代課件線性代數(shù)

一、二階行列式的引入用消元法解二元(一次)線性方程組:§1.1n階行列式的定義與性質(zhì)(1)(2)(1)

a22:a11a22x1+a12a22x2=b1a22,(2)

a12:a12a21x1+a12a22x2=b2a12,兩式相減消去x2,得(a11a22–a12a21)x1=b1a22–b2a12;方程組的解為由方程組的四個(gè)系數(shù)確定.

由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表定義即主對(duì)角線副對(duì)角線對(duì)角線法則二階行列式的計(jì)算若記對(duì)于二元線性方程組系數(shù)行列式則二元線性方程組的解為注意

分母都為原方程組的系數(shù)行列式.例1解二、三階行列式定義記（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.(1)沙路法三階行列式的計(jì)算.列標(biāo)行標(biāo)(2)對(duì)角線法則注意

紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)．說(shuō)明1

對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式．

如果三元線性方程組的系數(shù)行列式

利用三階行列式求解三元線性方程組

2.

三階行列式包括3!項(xiàng),每一項(xiàng)都是位于不同行,不同列的三個(gè)元素的乘積,其中三項(xiàng)為正,三項(xiàng)為負(fù).若記或記即得得則三元線性方程組的解為:例２

解按對(duì)角線法則，有例3解方程左端例4

解線性方程組解由于方程組的系數(shù)行列式同理可得故方程組的解為:

二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的.對(duì)角線法則二階與三階行列式的計(jì)算三、小結(jié)思考題思考題解答解設(shè)所求的二次多項(xiàng)式為由題意得得一個(gè)關(guān)于未知數(shù)的線性方程組,又得故所求多項(xiàng)式為§1.2全排列及其逆序數(shù)

引例:

用1,2,3三個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？這是一個(gè)大家熟知的問(wèn)題,答案是:3!=6.

將此問(wèn)題推廣:把n個(gè)不同的元素按先后次序排成一列,共有多少種不同的排法.

定義:

把n個(gè)不同的元素排成一列,叫做這n個(gè)元素的全排列(或排列).n個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù),通常用Pn

表示,稱為排列數(shù).

Pn=n

(n–1)(n–2)···21=n!一、全排列二、排列的逆序數(shù)

定義:

在一個(gè)排列i1

i2···

is

···it

···in

中,若數(shù)is>it,則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序.例如:

排列32514中,

我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序.以n個(gè)不同的自然數(shù)為例,規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.32514逆序逆序逆序

定義:

一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).32514逆序數(shù)為31故此排列的逆序數(shù)為:3+1+0+1+0

=

0+1+0+3+1

=

5.例如:

排列32514中,計(jì)算排列逆序數(shù)的方法逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.

方法1:分別計(jì)算出排在1,2,···,

n前面比它大的數(shù)碼的個(gè)數(shù)并求和,即先分別算出1,2,···,

n這n個(gè)元素的逆序數(shù),則所有元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù).

方法2:依次計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼個(gè)數(shù)并求和,即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù),則所有元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).例1:

求排列32514的逆序數(shù).解:在排列32514中,3排在首位,則3的逆序?yàn)?;2的前面比2大的數(shù)只有一個(gè)3,故2的逆序?yàn)?;32514沒(méi)有比5大的數(shù),故其逆序?yàn)?;個(gè),故其逆序?yàn)?;4的前面比4大的數(shù)有1個(gè),故逆序?yàn)?.5的前面1的前面比1大的數(shù)有3即于是排列32514的逆序數(shù)為t=0+1+0+3+1=5.解:此排列為偶排列.例2:

計(jì)算下列排列的逆序數(shù),并討論其奇偶性.(1)217986354.217986354010013445于是排列217986354的逆序數(shù)為:t=0+1+0+0+1+3+4+4+5=18.(2)n(n–1)(n–2)···21解:n(n–1)(n–2)···21012(n–1)(n–2)t=0+1+2+···+(n–