2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版2019課后習(xí)題第七章綜合訓(xùn)練

第七章綜合訓(xùn)練一、選擇題:在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2019北京卷)已知復(fù)數(shù)z=2+i,則zz=()A.3 B.5 C.3 D.5答案D解析∵z=2+i,∴z=2i.∴zz=(2+i)(2i)=5.故選D.2.(2021安徽舒城校級月考)若i為虛數(shù)單位,則1-i1+3i在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案C解析∵1-i1+3i=(1-i)(1-3i)(1+3i)(13.(2019全國Ⅰ卷)設(shè)z=3-i1+2i,則|z|=A.2 B.3 C.2 D.1答案C解析∵z=3-i1+2i,∴∴|z|=152+-4.(2021四川郫都期中)復(fù)數(shù)i+i2+i3+…+i2021=()A.i1 B.i C.1 D.0答案B解析∵i4=1,i2021=(i4)505·i=i,∴i+i2+i3+…i2021=i(1-i25.(2021全國甲卷)已知(1i)2z=3+2i,則z=()A.132i B.1+3C.32+i D.3答案B解析由題意得z=3+2i(1-i)26.(2021甘肅靖遠模擬)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z2i|=3,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x,y),則()A.(x2)2+y2=9 B.(x+2)2+y2=9C.x2+(y2)2=9 D.x2+(y+2)2=9答案D解析因為z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x,y),所以z=xyi,故z2i=x+(y2)i.因為|z2i|=3,所以x2+(y+2)2=3,化簡可得x2+(y+2)7.已知z是復(fù)數(shù),且p:z=12+32i;q:z+1z∈R.則p是A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析顯然,當z=12+32i時,z+1z=12+32i+112+32i=12+32i+12-32i1=1∈R,但當z+1z∈R時,若令z=a+bi(a,b∈R),則a+bi+1a+bi=8.關(guān)于復(fù)數(shù)z的方程|z|+2z=13+6i的解是()A.3+4i B.4+3iC.403+3i D.3+40答案B解析設(shè)z=x+yi(x,y∈R),則有x2+y2+2x+2yi=13解得x=4,y=3或x=403,y所以x=403不符合要求,故z=4+3i二、選擇題:在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.9.(2021湖南模擬)已知復(fù)數(shù)z=(1+2i)(2i),z為z的共軛復(fù)數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.z的虛部為3iB.|z|=5C.z4為純虛數(shù)D.z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限答案BCD解析因為z=(1+2i)(2i)=4+3i,所以z的虛部為3,故A錯誤;由|z|=|z|=42+32=5,故B正確;z4=3i為純虛數(shù),故C正確;z=43i在復(fù)平面上對應(yīng)的點(4,3)在第四象限,故D正確10.已知復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),且a+b=1,下列說法正確的是()A.z不可能為純虛數(shù)B.若z的共軛復(fù)數(shù)為z,且z=z,則z是實數(shù)C.若z=|z|,則z是實數(shù)D.|z|可以等于1答案BC解析當a=0時,b=1,此時z=i為純虛數(shù),A錯誤;若z的共軛復(fù)數(shù)為z,且z=z,則a+bi=abi,所以b=0,B正確;由|z|是實數(shù),且z=|z|知,z是實數(shù),C正確;由|z|=12得a2+b2=14,又a+b=1,所以8a28a+3=0,Δ=644×8×3=32<0,無實數(shù)解,即|z|不可以等于1211.(2021山東德州二模)已知復(fù)數(shù)z1=2-1+i(i為虛數(shù)單位),下列說法正確的是(A.z1在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第三象限B.z1的虛部為1C.z14D.滿足|z|=|z1|的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在以原點為圓心,半徑為2的圓上答案AB解析復(fù)數(shù)z1=2-1+i=2(1+i)(1-i)(1+i)=2(1+i)12+12=1i.z1在復(fù)平面上對應(yīng)的點(1,1)在第三象限,故A正確;z1的虛部為1,故B正確;(z1)4=(1i)4=(2i)2=4,故C不正確;|z1|=212.設(shè)f(θ)=cosθ+isinθ(i為虛數(shù)單位),則f2(θ)=cos2θ+isin2θ,f3(θ)=cos3θ+isin3θ,…,若f10(θ)為實數(shù),則θ的值可能等于()A.π10 B.3π20 C.π答案AC解析f10(θ)=cos10θ+isin10θ,要使f10(θ)為實數(shù),則sin10θ=0,10θ=kπ(k∈Z),故θ=kπ10(k∈Z),當k=1時,θ=π10,當k=2時,θ三、填空題13.若21-i=a+bi(i為虛數(shù)單位,a,b∈R),則a+b=答案2解析因為21-i=2(1+i)(1-i)(1+i14.(2021湖南天心校級期中)已知2i3是關(guān)于x的方程2x2+px+26=0的一個根,則實數(shù)p=.

答案12解析∵2i3是關(guān)于x的方程2x2+px+26=0的一個根,∴2i3是關(guān)于x的方程2x2+px+26=0的另一個根,則(2i3)+(2i3)=p2,得p=1215.如果復(fù)數(shù)z滿足|z+i|+|zi|=2,那么|z+1+i|的最小值是,最大值是.

答案15解析由于|z+i|+|zi|=2,則點Z在以(0,1)和(0,1)為端點的線段上,|z+1+i|表示點Z到點(1,1)的距離.由圖知最小值為1,最大值為5.16.已知復(fù)數(shù)z滿足|z+24i|=2,則|z1|的取值范圍是.

答案[3,7]解析設(shè)z=(x,y)(x,y∈R),∵復(fù)數(shù)z滿足|z+24i|=2,∴(x+2即(x+2)2+(y4)2=4.∴z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z的集合是以(2,4)為圓心,r=2為半徑的圓.|z1|表示的是點Z與(1,0)之間的距離.圓心與點(1,0)之間的距離d=(-2-1)2+42=5,則|z1|的取值范圍是[四、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1+3iz,求(1+i)解設(shè)z=a+bi(a,b∈R),∵|z|=1+3iz,∴a2+b213i即a2+∴z=4+3i,∴(1+i)2(3+4i18.當實數(shù)m為何值或何取值范圍時,復(fù)數(shù)z=m2+m-6m+((1)實數(shù)?(2)虛數(shù)?(3)純虛數(shù)?解(1)若z為實數(shù),可得m2-2m∴當m=2時,z為實數(shù).(2)z為虛數(shù),則虛部m22m≠0,且m≠0,解得m≠2,且m≠0.∴當m的取值范圍為(∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)時,z為虛數(shù).(3)z為純虛數(shù),則m2+m-∴當m=3時,z為純虛數(shù).19.(2021江蘇連云港期末)在①z2=724i,②z=(|z|1)+5i,③z+1z是實數(shù)這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,并完成解答已知z是虛數(shù),且,求|z|.

解若選擇①,設(shè)z=a+bi(a,b∈R,b≠0),則z2=(a+bi)2=(a2b2)+2abi=724i,由a2-∴z=3+4i或z=34i,則|z|=5.若選擇②,設(shè)z=a+bi(a,b∈R,b≠0),則z=abi=(|z|1)+5i=(a2+b由a=a∴z=125i,則|z|=13.若選擇③,設(shè)z=a+bi(a,b∈R,b≠0),則1z∵z+1z=a+bi+a-bia2+b2=a+aa∴bba2+又b≠0,∴a2+b2=1,則|z|=1.20.設(shè)△ABC的兩個內(nèi)角A,B所對的邊分別為a,b,復(fù)數(shù)z1=a+bi,z2=cosA+icosB,若復(fù)數(shù)z1z2為純虛數(shù),試判斷△ABC的形狀,并說明理由.解△ABC為等腰三角形或直角三角形.理由如下:因為z1=a+bi,z2=cosA+icosB,所以z1z2=(acosAbcosB)+i(acosB+bcosA).又因為z1z2為純虛數(shù),所以acosA由①及正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.因為A,B為△ABC的內(nèi)角,所以0<2A<2π,0<2B<2π,且2A+2B<2π.所以2A=2B或2A=π2B,即A=B或A+B=π2.即A=B或C=π2.故△ABC21.已知復(fù)數(shù)z1=m+ni,z2=22i和z=x+yi,設(shè)z=z1iz2,m,n,x,y∈R.若復(fù)數(shù)z1所對應(yīng)的點M(m,n)在曲線y=12(x+2)2+52上運動,求復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點P(x,y)的軌跡解∵z1=m+ni,z2=22i,∴z=z1iz2=(mni)i(22i)=(n2)+(m+2)i∴x+yi=(n2)+(m+2)i.∴x=n2,y=m+2,即n=x+2,m=y2.又點M(m,n)在曲線y=12(x+2)2+52∴x+2=12[(y2)+2]2+52,整理上式,得點P(x,y)的軌跡C的方程為y2=222.(2021安徽廬陽校級期中)已知復(fù)數(shù)z1滿足(1+i)z