中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（選擇題）：軌跡（含答案）

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（選擇題）：軌跡一．選擇題（共10小題）1．（吳興區(qū)二模）如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝3，點(diǎn)P為BC邊上一動點(diǎn)，連接AP，在AP左側(cè)構(gòu)造三角形OAP，使得∠AOP＝120°，OA＝OP．當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)O的運(yùn)動路徑長為（）A．B．C．πD．2．（2021秋?廉江市期末）如圖，⊙O的半徑為2，點(diǎn)C是圓上的一個動點(diǎn)，CA⊥x軸，CB⊥y軸，垂足分別為A、B，D是AB的中點(diǎn)，如果點(diǎn)C在圓上運(yùn)動一周，那么點(diǎn)D運(yùn)動過的路程長為（）A．B．C．πD．2π3．（2021秋?漢陽區(qū)校級月考）如圖，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝1，將Rt△ABC延直線l由圖1的位置按順時針方向向右作無滑動滾動，當(dāng)A第一次滾動到圖2位置時，頂點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑的長為（）A．B．C．D．（2+）π4．（鞍山二模）如圖，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P為拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥AB交y軸于Q，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著直線AB上方拋物線運(yùn)動到點(diǎn)B，則點(diǎn)Q經(jīng)過的路徑長為（）A．B．C．3D．5．（寧波模擬）如圖，點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸正半軸上（含坐標(biāo)原點(diǎn)）滑動，且滿足OA+OB＝6，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，將線段AC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD，當(dāng)A由點(diǎn)O向右移動時，點(diǎn)D移動的路徑長為（）A．3B．4C．3D．6．（2020?桂林）如圖，已知的半徑為5，所對的弦AB長為8，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到，則在該旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P的運(yùn)動路徑長是（）A．πB．πC．2πD．2π7．（岳麓區(qū)校級一模）如圖，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，AB＝，扇形AOC的圓心角為60°，點(diǎn)D為上一動點(diǎn)，P為線段BD上的一點(diǎn)，且PB＝2PD，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)C，則點(diǎn)P的運(yùn)動路徑長為（）A．B．C．D．8．（2020?淄博）如圖，放置在直線l上的扇形OAB．由圖①滾動（無滑動）到圖②，再由圖②滾動到圖③．若半徑OA＝2，∠AOB＝45°，則點(diǎn)O所經(jīng)過的運(yùn)動路徑的長是（）A．2π+2B．3πC．D．+29．（2019?武漢）如圖，AB是⊙O的直徑，M、N是（異于A、B）上兩點(diǎn)，C是上一動點(diǎn)，∠ACB的角平分線交⊙O于點(diǎn)D，∠BAC的平分線交CD于點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)N時，則C、E兩點(diǎn)的運(yùn)動路徑長的比是（）A．B．C．D．10．（2021秋?市中區(qū)期中）如圖，直線l1：y＝x+1與直線l2：y＝相交于點(diǎn)P（﹣1，0）．直線l1與y軸交于點(diǎn)A．一動點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)，先沿平行于x軸的方向運(yùn)動，到達(dá)直線l2上的點(diǎn)B1處后，改為垂直于x軸的方向運(yùn)動，到達(dá)直線l1上的點(diǎn)A1處后，再沿平行于x軸的方向運(yùn)動，到達(dá)直線l2上的點(diǎn)B2處后，又改為垂直于x軸的方向運(yùn)動，到達(dá)直線l1上的點(diǎn)A2處后，仍沿平行于x軸的方向運(yùn)動，…照此規(guī)律運(yùn)動，動點(diǎn)C依次經(jīng)過點(diǎn)B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，B2014，A2014，…則當(dāng)動點(diǎn)C到達(dá)A2021處時，運(yùn)動的總路徑的長為（）A．20212B．22021﹣2C．22020+1D．22022﹣2

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（選擇題）：軌跡（10題）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（吳興區(qū)二模）如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝3，點(diǎn)P為BC邊上一動點(diǎn)，連接AP，在AP左側(cè)構(gòu)造三角形OAP，使得∠AOP＝120°，OA＝OP．當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)O的運(yùn)動路徑長為（）A．B．C．πD．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；軌跡．【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【分析】由題意，可知O點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為線段OO'，當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)時，∠OPC＝90°，當(dāng)P點(diǎn)在C點(diǎn)時，∠ACO＝30°，則△OAO'是等邊三角形，求出OO'＝OB＝OP＝，即可求點(diǎn)O的軌跡長．【解答】解：如圖，∵∠ACB＝60°，∠AOC＝120°，∴A、O、P、C四點(diǎn)共圓，∵OA＝OP，∠AOP＝120°，∴∠APO＝∠OAP＝30°，∵＝，∴∠ACO＝∠APO＝30°，∴∠ACO＝∠ACB＝30°，∴點(diǎn)O在∠ACB的角平分線上運(yùn)動，∴O點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為線段OO'，當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)時，∠OPC＝90°，當(dāng)P點(diǎn)在C點(diǎn)時，∠ACO＝30°，∴∠OCB＝30°，∵AB＝3，∴OP＝CB?tan30°＝3×＝，∵OA＝O'A，∠AOO'＝60°，∴OO'＝OB＝OP＝，∴點(diǎn)O的運(yùn)動路徑長為，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，由P點(diǎn)的運(yùn)動情況確定O點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?廉江市期末）如圖，⊙O的半徑為2，點(diǎn)C是圓上的一個動點(diǎn)，CA⊥x軸，CB⊥y軸，垂足分別為A、B，D是AB的中點(diǎn)，如果點(diǎn)C在圓上運(yùn)動一周，那么點(diǎn)D運(yùn)動過的路程長為（）A．B．C．πD．2π【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；圓周角定理；軌跡．【專題】矩形菱形正方形；推理能力．【分析】根據(jù)題意知四邊形OACB是矩形，可得點(diǎn)D是對角線AB、OC的交點(diǎn)，即OD＝OC，從而可知點(diǎn)D運(yùn)動軌跡是一個半徑為1圓，求得此圓周長即可．【解答】解：如圖，連接OC，∵CA⊥x軸，CB⊥y軸，∴四邊形OACB是矩形，∵D為AB中點(diǎn)，∴點(diǎn)D在AC上，且OD＝OC，∵⊙O的半徑為2，∴如果點(diǎn)C在圓上運(yùn)動一周，那么點(diǎn)D運(yùn)動軌跡是一個半徑為1圓，∴點(diǎn)D運(yùn)動過的路程長為2π?1＝2π，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查點(diǎn)的軌跡問題，矩形的判定和性質(zhì)，根據(jù)四邊形OACB是矩形且D為AB中點(diǎn)判斷出點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡是解決此題的關(guān)鍵．3．（2021秋?漢陽區(qū)校級月考）如圖，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝1，將Rt△ABC延直線l由圖1的位置按順時針方向向右作無滑動滾動，當(dāng)A第一次滾動到圖2位置時，頂點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑的長為（）A．B．C．D．（2+）π【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；軌跡．【專題】幾何綜合題；推理能力．【分析】點(diǎn)A第一次滾動到圖2位置時，共向右無滑動滾動三次，第一次滾動，圓心角為120°，半徑為1；第二次滾動，圓心角為150°，半徑為；第三次滾動，點(diǎn)A沒有移動，計(jì)算出每一次滾動點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長再求出它們的和即可．【解答】解：如圖，A第一次滾動到圖2位置時，共向右無滑動滾動三次，第一次滾動，圓心角為180°﹣60°＝120°，∵AC＝1，∴半徑長為1，∴點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長為：＝；第二次滾動，圓心角為180°﹣30°＝150°，∵∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝1，∴BC＝2AC＝2，∴AB＝＝＝，∴半徑長為，∴點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長為：＝，第三次滾動，點(diǎn)A沒有移動，∴點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長為0，∴當(dāng)A第一次滾動到圖2位置時，頂點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑的長為：++0＝，故選：C．【點(diǎn)評】此題考查點(diǎn)的運(yùn)動軌跡、弧長的計(jì)算公式、直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是確定滾動的次數(shù)和每一次滾動時的圓心角和半徑．4．（鞍山二模）如圖，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P為拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥AB交y軸于Q，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著直線AB上方拋物線運(yùn)動到點(diǎn)B，則點(diǎn)Q經(jīng)過的路徑長為（）A．B．C．3D．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線與x軸的交點(diǎn)；軌跡．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力．【分析】分別求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AB，PQ的解析式，再求出它們與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問題．【解答】解：對于y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，則y＝3，∴B（0，3），令y＝0，則x＝﹣3或1，∵點(diǎn)A在點(diǎn)C的左側(cè)，∴A（﹣3，0），設(shè)AB所在直線解析式為y＝kx+b，將A、B點(diǎn)代入得：，解得：，∴直線AB的解析式為：y＝x+3，∵PQ∥AB，∴設(shè)PQ的解析式為：y＝x+a，∵點(diǎn)Q經(jīng)過的路徑長是直線PQ經(jīng)過拋物線的切點(diǎn)與y軸的交點(diǎn)和點(diǎn)B的距離的2倍，∴方程﹣x2﹣2x+3＝x+a有兩個實(shí)數(shù)根，∴Δ＝9﹣4（a﹣3）＝0，解得：a＝，∴Q（0，），當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時，此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)Q經(jīng)過的路徑長為2×＝，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線與直線的交點(diǎn)問題，點(diǎn)Q經(jīng)過的路徑長是直線PQ經(jīng)過拋物線的切點(diǎn)與y軸的交點(diǎn)和點(diǎn)B的距離的2倍是解題的關(guān)鍵．5．（寧波模擬）如圖，點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸正半軸上（含坐標(biāo)原點(diǎn)）滑動，且滿足OA+OB＝6，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，將線段AC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD，當(dāng)A由點(diǎn)O向右移動時，點(diǎn)D移動的路徑長為（）A．3B．4C．3D．【考點(diǎn)】軌跡；坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【分析】分別討論A點(diǎn)在O點(diǎn)處，A點(diǎn)在（6，0）處時，點(diǎn)D的位置，從而確定D點(diǎn)的軌跡為線段，再結(jié)合圖形即可求解．【解答】解：如圖，∵OA+OB＝6，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，∴AC＝BC，由旋轉(zhuǎn)可知，AC＝AD，∴當(dāng)A點(diǎn)在O點(diǎn)處時，CO＝3，此時D（3，0），∵OA+OB＝6，∴∠BAO＝45°，當(dāng)A點(diǎn)在（6，0）處時即A'處，AA'＝3，∵∠BAD'＝90°，∴∠D'AA'＝45°，∴△AA'D'為等腰直角三角形，∴AD'＝3，∴點(diǎn)D移動的路徑長為3，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，能夠根據(jù)A點(diǎn)運(yùn)動情況確定D點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．6．（2020?桂林）如圖，已知的半徑為5，所對的弦AB長為8，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到，則在該旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P的運(yùn)動路徑長是（）A．πB．πC．2πD．2π【考點(diǎn)】勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力；推理能力．【分析】根據(jù)已知的半徑為5，所對的弦AB長為8，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，利用垂徑定理可得AC＝4，PO⊥AB，再根據(jù)勾股定理可得AP的長，利用弧長公式即可求出點(diǎn)P的運(yùn)動路徑長．【解答】解：如圖，設(shè)的圓心為O，連接OP，OA，AP'，AP，AB'∵圓O半徑為5，所對的弦AB長為8，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理，得AC＝AB＝4，PO⊥AB，OC＝＝3，∴PC＝OP﹣OC＝5﹣3＝2，∴AP＝＝2，∵將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到，∴∠PAP′＝∠BAB′＝90°，∴LPP′＝＝π．則在該旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P的運(yùn)動路徑長是π．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了軌跡、垂徑定理、勾股定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系、弧長計(jì)算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識．7．（岳麓區(qū)校級一模）如圖，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，AB＝，扇形AOC的圓心角為60°，點(diǎn)D為上一動點(diǎn)，P為線段BD上的一點(diǎn)，且PB＝2PD，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)C，則點(diǎn)P的運(yùn)動路徑長為（）A．B．C．D．【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；圓周角定理；軌跡．【專題】動點(diǎn)型；與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力．【分析】如圖，在OB上取一點(diǎn)M，使得BM＝2OM，連接PM，OD．利用平行線分線段成比例定理可得PM＝4，點(diǎn)P在是以M為圓心4為半徑的圓弧上運(yùn)動．求出圓心角∠P′MP″即可解決問題．【解答】解：如圖，在OB上取一點(diǎn)M，使得BM＝2OM，連接PM，OD．在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，∠AOB＝30°，AB＝3，∴OA＝2AB＝6，∵BP＝2PD，BM＝2MO，∴＝＝2，∴PM∥OD，∴＝＝，∴PM＝OD＝4，∴點(diǎn)P在是以M為圓心4為半徑的圓弧上運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)D與A重合時，∠P′MB＝∠AOB＝30°，當(dāng)點(diǎn)D與C重合時，∠BMP″＝∠BOC＝90°，∴∠P′MP″＝60°，∴點(diǎn)P的運(yùn)動路徑長為＝π，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查軌跡，三角形中位線定理，解直角三角形，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．8．（2020?淄博）如圖，放置在直線l上的扇形OAB．由圖①滾動（無滑動）到圖②，再由圖②滾動到圖③．若半徑OA＝2，∠AOB＝45°，則點(diǎn)O所經(jīng)過的運(yùn)動路徑的長是（）A．2π+2B．3πC．D．+2【考點(diǎn)】軌跡．【專題】動點(diǎn)型；與圓有關(guān)的計(jì)算；應(yīng)用意識．【分析】利用弧長公式計(jì)算即可．【解答】解：如圖，點(diǎn)O的運(yùn)動路徑的長＝的長+的長+O1O2的長＝++＝，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查軌跡，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．9．（2019?武漢）如圖，AB是⊙O的直徑，M、N是（異于A、B）上兩點(diǎn)，C是上一動點(diǎn)，∠ACB的角平分線交⊙O于點(diǎn)D，∠BAC的平分線交CD于點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)N時，則C、E兩點(diǎn)的運(yùn)動路徑長的比是（）A．B．C．D．【考點(diǎn)】圓周角定理；軌跡．【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算．【分析】如圖，連接EB．設(shè)OA＝r．作等腰Rt△ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，則點(diǎn)E在以D為圓心DA為半徑的弧上運(yùn)動，運(yùn)動軌跡是，點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡是，由題意∠MON＝2∠GDF，設(shè)∠GDF＝α，則∠MON＝2α，利用弧長公式計(jì)算即可解決問題．【解答】解：如圖，連接EB．設(shè)OA＝r．∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵E是△ACB的內(nèi)心，∴∠AEB＝135°，作等腰Rt△ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，則點(diǎn)E在以D為圓心DA為半徑的弧上運(yùn)動，運(yùn)動軌跡是，點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡是，∵∠MON＝2∠GDF，設(shè)∠GDF＝α，則∠MON＝2α∴＝＝．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查弧長公式，圓周角定理，三角形的內(nèi)心等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題．10．（2021秋?市中區(qū)期中）如圖，直線l1：y＝x+1與直線l2：y＝相交于點(diǎn)P（﹣1，0）．直線l1與y軸交于點(diǎn)A．一動點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)，先沿平行于x軸的方向運(yùn)動，到達(dá)直線l2上的點(diǎn)B1處后，改為垂直于x軸的方向運(yùn)動，到達(dá)直線l1上的點(diǎn)A1處后，再沿平行于x軸的方向運(yùn)動，到達(dá)直線l2上的點(diǎn)B2處后，又改為垂直于x軸的方向運(yùn)動，到達(dá)直線l1上的點(diǎn)A2處后，仍沿平行于x軸的方向運(yùn)動，…照此規(guī)律運(yùn)動，動點(diǎn)C依次經(jīng)過點(diǎn)B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，B2014，A2014，…則當(dāng)動點(diǎn)C到達(dá)A2021處時，運(yùn)動的總路徑的長為（）A．20212B．22021﹣2C．22020+1D．22022﹣2【考點(diǎn)】一次函數(shù)的性質(zhì)；兩條直線相交或平行問題；軌跡．【專題】規(guī)律型；運(yùn)算能力．【分析】由直線直線l1：y＝x+1可知，A（0，1），則B1縱坐標(biāo)為1，代入直線l2：y＝x+中，得B1（1，1），又A1、B1橫坐標(biāo)相等，可得A1（1，2），則AB1＝1，A1B1＝2﹣1＝1，可判斷△AA1B1為等腰直角三角形，利用平行線的性質(zhì)，得△A1A2B2、△A2A3B3、…、都是等腰直角三角形，根據(jù)平行于x軸的直線上兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，平行于y軸的直線上兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，及直線l1、l2的解析式，分別求A1B1，A2B2的長，得出一般規(guī)律，即可得到運(yùn)動的總路徑的長＝2×（22021﹣1）＝22022﹣2．【解答】解：由直線l1：y＝x+1可知，A（0，1），根據(jù)平行于x軸的直線上兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，平行于y軸的直線上兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，及直線l1、l2的解析式可知，B1（1，1），AB1＝1，A1（1，2），A1B1＝2﹣1＝1，B2（3，2），A2（3，4），A1B2＝3﹣1＝2，A2B2＝4﹣2＝2，A2B3＝7﹣3＝4＝23﹣1，…，A3B3＝7﹣3＝4＝23﹣1，由此可得AnBn＝2n﹣1，所以，當(dāng)動點(diǎn)C到達(dá)A2021處時，運(yùn)動的總路徑的長＝2×（1+2+22+23+……+22020），設(shè)S＝1+2+22+23+……+22020①，則2S＝2+22+23+24……+22021②，②﹣①，得：S＝22021﹣1，∴運(yùn)動的總路徑的長＝2×（22021﹣1）＝22022﹣2．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是利用平行于x軸的直線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，平行于y軸的直線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷等腰直角三角形，得出一般規(guī)律．

考點(diǎn)卡片1．坐標(biāo)與圖形性質(zhì)1、點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與這個點(diǎn)的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到x軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時，需要加上恰當(dāng)?shù)姆枺?、有圖形中一些點(diǎn)的坐標(biāo)求面積時，過已知點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律．3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補(bǔ)”法去解決問題．2．一次函數(shù)的性質(zhì)一次函數(shù)的性質(zhì)：k＞0，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降．由于y＝kx+b與y軸交于（0，b），當(dāng)b＞0時，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)b＜0時，（0，b）在y軸的負(fù)半軸，直線與y軸交于負(fù)半軸．3．兩條直線相交或平行問題直線y＝kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)），當(dāng)k相同，且b不相等，圖象平行；當(dāng)k不同，且b相等，圖象相交；當(dāng)k，b都相同時，兩條線段重合．（1）兩條直線的交點(diǎn)問題兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解．（2）兩條直線的平行問題若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．例如：若直線y1＝k1x+b1與直線y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．4．二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減?。粁＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．②當(dāng)a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減小；x＝﹣時，y取得最大值，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．5．二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，）．①拋物線是關(guān)于對稱軸x＝﹣成軸對稱，所以拋物線上的點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式．頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．②拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值．③拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)兩個交點(diǎn)分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x＝．6．拋物線與x軸的交點(diǎn)求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．（2）二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．7．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．8．等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．9．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)30°的角所對的直角邊，點(diǎn)明斜邊．10．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．11．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>