正方體長方體奧數(shù)講義

長方體和正方體

長方體和正方體這部分知識，是學生首次比較系統(tǒng)全面地接觸到的立體圖形

?它是學生空間觀念的形成、建立和發(fā)展的基礎。首先要構建一個完整的知識體

系，對長方體、正方體的特征.，表面積和體積的意義及公式的推導有一個全面細

致的掌握。

長方體的特征：8個頂點，6個面，12條棱，相對的兩個面完全相同，相對

的四條棱的長度都相等，相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫長方體的長、寬、

高，分別用字母a、b、h表示。

正方體的特征：8個頂點，6個面是完全相同的正方形，12條棱的長度都相等，

正方體是特殊的長方體，棱長用字母a表示。

長方體的表面積：S=（axb+axh+bxh）x2

正方體的表面積：S=axax6=6a2

長方體的體積：V=axbxh

=Sh（S表示長方體的底面積）

正方體的體積：V=axaxa=a3

其次在掌握長方體特征、表面積、體積意義及計算方法的基礎上，重點是培

養(yǎng)學生的空間想象能力，通過對長方體和正方體的切割、拼擺等動態(tài)變化，并且

和生活實際相結合，化"整"為"零"，使問題簡單化，以利于問題的解決，同時也

可以站在整體的立場上，直接綜觀全局研究問題，以利于培養(yǎng)學生的整體思想。

例1一個長方體正好可以切割成3個完全一樣的正方體，且沒有剩余，三個正方

體的表面積比原來增加了32平方厘米，求原來長方體的表面積。

分析：如下圖所示：這個長方體切割成三個正方體，需切割兩次，每切割一

次增加2個切面，一共增加了4個切面，每個切面的面積就是32+4=8（平方厘

=112（平方厘米）

例2：把一個長方體的高減少2厘米后，就成了一個正方體，且表面積比原來減

少了40平方厘米，求原長方體的體積是多少？

分析：如上圖所示，由于高減少2厘米后，就成了一個正方體，可得這個長

方體的底面是一個正方形。表面積減少了40平方厘米，實際就是圖形①②③①

四個完全相等長方形面積和。每個長方形的面積就是40+4=10（平方厘米），

這些長方形的長實際就是原長方體的長和寬，那么長方體的高就是長方形的長加

2厘米的和

解：404-4=10（平方厘米）104-2=5（厘米）

5x5x（5+2）

=25x7

=175（立方厘米）

答：原長方體的體積是175立方厘米。

例3：一個長方體底面積是30平方厘米，底面周長是22厘米，高是10厘

米，求這個長方體的表面積是多少？

..........分析：如下圖所

示，把組成這個長方體圖（1）的六個面展開可得到圖（2）

由圖（2）可知，前、后、左、右四個面的面積和就是長22厘米、寬10厘

米長方形的面積。也就是底面周長與高的乘積。

解：30x2+2210

=60+20

=280（平方厘米）

答：這個長方體的表面積是280平方厘米。

例4下圖是把19個棱長2厘米的正方體碼起來的立體圖形，其中有一些正方體

看不到，那么這個立體圖形的表面積是多少？

分析：由于每個小正方體的棱長為2厘米，可以知道它每個面的面積就是4平方

厘米。從不同角度觀察可以得到如下平面圖形

從左右者到的平面圖形從前后看到的平面圖形從上下看到的平面圖形

那么這個立體圖形的表面積就是：

（上面+左面+前面）X2

解：2X2=4（平方厘米）

上面面積：4x（3X3）=36（平方厘米

左面面積：4x8=32（平方厘米

前前面積：4x10=40（平方厘米）

表面積：（306+32+40）x2

=108x2

=216（平方厘米）

答：這個立體圖形的表面積是216平方厘米。

例5：把3個長、寬、高分別是10厘米.8厘米、3厘米的長方體拼成較大的長

方體，這個長方體的表面積最小是多少？

分析：把這3個完全一樣的長方體拼成一個較大的長方體，在拼的時錢，必須把

兩個完全一樣的面拼和在一起，否則拼成的圖形不是一個規(guī)則的立體圖形。根據

題意這三個長方體拼在一起有以下三種情況。

（1）

表面積（10X8+10X3X3+8x3X3）

=242x2

=484（平方厘米）

（2）

表面積（10X3X8+10X3X3+8X3）

=354x2

=708（平方厘來）

（3）

表面積（10x8x3+10x3+8x3x3）x2

=342x2

=684（平方厘來）

通過比較可得：只有第一種拼法表面積才能最小。也就是幾個完全一樣的長

方體拼成一個較大的長方體要使表面積最小，應該盡可能使它們最大的面拼合。

因此在做類似題目時可以直接運用方法一求結果，其他兩種只作為參考。

例6：一個長方體，如果長減少3厘米，寬和高不變，它的體積就減少48立方

厘米：如果寬增加3厘米，長和高不變，它的體積增加99立方厘米；如果高增

加4厘米，長和寬都不變，它的體積增加352立方厘米，原長方體的表面積是多

少？

分析：長減少2厘米，寬和高都不變，它的體積減少48立方厘米，可求得

原長方體寬和高的積為48+3=16（平方厘米）。

若寬增加3厘米，長和高都不變，它的體積增加99立方厘米，可求得原長

方體長與高的積為99+3=33（平方厘米）。

若高增加4厘米，長和寬都不變，它的體積增加352立方厘米，可以求得原

長

方體長與寬的積為352+4=88（平方厘米）。

解：原長方體的表面積為：

（48+3+93+3+52+4）X2

=（16+33+88）X2

=137X2

=274（平方厘米）

答：原長方體的表面積是274平方厘米。

例7一個長方體的長、寬、高分別是22厘米、16厘米、13厘米，現(xiàn)在從它的上

面盡可能大的切下一個正方體；然后再從剩余部分盡可能大的切下一個正方體；

最后，再從第二次剩余部分盡可能大的切下一個正方體。求剩下部分的體積是多

少立方厘米？

分析:本題關鍵在于要清楚怎樣才能保證每一次切下的正方體最大。因為正

方體的棱長都相等，那么每次切下的正方體必以短的邊為棱長，這樣才能使切下

的正方體最大。

從上圖可以看到第一次切下盡可能大的正方體棱長是13厘米。剩下的部分是由

長22-13=9米，寬16厘米，高13厘米的長方體和長13厘米，意16-13=3

厘米，高13厘米的兩個長方體組成的。由于9大3,那么第二次切下的正方體

棱長應是9厘米。剩下部分是由長9厘米，寬9厘米，高13—9=4厘米的長方

體和長9厘米，寬16—9=7厘米，高12厘米的正方體組成，又因為7大于4,

那么第三次切下正方體的長是7更米。

用原長方體積減去切下的三個正方體體積就得剩余部分的體積。

解：2—13=9（厘米）

6-9=7（厘米）

22X16X13-133-93-73

=4576-2197-729--343

=1307（立方厘米）

答：剩余部分的體積是1307立方厘米

例8：將以個長9厘米、寬8厘米、高3厘米的長方體鋸成若干個小正方體（耗

損不記），然后重新排成個長方體，表面積最小是多少？

分析：要使拼成的長方體表面積最小首先考慮切成的小正方體能不能拼成一個正

方體，國為當體積不變時，長、寬、高兩兩之差最小時，其表面積才能最小。已

知這個長方體的長、寬、高分別是9厘米8厘米、3厘米，它的體積=9X8X3

=3X3X3X2X2X2=63（立方厘米），那么我們就可以把這個長方體切成棱長1

厘米的小正方體。拼成長6厘米、寬6厘米、高6厘米的正方體，其表面積即可

求得

解：長方體體積=9x8x3=3x3x3x2x2x2=6（立方厘米）

拼成的長方體長，寬、高分別都是6厘米。

6x6x6=216（平方厘米）

答：成的長方體表面積最小是216平方厘米

例9在有甲、乙兩個長方體容器，從里面量，甲容器的長是20厘米，寬10厘米,

深14厘米，乙容器長30厘米，寬20厘米，深15厘米，現(xiàn)在把甲容器盛滿水后,

倒入乙容器里一部分，使乙容器中水的深度是甲的2倍，求這時乙容器中水的深

度。

分析：因為把甲容器中的水倒入乙容一都分，這時兩個容器中的水和原來相

并沒有改變。列出相應的等量關系為

現(xiàn)在甲容題里面的水+現(xiàn)在乙容器里面的水=原來甲容中的水

解：設現(xiàn)在甲容器中水的深度為x厘米，那么乙容器中水的深度就是2x厘米

列方程得：

20xl0x+30X20X2x=20X10X14

200x+1200x=2800

1400x=2800

x=2

2x=2x2=4（厘米）

香：這時乙容器中水的深度是4厘米。

例10:如