AD/7BC,

ZDAE就是異面直線AE與BC所成角，

在△RtADE中，由于DE=J^,AD=2,可得AE=3

AD2

.?.cosNDAE=If=后,

2

故答案為:~3.

15.如圖所示，函數(shù)y=〃x）的圖象在點P處的切線方程是＞=-x+8,則

/（5）+r（5）=

參考答案:

2

272

16.已知AABC的三個頂點在以0為球心的球面上，且cosA=一二，BC=1,AC=3,三棱錐0

-ABC的體積為飛-，則球0的表面積為.

參考答案：

16兀

考點：球內(nèi)接多面體；球的體積和表面積.

專題：球.

分析：通過A的余弦函數(shù)求出正弦函數(shù)值，求出B的大小，利用三棱錐0-ABC的體積為

內(nèi)

一T,求出o到底面的距離，求出球的半徑，然后求出球的表面積.

272

解答：解：AABC的三個頂點在以0為球心的球面上，且cosA=萬，BC=1,AC=3,

BC二AC

由正弦定理可知：sinA=sinB,

.,.sinB=l,B=90°.斜邊AC的中點就是△ABC的外接圓的圓心,

V14

?.?三棱錐0-ABC的體積為W,

22

又AB=VAC-BC=2V2,

...互1叼1加物叫V片14，

近

：.h=2,

球0的表面積為4nR2=16it.

故答案為：16n.

點評：本題考查球的表面積的求法，球的內(nèi)含體與三棱錐的關(guān)系，考查空間想象能力以及

計算能力.

1

17.在aABC中，角A、B、C所對的邊分別是a,b,c,cosC=9,且acosB+bcosA=2,則

△ABC面積的最大值為.

參考答案：

返

2

【考點】余弦定理；正弦定理.

【分析】利用余弦定理分別表示出cosB和cosA,代入到已知的等式中，化簡后即可求出

c的值，然后利用余弦定理表示出c2=￡+bZ-2abcosC,把c及cosC的值代入后，利用基本

不等式即可求出ab的最大值，然后由cosC的值，及C的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基

本關(guān)系求出sinC的值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把ab的最大值

及sinC的值代入即可求出面積的最大值.

【解答】（本題滿分為12分）

解：'/acosB+bcosA=2,

AaX2ac+bX2bc=2,

：.c=2,…（6分）

1116

.'.4=a2+b2-2abX§22ab-2abX9=9ab,

_93.

...abwW（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=5時等號成立）…（8分）

1蠣

由cosC=9,得sinC=9，…(10分)

11_9W5返

.?.SA*5absinCW2X4X9=2,

逅

故AABC的面積最大值為2.

逅

故答案為：2.…(12分)

【點評】此題考查了基本不等式，余弦定理及三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)

用，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.(本小題共13分)

如圖，矩形ABCD中，力。1平面ABE,BE=BC,F為CE上的點，且8尸1

平面ACEo

(1)求證：找1平面BCE；

(2)求證：AE//平面BFD。

參考答案:

(I)證明：?.?加1平面須E,AD//BC

平面AFE,則函1即.......................................2分

又?.?班'1平面4C2,則他1即

布1平面ME...................................5分

（H）證明：依題意可知：G是4C中點................................6分

平面48，則CH1M,

而BC-BEF是%中點................................9分

在△威中，F(xiàn)G//AE

愈a平面BfD

又同y（Z平面RFD>15〃平面加D.............................13分

19.設(shè)工是公差不為零的等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和.已知,是q與%的等比中項，

S.=36

（I）求｛a,,｝的通項公式；

（II）設(shè)4一，7",求｛兒｝的前〃項和T..

參考答案：

720,6?-5廠

2,

（I）^=?-）?€#*；（II）99

【分析】

（I）等差數(shù)列的公差設(shè)為“，且［不為0,運用等比數(shù)列的中項性質(zhì)和等差數(shù)列的通項

公式、求和公式，解方程可得首項和公差，進而得到所求通項公式；

（II）求得4=4-2、”=（方-1）4：運用數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求

和公式，計算可得所求和.

【詳解】解：（I）s,是公差d不為零的等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，

由嗎是q與的的等比中項，

可得《二一，

即以癡"=4q,

化為」=為，

由S*%,

可得赳?】〃=—=36,

解得.=1，d=2,

則4=1.2(H1)=2M1RWN,

(H)4=4K"=(2?T)4：

則也｝的前〃項和工=1<+316+564+-+(2n-l)-4-

故4匚=116+364+5256+T(2n-l)4Z

兩式相減可得一現(xiàn)="2(16+60+4)—DL

=4+2—5--------4^,

1-4

720,6?-5妙“

化簡可得：'"V9.

【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，解決通項公式常見的方法是基本量法；本題還

考查了數(shù)列求和的知識，解決數(shù)列求和知識的常見方法是裂項求和法、錯位相消法等.

當(dāng)=0

20.如圖，在直三棱柱“BC—MQ中，Ng=%P.E為4G的中點，。月

(1)證明：3J?平面4G；

(2)若乂=J6,4MC=3°,求點月到平面/形的距離.

參考答案:

本題考查空間幾何體的體積，線面垂直.(1)證得CQ'i兄c：,.?.瓦Gi平面

4Alec.,.壇C,l1CE；由“QE與AACC湘似得CE.,.CE1ABtC3;⑵證得

AC’JC,所以八為點E到平面A5Q的距離，等體積法求得點E到平面45C：的距離是丁.

⑴證明：.??直三棱柱AB。-4為平面43￡；

,.,8：Gu平面.?.CC；1B--C-.

-,■^ACB=90,,,-ACLBC,1B^；

,."A'C：cCC\=C：,.?.81G1￡平面AX1GC

「ECop面-C,.?.91c―CE,

￡i￡=￡￡i=a

???E為4G的中點，...c""C,"CGE與MCCj相似，且有CElXCj,

?；81Gc八的=C：,；.CE.1./IBJCJ.

(2)在矩形ACG4中，1"??■為的中點，可得

AC=2M，A：E=C：E=、3

在RtMBC,由ZBAC=30,可得8C=2,AB=4,從而可求得俱-g.4C=，口，

顯然有#C；+B*C；=AB：,即AC-尻C,九為點E到平面A3Ci的距離，

?.?B1Gl平面A4，qc,由％517c?%可得，$3*‘SJRCG尻

計算得一2?,

ix^Ox*=-x3V2x2卜=咆

,-.，1,可推出”,

>711

.?.點E到平面ABQ的距離是?.

21.(本小題滿分12分)已知圓C：=4,直線4過定點A(1,0).

(1)若。與圓C相切，求"的方程；

(2)若"與圓C相交于P、Q兩點，求三角形CPQ的面積的最大值，并求此時直線"的方

程.

參考答案：

(1)①若直線'I的斜率不存在，則直線4x=l,符合題意.……2分

②若直線“斜率存在，設(shè)直線,I的方程為/=即=

由題意知，圓心(3,4)到已知直線％的距離等于半徑2,

一=I7*二

即：JP+i,解之得

所以所求直線4的方程是“1或3?4廠3叫......6分

(2)因為直線與圓相交，所以斜率必定存在，且不為0,

設(shè)直線方程為米-了-卜=0,

八產(chǎn)

則圓心到直線4的距離為J+1,

又：ACPQ的面積S=X2gl=d目4I=2-2y+4

當(dāng)d=W時，S取得最大值2.

段一4|