山西省運(yùn)城市永濟(jì)市2023年中考數(shù)學(xué)四模試卷含解析及點(diǎn)睛

2023中考數(shù)學(xué)模擬試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.小軍旅行箱的密碼是一個(gè)六位數(shù)，由于他忘記了密碼的末位數(shù)字，則小軍能一次打開該旅行箱的概率是（）

1111

A.—B.-C.一D.一

10965

2.下列等式正確的是（）

A.x3-x2=xB.a34-a3=a

C.（赤―3

D.(-7)4.r(-7)2=-72

3.如圖，直線a〃b,點(diǎn)A在直線b上，ZBAC=100°,NBAC的兩邊與直線a分別交于B、C兩點(diǎn),若N2=32。，則

Z1的大小為（）

3:

A.32°B.42°C.46°D.48°

4.下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（)

-1-

A.-1與(-1)2B.(-1)2與1C.2與一D.2與|-2|

2

5.石墨烯是現(xiàn)在世界上最薄的納米材料，其理論厚度僅是0.00000000034m,這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是（）

A.3.4x109mB.0.34x109mC.3.4xl01°mD.3.4x10nm

6.--的相反數(shù)是（）

8

11

A.8B.-8C.-D.--

88

7.如圖，在扇形CAB中，CA=4,ZCAB=120°,D為CA的中點(diǎn)，P為弧BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與C,B重合），則2PD+PB

的最小值為（）

A.4+2有B.4#+4C.10D.4s

8.已知，如圖，AB是。O的直徑，點(diǎn)D,C在。O上，連接AD、BD、DC、AC,如果NBAD=25。，那么NC的度

D.50°

9.如圖，等腰直角三角板ABC的斜邊A8與量角器的直徑重合，點(diǎn)。是量角器上60?？潭染€的外端點(diǎn)，連接CD交

AB于點(diǎn)E,則NCE5的度數(shù)為()

A.60°B.65°C.70°D.75°

10.如圖，分別以等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫弧，得到的封閉圖形是萊洛三角形，若AB=2,

D.2萬(wàn)—2百

二、填空題(共7小題，每小題3分，滿分21分)

11.因式分解：xy2-4x=.

12.已知圖中RtAABC,NB=9(T,AB=BC,斜邊AC上的一點(diǎn)D,滿足AD=AB,將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a

<360。)，得到線段AC，，連接DC，，當(dāng)DC//BC時(shí)，旋轉(zhuǎn)角度a的值為,

13.在AABC中，NA：NB：/C=l：2：3,8，陽(yáng)于點(diǎn)口，若AB=10,則BD=

14.如圖，這是懷柔區(qū)部分景點(diǎn)的分布圖，若表示百泉山風(fēng)景區(qū)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1),表示慕田峪長(zhǎng)城的點(diǎn)的坐標(biāo)為

(-5,-1),則表示雁棲湖的點(diǎn)的坐標(biāo)為.

15.因式分解：3a3-3a=.

x>-1

16.不等式組有2個(gè)整數(shù)解，則m的取值范圍是

x<m

17.點(diǎn)A(1,2),B(n,2)都在拋物線y=x2-4x+m上，則n=.

三、解答題(共7小題，滿分69分)

18.(10分)如圖，AB是。O的直徑，D、D為。O上兩點(diǎn)，CF_LAB于點(diǎn)F,CELAD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,且

CE=CF.

(1)求證：CE是。O的切線；

(2)連接CD、CB,若AD=CD=a,求四邊形ABCD面積.

19.(5分)請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問(wèn)題:

一個(gè)水瓶與一個(gè)水杯分別是多少元？甲、乙兩家商場(chǎng)同時(shí)

出售同樣的水瓶和水杯，為了迎接新年，兩家商場(chǎng)都在搞促銷活動(dòng)，甲商場(chǎng)規(guī)定：這兩種商品都打八折；乙商場(chǎng)規(guī)定:

買一個(gè)水瓶贈(zèng)送兩個(gè)水杯，另外購(gòu)買的水杯按原價(jià)賣.若某單位想要買5個(gè)水瓶和〃(?>10,且“為整數(shù))個(gè)水杯,

請(qǐng)問(wèn)選擇哪家商場(chǎng)購(gòu)買更合算，并說(shuō)明理由.（必須在同一家購(gòu)買）

1—x

20.(8分)(1)解方程：-----------=-3.

x—22—x

x—3

-------<x-1

(2)解不等式組：J2

2x+l>5(x—1)

21.（10分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分另U是AB、BC、CD、DA邊上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH.

（1）求證：△AEH^^CGF；

（2）在點(diǎn)E、F、G、H運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，判斷直線EG是否經(jīng)過(guò)某一個(gè)定點(diǎn)，如果是，請(qǐng)證明你的結(jié)論；如果不是，請(qǐng)

說(shuō)明理由

22.（10分）據(jù)調(diào)查，超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一.小強(qiáng)用所學(xué)知識(shí)對(duì)一條筆直公路上的車輛進(jìn)行測(cè)速,

如圖所示，觀測(cè)點(diǎn)C到公路的距離CD=200m,檢測(cè)路段的起點(diǎn)A位于點(diǎn)C的南偏東60。方向上，終點(diǎn)B位于點(diǎn)C的

南偏東45。方向上.一輛轎車由東向西勻速行駛，測(cè)得此車由A處行駛到B處的時(shí)間為10s.問(wèn)此車是否超過(guò)了該路

段16m/s的限制速度？（觀測(cè)點(diǎn)C離地面的距離忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：V2-1.41,V3-1.73）

23.（12分）如圖，AD是。O的直徑，AB為。O的弦，OP_LAD,OP與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,過(guò)B點(diǎn)的切線交

OP于點(diǎn)C.求證：ZCBP=ZADB.若OA=2,AB=1,求線段BP的長(zhǎng).

24.（14分）甲、乙兩人在玩轉(zhuǎn)盤游戲時(shí)，把兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤A,B都分成3等份的扇形區(qū)域，并在每一

小區(qū)域內(nèi)標(biāo)上數(shù)字（如圖所示），游戲規(guī)則：同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，若指針?biāo)竷蓚€(gè)區(qū)域的數(shù)字之和

為3,的倍數(shù)，則甲獲勝；若指針?biāo)竷蓚€(gè)區(qū)域的數(shù)字之和為4的倍數(shù)，則乙獲勝.如果指針落在分割線上，則需要

重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤.請(qǐng)問(wèn)這個(gè)游戲?qū)住⒁译p方公平嗎？說(shuō)明理由.

參考答案

一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿分30分）

1、A

【解析】

???密碼的末位數(shù)字共有10種可能（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、0都有可能），

當(dāng)他忘記了末位數(shù)字時(shí)，要一次能打開的概率是'.

故選A.

2、C

【解析】

直接利用同底數(shù)嘉的乘除運(yùn)算法則以及有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則分別計(jì)算得出答案.

【詳解】

解：A、X3-X2,無(wú)法計(jì)算，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、M=l,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、（-2）2+（-2）3=」，正確；

2

D、（-7）%（一7）2=72,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選C.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了同底數(shù)幕的乘除運(yùn)算以及有理數(shù)的乘方運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

3、D

【解析】

根據(jù)平行線的性質(zhì)與對(duì)頂角的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

Va#b,

...NBCA=N2,

VZBAC=100°,Z2=32°

.?.ZCBA=180o-ZBAC-ZBCA=180o-100o-32o=48°.

.,.Z1=ZCBA=48°.

故答案選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行線的性質(zhì)與對(duì)頂角的性質(zhì).

4、A

【解析】

根據(jù)相反數(shù)的定義，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：A、(-1)2=1,1與-1互為相反數(shù)，正確；

B、(-1)2=1,故錯(cuò)誤；

C、2與,互為倒數(shù)，故錯(cuò)誤；

2

D、2=|-2b故錯(cuò)誤；

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相反數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的定義.

5、C

【解析】

試題分析：根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的概念可知：用科學(xué)記數(shù)法可將一個(gè)數(shù)表示ax10"的形式，所以將1.111H11H34用科學(xué)

記數(shù)法表示3.4x10-1°,故選C.

考點(diǎn)：科學(xué)記數(shù)法

6、C

【解析】

互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)是指只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，所以-J的相反數(shù)是:，

88

故選c.

7、D

【解析】

如圖，作〃NPAP，=120。，則AP，=2AB=8,連接PP\BPS則/1=N2,推出△APDs^ABP，，得至UBP，=2PD,于是

得至（J2PD+PB=BP%PB>PP%根據(jù)勾股定理得到PP，=JQ++（2扃=4/,求得2PD+PB%",于是得到結(jié)論.

【詳解】

如圖，作〃NPAP，=120。，貝ljAP，=2AB=8,連接PP，，BPS

則N1=N2,

AP'AP

V——=—=2,

ABAD

/.△APD^AABPS

，BP，=2PD,

/.2PD+PB=BP,+PB>PP,,

???PP'=J（2+8）2+（2幣/=4〃，

.?.2PD+PB24",

A2PD+PB的最小值為4M

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了軸對(duì)稱-最短距離問(wèn)題，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

8、B

【解析】

因?yàn)锳B是。O的直徑，所以求得NADB=90。，進(jìn)而求得/B的度數(shù)，又因?yàn)镹B=NC,所以NC的度數(shù)可求出.

解：TAB是。O的直徑，

.*.ZADB=90°.

VNBAD=25°,

:.NB=65。，

AZC=ZB=65°（同弧所對(duì)的圓周角相等）.

故選B.

9、D

【解析】

解：連接OD

VZAOD=60°,

二ACD=30°.

VZCEB是白ACE的外角，

:.△CEB=ZACD+ZCAO=30°+45°=75°

故選：D

10、D

【解析】

【分析】萊洛三角形的面積是由三塊相同的扇形疊加而成，其面積=三塊扇形的面積相加，再減去兩個(gè)等邊三角形的面

積，分別求出即可.

【詳解】過(guò)A作AD±BC于D,

,/△ABC是等邊三角形,

:.AB=AC=BC=2,ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

VAD±BC,

.,.BD=CD=1,AD=73BD=73?

；.△ABC的面積為工BC?AD=，x2x百=6,

22

。60萬(wàn)x222

b扇形BAC=--------二一冗，

3603

2LL

萊洛三角形的面積S=3x-^--2xV3=27r-2V3?

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和扇形的面積計(jì)算，能根據(jù)圖形得出萊洛三角形的面積=三塊扇形的

面積相加、再減去兩個(gè)等邊三角形的面積是解此題的關(guān)鍵.

二、填空題(共7小題，每小題3分，滿分21分)

11、x(y+2)(y-2).

【解析】

要將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的一般步驟是首先看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式，若有公因式，則把它提取出來(lái)，之后再觀察是否是

完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式.因此，

先提取公因式x后繼續(xù)應(yīng)用平方差公式分解即可：xy2-4x=x(y2-4)=x(y+2)(y-2).

12、15或255。

【解析】

如下圖，設(shè)直線D。與AB相交于點(diǎn)E,

?.?RSABC中，NB=90AAB=BC,DC7/BC,

AZAED=ZABC=90°,ZADE=ZACB=ZBAC=45°,AB=-AC,

2

.\AE=—AD,

2

又；AD=AB,AC=AC,

.A.V2ARV25/21

??AE=AB=-----x-----AC=-AC,

2222

:.ZCr=30°,

:.ZEACr=60°,

/?NCAC=6(P-45o=15。，即當(dāng)DC，〃BC時(shí)，旋轉(zhuǎn)角a=15°；

同理，當(dāng)DC”〃BC時(shí),旋轉(zhuǎn)角。=180。-45。-60。=255。；

綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a=15。或255。時(shí)，DC7/BC.

故答案為：15。或255。.

13、2.1

【解析】

先求出AABC是NA等于30。的直角三角形，再根據(jù)30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求解.

【詳解】

解：根據(jù)題意，設(shè)NA、NB、NC為k、2k、3k,

則k+2k+3k=180°,

解得k=30°,

2k=60°,

3k=90°,

VAB=10,

1

.?.BC=-AB=1,

2

VCD±AB,

.*.ZBCD=ZA=30o,

1

/.BD=-BC=2.1.

2

故答案為2.1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查含3()度角的直角三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，掌握3()。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、求出

△ABC是直角三角形是解本題的關(guān)鍵.

14、(1,-3)

【解析】

直接利用已知點(diǎn)坐標(biāo)得出原點(diǎn)位置，進(jìn)而得出答案.

【詳解】

解：如圖所示：雁棲湖的點(diǎn)的坐標(biāo)為：(1,-3).

故答案為(1,-3).

【點(diǎn)睛】

本題考查坐標(biāo)確定位置，正確得出原點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵.

15、3a(a+1)(a-1).

【解析】

首先提取公因式3a,進(jìn)而利用平方差公式分解因式得出答案.

【詳解】

解:原式=3a(a2-1)

=3a(a+1)(a-1).

故答案為3a(a+1)(a-1).

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵.

16、l<m<2

【解析】

首先根據(jù)不等式恰好有2個(gè)整數(shù)解求出不等式組的解集為-1<x<加，再確定\<m<2.

【詳解】

???不等式組廠>7有2個(gè)整數(shù)解，

x<m

,其整數(shù)解有0、1這2個(gè)，

l</n<2,

故答案為：1<利42.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了解不等式組，關(guān)鍵是正確理解解集的規(guī)律：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到.

17、1

【解析】

根據(jù)題意可以求得m的值和n的值，由A的坐標(biāo)，可確定B的坐標(biāo)，進(jìn)而可以得到n的值.

【詳解】

:?點(diǎn)A(1,2),B(n,2)都在拋物線y=x2-4x+m上，

2=1?4+加

2,

(2=n-4〃+

解得憶;，

???點(diǎn)B為(1,2)或(1,2),

?.?點(diǎn)A(1,2),

二點(diǎn)B只能為(1,2),

故n的值為1,

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

三、解答題(共7小題，滿分69分)

18、(1)證明見解析；(2)%/

4

【解析】

(1)連接OC,AC,可先證明AC平分NBAE,結(jié)合圓的性質(zhì)可證明OC〃AE,可得NOCB=90。，可證得結(jié)論；

(2)可先證得四邊形AOCD為平行四邊形，再證明△OCB為等邊三角形，可求得CF、AB,利用梯形的面積公式可

求得答案.

【詳解】

(1)證明：連接OC,AC.

VCF±AB,CE±AD,且CE=CF.

.*.ZCAE=ZCAB.

VOC=OA,

.,.ZCAB=ZOCA.

.,.ZCAE=ZOCA.

，OC〃AE.

.,.ZOCE+ZAEC=180°,

VZAEC=90°,

，NOCE=90唧OC±CE,

VOC是。O的半徑，點(diǎn)C為半徑外端，

.ICE是。O的切線.

(2)解：VAD=CD,

.*.ZDAC=ZDCA=ZCAB,

.?.DC〃AB,

VZCAE=ZOCA,

：.OC//AT),

四邊形AOCD是平行四邊形，

.,.OC=AD=a,AB=2a,

VZCAE=ZCAB,

.,.CD=CB=a,

/.CB=OC=OB,

/.△OCB是等邊三角形，

在RtACFB中，CF=JCBLFB?=學(xué)，

；.S四邊形ABCD='(DC+AB)<F=-

24

【點(diǎn)睛】

本題主要考查切線的判定，掌握切線的兩種判定方法是解題的關(guān)鍵，即有切點(diǎn)時(shí)連接圓心和切點(diǎn)，然后證明垂直，沒(méi)

有切點(diǎn)時(shí)，過(guò)圓心作垂直，證明圓心到直線的距離等于半徑.

19、(1)一個(gè)水瓶40元，一個(gè)水杯是8元；(2)當(dāng)10<“<25時(shí)，選擇乙商場(chǎng)購(gòu)買更合算.當(dāng)〃>25時(shí)，選擇甲商場(chǎng)

購(gòu)買更合算.

【解析】

(1)設(shè)一個(gè)水瓶x元，表示出一個(gè)水杯為(48-x)元，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果；

(2)計(jì)算出兩商場(chǎng)得費(fèi)用，比較即可得到結(jié)果.

【詳解】

解：(1)設(shè)一個(gè)水瓶x元，表示出一個(gè)水杯為(48-x)元，

根據(jù)題意得：3x+4(48-x)=152,

解得：x=40,

則一個(gè)水瓶40元，一個(gè)水杯是8元；

(2)甲商場(chǎng)所需費(fèi)用為(40x5+8”)x80%=160+6.4n

乙商場(chǎng)所需費(fèi)用為5x40+(n-5x2)x8=120+8n

則???”>10,且〃為整數(shù)，

，160+6.4〃-(120+8/1)=40-1.6〃

討論：當(dāng)10V”V25時(shí),40-1.6?>0,160+0.64n>120+8n,

...選擇乙商場(chǎng)購(gòu)買更合算.

當(dāng)”>25時(shí)，40-1.6?<0,即160+0.64〃V120+8”,

二選擇甲商場(chǎng)購(gòu)買更合算.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系與不等關(guān)系進(jìn)行列式求解.

20、(1)無(wú)解；(1)-l<x<L

【解析】

(1)分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解;

(1)分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可.

【詳解】

(1)去分母得：1-x+l=-3x+6,

解得：x=l,

經(jīng)檢驗(yàn)X=1是增根，分式方程無(wú)解；

2x+l>5(x-l)?

由①得:x>-1,

由②得：XWL

則不等式組的解集為-IVxWL

【點(diǎn)睛】

此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn).

21、(1)見解析；(2)直線EG經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)為正方形的中心(AC、BD的交點(diǎn))；理由見解析.

【解析】

分析：(1)由正方形的性質(zhì)得出NA=NC=90。，AB=BC=CD=DA,由AE=BF=CG=DH證出AH=CF,由SAS證明

△AEH^ACGF即可求解；

(2)連接AC、EG,交點(diǎn)為O；先證明△AOEgZkCOG,得出OA=OC,證出O為對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，即O

為正方形的中心.

詳解：(D證明：???四邊形ABCD是正方形，

.?.ZA=ZC=90°,AB=BC=CD=DA,

VAE=BF=CG=DH,

，AH=CF,

在AAEH與ACGF中，

AH=CF,NA=NC,AE=CG,

.,.△AEH^ACGF(SAS);

(2)直線EG經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)為正方形的中心(AC、BD的交點(diǎn))；理由如下：

連接AC、EG,交點(diǎn)為O；如圖所示：

BFC

???四邊形ABCD是，正方形，

；.AB〃CD,

:.ZOAE=ZOCG,

在4AOE^flACOG中，

ZOAE=ZOCG,ZAOE=ZCOG,AE=CG,

/.△AOE^ACOG(AAS),

.*.OA=OC,OE=OG,

即O為AC的中點(diǎn)，

???正方形的對(duì)角線互相平分，

???O為對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，即O為正方形的中心.

點(diǎn)睛：考查了正方形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是(2)中,

需要通過(guò)作輔助線證明三角形全等才能得出結(jié)果.

22、此車沒(méi)有超過(guò)了該路段16m/s的限制速度.

【解析】

分析：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)得出DB,DA,進(jìn)而解答即可.

詳解：由題意得：ZDCA=60°,ZDCB=45°,

在RtACDB中，tanZDCB=-=——=1,

DC200

解得：DB=200,

,,DADA.rz

在RtACDA中，tanNDCA=——=——=J3,

DC200

解得：DA=200G，

，AB=DA-DB=200G-20gl46米，

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