數(shù)理統(tǒng)計知識點

數(shù)理統(tǒng)計知識點匯報人：AA2024-01-19緒論概率論基礎(chǔ)統(tǒng)計量及其分布參數(shù)估計假設(shè)檢驗方差分析回歸分析目錄01緒論數(shù)理統(tǒng)計是應(yīng)用概率論的結(jié)果，更深入地分析研究統(tǒng)計資料，通過對某些現(xiàn)象的頻率的觀察來發(fā)現(xiàn)該現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律性，并做出一定精確度的判斷和預(yù)測；將這些研究的某些結(jié)果加以歸納整理，逐步形成一定的數(shù)學(xué)概型。定義數(shù)理統(tǒng)計具有隨機性、數(shù)量性、總體性等特征。其中隨機性表示在一次試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復(fù)試驗中具有某種規(guī)律性；數(shù)量性表示數(shù)理統(tǒng)計的研究對象是數(shù)量，它是通過對各種數(shù)量表現(xiàn)的統(tǒng)計資料及其所反映的各種數(shù)量關(guān)系的分析來實現(xiàn)對客觀事物的科學(xué)認(rèn)識；總體性表示數(shù)理統(tǒng)計是從整體上反映和分析事物數(shù)量特征，而不是著眼于個別現(xiàn)象。特點數(shù)理統(tǒng)計的定義與特點總體研究對象的全體個體所構(gòu)成的集合稱為總體。組成總體的每個個體稱為總體單位。個體總體中所考察的每一個事物稱為個體。樣本從總體中抽取的一部分個體所組成的集合稱為樣本。樣本容量樣本中個體的數(shù)目稱為樣本容量。數(shù)理統(tǒng)計的研究對象數(shù)理統(tǒng)計的研究方法描述統(tǒng)計對收集的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行整理、概括和計算，以揭示數(shù)據(jù)分布規(guī)律性的方法。推斷統(tǒng)計根據(jù)樣本數(shù)據(jù)推斷總體數(shù)量特征的方法。它是在對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行描述的基礎(chǔ)上，利用一定的方法根據(jù)樣本數(shù)據(jù)去估計或檢驗總體的數(shù)量特征。02概率論基礎(chǔ)概率的直觀定義描述某一事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值。概率的基本性質(zhì)包括互斥事件的概率加法公式、對立事件的概率公式等。概率的公理化定義滿足非負(fù)性、規(guī)范性、可列可加性的函數(shù)。概率的定義與性質(zhì)03條件概率與獨立性的關(guān)系獨立事件的條件概率等于其無條件概率。01條件概率在某一條件下，某一事件發(fā)生的概率。02事件的獨立性兩個事件相互獨立，當(dāng)且僅當(dāng)其中一個事件的發(fā)生不影響另一個事件的發(fā)生概率。條件概率與獨立性ABCD隨機變量及其分布隨機變量的定義描述隨機試驗結(jié)果的變量，可以是離散的或連續(xù)的。連續(xù)型隨機變量及其概率密度包括均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布等。離散型隨機變量及其分布律包括0-1分布、二項分布、泊松分布等。隨機變量的函數(shù)的分布通過隨機變量的函數(shù)關(guān)系，求新的隨機變量的分布。數(shù)學(xué)期望描述隨機變量取值的離散程度，是隨機變量的一種波動性指標(biāo)。方差協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩與協(xié)方差矩陣01020403描述隨機變量的高階矩及不同隨機變量間的協(xié)方差關(guān)系。描述隨機變量取值的平均水平，是隨機變量的一種中心化指標(biāo)。描述兩個隨機變量之間的線性相關(guān)程度。隨機變量的數(shù)字特征03統(tǒng)計量及其分布統(tǒng)計量是樣本空間上的實值函數(shù)，不依賴于任何未知參數(shù)。統(tǒng)計量定義統(tǒng)計量應(yīng)具有一致性、無偏性、有效性等性質(zhì)。統(tǒng)計量性質(zhì)統(tǒng)計量的定義與性質(zhì)樣本均值的分布隨著樣本量的增大而逐漸趨近于正態(tài)分布。樣本均值樣本方差的分布與總體分布、樣本量等因素有關(guān)。樣本方差樣本矩是描述樣本分布形態(tài)的重要統(tǒng)計量，包括偏度、峰度等。樣本矩順序統(tǒng)計量是樣本觀測值排序后的結(jié)果，如最小值、最大值、中位數(shù)等。順序統(tǒng)計量常用統(tǒng)計量及其分布大數(shù)定律當(dāng)試驗次數(shù)足夠多時，頻率近似于概率。中心極限定理當(dāng)總體分布未知時，可以用樣本均值近似總體均值，且隨著樣本量的增大，樣本均值的分布逐漸趨近于正態(tài)分布。t分布當(dāng)總體分布為正態(tài)分布，但總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時，可以用t分布來描述樣本均值的抽樣分布。χ^2分布用于描述多個獨立隨機變量的平方和的抽樣分布。F分布用于描述兩個獨立隨機變量的方差比的抽樣分布。抽樣分布定理04參數(shù)估計定義點估計是用樣本統(tǒng)計量來估計總體參數(shù)，因為樣本統(tǒng)計量為數(shù)軸上某一點值，估計的結(jié)果也以一個點的數(shù)值表示，所以稱為點估計。方法點估計的主要方法有矩估計法、最大似然估計法、最小二乘法、貝葉斯估計法等。性質(zhì)無偏性、有效性、一致性是評價點估計好壞的三個重要標(biāo)準(zhǔn)。點估計方法區(qū)間估計的構(gòu)造方法主要有樞軸量法、大樣本法等。性質(zhì)區(qū)間估計的精度與樣本量大小、總體分布等因素有關(guān)，一般要求置信水平越高，則置信區(qū)間的寬度越大。定義區(qū)間估計是在點估計的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計量加減估計誤差得到。區(qū)間估計無偏性指估計量的數(shù)學(xué)期望等于被估計的總體參數(shù)，即樣本統(tǒng)計量的平均值等于總體參數(shù)的真值。有效性指對同一總體參數(shù)的兩個無偏點估計量，有更小方差的估計量更有效。一致性指隨著樣本量的無限增加，樣本統(tǒng)計量依概率收斂于被估計的總體參數(shù)。估計量的評價標(biāo)準(zhǔn)03020105假設(shè)檢驗兩類錯誤第一類錯誤是原假設(shè)為真時拒絕原假設(shè)，第二類錯誤是原假設(shè)為假時接受原假設(shè)。檢驗統(tǒng)計量與拒絕域構(gòu)造一個檢驗統(tǒng)計量，根據(jù)顯著性水平確定拒絕域，通過比較檢驗統(tǒng)計量的值與拒絕域的關(guān)系來判斷是否拒絕原假設(shè)。小概率原理在一次試驗中，小概率事件幾乎不可能發(fā)生。如果發(fā)生了，則有理由拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)。假設(shè)檢驗的基本思想單個正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗單個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗：當(dāng)總體方差已知時，使用Z檢驗；當(dāng)總體方差未知時，使用t檢驗。單個正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗：使用卡方檢驗。兩個正態(tài)總體均值之差的假設(shè)檢驗：當(dāng)兩個總體方差已知時，使用Z檢驗；當(dāng)兩個總體方差未知但相等時，使用t檢驗；當(dāng)兩個總體方差未知且不相等時，使用Welcht檢驗。兩個正態(tài)總體方差之比的假設(shè)檢驗：使用F檢驗。兩個正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗非參數(shù)檢驗的特點不依賴于總體分布的具體形式，適用于各種類型的數(shù)據(jù)。單樣本非參數(shù)檢驗如符號檢驗、符號秩次檢驗等。兩樣本非參數(shù)檢驗如Mann-WhitneyU檢驗、Wilcoxon秩和檢驗等。非參數(shù)假設(shè)檢驗06方差分析方差分析的基本思想通過對數(shù)據(jù)誤差來源的分析來判斷不同總體的均值是否相等，進(jìn)而分析自變量對因變量是否有顯著影響。方差分析認(rèn)為數(shù)據(jù)的誤差來源主要有隨機誤差和系統(tǒng)誤差兩種。隨機誤差是由偶然因素引起的，而系統(tǒng)誤差則是由自變量不同水平引起的。方差分析通過比較不同來源的方差大小，來判斷自變量對因變量的影響是否顯著。假設(shè)檢驗提出原假設(shè)和備擇假設(shè)，通過構(gòu)造F統(tǒng)計量進(jìn)行假設(shè)檢驗。方差分析表計算各組數(shù)據(jù)的均值、方差等統(tǒng)計量，并構(gòu)造方差分析表。多重比較如果拒絕原假設(shè)，則需要進(jìn)行多重比較，進(jìn)一步確定哪些組之間存在顯著差異。單因素方差分析分別提出兩個控制變量的原假設(shè)和備擇假設(shè)，通過構(gòu)造F統(tǒng)計量進(jìn)行假設(shè)檢驗。假設(shè)檢驗計算各組數(shù)據(jù)的均值、方差等統(tǒng)計量，并構(gòu)造雙因素方差分析表。方差分析表如果兩個控制變量之間存在交互作用，則需要進(jìn)一步分析交互作用對觀察變量的影響。交互作用分析010203雙因素方差分析07回歸分析回歸方程描述因變量與一個自變量之間的線性關(guān)系，形式為y=ax+b。最小二乘法通過最小化殘差平方和來估計回歸系數(shù)a和b?；貧w系數(shù)的解釋a表示自變量每增加一個單位，因變量的平均變化量；b表示當(dāng)自變量為0時，因變量的平均值。一元線性回歸分析回歸方程描述因變量與多個自變量之間的線性關(guān)系，形式為y=a1x1+a2x2+...+anxn+b。多重共線性當(dāng)自變量之間存在高度相關(guān)時，可能導(dǎo)致回歸系數(shù)的估計不準(zhǔn)確。逐步回歸一種選擇重要