寧波大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計

寧波大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計匯報人：AA2024-01-19contents目錄課程簡介與教學(xué)目標概率論基本概念與性質(zhì)一維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)知識假設(shè)檢驗與方差分析回歸分析初步了解01課程簡介與教學(xué)目標研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支，為數(shù)理統(tǒng)計提供理論基礎(chǔ)。概率論應(yīng)用概率論對統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行分析和推斷的學(xué)科，為各領(lǐng)域的決策提供依據(jù)。數(shù)理統(tǒng)計概率論是數(shù)理統(tǒng)計的理論基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計是概率論的應(yīng)用。概率論與數(shù)理統(tǒng)計關(guān)系概率論與數(shù)理統(tǒng)計概述知識目標掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念、理論和方法。情感目標培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和邏輯思維能力，提高學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力。能力目標能夠運用所學(xué)知識分析和解決實際問題，具備初步的科研能力。課程教學(xué)目標與要求教材及參考書目推薦教材《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》（第四版），高等教育出版社。參考書目《概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程》（第二版），科學(xué)出版社；《概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)習(xí)指導(dǎo)》，清華大學(xué)出版社。02概率論基本概念與性質(zhì)隨機事件在一定條件下，并不總是發(fā)生，也不總是不發(fā)生的現(xiàn)象。概率定義描述隨機事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，其值介于0和1之間。概率性質(zhì)非負性、規(guī)范性、可加性。隨機事件及其概率定義古典概型每個樣本點等可能出現(xiàn)，且樣本空間有限。兩者比較古典概型適用于離散型隨機變量，幾何概型適用于連續(xù)型隨機變量。幾何概型樣本點無限且連續(xù)出現(xiàn)，通過長度、面積或體積之比來定義概率。古典概型與幾何概型03條件概率與獨立性的關(guān)系若兩事件相互獨立，則它們的條件概率等于各自的無條件概率之積。01條件概率在某一事件發(fā)生的條件下，另一事件發(fā)生的概率。02獨立性兩個事件相互獨立，即一個事件的發(fā)生不影響另一個事件的發(fā)生概率。條件概率與獨立性03一維隨機變量及其分布離散型隨機變量及其分布律01離散型隨機變量定義：取值有限或可數(shù)的隨機變量。02分布律：描述離散型隨機變量取各個值的概率，常用分布列表示。常見離散型隨機變量分布：二項分布、泊松分布等。03連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機變量定義取值充滿某個區(qū)間（或整個實數(shù)軸）的隨機變量。概率密度函數(shù)描述連續(xù)型隨機變量的概率分布情況，具有非負性和規(guī)范性。常見連續(xù)型隨機變量分布正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布等。數(shù)學(xué)期望（均值）01反映隨機變量取值的平均水平，對于離散型隨機變量，數(shù)學(xué)期望是所有可能取值與其對應(yīng)概率的乘積之和；對于連續(xù)型隨機變量，數(shù)學(xué)期望是概率密度函數(shù)與自變量乘積的積分。方差02衡量隨機變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度，計算公式為E[(X-EX)^2]，其中E表示數(shù)學(xué)期望，X表示隨機變量。常見分布的數(shù)學(xué)期望和方差03如二項分布的數(shù)學(xué)期望為np，方差為np(1-p)；正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望為μ，方差為σ^2等。隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差04多維隨機變量及其分布二維隨機變量的定義設(shè)$X$和$Y$是兩個隨機變量，稱$(X,Y)$為二維隨機變量。聯(lián)合分布函數(shù)對于所有$x,yinR$，稱二元函數(shù)$F(x,y)=P{Xleqx,Yleqy}$為二維隨機變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)。聯(lián)合概率密度函數(shù)如果存在非負函數(shù)$f(x,y)$，使得對于任意$x,y$有$F(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f(u,v)dudv$，則稱$f(x,y)$為二維隨機變量$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)。二維隨機變量及其聯(lián)合分布邊緣分布與條件分布邊緣分布函數(shù)二維隨機變量$(X,Y)$關(guān)于$X$的邊緣分布函數(shù)定義為$F_X(x)=F(x,+infty)$，關(guān)于$Y$的邊緣分布函數(shù)定義為$F_Y(y)=F(+infty,y)$。邊緣概率密度函數(shù)如果$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)為$f(x,y)$，則$X$的邊緣概率密度函數(shù)為$f_X(x)=int_{-infty}^{+infty}f(x,y)dy$，$Y$的邊緣概率密度函數(shù)為$f_Y(y)=int_{-infty}^{+infty}f(x,y)dx$。條件分布函數(shù)設(shè)$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)為$F(x,y)$，關(guān)于$Y=y$的條件分布函數(shù)定義為$F_{X|Y}(x|y)=frac{F(x,y)}{F_Y(y)}$，關(guān)于$X=x$的條件分布函數(shù)定義為$F_{Y|X}(y|x)=frac{F(x,y)}{F_X(x)}$。獨立性如果對于所有的$x,y$都有$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，則稱二維隨機變量$(X,Y)$是獨立的。協(xié)方差二維隨機變量$(X,Y)$的協(xié)方差定義為$Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]$，其中$E$表示數(shù)學(xué)期望。如果$Cov(X,Y)=0$，則稱$X$和$Y$是不相關(guān)的。相關(guān)系數(shù)二維隨機變量$(X,Y)$的相關(guān)系數(shù)定義為$rho_{XY}=frac{Cov(X,Y)}{sqrt{Var(X)Var(Y)}}$，其中$Var$表示方差。$rho_{XY}$的取值范圍為$-1leqrho_{XY}leq1$。當(dāng)$rho_{XY}=0$時，稱$X$和$Y$是不相關(guān)的；當(dāng)$rho_{XY}=1$時，稱$X$和$Y$是完全正相關(guān)的；當(dāng)$rho_{XY}=-1$時，稱$X$和$Y$是完全負相關(guān)的。獨立性、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)05數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)知識研究對象的全體個體組成的集合，具有共同性質(zhì)?？傮w從總體中隨機抽取的一部分個體，用于推斷總體性質(zhì)。樣本樣本的函數(shù)，用于描述樣本特征，如樣本均值、樣本方差等。統(tǒng)計量總體、樣本和統(tǒng)計量概述描述樣本統(tǒng)計量分布的規(guī)律，如中心極限定理、大數(shù)定律等。抽樣分布定理包括正態(tài)分布、t分布、F分布、卡方分布等，用于推斷總體參數(shù)。常用統(tǒng)計量分布抽樣分布定理及常用統(tǒng)計量分布點估計用樣本統(tǒng)計量的某個值直接作為總體參數(shù)的估計值，如樣本均值作為總體均值的點估計。區(qū)間估計根據(jù)樣本統(tǒng)計量的分布規(guī)律，構(gòu)造一個包含總體參數(shù)真值的置信區(qū)間，并給出置信水平。區(qū)間估計提供了參數(shù)估計的可靠性和精度信息。參數(shù)估計方法（點估計和區(qū)間估計）06假設(shè)檢驗與方差分析假設(shè)檢驗基本原理及步驟假設(shè)檢驗的步驟選擇適當(dāng)?shù)臋z驗統(tǒng)計量提出原假設(shè)和備擇假設(shè)假設(shè)檢驗基本原理及步驟假設(shè)檢驗基本原理及步驟010203計算檢驗統(tǒng)計量的值作出決策確定拒絕域單個正態(tài)總體均值和方差的假設(shè)檢驗單個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗當(dāng)總體方差未知時，使用t檢驗單個正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗當(dāng)總體方差已知時，使用z檢驗兩個正態(tài)總體均值和方差的比較兩個正態(tài)總體均值的比較當(dāng)兩個總體方差未知但相等時，使用t檢驗（獨立樣本）兩個正態(tài)總體方差的比較當(dāng)兩個總體方差已知且相等時，使用z檢驗當(dāng)兩個總體方差未知且不等時，使用t檢驗（Welch修正）使用F檢驗07回歸分析初步了解回歸模型建立采用最小二乘法進行參數(shù)估計，使得殘差平方和最小，得到回歸系數(shù)的估計值。參數(shù)估計方法估計量的性質(zhì)回歸系數(shù)的估計量具有無偏性、一致性和有效性等優(yōu)良性質(zhì)。通過收集樣本數(shù)據(jù)，建立因變量與自變量之間的一元線性回歸模型，形式為y=ax+b。一元線性回歸模型建立與參數(shù)估計顯著性檢驗通過F檢驗或t檢驗等方法，檢驗回歸方程的顯著性，判斷自變量對因變量是否有顯著影響。預(yù)測應(yīng)用利用建立的回歸方程，可以對因變量進行預(yù)測和控制，為實際問題提供決策依據(jù)。預(yù)測精度評估通過計算預(yù)測值與實際值的誤差，評估預(yù)測精度和模型的可靠性?；貧w方程的顯著性檢驗及預(yù)測應(yīng)用0302