湖南省長沙市老梁倉第六中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

湖南省長沙市老梁倉第六中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考

試卷含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共5()分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

.1

1.將函數(shù)丫=5徐(x+-6)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右

K

平移萬個單位，那么所得圖象的一條對稱軸方程為()

nJTJrn

A.x=-4B.x=-2C.x=8D.x=4

參考答案：

B

【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin(wx+<t>)的圖象變換.

【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

【分析】根據(jù)函數(shù)丫=八5行(3X+0)的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象的對稱性，可得結(jié)

論.

.1

【解答】解：將函數(shù)y=sin(x+~6)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的2倍(縱坐標(biāo)不

71

變)，可得函數(shù)丫=$門(2x+-6)的圖象，

K7T71

再向右平移互個單位，那么所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin[2(x-至)+E]=sin

71

(2x-2)=-cos2x,

k-

故最后所得函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程為2x=k”，即x=T,kez,

結(jié)合所給的選項可得只有B滿足條件，

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)y=Asin(3x+@)的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象的對稱

性，屬于中檔題.

參考答案:

C

3.已知拋物線C：X'=23p>0）的焦點(diǎn)為凡拋物線上一點(diǎn)滿足網(wǎng)=6,則

拋物線C的方程為（）

A.V=21B.J=4rc,V=8xD,丁=161

參考答案:

D

/(A)=

4.已知函數(shù)a\x<1,在R上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（)

A.（0.1）D.

參考答案:

B

略

5.設(shè)雙曲線叫的離心率為百,且直線“=-'7（c是雙曲線的

半焦距）與拋物線>''=4x的準(zhǔn)線重合，則此雙曲線的方程為

B.2412

參考答案:

D

由己知，，■收鄴=&

①

拋物線y=4x的準(zhǔn)線方程為x=-l,由題意，T=-1,1=。，②

w_已=[

由①②，解得a=4，c=3,所以b=J^此雙曲線的方程為彳-不=.選0.

6.若某市8所中學(xué)參加中學(xué)生合唱比賽的得分用莖葉圖表示如圖，其中莖為十位數(shù)，葉為

個位數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是

887

9I34203

A.915.5B.915

C.925.5D.925

參考答案：

A

7.函數(shù)/(力癥"18^)的定義域?yàn)?)

A.(0,3)B.(l,+oo)C.(1,3)D.[1,3)

參考答案：

D

8.已知向量；=(-2])工=(-3口，則占在2方向上的投影為()

A.-石B.35C.-2D.2

參考答案:

9.己知。力€K且a>b,則下列不等式中成立的是

PB,-MW?

參考答案：

D

略

]

10.函數(shù)y=l-x的圖象與函數(shù)y=2sinnx,（-2WxW4）的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和

等于（）

A.8B.6C.4D.2

參考答案：

A

【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合；數(shù)列的求和.

]

【分析】函數(shù)yi=l-x與yz=2sinnx的圖象有公共的對稱中心（1,0）,作出兩個函數(shù)的

圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想能求出結(jié)果.

]

【解答】解：函數(shù)y,=Lx,

yz=2sinnx的圖象有公共的對稱中心（1,0）,

作出兩個函數(shù)的圖象，如圖，

當(dāng)1VXW4時,yi<0

而函數(shù)y?在（1,4）上出現(xiàn)L5個周期的圖象，

3_”工

在（1,萬）和（萬，I）上是減函數(shù)；

a"z

在（5,2）和（2,4）上是增函數(shù).

???函數(shù)y,在（1,4）上函數(shù)值為負(fù)數(shù)，

且與y2的圖象有四個交點(diǎn)E、F、G、H

相應(yīng)地，y,在（-2,1）上函數(shù)值為正數(shù)，

且與yz的圖象有四個交點(diǎn)A、B、C、D

且:XA+XH=XB+XG=XC+XF=XD+XE=2,

故所求的橫坐標(biāo)之和為8.

故選：A.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

II.數(shù)列（4）的前n項和為其，若數(shù)列的各項按如下規(guī)律排列:

112123123412

1

「

一

「

一

一

----(一

,33444555，5

2月?

有如下運(yùn)算和結(jié)論:

3

」"=一，

①8

②數(shù)列?出+%為+%+。6歷+。8+%…是等比數(shù)列；

TJ』

③數(shù)列勺.%+與.為+的+<36.的+。8+09+。加.…的前n項和為,4

&<10,凡.1210.則收=2

④若存在正整數(shù)k,使

其中正確的結(jié)論有（填寫序號）。

參考答案：

①③④

略

12.已知向量》=(1,2),q=(x,3),若D_Lq,則|p+q|=

參考答案：

5M

【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

【分析】可得二?10,解得x.再利用向量模的計算公式即可得出.

【解答】解：Vplq,=x+6=0,解得x=-6.

Ao+q=(-5,5).

???D+q|=V(-5)2+52=5?.

故答案為：5?

【點(diǎn)評】本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量模的計算公式，考查了推理能力與計

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.已知數(shù)列｛%｝滿足：(a=LZ…)，若巧=3,則

'=__________________

參考答案：

4

_33_3._3

試題分析：因，=3,故當(dāng)勺時；也=3即可,5時即一二,所以

".用當(dāng)外>也時,公+2=3,%=1,即例>1時尸1+2=1可得卬=一】<1,不成立，所以

33

a,=——

4,應(yīng)填4.

考點(diǎn)：分段數(shù)列的通項及運(yùn)用.

2

￡(\x+l,x>0

f(x)=<

14.已知函數(shù)I】x<0，則滿足不等式f(1-x?)>f(2x)的x的范圍

是.

參考答案：

(-1,V2-1)

考點(diǎn)：分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；其他不等式的解法.

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用.

分析：由題意f(x)在［0,+8)上是增函數(shù)，而XV0時，f(x)=1,故滿足不等式f

,1-X2>2X

(1-X2)>f(2x)的X需滿足11-x2>0,解出X即可.

1~x2〉2x廣，廠、

,(-1,V2-1)

解答：解：由題意，可得I1-x>0

故答案為：(一1，V2-D

點(diǎn)評：本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式，考查利用所學(xué)知識分析問題解

決問題的能力.

15.如果在一周內(nèi)(周一至周日)安排四所學(xué)校的學(xué)生參觀順義啤酒廠，每天最多只安排

一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法有

種(用數(shù)字作答).

參考答案：

360

試題分析：第一步安排甲學(xué)校，由于甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，所以只能有6種不同的按排

方法；

第二步按排余下的三所學(xué)校，由于這三所學(xué)校均只參觀一天，所以有6種不同的按排方

法；

由分步計數(shù)原理得共有不同的安排方法有6d=6x5x4x3=360種.

故答案為:360.

考點(diǎn)：排列組合.

sin(8+90°)+cos8

16.已知角。的終邊過點(diǎn)(4,-3),則tank,sin8-cos(8-180°)

參考答案:

_3_

~4,8.

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡求值；任意角的三角函數(shù)的定義.

【分析】直接利用任意角的三角函數(shù)的定義即可求解tan。，利用誘導(dǎo)公式，同角三角函

數(shù)基本關(guān)系式化簡所求即可計算得解.

【解答】解：..?角0終邊上一點(diǎn)P(4,-3),

__3

...由三角函數(shù)的定義可得tan。=7,

sin(8+90°)+cos8_____cos8+cos82

/.sin6~cos(9_180°)=sin6~(~cos9)=tan9+1=8,

_3,

故答案為：~4,8.

17.不等式I*—61Tx—4|〈二的解集為o

參考答案：

{x|0<x<3}

略

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.已知函數(shù)外0=工*0/+6、*,曲線/=/(/)過點(diǎn)P(1,0),且在P點(diǎn)處的切線斜

率為2.

(I)求實(shí)數(shù)區(qū)5的值；

(II)設(shè)函數(shù)虱。=/W-2x+2,求函數(shù)g(*)的最大值.

參考答案：

五X)=].lot._

(I)X2分

心?！俊?0

由已知可得7(1)=2

a=-1

《

解得”=3........................6分

（II,）￡*）=/1工）-2工+2=-，-曰3觸工+2,X€（0L4CD）

建*）=-2x-l+-=-（不712r”）

XX..................

人火工）=峭k1機(jī)=-2倍去）

令

列表分析函數(shù)g（a在區(qū)間（°??"））上的單調(diào)性如下：

X(OJ)1（E）

+0-

單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

二函數(shù)g（x）的最大值為g0）=°............12分

19.已知函數(shù)/㈤4ah*THaM1+”，aeR

（1）當(dāng)。=1時，求不等式的解集；

⑵若任意工疝,力，使得爐02恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

參考答案：

H、

（1）1」（2）a，l或aW-l.

【分析】

（1）把a(bǔ)的值代入不等式中，去掉絕對值符號，利用分類討論的思想去掉絕對值的解集

即可。

⑵經(jīng)分析，要使任意*'卬1,使得爐”1=2恒成立，則

（1-fllBx）（14atai）＜0,分離參數(shù)a,即可求出a的范圍。

【詳解】解⑴當(dāng)時，/（工）=1｝工一1|一1｝工+1|21.

①當(dāng)即0<JC<*T時，則-Inx+l+Jnic+lNl,

得2N1,所以0<X<，T

②當(dāng)一iVlnxvl,即時，則-Inx+l-liix-lNl,即一21BXA1,

i1

解得0<x4*’，所以/工工4?’.

③當(dāng)InxNl,即i2“時，則bijc-l-加x-lil,

解得一2?1,所以工七，

0.31

綜上，不等式的解集為iJ

(2)已知任意*e[='],使得鞏訃2恒成立，

由II“■/一1]TabrQ"hl1-A4T“qQaln目?(1+oia?|=2

可知，當(dāng)且僅當(dāng)Q-amxNQ+dbQK。時等號成立.

11

由此可得1一"必'工40,即記丘，當(dāng)x=e時，取得最大值L

即解得a>l或aW-l.

【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的求法：利用零點(diǎn)分段討論法解不等式，以及函數(shù)恒成立

的問題，屬于中檔題。

20.如圖，在四棱錐A-BCOE中，△/1￡)￡是邊長為2的等邊三角形，平面AOEJ?平面

1

BCDE,底面BCOE是等腰梯形，DE\\BC,DE=2BC,BE=DC=2,80=2拈，點(diǎn)M

是邊。E的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BC上，且BN=3。

B

(I)證明：BZXL平面AMN；

(II)設(shè)BZ)riMN=G,求三棱錐A-8GN的體積。

參考答案:

(I)???△//)￡￡*邊加陽.AI0DE晌中起.；.4MIDE

KflMADEl-f向BCDE.f微ADEC\f倒BCDE■DE

:,AM1TlMBCDE.,.AM1HD.........3分

vA/D=WF-1.AV-3.DEf/BC.DE?*BC,

MDlLcN.：.四邊形MNCD是平行四邊形，MNIICD

又BD=2』,BC=4.CD=2.BD^CD1=BC'.ABD1CD,

BD1MN且/MDMV=Af.二即，平面4MN...........................6分

(n)ft](I)知4MJ.平面8C￡>E./A/為三棱錐/-8GN的高.

???△/DE是邊長為2的等邊三角形.，4W=JL.........................8分

易知GN=3C￡>=3,

42

又」I(I)如BDXMN.BG=y/B^-NG2=—

2

c1vr134丫39G

,的22228

?1_?MA9

心此出/M=5X-^-X>/3=-12分

21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量；=GJ-&)1=(Hj+物(kwR),

a16,動點(diǎn)M(xj)的軌跡為T.

(1)求軌跡T的方程，并說明該方程表示的曲線的形狀;

k=]_

(2)當(dāng)一5時，已知點(diǎn)3(0,-我)，是否存在直線/：y=丁+加，使點(diǎn)B關(guān)

于直線/的對稱點(diǎn)落在軌跡T上?若存在，求出直線，的方程，若不存在，請說明理

由.

參考答案：

解：⑴VaLb④)&?+應(yīng))=0

得*?+/-2=。即匕’+/=2--------------------------------------------------------2分

當(dāng)上=0時，方程表示兩條與X軸平行的直線；?

3分

當(dāng)k=1時;方程表示以原點(diǎn)為圓心，以立為半徑的圓；--------------------

————4

當(dāng)左＞0且上Hl時，方程表示橢圓；----------------------------------------

—5分

當(dāng)上＜0時，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線

------6分

左」T-+^=1

⑵當(dāng)2時，動點(diǎn)M的軌跡7的方程為42----------------------------------

-7分

設(shè)滿足條件的直線？存在，點(diǎn)B關(guān)于直線上的對稱點(diǎn)為"'（%?%）,則由軸對稱的性

兒+短=.1%-0=幺+-

質(zhì)可得：為22

解得：%=-&-肛％=內(nèi)，-----------------------------------------------

一10分

（一4