小學趣味數學百題百講百練

小學趣味數學百題百講百練

1.鐘聲

小明家離火車站很近，他每天都可以根據車站大樓的鐘聲起床。車站大樓的鐘，每敲響

一下延時3秒，間隔1秒后再敲第二下。

假如從第一下鐘聲響起，小明就醒了，那么到小明確切判斷出已是清晨6點，前后共經

過了幾秒鐘？

分析與解

從第一下鐘聲響起，到敲響第6下共有5個“延時”、5個“間隔”，共計(3+1)X5

=20秒。當第6下敲響后，小明要判斷是否清晨6點，他一定要等到“延時3秒”和“間隔

1秒”都結束后而沒有第7下敲響，才能判斷出確是清晨6點。因此，答案應是：

(3+1)X6=24(秒)。

2.越減越多

同學們對這樣的問題可能并不陌生：“一個長方形被切去1個角，還剩幾

個角？”這種題的最大特點是答案不唯一，要根據去掉的這個角的不同情況來

確定“剩角”的多少。

剩3個角剩4個角剩5個角

⑴(2)⑶

圖1

以上3幅示意圖，表明了3種不同情況的3種不同答案。其中第3種情況最有

趣，長方形原有4個角，切去了1個角，反而多了1個角，出現(xiàn)了越減越多的情

況。下面一道題的思考方法與上題類似，看你能否正確回答。

“一個正方體，鋸掉一個角，還剩幾個角？”請注意，這里的“角”是立

體的“角”，它不同于平面上的角。

分析與解鋸掉角的情況有4種，因此剩角的答案也有4種（如14圖所

示）。

還有7個角還有8個角

還有9個角還有10個角

圖14

3.數一數

如果有人問你“會數數兒嗎？“，你會不屑一顧地說：“這么大了，還不

會數數兒！”其實，數數兒的學問還是很大的。不信，請你數出下面幾何圖形

的個數。

有（）個長方形有（）個梯形

圖2

分析與解圖（1）中：邊長1個單位的三角形有12個；邊長2個單位的三角

形有6個，邊長3個單位的三角形有2個。

一共有三角形20個。

圖（2）中：先按公式，計算出邊長8個單位的大正方形中，共有（1:+2;

+32+4;+5;+6:+7:+82）=204個正方形；然后再分別計算左、右兩側各多出

的一部分構成13X2=26個正方形；最后計算出共有大、小不同的正方形204+

26=230個。

圖（3）中：共有長方形（1+2+3+4+5）X（1+2+3+4）=15X10=150

（個）。

圖⑷中；共有梯形（1+2+3+4+5）X（1+2+3）=15X6=90（個）。

4.畫一畫

下面這些圖形你能一筆畫出來嗎？（不重復畫）

圖3

分析與解一筆畫需要解決兩個關鍵問題。一個是這幅圖能不能一筆畫？

另一個是，若能一筆畫，應該怎樣畫？對于這兩個問題，數學家歐拉在1736年

研究了“哥尼斯堡七橋”的問題后，做了相當出色的回答。他指出，如果一幅

圖是由點和線連接組成，那么與奇數條線相連的點叫“奇點”；與偶數條線相

連的點叫“偶點

例如，在圖17中，B為奇點，4口C為偶點。

AB

圖17

如果一幅圖的奇點的個數是0或是2,這幅圖可以一筆畫，否則不能一筆

畫。這是對第一個問題的回答。歐拉又告訴我們，如果一幅圖中的點全是偶

點，那么，你可以從任意一個點開始畫，最后還回到這一點；如果圖中只有兩

個奇點，那么必須從一個奇點開始畫，并結束于另一個奇點。

點個搬舞思勰配晶港噩普圖⑵（）'a

圖18

5.最短的路線

養(yǎng)貂專業(yè)戶養(yǎng)殖場內安置了9個箱籠（如下圖）。為了節(jié)省每次喂食的時

間，他必須走一條最短的路，但又

圖4

不能漏掉一個黏籠，喂完食后還要回到原出發(fā)點。你能替他設計一條最短

的路線嗎？并算出每喂食一次，至少要走多少米的路。

分析與解要給9個貂籠的貂分別喂食，最短的路線不止一條。我們只給出

其中的一種如圖20所示。

我們選擇這條路線的根據是：（1）盡量多走3米長的貂籠間隔，少走4米

長的粥籠間隔；（2）根據勾股定理，第⑨步走斜邊（長5米，這是因為5;=%+

42）比走兩條直角邊（3+4=7米）要少走2米。

他每喂食一次，至少要走

3X5+4X3+5=32（米）。

圖20

6.切西瓜

六（1）班召開夏夜乘涼晚會，買來了許多西瓜。班主任李老師說：“今天買來了許多

西瓜請大家吃。在吃以前我先要以切西瓜為名請大家做一道數學題。我規(guī)定，西瓜只能豎切，

不能橫剖。大家知道，切一刀最多分成2塊，切2刀最多分成4塊，那么切3刀最多能分成

幾塊？切4刀、切5刀、切6刀呢？這中間有沒有規(guī)律？如果有規(guī)律，請同學們找出來?！?/p>

李老師剛說完，同學們就七嘴八舌地討論起來。請你也參加他們的討論吧。

分析與解分割圓時.，切的刀數和最多可分的塊數之間有如下規(guī)律:

切n刀時，最多可分成：(1+1+2+3+……+n)塊。

2

經整理，可歸納成公式：11+；+2。其中n表示切的刀數舉例如圖

21所示。

圖21

7.均分承包田

有一塊等腰梯形菜地(如下圖)，地邊有一口水井?，F(xiàn)在3戶種菜專業(yè)戶

都提出要承包這塊地。經研究，決定讓這3戶共同承包這塊地，因此必須把這

塊地分成面積相等、形狀相同且與這口水井的距離也要相等的3塊地。你能幫

助解決這個問題嗎？

米、

圾

圖5

分析與解分法如圖23所示。我們只要把等腰梯形上底的兩個端點，分別

與水井連接，這樣就把這塊菜地分成符合題意的3塊了。

圖23

8.巧分食鹽水

大家在常識課上認識了量杯。快下課時，王老師讓我們用手中的量杯做一個智力小游戲:

有30毫升、70毫升、100亳升的量杯各1個，請你用這三個量杯把水槽中的100毫升

食鹽水平均分成兩份，但分的時候不準看量杯的刻度。大家動手試?試,至少要分幾次才成？

分析與解至少分9次。這種題，一般統(tǒng)稱為分液問題。解答時，最好用列表的方法。本

題解答方法，如下表所示（這不是唯一的方法）：

\《子容量

100亳升70亳升30亳升

分

130700

2304030

360400

4601030

590100

690010

7207010

8205030

950500

9.擴大地池

養(yǎng)魚專業(yè)戶張強，去年承包了一個叫“金三角”的魚池（如圖24）,喜獲

豐收。為了進一步增產，決定把魚池擴大。但有這樣的要求：①擴大后的魚池

必須仍是三角形，保持“金三角”魚池的稱號；②擴大后的魚池面積是原面積

的4倍；③原魚池的三個角上栽的3棵大柳樹不能移動。你能替張強設計一個施

工草圖嗎？

分析與解草圖如圖25所示。

我們只要過三角形的三個頂點，分別作它們所對的邊的平行線，兩兩相

交，成一個大三角形，這個大三角形的面積是原三角形面積的4倍。

10.巧妙的算法（一）

11=122=1+3

32=1+3+542=1+3+5+7

????????????

請你仔細觀察上面這些算式，試著找出某種規(guī)律，并利用這個規(guī)律迅速算

出下面式子的答案：

（1）1+3+5+7+9+11+13+15

（2）1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25

+27+29+31+33+35+37+39

分析與解由己知的算式

1;=1

22=1+3

32=1+3+5

42=1+3+5+7

我們不難看出：

52=1+3+5+7+9

<.__________________________>

5項

$2=1+3+5+7+9+11

、__________________________________>

6項

n2=l+3+5+……+（2n-3）+（2n-l）

1____________________________>

施

因此，（1）的答案為8（項數）的平方，即64；（2）的答案為20（項

數）的平方,即400。

11.巧妙的算法（二）

1J+2J=9（1+2）2=9

13+2433=36（1+2+3）2=36

????????????

請你仔細觀察上面兩組算式，找出規(guī)律并迅速算出下面算式的答案：

（1）P+23+33+43+53+63+73+83+93+⑹

（2）P+243斗...+203

分析與解求幾個數的立方和，一般總是先求出各數的立方再相加。但對

于從1開始的若干個連續(xù)自然數的立方和，我們可以從題中的兩組算式得到啟

發(fā)，找出規(guī)律，迅速算出它的答案：

（1）1423+33+……+1（）3

=（1+2+3+...+10）2=552=3025；

(2)P+23+33+........+203

=(1+2+3+……+20):=210:=44100

用數學歸納法可以證明：

J+23+33+……+(n-1)5+n3

=[1+2+3+........+(n-1)+n]2

12.哪個分數大？

有三個分數黑、黑和普’請你比較一下’哪個分

數大？

分析與解

在比較需、5黑和*if的大小時，如果用先通分再比較

大小的一般方法，就太麻煩了。我們知道，而g的倒數2卻比!

的倒數3小。就普遍的情況而言，一個分數的倒數大，這個分數反而小。

這樣，要比較這三個分數的大小，只要比較它們的倒數就可以了。

1111的倒數是10高

11111

霜的倒數是1。忐

揩的倒數是1。1

111111

111

因為，10----------<10----------<------

111111111111111

1111

所以,

111111111111111111

13.想辦法巧算

11111

---+----+----+...+--------+--------

1x22x33x4998x999999x1000

分析與解計算這道題要是先通分再加，那實在是太困難了。我們可以把

這樣的分數拆開。

因為：士=1-(

1_11

2x3~2"31

1_1_1

111

999x100099910000

1111

所以,原式=l-g+g-g+g-；++--------+---------

9989999991000

1_999

woo=；000

14.從1到100萬

大家對德國大數學家高斯小時候的一個故事可能很熟悉了。

傳說他在十歲的時候，老師出了一個題目：1+2+3+......+99+100的和是多少？

老師剛把題目說完，小高斯就算出了答案：這100個數的和是5050。

原來，小高斯是這樣算的：依次把這100個數的頭和尾都加起來，即1+100,2+99,

3+98,……，50+51,共50對，每對都是101,總和就是101X50=5050。

現(xiàn)在請你算一道題：從1至IJ1000000這100萬個數的數字之和是多少？

注意：這里說的“100萬個數的數字之和”，不是“這100萬個數之和”。例如,1、2、

3、4、5、6,7、8、9、10、11、12這12個數的數字之和就是1+2+3+4+5+6+7+8+9

+1+0+1+1+1+2=51o

請你先仔細想想小高斯用的方法，會對你算這道題有啟發(fā)。

分析與解

可以在這100萬個數前面加一個“0”，再把這些數兩兩分組：

999999和0999998和1

999997和2999996和3

依此類推，一共可分為50萬組，最后剩下1000000這個數不成對。

各組數的數字之和都是9+9+9+9+9+9=54,最后的1000000數字之和是1。

所以這100萬個數的數字之和為：

(54X500000)+1=27000001

15.求數列的和

你能用巧妙的方法，求出下列算式的結果嗎？注意，高斯求和的方法在這

里用不上。

⑴卓+1+

241224406084

小222222

（2）-+—+——+—+—+——

315356399143

分析與解這是兩道求數列和的計算題。巧算的方法與第13題類似，要根

據每個數列中各個數的特點，進行“拆分”，使拆分成的新數列的中間部分互

相抵消，從而達到“巧”算的目的。

/、U.1111111111111

1111111111111

—1--+---+---+---+------+---------+---------

224466881010121214

113

=1--=—

1414

1」1_1l_i1_J_

=I-3+3_5+5_7+7_Tt"9_TI+TT_T3

112

_1_-----=

-1313

16.不必大乘大除

下面這道計算題，按一般運算法則計算是很麻煩的。如果你能發(fā)現(xiàn)數字的

特點，采用巧算，則這道題將變得很容易。請你不要用紙和筆，用腦子想一

想，就得出答案，行嗎？(限10秒鐘)

1994

1994X1994-1995x1993

分析與解根據分母的數字特點，可用如下方法計算：

1994

1994X1994-1995X1003

____________1994__________

~19942-(1994+1)X(1994-1)

1994

-19942-(19942-1)

_______—=”94

19942-19942+1

17.猜猜是幾？

一個三位數，寫在一張紙上，倒過來看是正著看的1.5倍，正著看是倒

過來看的|。這個三位數是幾？

分析與解這個三位數是666。其實，只要你稍加思索，就可以想出來了。

這道題如果要求找一個一位數，那就是6；找一個兩位數，則是66；找一個四

位數，則是6666,……，依此類推。

18.完全數

如果整數a能被b整除，那么b就叫做a的一個因數。例如，1、2、3、4、

6都是12的因數。有一種數，它恰好等于除去它本身以外的一切因數的和，這

種數叫做完全數。例如，6就是最小的一個完全數，因為除6以外的6的因數是

1、2、3,而6=1+2+3。

你能在20至30之間找出第二個完全數嗎？

分析與解20至30之間的完全數是28o因為除28以外的28的因數是1、2、

4、7、14,而28=1+2+4+7+14。

尋找完全數并不是容易的事。經過不少數學家研究，到目前為止，一共找到

了23個完全數。第三、四個完全數是：

496=1+2+4+84-16+31+62+124+248

8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

奇怪的是，已發(fā)現(xiàn)的23個完全數是偶數，會不會有奇完全數存在呢？至今

無人能回答。完全數問題還是一個沒有解決的問題。

19.有這樣的數嗎？

小明異想天開地提出：“世界上應該存在這樣兩個數，它們的根與它們的差相等?！彼?/p>

的話音剛落，就引起了同學們的哄堂大笑，大家都覺得這是不可能的。但是，世界上有些事

情往往產生于一些怪想法。小明的想法，后來竟被同學們討論證實了。

你能找到這樣的兩個數嗎？告訴你，這樣的數還不止一對呢！

分析與解卜一面舉出幾個兩數的積等于兩數的差的實例：

1、，1111

23236

454520

22224

5~7~5~7~35

lx-=---=—

47=4~7=28

同學們，你可再試著找一些。

20.兩數的積與兩數的和能相等嗎？

數學課匕小明偶然發(fā)現(xiàn)2X2=2+2。下課后，小明問王老師：“2X2=2+2,這樣兩

數的積等于兩數的和的情況，還有嗎？”王老師聽后很高興地拍著小明肩膀說：“你能在數

學學習中敏銳地發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，這是很寶貴的，希望你能保持這個優(yōu)點。你提的問題

在數學中不是偶然的現(xiàn)

象，還可以舉出很多實例。例如，3X11=3+11,甚至還有三個數的積

等于這三個數的和，四個數的積等于這四個數的和，五個數的積等于這五個數的和。這

些現(xiàn)象近似于數學游戲，有興趣，你回去仔細想想，一定會找到答案的。明天我們一起交換

看法好嗎？”小明聽后高興地接受了老師的建議。

同學們，你們能找出這樣的數嗎？

分析與解下面是部分例子。

兩數積=兩數和：

11X1.1=11+1.1

1,1

3X1-=3+l-

22

1,1

4X1-=4+1-

33

5X11=5+1-1

44

三數積=三數和：

1X2X3=1+24-3

四數積=四數和：

lXlX2X4=l+l+2+4

五數積=五數和：

lXlXlX2X5=l+l+l+2+5

lXlXlX3X3=l+l+l+3+3

1義lX2X2X2=l+l+2+2+2

其中，有關兩數積二兩數和的例子，可以找出無數組，請再找出一些。

21.老路行不通

五年級的時候，我們在數學課上就學習過計算與三角形有關的陰影部分面

積的方法。但下面這道題卻無法用習慣的方法解答，需要另辟蹊徑。這條要走

的“新路”所依靠的知識，仍然是最基本的：如果幾個三角形的底和高都相

等，那么它們的面積也相等。

圖26

已知：在Z\ABC中，BC=5BD,AC=4EC,DG=GS=SE,AF=FG。

求陰影部分的面積占AABC面積的幾分之幾？

分析與解這道題看起來很像一道中學較復雜的幾何求解題。其實，只需

要一些小學最基本的數學知識就可以解答了。

根據BC=5BD,可以知道，AABD的面積=：Z\ABC的面積；根據AC

114

=4EC,可以知道，ZXDEC的面積的面積=xX、ZXABC的

445

面積=?△ABC的面積。依此類推，ZXADG的面積=：Z\ADE的面積=

；AABC的面積；ZXFGE的面積=|ZXABC的面積。

陰影部分的面積占ZXFGE面積的,即占AABC面積的gx!=

22.關鍵在于觀察

你在數學課上學了不少幾何圖形的知識，掌握了不少平面圖形的求面積公

式。但是有許多組合面積的計算，單靠這些知識是遠遠不夠的，它更需要對組

合圖形的觀察能力。下面就是一道考查你的觀察能力的題目。試試看，你能很

快做出來嗎？

已知圖內各圓相切，小圓半徑為1,求陰影部分的面積。

分析與解按一般的解題規(guī)律，要求面積，首先得確定所求的是什么圖

形，或是由什么圖形組合而成。而本題構成陰影部分的圖形，卻是個不規(guī)則的

圖形。但仔細觀察，就能發(fā)現(xiàn)陰影部分是由兩部分組成的：下面是一個小

的半圓，上面是大的半圓減去2個小圓和3個小半圓的剩余部分的由此

可得到以下解法：

2

陰影部分面積=下JT+g1X（-Ji.?2兀-3X彳7T）

71幾

=—+—

23

23.一筐蘋果

入冬前，媽媽買來了一筐蘋果，清理時，發(fā)現(xiàn)這筐蘋果2個、2個地數，余1個；3個、

3個地數，余2個；4個、4個地數，余3個；5個、5個地數，余4個；6個、6個地數，

余5個。你知道這筐蘋果至少有多少個嗎？

分析與解根據題目條件，可以知道，這筐蘋果的個數加1,就恰好是2、3、4、5、6的

公倍數。而題目要求“至少有多少個”，所以，蘋果的個數應該是2、3、4、5、6的最小公

倍數減去1。

⑵3,4,5,6]=60

60-1=59

即這筐革果至少有59個。

24.怎樣分？

有44枚棋子，要分裝在10個小盒中，要求每個小盒中的棋子數互不相同,應該怎樣分？

分析與解無法分。這道題的具體答案同學們要開動腦筋自己想想哦……

25.不要急于動手

左圖是一個正方形，被分成6橫行，6縱列。在每個方格中，可任意填入1、2、3中的

一個數字，但要使每行、每列及兩條對角線上的數字之和各不相同，這可能嗎？為什么？

分析與解不可能。

這是因為每行、每列和兩條對角線都是由6個方格組成的，那么數字之和最小是1X6=

6,數字之和最大是3義6=18。要想使各行、各列及對角線上的數字之和各不相同，只能出

現(xiàn)6、7、8、9、……、17、18這13種數字和，但實際卻需要6（行）+6（列）+2（對角

線）=14種不同的數字和。

由此可知，要達到銀行、每列及兩條對角線上的數字和各不相同是不可能的。

26.數字小魔術

新年聯(lián)歡會上，同學們一致要求教數學的王老師出?個節(jié)目。王老師微笑著走到講臺前

說：“我給你們表演一個數字魔術吧！”說完，王老師拿出一疊紙條，發(fā)給每人一張，并神

秘地說：“由于我教你們數學，所以你們腦子里的數也聽我的話。不信，你們每人獨立地在

紙條上寫上任意4個自然數（不重復寫），我保證能從你們寫的4個數中，找出兩個數，它

們的差能被3整除?！?/p>

王老師的話音一落，同學們就活躍起來。有的同學還說：“我寫的數最調皮，就不聽王

老師的話?！辈灰粫海瑢W們都把數寫好了，但是當同學們一個個念起自己寫的4個數時,

奇怪的事果真發(fā)生了。同學們寫的數還真聽王老師的話，竟沒有一個同學寫的數例外，都讓

王老師找出了差能被3整除的兩個數。

同學們，你們知道王老師數字小魔術的秘密嗎？

分析與解其實，同學們寫在紙條上的數字并不是聽王老師的話，而是聽數學規(guī)律的話。

因為任意一個自然數被3除，余數只能有3種可能，即余0、余1、余2。如果把自然

數按被3除后的余數分類，只能分為3類，而王老師讓同學們在紙條上寫的卻是4個數，那

么必有兩個數的余數相同。余數相同的兩個數相減（以大減小）所得的差，當然能被3整除。

王老師是根據數學基本性質設計小魔術的。所以，只要我們刻苦學習數學，掌握規(guī)律，

也會在數學王國中創(chuàng)造出魔術般的奇跡。

27.應該怎樣稱？

有9個外觀完全相同的小球，其中只有一個重量輕一點兒。現(xiàn)在要求你用架天平去稱,

問你至少稱幾次，才能找出較輕的球？

如果是27個球、81個球中只有一個較輕的球，你知道至少稱幾次才能找出那個較輕的

球嗎？這里有規(guī)律嗎？

分析與解9個球，至少稱兩次就可以找到那個較輕的球。

第一次：天平兩側各放3個球。

如果天平平衡，說明較輕的球在下面；如果不平衡，那么抬起一側的3個球中必有輕球。

第二次：從含有輕球的3個球中任選兩個，分別放在天平兩側。如果平衡，下面的球是

輕的；如果不平衡，抬起?側的球是輕的。

如果是27個球，至少需要稱3次。

第一次：天平兩側各放9個球。

如果平衡，說明輕球在下面9個中；如果不平衡，抬起一側的9個球中含有輕球。

第二次、第三次與前面所說9個球的稱法相同。

在這種用天平確定輕球（或重球）的智力題中，球的總個數與至少稱的次數之間的關系

是：若3n〈球的總個數W3n+1,則（n+1）即為至少稱的次數。

例如，設有25個球，因為32<25<33,所以至少稱3次；

設有81個球，因為33<81=34,所以至少稱4次。

28.最少拿幾次？

晚飯后，爸爸、媽媽和小紅三個人決定下一盤跳棋。打開裝棋子的盒子前，爸爸忽然用

大手捂著盒子對小紅說：“小紅，爸爸給你出一道跳棋子的題，看你會不會做？”小紅毫不

猶豫地說：“行，您出吧？”“好，你聽著：這盒跳棋有紅、綠、藍色棋子各15個，你閉

著眼睛往外拿，每次只能拿1個棋子，問你至少拿幾次才能保證拿出的棋子中有3個是同?

顏色的？”

聽完題后，小紅陷入了沉思。同學們，你們會做這道題嗎？

分析與解至少拿7次，才能保證其中有3個棋子同一顏色。

我們可以這樣想：按最壞的情況，小紅每次拿出的棋子顏色都不一樣，但從第4次開始,

將有2個棋子是同一顏色。到第6次，三種顏色的棋子各有2個。當第7次取出棋子時，不

管是什么顏色，先取出的6個棋子中必有2個與它同色，即出現(xiàn)3個棋子同一顏色的現(xiàn)象。

同學們，你們能從這道題中發(fā)現(xiàn)這類問題的規(guī)律嗎？如果要求有4個棋子同一顏色，至

少要拿幾次？如果要求5個棋子的顏色相同呢？

29.巧手擺花壇

學校門口修了一個正方形花壇，花壇竣工時，大隊部在花壇旁掛出一塊小黑板，上面寫

著：

“各中隊少先隊員：

花壇修好了，同學們都希望管理這個花壇。哪個中隊的少先隊員能做出下面兩道題，就

請那個中隊的少先隊員負責管理這個花壇。

①要在這個花壇的四周擺上16盆麥冬，要求每邊都是7盆，應該怎樣擺？

②還要在這個花壇四周擺上24盆串紅，要求每邊也是7盆，應該怎樣擺？”

同學們，你會擺嗎？請你試試看。

分析與解答案如下圖:

度。目

。擺16盆。

§000°

圖29

30.填數（一）

請你把1~8這八個數分別填入下圖所示正方體頂點的圓圈里，使每個面的

4個角上的數之和都相等。

圖30

分析與解做這種填數游戲，有兩種方法，一種是“笨”方法，即湊數的

方法。分別用這8個數去試，這種方法可行，但很費事。另一種方法是用分

析、計算的方法。這道題可以分析、計算如下：

在計算各個面上4個數的和時，頂點上的數總是分屬3個不同的面，這樣，

每個頂點上的數都被重復計算了3次。因此，各個面上4個數的和為1~8這8個

致的和的3倍，即（1+2+3+…+8）X3=108。又因為正方體有6個面，也就是每

個面上的四個數的和應是108+6=18。18應是我們填數的標準。

如果在前面上填入1、7、2、8（如圖31）,那么右側面上已有2、8,其余

兩頂點只能填3、5。以此類推，答案如圖31所示。

31.算算這筆賬

小明哥哥的個體商店里，同時放著甲、乙兩種收錄機，售價都是990元。但是甲種收錄

機是緊俏商品，賺了10%;乙種收錄機是滯銷品，賠了10%。假如今天兩種收錄機各售出

一臺，小明哥哥的商店是賺錢了還是賠錢了？若賺了，則賺了多少？若賠了，則賠了多少？

你會算這筆賬嗎？

分析與解賺了10%后是990元，原價是：

9904-(1+10%)=900(元)

賠了10%后是990元，原價是：

9904-(1-10%)=1100(元)

那么兩臺收錄機，原來進價為900+1100=2000元，現(xiàn)在賣了990X2=1980元。

因此，這個商店賣出甲、乙兩種收錄機各一臺，賠了2000-1980=20元。

32.“達標”的人數

有一所學校，男生有5%的人體育“達標”，得了優(yōu)秀。這所學校的g

是男生；在全?！斑_標”獲優(yōu)秀的學生中，;是男生。問女生“達標”獲

優(yōu)秀的學生占全校學生總數的百分之幾？

分析與解

根據已知條件，獲體育“達標”優(yōu)秀的男生占全校人數的1x5%

3

=100°

根據獲優(yōu)秀的學生中，;7是男生，則女生占工1。即男生占3份，女生

44

占1份。所以，女生獲優(yōu)秀的占全校人數的高+3=+=1%

33.誰得優(yōu)秀？

六年級同學畢業(yè)前，凡報考重點中學的同學，都要參加體育加試。加試后，甲、乙、丙、

丁四名同學談論他們的成績：

甲說：“如果我得優(yōu)，那么乙也得優(yōu)。”

乙說：“如果我得優(yōu)，那么丙也得優(yōu)?！?/p>

丙說：“如果我得優(yōu)，那么丁也得優(yōu)。”

以上三名同學說的都是真話，但這四人中得優(yōu)的卻只有兩名。問這四人中誰得優(yōu)秀？

分析與解我們可以這樣想：如果甲得優(yōu)秀，那么乙、丙、丁都得優(yōu)秀，這與實際不符;

如果乙得優(yōu)秀，則丙、丁也得優(yōu)秀，也與實際不符。因此，只能丙、丁得優(yōu)秀，才符合實際

情況。

判斷結果是：丙、丁得優(yōu)秀。

34.排名次

學校舉辦排球比賽，進入決賽的是五（1）班、五（2）班、六（1）班、六（2）班的代

表隊，到底誰得第一，誰得第二，誰得第三，誰得第四呢？

甲、乙、丙三人做如下的猜測：

甲說：“五（1）班第一，五（2）班第二?！?/p>

乙說：“六（1）班第二，六（2）班第四?！?/p>

丙說：“六（2）班第三，五（1）班第二。”

比賽結束后，發(fā)現(xiàn)甲、乙、丙三人誰也沒有完全猜對，但他們都猜對了一半。你能根據

上面情況排出1?4名的名次嗎？

分析與解這類題用列表法進行推理比較簡捷。

甲說XV

乙說XV

丙說VX

上表第一行，是假設甲說的“五（1）班第一”是錯的，“五（2）班第二”是對的；由

此推向乙、丙，因為“五（2）班第二”是對的，則乙說的“六（1）班第二”就是錯的，丙

說的“五（1）班第二”也是錯的，那么乙說的“六（2）班第四”與丙說的“六（2）班第

三都是對的，這顯然矛盾。因此可以斷定，甲說的“五（2）班第二”是錯的，而甲說“五

（1）班第一”是對的。進而我們用下表可推出正確結論來：

甲說VX

乙說VX

丙說7X

推理過程是：甲說“五（1）班第一”是對的，丙說“五（1）班第二”是錯的；那么，

丙說“六（2）班第三”是對的。由此又推出，乙說“六（2）班第四”是錯的，當然乙說‘'六

（1）班第二”是對的。前三名已有了，第四名只能是五（2）班了。

35.要賽多少盤？

六年級舉行中國象棋比賽，共有12人報名參加比賽。根據比賽規(guī)則，每個人都要與其

他人各賽一盤，那么這次象棋比賽一共要賽多少盤？

分析與解一共要賽66盤。

要想得出正確答案，我們可以從簡單的想起，看看有什么規(guī)律。

假如2個人（A、B）參賽，那只賽1盤就可以了；假如3個人（A、B、C）參賽，那么

A—B、A—C、B—C要賽3盤；假如4個人參賽，要賽6盤，……

于是我們可以發(fā)現(xiàn)：

2人參賽，要賽1盤，即1；

3人參賽，要賽3盤，即1+2；

4個參賽,要賽6盤，即1+2+3；

5人參賽，要賽10盤，即1+2+3+4；

那么，12人參賽就要賽1+2+3+……+11=66盤。

我們還可以這樣想:

這12個人，每個人都要與另外11個人各賽1盤，共11X12=132(盤)，但計算這總

盤數時把每人的參賽盤數都重復算了一次，(如A-B賽一盤，B-A又算了一盤)，所以實

際一共要賽1324-2=66(盤)。

36.獲第三名的得幾分？

A、B、C、D、E五名學生參加乒乓球比賽，每兩個人都要賽一盤，并且只賽一盤。規(guī)定

勝者得2分，負者得0分。現(xiàn)在知道比賽結果是：A和B并列第一名，C是第三名，D和E

并列第四名。那么C得幾分？

分析與解獲第三名的學生C得4分。

因為每盤得分不是2分就是。分，所以每個人的得分一定是偶數，根據比賽規(guī)則，五個

學生一共要賽10盤，每盤勝者得2分，共得了20分。每名學生只賽4盤，最多得8分。

我們知道，并列第一名的兩個學生不能都得8分，因為他們兩人之間比賽的負者最多只

能得6分，由此可知，并列第一的兩個學生每人最多各得6分。

同樣道理，并列第四的兩個學生也不可能都得0分，因此他們兩人最少各得2分。

這樣，我們可得出獲第三名的學生C不可能得6分或2分，只能得4分。

37.五個好朋友

A、B、C、D、E五個學生是同班的好朋友，其中有四人做課代表工作，這四科是語文、

數學、地理、歷史。另一個人是中隊長。

請你根據下列條件，判斷出這五位同學各做什么工作。

(1)語文課代表不是C,也不是D；

(2)歷史課代表不是D,也不是A；

(3)C和E住在同一樓里，中隊長和他們是鄰居；

(4)C問數學課代表問題時，B也在一旁聽著；

(5)A、C、地理課代表、語文課代表常在一起討論問題；

(6)D、E常到數學課代表家去玩，而中隊長去的次數不多。

分析與解A是數學課代表，B是中隊長，C是歷史課代表，D是地理課代表，E是語文

課代表。

題中（1）、（2）是直接條件，而（3）?（6）就不像（1）、（2）那樣將條件直接寫

明。只要我們把（3）?（6）轉換成直接條件，再把這些條件填入下表，就會得到正確的判

斷。

條件（3）中，“C和E住在同一樓里，中隊長和他們是鄰居”，這就是說，中隊長不

是C,也不是E。條件（4）就是說，數學課代表不是C也不是B。條件（5）就是說，地理

課代表、語文課代表不是A,也不是C。條件（6）就是說，數學課代表、中隊長不是D或E。

將以上（1）?（6）條件填入下表。

語文課代數學課代地理課代歷史課代中隊長

表表表表

AX(5)VX(5)X(2)X

BXX(4)4

CX(l)(5)X(4)X(5)X(3)

Dx(i)X(6)X(2)X(6)

EX⑹X(3)(6)

由上表縱著看到數學課代表是A,畫上“J”；A就不可能是中隊長了，

在相應位置上畫上“X那么中隊長一定是B,畫上既然B是中隊

長，他就不是語文課代表了，在相應位置上畫上“義再按著看，C是歷史

課代表，D是地理課代表。最后得出E是語文課代表。

38.過隊日

六（1）中隊共43名隊員，他們到龍?zhí)队螛穲@過中隊日。中隊長宣布，大家只能參加“激

流勇進”、“觀覽車”和“單軌火車”三種游樂活動?；顒咏Y束時，中隊長說：“根據今天

參加游樂活動的情況我編了一道數學題：“全中隊至少有多少人參加的活動完全相同？”

你能替六（1）中隊的同學找到正確答案嗎？

分析與解全中隊至少有7人參加的活動相同。

這是一道根據實際活動編得很有趣的數學題。解答這道題首先要弄明白同學們參加游樂

活動共有幾種可能情況。我們把各種情況分別列出如下：

(1)只參加“激流勇進”；

(2)只參加“觀覽車”；

(3)只參加“單軌火車”；

(4)既參加“激流勇進”，又參加“觀覽車”；

(5)既參加“激流勇進”，又參加“單軌火車”；

(6)既參加“觀覽車”，又參加“單軌火車”；

(7)三種活動都參加。

由于可能的情況共有7種，去游樂場的有43名少先隊員，43+7=6……1(人)，即如

果每種可能的情況有6名隊員參加的話，那么還余1名隊員，不管這1名隊員參加活動屬于

哪種“情況”，則至少有7人參加的活動相同。

39.放硬幣游戲

參加人：2人，也可以有裁判1人。

用具：一張紙(方形、圓形都可以)，1分硬幣若干枚。

游戲規(guī)則：①2人輪流把硬幣放在紙上，每人每次只放一枚；②放在桌上的硬幣不能重

疊；③最后在紙上無處可放者為負。

同學們，要想在這個小游戲中取勝，只需應用幾何中一個很簡單的原理。你知道怎樣放

才能保證在游戲中穩(wěn)操勝券嗎？

分析與解這個游戲對參加的兩個人來說是不平等的，如果知道了游戲的奧妙，那么先放

硬幣的一方會穩(wěn)操勝券。

游戲的奧妙是利用平面幾何中的中心對稱原理。先放者，首先搶占“對稱中心”，即紙

的中心。然后，不論對方把硬幣放在什么位置，你每次都根據中心對稱原理，把硬幣放到對

方硬幣的對稱位置上。這樣，只要對方有地方放，你就必定有放的地方，直到你占滿最后一

處空白，逼得對方無處可放，你就獲勝了。

40.一本書的頁數

我們知道印刷廠的排版工人在排版時，一個數字要用一個鉛字。例如15,就要用2個

鉛字；158,就要用3個鉛字。現(xiàn)在知道有一本書在排版時，光是排出所有的頁數就用了68

69個鉛字，你知道這本書共有多少頁嗎？（封面、封底、扉頁不算在內）

分析與解仔細分析一?下，頁數可分為一位數、兩位數、三位數、……。

一位數有9個，使用IX9=9個鉛字；

兩位數有（99-9）個，使用2X90=180個鉛字；

三位數有（999-90-9）個，使用3X900=2700個鉛字；

依此類推。

我們再判斷?下這本書的頁數用到了幾位數。因為從1到999共需用9+2X90+3X900

=2889個鉛字，從1到9999共需用9+2X90+3X900+4X9000=38889個鉛字，而2889<6

869<38889,所以這本書的頁數用到四位數。

排滿三位數的頁數共用了2889個鉛字，排四位數使用的鉛字應有6869-2889=3980（個），

那么四位數的頁數共有3980+4=995（頁）。因此這本書共有999+995=1994（頁）。

41.重要的是能發(fā)現(xiàn)規(guī)律

學習數學，重要的不是會做幾道題，而是通過學習，學會總結規(guī)律、使用

規(guī)律，最終培養(yǎng)出一種能獨立發(fā)現(xiàn)和總結規(guī)律并應用規(guī)律去解決實際問題的能

力。

下面有一道題，就是檢查你是否具備這方面能力的。不過，在正式做題

前，先復習一下有關的知識。

一個三位數，例如256,可以表示成：

100X2+10X5+6。

一個任意三位數而（通常表示幾位數時就在這幾個字母上面畫一條

橫線）也可以表示成：

100a+10b+c

一個任意四位數砌也可以表示成：

1000a+100b+10c+d

好了，現(xiàn)在請做下面的題。

有一個四位數，減掉它各位數字的和得到19派2,你能準確地判斷出※表

示的數字是幾嗎？

解答這道題，當然可以用分析、推理等方法，但希望你能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并利

用規(guī)律來巧解這道題。

分析與解※表示6。

在解答這道題的過程中，不知你是否發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：不管是一個兩位

數、三位數或四位數……，減去它的各個數位上數字之和所得的差，必定是9

個的倍數。這個規(guī)律的證明，簡述如下：

一個四位數abed,可以表示成：1000a+100b+10c+d。它

與它的數字之和的差為

1000a+100b+10c+d-(a+b+c+d)

=(1000a-a)+(100-b)+(10c-c)+(d-d)

=999a+99b+9c

=9(llla+llb+c)

因為這個差是“9”與一個算式(其計算結果是整數)的乘積，所以這個

差必定能被9整除。(其他位數的數的證明與此相同，從略)。

解答上面這道題，我們可以根據條件這樣想：1+9+2=12,12比9的2倍少

6,比9的3倍少15,因為※表示的是一個數字，所以※表示的只能是6。

42.填數(二)

右圖中的大三角形被分成9個小三角形。試將1、2、3、4、5、6、7、8、9

分別填入9個小三角形中，每個小三角形內只填一個數。要求靠近大三角形每

條邊的5個小三角形內的數相加的和相等，并且使五個數的和盡可能大，請問

該怎樣填？如果使五個數的和盡可能小，又該怎樣填？

圖32

分析與解靠近大三角形三條邊的5個數的和盡可能大的填法如圖33中的左

圖；使5個數的和盡量小的填法如圖33中的右圖。

把靠近大三角形三條邊的5個數都加起來，就會發(fā)現(xiàn)，除每邊靠中間的那

三個數外，其余的數都重復相加了兩次。要想

圖33

使靠近大三角形每條邊的5個數的和相等，并且使和盡可能大，那么靠近

各邊中間的這三個數就應該盡量小，當然應該填1、2,3。這時每條邊的5個數

之和為

[2X(1+2+3+……+9)-1-2-31^-3=28

同理，要使靠近大三角形三條邊的5個數的和相等，并且使和盡可能小，

則靠近各邊中間的這三個數就應該盡量大，即這三個數應是7、8、9