鮮大權(quán)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

鮮大權(quán)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)匯報(bào)人：AA2024-01-19目錄CONTENTS概率論基本概念隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念與方法假設(shè)檢驗(yàn)與方差分析回歸分析初步了解01概率論基本概念在隨機(jī)試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的結(jié)果稱為事件。事件是樣本空間的子集。事件定義概率是描述事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值。在古典概型中，概率等于事件包含的基本事件數(shù)除以樣本空間的基本事件總數(shù)。概率定義事件的并、交、差和逆運(yùn)算，以及它們與概率的關(guān)系。事件的運(yùn)算事件與概率條件概率與獨(dú)立性在已知某個(gè)事件發(fā)生的條件下，另一個(gè)事件發(fā)生的概率。條件概率的計(jì)算公式為P(A|B)=P(AB)/P(B)。事件的獨(dú)立性如果兩個(gè)事件的發(fā)生互不影響，則稱這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的。對(duì)于相互獨(dú)立的事件A和B，有P(AB)=P(A)P(B)。多個(gè)事件的獨(dú)立性多個(gè)事件的獨(dú)立性定義及性質(zhì)，以及獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念和計(jì)算。條件概率定義123貝葉斯公式全概率公式貝葉斯統(tǒng)計(jì)思想全概率公式與貝葉斯公式如果事件A1,A2,...,An構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且都具有正概率，則對(duì)任意事件B，有P(B)=ΣP(Ai)P(B|Ai)。全概率公式用于計(jì)算復(fù)雜事件的概率。在全概率公式的基礎(chǔ)上，可以推導(dǎo)出貝葉斯公式，即P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)/ΣP(Aj)P(B|Aj)。貝葉斯公式用于在已知某些信息的情況下，更新某個(gè)假設(shè)的概率。貝葉斯統(tǒng)計(jì)思想的核心是將未知參數(shù)看作隨機(jī)變量，通過(guò)先驗(yàn)分布和樣本信息來(lái)推斷未知參數(shù)的后驗(yàn)分布。這種思想在統(tǒng)計(jì)學(xué)、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。02隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量定義及性質(zhì)隨機(jī)變量定義隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個(gè)樣本點(diǎn)映射到一個(gè)實(shí)數(shù)。隨機(jī)變量性質(zhì)隨機(jī)變量具有可測(cè)性、分布函數(shù)性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望和方差等性質(zhì)。二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布描述的是n次獨(dú)立重復(fù)的伯努利試驗(yàn)中成功次數(shù)的概率分布。泊松分布泊松分布是一種描述稀有事件的概率分布，它適用于事件以固定的平均瞬時(shí)速率隨機(jī)且獨(dú)立地發(fā)生的情況。0-1分布0-1分布是二項(xiàng)分布的特例，它描述的是只有兩種可能結(jié)果（成功或失敗）的伯努利試驗(yàn)。常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量分布均勻分布均勻分布描述的是在某個(gè)區(qū)間內(nèi)所有取值等可能出現(xiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量。指數(shù)分布指數(shù)分布描述的是兩個(gè)連續(xù)事件之間的時(shí)間間隔的概率分布，其中事件以恒定的平均速率隨機(jī)且獨(dú)立地發(fā)生。正態(tài)分布正態(tài)分布是一種連續(xù)型概率分布，它具有鐘形曲線的特點(diǎn)，描述了許多自然現(xiàn)象的概率分布情況。常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量分布03多維隨機(jī)變量及其分布聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布律二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布如果二維隨機(jī)變量$(X,Y)$所有可能取的值是有限對(duì)或可列無(wú)限多對(duì)，則稱$(X,Y)$是離散型的隨機(jī)變量，稱$P{X=x_i,Y=y_i}=p_{ij},i,j=1,2,...$為二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布律。設(shè)$(X,Y)$是二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x,y$，二元函數(shù)$F(x,y)=P{(Xleqx)cap(Yleqy)}$稱為二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)。二維隨機(jī)變量$(X,Y)$作為一個(gè)整體，具有分布函數(shù)$F(x,y)$，而$X$和$Y$都是隨機(jī)變量，各自也有分布函數(shù)，將它們分別記為$F_X(x),F_Y(y)$，依次稱為二維隨機(jī)變量$(X,Y)$關(guān)于$X$和關(guān)于$Y$的邊緣分布函數(shù)。邊緣分布函數(shù)對(duì)于二維離散型隨機(jī)變量$(X,Y)$，可以考慮在其中一個(gè)隨機(jī)變量取確定值的條件下，另一隨機(jī)變量的分布。設(shè)$(X,Y)$是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的$j$，若$P{Y=y_j}>0$，則稱$P{X=x_i|Y=y_j}=frac{P{X=x_i,Y=y_j}}{P{Y=y_j}}=p_{i|j}$為在$Y=y_j$條件下隨機(jī)變量$X$的條件分布律。條件分布律邊緣分布與條件分布定義設(shè)$(X,Y)$是二維隨機(jī)變量，如果對(duì)于所有的$x,y$都有$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，則稱隨機(jī)變量$X$和$Y$是相互獨(dú)立的。性質(zhì)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)等于各自邊緣分布函數(shù)的乘積；相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)等于各自概率密度函數(shù)的乘積。相互獨(dú)立隨機(jī)變量04數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念與方法總體研究對(duì)象的全體個(gè)體組成的集合，具有共同的性質(zhì)和特征。樣本從總體中隨機(jī)抽取的一部分個(gè)體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)。樣本容量樣本中包含的個(gè)體數(shù)目，對(duì)統(tǒng)計(jì)推斷的準(zhǔn)確性和可靠性有重要影響?？傮w與樣本統(tǒng)計(jì)量樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征和性質(zhì)，如樣本均值、樣本方差等。統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)包括無(wú)偏性、有效性和一致性等，用于評(píng)價(jià)統(tǒng)計(jì)量的優(yōu)劣。充分統(tǒng)計(jì)量包含樣本中所有關(guān)于總體的信息的統(tǒng)計(jì)量，具有簡(jiǎn)化推斷過(guò)程的作用。統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì)用樣本統(tǒng)計(jì)量的某個(gè)取值直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值，如樣本均值作為總體均值的點(diǎn)估計(jì)。點(diǎn)估計(jì)根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的分布性質(zhì)，構(gòu)造一個(gè)包含總體參數(shù)的真值的置信區(qū)間，并給出該區(qū)間的置信水平。區(qū)間估計(jì)包括無(wú)偏性、有效性、一致性和穩(wěn)健性等，用于評(píng)價(jià)不同估計(jì)方法的優(yōu)劣。估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)010203參數(shù)估計(jì)方法05假設(shè)檢驗(yàn)與方差分析VS根據(jù)樣本信息對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行推斷，通過(guò)構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其對(duì)應(yīng)的p值，與顯著性水平進(jìn)行比較，從而作出拒絕或接受原假設(shè)的決策。假設(shè)檢驗(yàn)的步驟明確原假設(shè)和備擇假設(shè)；選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；確定顯著性水平；計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值；根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值作出決策。假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理假設(shè)檢驗(yàn)原理及步驟單因素方差分析的基本原理單因素方差分析的步驟單因素方差分析通過(guò)比較不同水平下樣本均值的差異，推斷總體均值是否存在顯著差異。提出原假設(shè)和備擇假設(shè)；計(jì)算各水平下的樣本均值和總體均值；構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值；根據(jù)F分布表查找臨界值，比較F值與臨界值的大小，作出決策。多因素方差分析同時(shí)考慮多個(gè)因素對(duì)因變量的影響，通過(guò)比較不同因素水平組合下樣本均值的差異，推斷總體均值是否存在顯著差異。多因素方差分析的基本原理提出原假設(shè)和備擇假設(shè)；計(jì)算各因素各水平下的樣本均值和總體均值；構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值；根據(jù)F分布表查找臨界值，比較F值與臨界值的大小，作出決策。同時(shí)，還需進(jìn)行因素間的交互作用分析，以判斷各因素之間是否存在交互效應(yīng)。多因素方差分析的步驟06回歸分析初步了解一元線性回歸模型描述的是兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系，其中一個(gè)變量是響應(yīng)變量，另一個(gè)變量是預(yù)測(cè)變量。定義方程形式最小二乘法Y=β0+β1X+ε，其中Y是響應(yīng)變量，X是預(yù)測(cè)變量，β0和β1是回歸系數(shù)，ε是隨機(jī)誤差項(xiàng)。用于估計(jì)回歸系數(shù)β0和β1的方法，使得殘差平方和最小。一元線性回歸分析定義01多元線性回歸模型描述的是一個(gè)響應(yīng)變量與多個(gè)預(yù)測(cè)變量之間的線性關(guān)系。方程形式02Y=β0+β1X1+β2X2+...+βpXp+ε，其中Y是響應(yīng)變量，X1,X2,...,Xp是預(yù)測(cè)變量，β0,β1,...,βp是回歸系數(shù)，ε是隨機(jī)誤差項(xiàng)。多重共線性問(wèn)題03當(dāng)預(yù)測(cè)變量之間存在高度相關(guān)時(shí)，會(huì)導(dǎo)致回歸系數(shù)的估計(jì)不準(zhǔn)確。多元線性回歸分析