2.2一元二次函數(shù)方程和不等式單元知識總結(jié)與題型歸納-高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)講練（人教A版2019）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式知識總結(jié)與題型歸納重點(diǎn)一：等式性質(zhì)與不等式的性質(zhì)1.作差法比較大小；；.等式的基本性質(zhì)（1）如果a＝b，那么b＝a；（2）如果a＝b，b＝c，那么a＝c；（3）如果a＝b，那么a±c＝b±c；（4）如果a＝b，那么ac＝bc；（5）如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).3.不等式的基本性質(zhì)（1）（對稱性）（2）（傳遞性）（3）（可加性）（4）（可乘性）；（5）（同向可加性）（6）（正數(shù)同向可乘性）（7）（正數(shù)乘方法則）題型1：比較實(shí)數(shù)（式子）的大小例1：已知x＞1，比較x3－1與2x2－2x的大小．【答案】【詳解】解析：x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝x2(x－1)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)[(x－12)2+3∵x＞1，∴x－1＞0.又∵(x－12)2+3∴(x－1)[(x－12)2+34]＞0.即x3－1＞2x針對訓(xùn)練1（1）已知，，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．（2）已知c＞1，且x＝－，y＝－，則x，y之間的大小關(guān)系是（

）A．x＞y B．x＝y(tǒng)C．x＜y D．x，y的關(guān)系隨c而定【答案】（1）BC（2）C【詳解】（1）對于A項(xiàng)：因?yàn)椋?，又，所以，A錯(cuò)；對于B項(xiàng)：因?yàn)?，所以，B對；對于C項(xiàng)：，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以，C對；對于D項(xiàng)：，所以，D錯(cuò).故選：BC．（2）由題設(shè)，易知x，y＞0，又，∴x＜y.故選：C.題型2：不等式的證明與范圍問題例2：（1）的一個(gè)充分條件是（）A．或 B．且 C．且 D．或（2）（多選）已知，則下列選項(xiàng)正確的有（）A． B． C． D．【答案】（1）C（2）AD【詳解】（1）選項(xiàng)A，取，滿足或，但，故充分性不成立；選項(xiàng)B，取，滿足且，但，故充分性不成立；選項(xiàng)C，由不等式的性質(zhì)，且能推出，故充分性成立選項(xiàng)D，取，滿足或，但，故充分性不成立；故選：C（2）因?yàn)?，所以，故，故A正確；因?yàn)?，所以，因此，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，因此，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故D正確，故選：AD.針對訓(xùn)練2（1）若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．（2）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】（1）C（2）B【詳解】（1）對于A，因?yàn)?，故，即，故A錯(cuò)誤；對于B，，無法判斷，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，，故C正確；對于D，因?yàn)椋?，即，故D錯(cuò)誤．故選：C．（2）令，，則，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，所?故選：B重點(diǎn)二：基本不等式重要不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取號）.變形公式：基本不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號）.變形公式：；用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大），要滿足條件:“一正.二定.三相等”.題型3：基本不等式的概念及利用基本不等式比較大小例3：（1）下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．（2）已知m＝a＋eq\f(1,a－2)(a＞2)，n＝4－b2(b≠0)，則m，n之間的大小關(guān)系是() A．m＞nB.m＜nC．m＝nD.不確定【答案】（1）D（2）A【詳解】（1）解：對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不等式顯然不成立，故錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，成立的條件為，故錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不等式顯然不成立，故錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，由于，故，正確.故選：D（2）因?yàn)閍＞2，所以a－2＞0. 又因?yàn)閙＝a＋eq\f(1,a－2)＝(a－2)＋eq\f(1,a－2)＋2， 所以m≥2eq\r(a－2×\f(1,a－2))＋2＝4. 由b≠0得b2≠0， 所以4－b2＜4，即n＜4.所以m＞n.故選A針對訓(xùn)練3（1）（多選）已知a＞0，b＞0，且.則下列不等式恒成立的是（）A． B．C． D．（2）已知a＞b＞c，則（a?b）（b?c）與eq\f(a－c,2)【答案】（1）AC（2）（a?b）（b?c）≤eq\f(a－b＋b－c,2)＝eq\f(a－c,2).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以BD選項(xiàng)錯(cuò)誤.A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，A正確.C，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，C正確.故選：AC（2）解析：∵a＞b＞c， ∴a－b＞0，b－c＞0， ∴（a?b）（b?c）≤eq\f(a－b＋b－c,2)＝eq\f(a－c,2). 當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝b－c，即2b＝a＋c時(shí)，等號成立．故答案是（a?b）（b?c）≤eq\f(a－b＋b－c,2)＝eq\f(a－c,2).題型4：直接利用基本不等式求最值（拼湊法）例4：（1）已知，則的最小值為（

）A．B． C． D．（2）設(shè)0＜x＜eq\f(3,2)，求函數(shù)y＝4x(3－2x)的最大值【答案】（1）D（2）6【詳解】（1）解：，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號．故選：D．（2）∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋eq\f(4,x－2)＝x－2＋eq\f(4,x－2)＋2≥2eq\r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝eq\f(4,x－2)，即x＝4時(shí)，等號成立．∴x＋eq\f(4,x－2)的最小值為6.針對訓(xùn)練4（1）已知，當(dāng)取到最小值時(shí)，的值為__________.4（2）已知，則的最大值為______．【答案】（1）3（2）【詳解】（1）解：因?yàn)?由題得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.故答案為：3（2）當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立故答案為：題型5：利用基本不等式求最值（常值代換法）例5：（1）已知，則的最小值為（）A．6 B．5 C． D．（2）已知，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】（1）D（2）C【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，所以的最小值為，故選：D.（2）由，得：，且，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.故選：C針對訓(xùn)練5（1）已知x，y都是正數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．1（2）若y均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為________.【答案】（1）B（2）【詳解】（1）因?yàn)椋裕驗(yàn)閤，y都是正數(shù)，由基本不等式有：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“＝”．故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B．（2）令，則，由得，即，所以，因?yàn)?，所以，，所以，所以，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號成立.故答案為：.題型6：利用基本不等式求最值（其他方法）例6：（1）的最大值為______.（2）函數(shù)的最大值為（

）A．3 B．2 C．1 D．1【答案】（1）（2）D【詳解】（1）令，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.所以的最大值為.故答案為：.（2），當(dāng)且僅當(dāng),即等號成立.故選：D.針對訓(xùn)練6（1）函數(shù)（）的最小值為（）A． B． C． D．（2）已知，且，則最大值為______．【答案】（1）B（2）【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以函數(shù)（）的最小值為，故選：B（2）解：由且，可得，代入，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，又，可得，時(shí)，不等式取等，即的最大值為，故答案為：．題型7：基本不等式參數(shù)問題與應(yīng)用例7：（1）若對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．（2）一家貨物公司計(jì)劃租地建造倉庫儲存貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費(fèi)（單位：萬元）與倉庫到車站的距離（單位：km）成反比，每月庫存貨物費(fèi)（單位：萬元）與成正比；若在距離車站10km處建倉庫，則與分別為2萬元和8.2萬元．記兩項(xiàng)費(fèi)用之和為．（a）求關(guān)于的解析式；（b）這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最?。壳蟪鲎钚≈担敬鸢浮浚?）B（2）（a）（b）這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站5千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，最小值為8.2萬元【詳解】（1）由題意，對任意有當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，即的最大值為﹒又由對任意時(shí)，恒成立，，即的取值范圍是.故選：B.（2）（a）∵每月土地占地費(fèi)y1（單位：萬元）與倉庫到車站的距離x（單位：km）成反比，∴可設(shè)，∵每月庫存貨物費(fèi)y2（單位：萬元）與（4x+1）成正比，∴可設(shè)y2＝（4x+1）k2，又∵在距離車站10km處建倉庫，則y1與y2分別為2萬元和8.2萬元，∴k1＝2×10＝20，，∴，y2＝（4x+1）×0.2＝0.8x+0.2，∴w＝y(tǒng)1+y2＝（x＞0）．（b）∵≥，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝5時(shí)等號成立，∴這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站5千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，最小值為8.2萬元．針對訓(xùn)練7（1）若對任意正數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．（2）如圖，汽車行駛時(shí)，由于慣性作用，剎車后還要向前滑行一段距離才能停住，我們把這段距離叫做“剎車距離”．在某公路上，“剎車距離”s(米)與汽車車速v(米/秒)之間有經(jīng)驗(yàn)公式：s＝eq\f(3,40)v2＋eq\f(5,8)v.為保證安全行駛，要求在這條公路上行駛著的兩車之間保持的“安全距離”為“剎車距離”再加25米．現(xiàn)假設(shè)行駛在這條公路上的汽車的平均身長5米，每輛車均以相同的速度v行駛，并且每兩輛車之間的間隔均是“安全距離”．(a)試寫出經(jīng)過觀測點(diǎn)A的每輛車之間的時(shí)間間隔T與速度v的函數(shù)關(guān)系式；(b)問v為多少時(shí)，經(jīng)過觀測點(diǎn)A的車流量(即單位時(shí)間通過的汽車數(shù)量)最大？【答案】（1）B（2）（a）T＝eq\f(3v,40)＋eq\f(30,v)＋eq\f(5,8)（b）v＝20米/秒.【詳解】（1）依題意得，當(dāng)時(shí)，2a+1≥2xx2+4=又因?yàn)閤+4x≥4，當(dāng)且僅當(dāng)所以，的最大值為，所以2a+1≥，解得的取值范圍為．故選：B（2）(a)T＝eq\f(s＋25＋5,v)＝eq\f(\f(3v2,40)＋\f(5v,8)＋30,v)＝eq\f(3v,40)＋eq\f(30,v)＋eq\f(5,8).(b)經(jīng)過A點(diǎn)的車流量最大，即每輛車之間的時(shí)間間隔T最?。逿＝eq\f(3v,40)＋eq\f(30,v)＋eq\f(5,8)≥2eq\r(\f(30,v)·\f(3v,40))＋eq\f(5,8)＝eq\f(29,8)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3v,40)＝eq\f(30,v)，即v＝20時(shí)取等號．∴當(dāng)v＝20米/秒時(shí)，經(jīng)過觀測點(diǎn)A的車流量最大．重點(diǎn)三：二次函數(shù)、一元二次方程、不等式的圖象的根沒有實(shí)數(shù)根的解集R的解集題型8：一元二次方程的解法例8：（1）（不含參）不等式的解集是（）．A． B． C．或 D．（2）（含參不等式）（多選）（2021·山東肥城·高一期中）已知關(guān)于的不等式的解集為，下列說法正確的是（）A．B．C．不等式的解集為D．不等式的解集為【答案】（1）A（2）ABD【詳解】（1）由題意知，，所以原不等式的解集為.故選：A.（2）因?yàn)殛P(guān)于的不等式解集為，所以和是方程的兩個(gè)實(shí)根，且，故A正確；所以，，所以，因?yàn)?，又，所以，故B正確；不等式可化為，因?yàn)椋?，故C錯(cuò)誤；不等式可化為，又，所以，即，解得，故D正確.故選：ABD.針對訓(xùn)練8（1）不等式x(x＋2)＜3的解集是() A．{x|－1＜x＜3}B.{x|－3＜x＜1} C．{x|x＜－1，或x＞3}D.{x|x＜－3，或x＞1}（2）解關(guān)于x的不等式－x2＋ax＋(a＋1)＞0(a∈R)【答案】（1）B（2）當(dāng)a＝－2時(shí)，原不等式的解集為?； a＜－2時(shí)，原不等式的解集為{x|a＋1＜x＜－1}； a＞－2時(shí)，原不等式的解集為{x|－1＜x＜a＋1}．【詳解】（1）解析：由題意x(x＋2)＜3，∴x2＋2x－3＜0，即(x＋3)(x－1)＜0，解得－3＜x＜1，∴該不等式的解集是{x|－3＜x＜1}，故選B.（2）解：原不等式可化為x2－ax－(a＋1)＜0， 即[x－(a＋1)](x＋1)＜0. 當(dāng)a＋1＝－1，即a＝－2時(shí)，原不等式的解集為?； 當(dāng)a＋1＜－1，即a＜－2時(shí)，原不等式的解集為{x|a＋1＜x＜－1}； 當(dāng)a＋1＞－1，即a＞－2時(shí)，原不等式的解集為{x|－1＜x＜a＋1}． 綜上所述：當(dāng)a＝－2時(shí)，原不等式的解集為?； a＜－2時(shí)，原不等式的解集為{x|a＋1＜x＜－1}； a＞－2時(shí)，原不等式的解集為{x|－1＜x＜a＋1}．題型9：不等式恒成立問題例9：（1）對于一切實(shí)數(shù)x，mx2－mx－1＜0恒成立，求m的取值范圍．（2）若不等式在上恒成立．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____．【答案】（1）－4＜m≤0.（2）【詳解】（1）要使mx2－mx－1＜0恒成立．若m＝0時(shí)，不等式化為－1＜0，顯然成立．若m≠0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＜0，,Δ＝m2＋4m＜0，))即－4＜m＜0.綜上，m的取值范圍為－4＜m≤0.（2）設(shè)，若，在上單調(diào)遞減，而，所以滿足題意；若，不滿足題意；若，函數(shù)的對稱軸，所以在上為減函數(shù)，而，所以滿足題意．綜上，a的取值范圍是．故答案為：針對訓(xùn)練9（1）若不等式ax2＋2ax＋3＞0的解集為R，求a的范圍．（2）對于1≤x≤3，mx2－mx－1＜－m＋5恒成立，求m的取值范圍．【答案】（1）0≤a＜3.（2）m＜eq\f(6,7)【詳解】（1）當(dāng)a＝0時(shí)，3＞0，x∈R.當(dāng)a＞0時(shí)，Δ＝4a2－12a＜0∴0＜a＜3.當(dāng)a＜0時(shí)，不成立．綜上，0≤a＜3.（2）當(dāng)1≤x≤3時(shí)，mx2－mx－1＜－m＋5恒成立，即當(dāng)1≤x≤3時(shí)，m(x2－x＋1)－6＜0恒成立．∵x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＞0，∴m＜eq\f(6,x2－x＋1). ∵當(dāng)1≤x≤3時(shí)，eq\f(6,x2－x＋1)＝eq\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))，x＝3時(shí)，其最小值為eq\f(6,7)，∴只需m＜eq\f(6,7)即可． 綜上所述，m的取值范圍是m＜eq\f(6,7).題型10：一元二次不等式的應(yīng)用例10：（1）北京、張家港2022年冬奧會申辦委員會在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會，某公司為了競標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言，決定對旗下的某商品進(jìn)行一次評估．該商品原來每件售價(jià)為元，年銷售萬件．據(jù)市場調(diào)査，若價(jià)格每提高元，銷售量將相應(yīng)減少件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？（2）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開門．出東門一十五里有木．問出南門幾何步而見木?”其算法為：東門南到城角的步數(shù)，乘南門東到城角的步數(shù)，乘積作被除數(shù)，以樹距離東門的步數(shù)作除數(shù)，被除數(shù)除以除數(shù)得結(jié)果，即出南門里見到樹，則．若一小城，如圖所示，出東門1200步有樹，出南門750步能見到此樹，則該小城的周長的最小值為（注：1里=300步）（）A．里 B．里 C．里 D．里【答案】（1）40（2）D【詳解】（1）每件定價(jià)最多為元．設(shè)每件定價(jià)為元，依題意得，整理得，解得：．所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最多為元．（2）因?yàn)?里