概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)實(shí)訓(xùn)06講解

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)實(shí)訓(xùn)06講解匯報(bào)人：AA2024-01-19目錄實(shí)訓(xùn)目標(biāo)與要求隨機(jī)事件及其概率一維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)參數(shù)估計(jì)方法與應(yīng)用假設(shè)檢驗(yàn)方法與應(yīng)用實(shí)訓(xùn)目標(biāo)與要求01條件概率與獨(dú)立性掌握條件概率的定義及計(jì)算方法，理解事件的獨(dú)立性與相關(guān)性的概念。隨機(jī)變量及其分布了解隨機(jī)變量的定義及分類，掌握離散型隨機(jī)變量及其分布律、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念及性質(zhì)。事件與概率理解事件的定義及其概率的求法，包括古典概型、幾何概型等。掌握概率論基本概念統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布理解統(tǒng)計(jì)量的概念及其性質(zhì)，掌握常用統(tǒng)計(jì)量的分布及其性質(zhì)，如樣本均值、樣本方差等。參數(shù)估計(jì)掌握點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)的方法，如矩估計(jì)、最大似然估計(jì)等，理解估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。假設(shè)檢驗(yàn)理解假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想及步驟，掌握常用檢驗(yàn)方法，如t檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)等。熟練運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法01數(shù)據(jù)處理與可視化掌握數(shù)據(jù)清洗、整理及可視化的方法，如數(shù)據(jù)表格的創(chuàng)建、圖表的繪制等。02問(wèn)題分析與建模理解實(shí)際問(wèn)題的背景及要求，能夠?qū)?wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，選擇合適的概率論或數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行求解。03結(jié)果解釋與應(yīng)用能夠?qū)η蠼饨Y(jié)果進(jìn)行合理解釋，并根據(jù)實(shí)際情況給出相應(yīng)的建議或決策。培養(yǎng)解決實(shí)際問(wèn)題能力隨機(jī)事件及其概率02隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果的集合。隨機(jī)事件樣本空間的子集，即某些可能結(jié)果的集合。在一定條件下進(jìn)行的、結(jié)果不確定的試驗(yàn)。事件的關(guān)系與運(yùn)算包含、相等、和事件（并）、積事件（交）、差事件、互斥事件、對(duì)立事件等。隨機(jī)事件定義及性質(zhì)古典概型每個(gè)樣本點(diǎn)等可能出現(xiàn)，且樣本空間有限。幾何概型樣本空間是一個(gè)可度量的區(qū)域（長(zhǎng)度、面積、體積等），且每個(gè)樣本點(diǎn)等可能出現(xiàn)。概率的計(jì)算古典概型中，概率等于事件包含的基本事件個(gè)數(shù)除以基本事件的總數(shù)；幾何概型中，概率等于事件對(duì)應(yīng)的度量（長(zhǎng)度、面積、體積等）除以樣本空間對(duì)應(yīng)的總度量。古典概型與幾何概型在已知某事件發(fā)生的條件下，另一事件發(fā)生的概率。條件概率如果兩事件相互獨(dú)立，則一個(gè)事件的發(fā)生不會(huì)影響另一個(gè)事件的發(fā)生概率。事件的獨(dú)立性兩事件同時(shí)發(fā)生的概率等于其中一個(gè)事件發(fā)生的概率與在另一個(gè)事件發(fā)生的條件下該事件發(fā)生的概率的乘積。乘法公式010203條件概率與獨(dú)立性一維隨機(jī)變量及其分布03分布律：描述離散型隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率，常用分布列表示。離散型隨機(jī)變量定義：取值有限或可數(shù)的隨機(jī)變量。常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量分布：二項(xiàng)分布、泊松分布等。離散型隨機(jī)變量及分布律取值充滿某個(gè)區(qū)間（或若干個(gè)區(qū)間）的隨機(jī)變量。連續(xù)型隨機(jī)變量定義描述連續(xù)型隨機(jī)變量在某個(gè)確定取值點(diǎn)附近的可能性的函數(shù)。概率密度函數(shù)正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布等。常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量分布連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度隨機(jī)變量函數(shù)分布隨機(jī)變量函數(shù)的定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，g(X)是X的函數(shù)，那么g(X)也是一個(gè)隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布：通過(guò)分布律的變換求得。連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布：通過(guò)概率密度函數(shù)的變換求得，需注意變換后的函數(shù)是否滿足概率密度函數(shù)的性質(zhì)。多維隨機(jī)變量及其分布04設(shè)$(X,Y)$是二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x,y$，二元函數(shù)$F(x,y)=P{(Xleqx)cap(Yleqy)}$稱為二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)。如果二維隨機(jī)變量$(X,Y)$所有可能取的值是有限的或可列的，則稱$(X,Y)$是離散型的隨機(jī)變量，稱$P{X=x_i,Y=y_j}=p_{ij},i,j=1,2,…$為二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布律二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布邊緣分布與條件分布邊緣分布函數(shù)二維隨機(jī)變量$(X,Y)$作為一個(gè)整體，具有分布函數(shù)$F(x,y)$，而$X$和$Y$都是隨機(jī)變量，各自也有分布函數(shù)，將它們分別記為$F_X(x),F_Y(y)$，依次稱為二維隨機(jī)變量$(X,Y)$關(guān)于$X$和關(guān)于$Y$的邊緣分布函數(shù)。條件分布律對(duì)于二維離散型隨機(jī)變量$(X,Y)$，可以考慮在其中一個(gè)隨機(jī)變量取確定值的條件下，另一隨機(jī)變量的概率分布，這樣得到的概率分布稱為條件概率分布，簡(jiǎn)稱條件分布。設(shè)$F(x,y)$及$F_X(x),F_Y(y)$分別是二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)，若對(duì)于所有$x,y$有$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，則稱隨機(jī)變量$X$和$Y$是獨(dú)立的。獨(dú)立性如果二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)不等于邊緣分布函數(shù)的乘積，即$F(x,y)neqF_X(x)F_Y(y)$，則稱隨機(jī)變量$X$和$Y$是不獨(dú)立的，或者說(shuō)它們是相關(guān)的。相關(guān)性獨(dú)立性及相關(guān)性數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)05研究對(duì)象的全體個(gè)體組成的集合，通常用一個(gè)隨機(jī)變量及其分布來(lái)描述?？傮w從總體中隨機(jī)抽取的一部分個(gè)體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)。樣本樣本中包含的個(gè)體數(shù)，通常用n表示。樣本容量總體與樣本概念統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)包括無(wú)偏性、有效性、一致性等，用于評(píng)價(jià)統(tǒng)計(jì)量的優(yōu)劣。統(tǒng)計(jì)量樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等。充分統(tǒng)計(jì)量包含樣本中所有關(guān)于總體參數(shù)的信息的統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì)樣本均值樣本中所有觀測(cè)值的算術(shù)平均數(shù)，用于估計(jì)總體均值。樣本方差樣本中所有觀測(cè)值與樣本均值之差的平方的平均數(shù)，用于估計(jì)總體方差。樣本協(xié)方差兩個(gè)隨機(jī)變量樣本觀測(cè)值之間的線性相關(guān)程度，用于估計(jì)總體協(xié)方差。樣本相關(guān)系數(shù)兩個(gè)隨機(jī)變量樣本觀測(cè)值之間的線性相關(guān)程度的標(biāo)準(zhǔn)化度量，用于估計(jì)總體相關(guān)系數(shù)。常用統(tǒng)計(jì)量計(jì)算參數(shù)估計(jì)方法與應(yīng)用06矩估計(jì)法利用樣本矩來(lái)估計(jì)總體矩，從而獲得參數(shù)的估計(jì)值。最大似然估計(jì)法根據(jù)樣本信息選擇使得似然函數(shù)達(dá)到最大的參數(shù)值作為估計(jì)值。最小二乘法通過(guò)最小化誤差的平方和來(lái)尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配，從而得到參數(shù)估計(jì)。評(píng)價(jià)準(zhǔn)則無(wú)偏性、有效性、一致性等。點(diǎn)估計(jì)方法及評(píng)價(jià)準(zhǔn)則置信區(qū)間概念總體參數(shù)所在的一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間以一定的置信水平包含了總體參數(shù)的真值。常見(jiàn)分布下的置信區(qū)間構(gòu)造正態(tài)分布、t分布、卡方分布、F分布等。構(gòu)造置信區(qū)間步驟確定置信水平、尋找樞軸量、構(gòu)造置信區(qū)間。區(qū)間估計(jì)原理及方法經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域用于估計(jì)經(jīng)濟(jì)模型中的參數(shù)，如需求彈性、供給彈性等。工程領(lǐng)域用于質(zhì)量控制、可靠性分析等。醫(yī)學(xué)領(lǐng)域用于評(píng)估治療效果、預(yù)測(cè)疾病發(fā)病率等。社會(huì)學(xué)領(lǐng)域用于分析社會(huì)現(xiàn)象、預(yù)測(cè)社會(huì)趨勢(shì)等。參數(shù)估計(jì)在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用假設(shè)檢驗(yàn)方法與應(yīng)用07檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的選擇根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)，選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，如$Z$檢驗(yàn)、$t$檢驗(yàn)、$chi^2$檢驗(yàn)等。顯著性水平的確定根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況，選擇合適的顯著性水平$alpha$，通常取$0.05$或$0.01$。假設(shè)的設(shè)立根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，設(shè)立原假設(shè)$H_0$和備擇假設(shè)$H_1$，原假設(shè)通常是希望被拒絕的假設(shè)。假設(shè)檢驗(yàn)基本原理和步驟拒絕域的確定根據(jù)顯著性水平和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布，確定拒絕域的形式。樣本數(shù)據(jù)的收集與處理根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，收集樣本數(shù)據(jù)并進(jìn)行必要的處理。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算根據(jù)選擇的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值。假設(shè)檢驗(yàn)的決策將計(jì)算得到的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值與拒絕域進(jìn)行比較，作出是否拒絕原假設(shè)的決策。假設(shè)檢驗(yàn)基本原理和步驟單側(cè)檢驗(yàn)當(dāng)備擇假設(shè)具有方向性時(shí)，即只關(guān)心參數(shù)是否大于或小于某個(gè)特定值時(shí)，選擇單側(cè)檢驗(yàn)。例如，比較兩種藥物的療效時(shí)，可能只關(guān)心新藥是否比舊藥更有效。雙側(cè)檢驗(yàn)當(dāng)備擇假設(shè)不具有方向性時(shí)，即關(guān)心參數(shù)是否不等于某個(gè)特定值時(shí)，選擇雙側(cè)檢驗(yàn)。例如，檢驗(yàn)一個(gè)機(jī)器生產(chǎn)的零件尺寸是否符合規(guī)格時(shí)，需要同時(shí)考慮尺寸過(guò)大和過(guò)小的情況。單側(cè)檢驗(yàn)和雙