矩陣分析考試重點課件

第一章線性空間和線性變換主要掌握以下內(nèi)容：1、能給出常見線性空間的基；會求一個向量在給定基下的坐標(biāo)；會求兩組基的過渡矩陣1矩陣分析考試重點例1

實數(shù)域上的線性空間的一組基例2

實數(shù)域上的線性空間中的一組基例3

實數(shù)域上的線性空間中的一組基2矩陣分析考試重點習(xí)題1-53矩陣分析考試重點4矩陣分析考試重點5矩陣分析考試重點和子空間2、會求兩個子空間的交空間、和空間的基與維數(shù)定理：設(shè)則：6矩陣分析考試重點習(xí)題1-77矩陣分析考試重點8矩陣分析考試重點3、能給出線性映射（線性變換）在給定基下的矩陣表示;

會求線性映射的值域空間及核空間的基與維數(shù)9矩陣分析考試重點10矩陣分析考試重點11矩陣分析考試重點12矩陣分析考試重點13矩陣分析考試重點14矩陣分析考試重點15矩陣分析考試重點16矩陣分析考試重點17矩陣分析考試重點4、會計算線性變換的特征值與特征向量

是的特征值是的特征值

18矩陣分析考試重點第二章矩陣與矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形主要掌握以下內(nèi)容：1、會求矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形：（1）初等變換法（2）行列式因子法（3）初等因子法2、會求矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子3、會求數(shù)字矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J及其變換矩陣P：（1）初等變換法（2）矩陣秩的方法4、掌握證明兩個矩陣相似的方法：（1）有相同的行列式因子（2）有相同的不變因子（3）有相同的初等因子5、會用Jordan標(biāo)準(zhǔn)形求矩陣的冪19矩陣分析考試重點2-2

設(shè)，證明：階矩陣與相似。20矩陣分析考試重點證明：計算A的行列式因子。顯然下面看階行列式因子。有一個階子式要注意，即21矩陣分析考試重點容易計算出從而同理可計算出B的行列式因子及不變因子也是所以A與B相似。22矩陣分析考試重點2-3設(shè)

證明

階矩陣與不相似。23矩陣分析考試重點24矩陣分析考試重點正整數(shù)使得，證明：與對角矩陣相似且主對角線上的元素均為次單位根。證明：設(shè)的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為2-5

設(shè)為數(shù)域上的階方陣且存在25矩陣分析考試重點即有可逆矩陣使得由于，所以有從而有26矩陣分析考試重點因此，只有當(dāng)為一階矩陣時上面的矩陣等式才成立，這樣有，這表明為對角矩陣，所以與對角矩陣相似。27矩陣分析考試重點2-6設(shè)為數(shù)域上的階方陣且滿足，證明：與對角矩陣相似。

28矩陣分析考試重點即有可逆矩陣使得由于，所以有證明：設(shè)的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為29矩陣分析考試重點從而即30矩陣分析考試重點因此，只有當(dāng)為一階矩陣時上面的矩陣等式才成立且，所以有這說明為一個對角矩陣且主對角線上的元素只能為1或0，適當(dāng)?shù)卣{(diào)換主對角線上的元素次序可以得到方陣此矩陣仍然與相似。31矩陣分析考試重點作業(yè)2-9

試寫出Jordan標(biāo)準(zhǔn)形均為的兩個矩陣。32矩陣分析考試重點解答：這里為任意的非零數(shù)。33矩陣分析考試重點第三章內(nèi)積空間，正規(guī)矩陣與Hermite矩陣主要掌握以下內(nèi)容：1、會用歐氏空間、酉空間的定義去證明；2、掌握內(nèi)積、長度、夾角、正交的定義及性質(zhì)；3、掌握標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義及Schmidt正交化方法；4、掌握以下矩陣的定義、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)定理：

酉矩陣、實正交矩陣、Hermite與反Hermite矩陣、實對稱與反對稱矩陣正規(guī)矩陣、正定與半正定矩陣5、掌握以下線性變換的定義、性質(zhì)及與相應(yīng)矩陣的關(guān)系：酉變換、正交變換、Hermite變換、對稱與反對稱變換、正規(guī)變換、正定二次齊次34矩陣分析考試重點3-17設(shè)是一個正定的H-陣,是一個反H-陣,證明:與的特征值實部為零.

證明:

設(shè)為矩陣的任意一個特征值,那么有.由于是一個正定H-陣,所以存在可逆矩陣使得將其代入上面的特征多項式有35矩陣分析考試重點這說明也是矩陣的特征值.另一方面注意矩陣為H-反陣,從而實部為零.同樣可以證明另一問.36矩陣分析考試重點習(xí)題3-19設(shè)是一個半正定的H-陣且證明:證明:

設(shè)為的全部特征值,由于是半正定的,所以所有的.而且由于

，一定存在某個特征值大于0，于是有37矩陣分析考試重點習(xí)題3-20設(shè)是一個半正定的H-陣且是一個正定的H-陣,證明:證明:

由于是一個正定的H-陣,所以存在可逆矩陣使得這樣有38矩陣分析考試重點注意矩陣仍然是一個半正定的H-陣,有上面的例題可知從而39矩陣分析考試重點

3-21

設(shè)是一個正定的H-陣,且又是酉矩陣,則證明:

由于是一個正定H-陣,所以必存在酉矩陣使得40矩陣分析考試重點由于又是酉矩陣,所以這樣必有,從而41矩陣分析考試重點3-22證明：（1）半正定H-矩陣之和仍然是半正定的;

（2）半正定H-矩陣與正定H-陣之和是正定的;證明：設(shè)都是半正定H-陣，那么二者之和仍然是一個H-陣，其對應(yīng)的Hermite二次型為其中42矩陣分析考試重點由于都是半正定H-矩陣，所以對于任意一組不全為零的復(fù)數(shù)我們有這說明為一個半正定H-陣。類似地，可以證明另外一問。43矩陣分析考試重點習(xí)題3-23設(shè)是一個正定的H-陣,是一個反H-陣,證明:是可逆矩陣.證明:

由于是一個正定H-陣,所以存在可逆矩陣使得這表明是可逆