命題與證明復(fù)習(xí)資料

命題與證明復(fù)習(xí)資料知識(shí)講解一:定義與命題概念：一般地，能清楚地規(guī)定某一名稱或術(shù)語(yǔ)的意義的句子叫做該名稱或術(shù)語(yǔ)的定義一般地，對(duì)某一件事情作出正確或不正確的判斷的句子叫做命題。命題構(gòu)造：命題可看做由題設(shè)〔條件〕和結(jié)論兩局部組成。題設(shè)是事項(xiàng)，結(jié)論是由事項(xiàng)推出的事項(xiàng)。命題的分類：正確的命題叫做真命題，不正確的命題叫做假命題判定一個(gè)命題是真命題的方法:(1)通過(guò)推理的方式,即根據(jù)的事實(shí)來(lái)推斷未知事實(shí);用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理.(2)人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐后而公認(rèn)為正確的：數(shù)學(xué)中通常挑選一局部人類經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐后公認(rèn)為正確的命題叫做公理.定理和公理都可以作為判斷其他命題真假的依據(jù).命題◆針對(duì)練習(xí)1．以下語(yǔ)句中，為定義的是〔〕A．兩點(diǎn)確定一條直線嗎;B．三角形的角平分線是一條線段C．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線;D．同角的余角相等2．以下句子：①延長(zhǎng)線段AB到C；②垂線段最短；③過(guò)點(diǎn)A畫直線EF；④將4開平方．其中是命題的有〔〕A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)3．把命題“同角的補(bǔ)角相等〞改寫成“如果……則……〞的形式，正確的選項(xiàng)是〔〕A．如果同角，則相等;B．如果同角，則補(bǔ)角相等;C．如果同角的補(bǔ)角，則相等;D．如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，則這兩個(gè)角相等.4．指出以下命題的條件和結(jié)論，并改寫成“如果……則……〞的形式．〔1〕兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等;〔2〕全等三角形的面積相等．5．正確的命題稱為______命題，不正確的命題稱為_______命題．命題“如果ab=0，則a=0〞是________命題；命題“如果a=0，則ab=0〞是________命題．6．以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是〔〕A．定理不一定是真命題;B．真命題不一定正確C．假命題不一定錯(cuò)誤;D．公理一定是真命題7．〔1〕命題“假設(shè)a>3，則=a-3〞是真命題還是假命題？請(qǐng)說(shuō)明理由．〔2〕命題“如果ab>0，則a>0且b>0〞是真命題還是假命題？請(qǐng)說(shuō)明理由．8．命題“在一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角〞的條件是：____________,結(jié)論是：_______________，它是______命題．9．如圖，△ABC中，∠B=∠C，AD∥BC，則AD平分△ABC的外角∠EAC.用推理的方法說(shuō)明它是一個(gè)真命題．◆綜合提高10．指出以下命題的題設(shè)和結(jié)論，并把它改寫成“如果……則……〞的形式．〔1〕三角形兩邊之和大于第三邊;〔2〕三角形的內(nèi)角和等于180°．11．觀察以下給出的方程，找出它們的共同特征，試給知名稱，并作出定義．x3+x2-3x+4=0，x3+x-1=0，x3-2x2+3=x，y3+2y2-5y-1=0．12．以下命題：①有一個(gè)內(nèi)角是60°的三角形是等邊三角形；②有一個(gè)內(nèi)有是60°的等腰三角形是等邊三角形；③有兩個(gè)內(nèi)角是60°的三角形是等邊三角形；④三個(gè)內(nèi)角相等的三角形是等邊三角形．其中真命題有〔〕A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)13．以下命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？請(qǐng)說(shuō)明理由．〔1〕如果兩個(gè)角相等，則它們是對(duì)頂角．〔2〕關(guān)于x的方程ax2-x=0〔a≠0〕必有兩個(gè)不一樣的實(shí)數(shù)解．14．以下關(guān)于代數(shù)式x2-4x+8的三個(gè)命題：①該代數(shù)式的值必定大于8；②該代數(shù)式的值必定大于4；③該代數(shù)式的值必定大于2．其中是真命題的有_______．〔填序號(hào)〕知識(shí)點(diǎn)二：證明概念：要判斷一個(gè)命題是真命題,往往需要從命題的條件出發(fā),根據(jù)的定義、公理、定理,一步一步推得結(jié)論成立,這樣的推理過(guò)程就叫做證明注：證明過(guò)程中的每一步推理都要有依據(jù)，依據(jù)作為推理的理由可以寫在每一步后的括號(hào)內(nèi)證明命題的一般步驟:(1)根據(jù)題意,畫出圖形；(2)分清命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形，在“〞中寫出條件，在“求證〞中寫出結(jié)論；(3)在“證明〞中寫出推理過(guò)程.依據(jù)思路,運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語(yǔ)言條理清晰地寫出證明過(guò)程；檢查表達(dá)過(guò)程是否正確、完善.證明幾何命題時(shí),表述要按照一定的格式,一般為:按題意畫出圖形;分清命題的條件和結(jié)論,結(jié)合圖形,在“〞中寫出條件,在“求證〞中寫出結(jié)論在“證明〞中寫出推理過(guò)程.注意：1.要嚴(yán)格按規(guī)定的格式書寫;2.如果給出的幾何命題已包括了相應(yīng)的圖形.及求證,則可在表述時(shí)直接寫出證明的推理過(guò)程.數(shù)學(xué)證明題的根本思路：由“因〞導(dǎo)“果〞,執(zhí)“果〞索“因〞關(guān)于輔助線：1.輔助線是為了證明需要在原圖上添畫的線.〔輔助線通常畫成虛線〕2.它的作用是把分散的條件集中，把隱含的條件顯現(xiàn)出來(lái)，起到牽線搭橋的作用.3.添加輔助線，可構(gòu)造新圖形，形成新關(guān)系，找到聯(lián)系與未知的橋梁，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化，但輔助線的添法沒有一4.定的規(guī)律，要根據(jù)需要而定,平時(shí)做題時(shí)要注意總結(jié).針對(duì)練習(xí)1．以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是〔〕A．有公共頂點(diǎn)，且相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角;B．一條直線只有一條垂線;C．垂線段最短;D．一條直線的垂直平分線只有一條2．如圖1，在以下給出的條件中，不能判定AB∥DF的是〔〕A．∠A+∠2=180°B．∠A=∠3C．∠1=∠4D．∠1=∠33．直角三角形斜邊上的高與中線長(zhǎng)分別為4cm，5cm，則這個(gè)直角三角形的面積為________．4．如圖，△ABC中，AB=AC，D為AC上一點(diǎn)，且AD=DB=BC，則∠A=_______．5．在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，DE垂直平分AC，△ABD的周長(zhǎng)是9cm，AC=3cm，則△ABC的周長(zhǎng)是_________．6．假設(shè)三角形兩邊的長(zhǎng)分別為7cm，2cm，第三邊長(zhǎng)為奇數(shù)，則第三邊的長(zhǎng)為〔〕A．3cmB．9cmC．7cmD．不能確定7．△ABC的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)比為2：3：4，則這個(gè)三角形是〔〕A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形8．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為______．9．如圖，在△ABC中，∠ABC=70°，∠A=50°，AB的垂直平分線交AC于D，則∠DBC=_________．綜合應(yīng)用10．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在AB上，DE和CE分別是∠ADC和∠BCD的平分線，求∠DEC的度數(shù)．11．證明命題“等腰三角形底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等〞．12．“有兩邊及其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等〞是真命題還是假命題？試說(shuō)明理由．13．如圖，△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)P，∠A=50°.求∠BPC的度數(shù)．14．如圖，在△ABC中，O為∠B和∠C平分線的交點(diǎn)，OE∥AB交BC于點(diǎn)E，OF∥AC交BC于點(diǎn)F，假設(shè)BC=10cm，求△OEF的周長(zhǎng)．15．如圖，等腰△ABC，BD和CE分別是∠B和∠C的平分線，求證：BD=CE．16．如圖，△ABC中，AB=AC，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊AC上，AD=AE，延長(zhǎng)DE交BC于點(diǎn)F，求證：DF⊥BC．17．如圖，以△ABC的邊AB和AC向外作等邊三角形△ABD和等邊三角形△ACE，連結(jié)CD和BE．試問(wèn)：CD與BE所夾的銳角等于多少度？請(qǐng)證明你的結(jié)論．18．如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE的內(nèi)部A1時(shí)，請(qǐng)你探究∠A1，∠1，∠2之間的關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)三：反例與證明歸納：判斷命題的真假；運(yùn)用反例證明假命題；反例必須具備命題的條件,卻不具備命題的結(jié)論,從而說(shuō)明命題是錯(cuò)誤的；說(shuō)明一個(gè)命題是假命題,通常只用找出反例,但要說(shuō)明一個(gè)命題是真命題,就必須用推理的方法,而不能光憑一個(gè)例子.針對(duì)練習(xí)1．以下可以用來(lái)證明命題“任何偶數(shù)都是4的倍數(shù)〞為假命題的反例是〔〕A．3B．4C．5D．62．一個(gè)三角形中的內(nèi)角小于90°的角至少有〔〕A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．0個(gè)3．能說(shuō)明命題“如果兩個(gè)角互補(bǔ)，則這兩個(gè)角一定是銳角，另一個(gè)是鈍角〞為假命題的兩個(gè)角是〔〕A．120°，60°B．95．1°，104．9°C．30°，60°D．90°，90°4．用反例來(lái)證明以下命題是假命題．〔1〕假設(shè)xy=0，則x，y同時(shí)為零．〔2〕兩個(gè)負(fù)數(shù)的差一定是負(fù)數(shù)．〔3〕兩個(gè)銳角的和一定大于直角．〔4〕任何有理數(shù)都有倒數(shù)．5．可以用來(lái)證明命題“兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和仍是無(wú)理數(shù)〞為假命題的反例是________．6．請(qǐng)用反證證明以下命題是假命題．〔1〕任何兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和大于零．〔2〕A，B，C是同一直線上的三點(diǎn)，則AB+BC=AC．7．判斷以下命題的真假，并給出證明．〔1〕正比例函數(shù)的函數(shù)值隨著自變量的增大而增大．〔2〕有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形．〔3〕一個(gè)角的補(bǔ)角大于這個(gè)角．〔4〕假設(shè)一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，則這兩個(gè)角相等．〔5〕如果n是整數(shù)，則n2+3n+2是偶數(shù)．8．判斷命題“假設(shè)∠1=∠2是同位角，∠2與∠3也是同位角，則∠1與∠3是同位角〞的真假，畫出圖形，并給出證明．9．判斷命題“a，b，c是三條線段，假設(shè)a+b>c，則a，b，c必能組成三角形〞的真假，并給出證明．10．x和y是實(shí)數(shù)，舉例說(shuō)明以下說(shuō)法是錯(cuò)誤的．〔1〕│x+y│=│x│+│y│;〔2〕假設(shè)x≤y，則x2≤y2．11．命題“有兩邊相等的兩個(gè)直角三角形全等〞是真命題還是假命題？請(qǐng)給出證明．◆綜合提高12．當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，n〔n+1〕+1一定是〔〕A．奇數(shù)B．偶數(shù)C．素?cái)?shù)D．合數(shù)13．用反例證明“有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等〞是假命題．14．甲、乙、丙、丁四個(gè)小朋友正在教室里玩耍，忽聽“砰〞的一聲，講臺(tái)上的花盆被打破了．甲說(shuō)：“是乙不小心闖的禍．〞乙說(shuō)“是丙闖的禍．〞丙說(shuō)：“乙說(shuō)的不是實(shí)話．〞丁說(shuō)：“反正不是我闖的禍〞．如果剛剛四個(gè)小朋友中只有一個(gè)人說(shuō)了實(shí)話，則這個(gè)小朋友是誰(shuí)？誰(shuí)闖了禍？知識(shí)點(diǎn)四：反證法概念：在證明一個(gè)命題時(shí),有時(shí)先假設(shè)命題不成立,從這樣的假設(shè)出發(fā),經(jīng)過(guò)推理得出和條件矛盾,或者與定義,公理,定理等矛盾,從而得出假設(shè)命題不成立是錯(cuò)誤的,即所求證的命題正確。這種證明方法叫做反證法。反證法的步驟：提出假設(shè)；推理論證；得出矛盾；結(jié)論成立常用互為否認(rèn)的表用方式：是——不是存在——不存在平行——不平行垂直——不垂直等于——不等于都是——不都是大于——不大于小于——不小于至少有一個(gè)——一個(gè)也沒有至少有三個(gè)——至多有兩個(gè)至少有三個(gè)——至多有兩個(gè)至多有一個(gè)---至少有兩個(gè)至少有一個(gè)---一個(gè)也沒有宜用反證法證明的題型：以否認(rèn)性判斷作為結(jié)論的命題；〔2〕某些定理的逆命題；〔3〕以“至多〞、“至少〞或“不多于〞等形式陳述的命題；〔4〕關(guān)于“唯一性〞結(jié)論的命題；〔5〕解決整除性問(wèn)題；〔6〕一些不等量命題的證明；〔7〕有些根本定理或某一知識(shí)體系的初始階段；〔8〕涉及各種“無(wú)限〞結(jié)論的命題等等。用反證法證題時(shí),應(yīng)注意的事項(xiàng):〔1〕周密考察原命題結(jié)論的否認(rèn)事項(xiàng)，防止否認(rèn)不當(dāng)或有所遺漏；〔2〕推理過(guò)程必須完整，否則不能說(shuō)明命題的真?zhèn)涡?；?〕在推理過(guò)程中，要充分使用條件，否則推不出矛盾，或者不能斷定推出的結(jié)果是錯(cuò)誤的。針對(duì)練習(xí)：1．“a<b〞的反面應(yīng)是〔〕A．a(chǎn)≠bB．a(chǎn)>bC．a(chǎn)=bD．a(chǎn)=b或a>b2．用反證法證明“假設(shè)a⊥c，b⊥c，則a∥b〞時(shí)，應(yīng)假設(shè)〔〕A．a(chǎn)不垂直于cB．a(chǎn)，b都不垂直于cC．a(chǎn)⊥bD．a(chǎn)與b相交3．用反證法證明命題“在一個(gè)三角形中，如果兩條邊不相等，則它們所對(duì)的角也不相等〞時(shí)，應(yīng)假設(shè)___________．4．用反證法證明“假設(shè)│a│<2，則a<4〞時(shí)，應(yīng)假設(shè)__________．5．請(qǐng)說(shuō)出以下結(jié)論的反面:〔1〕d是正數(shù)〔2〕a≥0〔3〕a<56．如下左圖，直線AB，CD相交，求證：AB，CD只有一個(gè)交點(diǎn)．證明：假設(shè)AB，CD相交于兩個(gè)交點(diǎn)O與O′，則過(guò)O，O′兩點(diǎn)就有_____條直線，這與“過(guò)兩點(diǎn)_______〞矛盾，所以假設(shè)不成立，則________．7．完成以下證明．如上右圖，在△ABC中，假設(shè)∠C是直角，則∠B一定是銳角．證明：假設(shè)結(jié)論不成立，則∠B是______或______．當(dāng)∠B是____時(shí)，則_________，這與________矛盾；當(dāng)∠B是____時(shí)，則_________，這與_______